第4章线性规划求解的基本方法
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多，而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时，大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得： 1. 中心部位具有单位子块； 2. 右列元素非负；这时可以先用容许的运算使由列为非负，然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述： 例4.1123123123123min 32..323624,,0z x x x s tx x x x x x x x x =-+++-=-+-=-≥ （4.1.1）列成表格：上述第三张表中人工增加了两个变量45,x x ，称为人工变量，即把原来的约束条件改为：1234123512345..323624,,,,0s tx x x x x x x x x x x x x +-+=-++=≥ （4.1.2） 式（4.1）和（4.2）的约束方程组并不同解，但（4.1）的解和（4.2）中450x x ==的解是相对应的。
只要找到以（4.2）为约束条件，且人工变量45,x x 均为自由变量的基本可行解，也就找到了（4.1）的基本可行解，于是，要设法迫使450x x ==。
以上途径通过修改（4.1）的目标函数来实现。
具体修改为：12345min 32z x x x Mx Mx =-++++ （4.1.3）其中M 为足够大的正数，然后以（4.2）为约束条件，求（4.3）的最小值。
只要45,x x 不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M 倍。
由于M 为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在45,x x 取正值时达到最小值。
本例中把表改为：通过运算使它具备第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0，然后再严格按照单纯形法的步骤求解：由于M 为足够大的正数，所以-3-4M 应视为负数，故选它。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
第四章 线性规划问题的计算机求解
第四章线性规划问题的计算机求解4.1 有以下线性规划数学问题：max Z=2x l+3 x2S.T. x l+ x2≤102x l+ x2≥4x l+3 x2≤242x l+ x2≤16x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、四个约束条件中，哪些约束条件起到了作用？各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：1、2、最优解：（3，7），最优值：273、第一、第三个约束条件起到了约束作用。
松弛量/剩余量对偶价格x l+ x2≤10 0 1.52x l+ x2≥4 9 0x l+3 x2≤24 0 0.52x l+ x2≤16 13 04、目标函数中各变量系数1≤C1≤32≤C1≤65、常数项8≤b1≤9.2无限≤b2≤1318≤b3≤3013≤b4≤无限4.2 有以下线性规划数学问题：min f=8x l+3 x2S.T. 500x l+100 x2≤12000005x l+4 x2≥60000100x l≥300000x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。
4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：本问题无解。
4.3 有以下线性规划数学问题：max Z=x l+2 x2+3 x3- x4S.T. x l+2 x2+3 x3≤152x l+ x2+5 x3≤20x l+2 x2+ x3+ x4≤10x l 、x2、x3、x4≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义。
线性规划知识点
线性规划知识点一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如经济学、管理学、工程学等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量是决策的对象，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
3. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
4. 非负约束：线性规划中的变量通常需要满足非负约束条件，即xi ≥ 0。
三、模型构建1. 目标函数的确定：根据问题的具体要求，确定最大化或最小化的目标函数。
2. 约束条件的确定：根据问题的限制条件，确定各个变量的线性约束条件。
3. 变量的非负约束：确定各个变量的非负约束条件。
四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先画出目标函数的等高线图和约束条件的线性图形，然后找到使目标函数取得最大（最小）值的交点。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过迭代计算，逐步找到使目标函数取得最大（最小）值的解。
3. 整数规划方法：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
该方法通过将线性规划问题转化为整数规划问题，并应用相应的算法进行求解。
五、应用案例假设某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为15元。
公司的生产能力限制为每天生产不超过100个单位的产品A和150个单位的产品B。
另外，公司还有两个约束条件：产品A的生产量不能超过产品B的两倍，产品B的生产量不能超过产品A的三倍。
问如何安排生产计划以最大化利润。
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
线性规划的应用与求解方法
线性规划的应用与求解方法线性规划是数学中一种重要的优化方法，被广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、工程学等。
它可以帮助我们在给定的约束条件下，找到最优解，使得目标函数取得最大值或最小值。
本文将介绍线性规划的应用领域以及常用的求解方法。
一、线性规划的应用领域1. 生产与资源分配线性规划可以帮助企业合理安排生产资源，优化生产效率。
例如，一个工厂需要决定如何分配有限的人力、物力和财力，以满足最大产出或最小成本的要求。
线性规划可以帮助企业找到最佳的资源分配方案，提高生产效率。
2. 项目排程与调度线性规划可以用于项目排程与调度问题，帮助规划员安排项目的开始时间、结束时间和资源分配。
例如，在建设一个大型工程项目时，需要考虑多个任务的依赖关系、资源限制和时间限制，线性规划可以帮助规划员合理安排项目进度，最大程度地利用资源。
3. 物流与运输线性规划可以用于优化物流与运输问题。
例如，一个配送中心需要决定如何将货物从不同供应商配送到不同的客户，以最小化运输成本。
线性规划可以帮助物流公司找到最佳的配送路线和运输方案，提高运输效率。
4. 投资与资产配置线性规划可以用于优化投资与资产配置问题。
例如，一个投资者希望在多个资产中进行配置，以最大化收益或最小化风险。
线性规划可以帮助投资者找到最佳的资产配置方案，提高投资收益率。
二、线性规划的求解方法1. 图形法图形法是线性规划最直观的求解方法之一。
它通过绘制目标函数和约束条件所对应的直线或曲线，找到使目标函数取得最大（小）值的交点。
但是，图形法只适用于二维线性规划问题，对于多维问题并不适用。
2. 单纯形法单纯形法是线性规划最常用的求解方法之一。
它通过迭代的方式，在可行域内搜索有效解。
单纯形法首先找到一个基础解，并在每一步中通过改进的方式找到更优的基础解，直到找到最优解为止。
单纯形法可以求解多维线性规划问题，并且具有较高的效率。
3. 对偶理论对偶理论是线性规划的重要理论基础。
它将线性规划问题转化为对偶问题，并通过对偶问题的求解来获得原问题的最优解。
线性规划问题求解的基本方法
线性规划问题求解的基本方法线性规划是一种重要的数学方法，可用来解决许多实际问题。
它的核心是寻找目标函数下的最优解，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
在实际应用中，我们通常使用线性规划求解器来解决这些问题。
本文将介绍线性规划问题求解的基本方法。
一、线性规划问题的标准形式线性规划问题可以写成如下的标准形式：$$ \begin{aligned} &\text{最小化} \quad \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ &\text{满足} \quad A \mathbf{x} = \mathbf{b}, \mathbf{x} \geq\mathbf{0} \end{aligned} $$其中，$ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 是一个 $ n $ 维向量，$ \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n $ 是目标函数的系数向量，$ A \in\mathbb{R}^{m \times n} $ 是约束条件矩阵，$ \mathbf{b} \in\mathbb{R}^m $ 是约束条件的右侧向量。
二、线性规划问题的求解方法1. 单纯形法单纯形法是求解线性规划问题最常用的方法，基本思想是不断循环迭代，利用基变量与非基变量的互换来寻找可行解，并逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）将标准形式化为相应的单纯形表。
（2）从单纯形表的行中选择一个入基变量，使目标函数值减小。
（3）从入基变量所在列中选择一个出基变量。
（4）用入基变量和出基变量生成一个新的单纯形表。
（5）重复上述步骤直到达到最优解。
单纯形法的优点在于可以找到最优解，但当变量数量增多时，计算时间随之增加。
因此，对于大规模问题来说，单纯形法可能不是最优的求解方法。
2. 内点法内点法是一种比单纯形法更高效的求解线性规划问题的方法。
它选取一个内点作为初始点，逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）选取一个内点作为初始点。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它可以帮助我们在资源有限的情况下，找到最佳的解决方案。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一系列线性约束条件，用于限制变量的取值范围。
例如，生产数量不能超过资源限制。
3. 变量：线性规划问题中的变量是我们要优化的决策变量。
例如，生产的数量或分配的资源。
4. 非负约束：线性规划的变量通常需要满足非负约束，即变量的取值必须大于等于零。
二、模型构建线性规划问题的模型构建包括确定目标函数、约束条件和变量的定义。
下面以一个简单的生产问题为例进行说明。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，产品B的利润为15元。
工厂拥有两台机器，每台机器每天的工作时间为8小时。
生产一单位产品A需要2小时，生产一单位产品B需要3小时。
工厂希望确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
目标函数：最大化总利润，即10A + 15B。
约束条件：工作时间约束，即2A + 3B ≤ 16。
非负约束：A ≥ 0，B ≥ 0。
三、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法通过迭代的方式逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束。
2. 选择一个初始可行解，通常为原点（0,0）。
3. 计算目标函数的值，并确定是否达到最优解。
4. 如果未达到最优解，则选择一个进入变量和一个离开变量，通过调整这两个变量的值来改善目标函数的值。
5. 重复步骤3和步骤4，直到达到最优解。
四、应用领域线性规划在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
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8
f ( X k ) 0
m
1
-5
1
0
0
0
1
0
k 目标函数及检验数 ZQ
-10 0
K k ZQ CQ Cik aiQ
i 1
14
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0 0 由于Z Q 不全大于０，所以 X 不是最优解
（以检验数较小进行计算）
xi l min 0 k al 2 0 a i2
aij
k 1
aij
k
alQ
k a iQ k
i 1,2,...,l 1, l 1,...,m j 1,2,...,n
1 l min 1 7
L=1
0
1
1 12
8 7 1
用x2去替换第１个基本变量
15
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基本变 量序号 i
基 本 变 量
基 本 向 量
Cik
-10
CQ -5
列向量 基本变量值
-10 0
0
0
P1 P2
1 2 17 168 1 2
P3 P4 P5 7
17 84
2 0
2
f ( X k ) 70
-14 0 70 0
k 目标函数及检验数 ZQ
K k ZQ CQ Cik aiQ
i 1
18
m
最优解x*=(2 6 0 3/14 0)T
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单纯形方法的计算步骤及框图
(1)将约束条件变换成等式，形成m阶n维的线性规划问题，求得基本可行解． 0 0 0 0 0 0 T
5
换出：x1=0,
X2
x3,x4,x5,x6?
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3 1 z 2 x1 3x2 2 x1 3 3 x6 9 2 x1 x6 4 4 x1 x6 0, z 9, x 0,3,6,2,16,0
1 T
三个关键问题：
（1）初始顶点（初始的基本可行解）如何确定？ （2）怎样使最优搜索从一个顶点移到另一个顶点？ （3）如何判断所找到的顶点是不是最优点？
2
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例:求解线性规划问题 max z’=2x1+3x2 2x1+2x2≤12 x1+2x2 ≤8
解：化为标准型 2x1+2x2+x3
２）若约束条件均为“≥”，或等式约束的系数矩阵不存在m阶单位阵为子 矩阵的情况．这时需引入“人为变量”．
9
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２）作初始单纯形表，确定初始基本可行解
c→
s
cBi xB bi b1 b2 … bm cn+1 xn+1 cn+2 xn+2
c1 c2 … c n
x1 a11 a21 … am1 x2 a12 a22 … am2 … … … … … xn a1n a1n … amn
x 2,3,2,0,8,0
2 4 5
T 3 T
x 0, x 0 x 4,2,0,0,0,4 min z 2 4 3 2 14 max z 14 14
'
6
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x2 6 2x1+2x2=12 4x1=16
x 0,3,6,2,16,0 Q4
0 P5 0 1
1 P3 0 0 1 B 1 8
0 P4 1 0
8
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§２.2单纯形法的计算步骤
1、化一般的线性规划为标准形式，构造一个初始可行基
K
输出X k 及f X K
Ｙ
a K
lQ
xl k
打印
停
k xik 1 xik l aiQ
i 1,2,...,l 1, l 1,...,m xik 1 l
k 1 k k alj alj / alQ k alj
7 12
1 2 3
x２ P2
7
5 7
1 0 0
0 1
0 0 1
x4 P4 0 x5 P5 0
1
f ( X k ) 70
m
-7 0
目标函数及检验数 Z k Q
0
0
70 0
0
K k ZQ CQ Cik aiQ
i 1
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由于非基本变量所对应的列，还有检验数等于０的（第 一列），故说明还有一个顶点是最优解．所以还可以第 一列所对应的非基本变量x1去替换基本变量x5．
X
x1 , x2 ,..., xm , xm 1 ,..., xn
m
(2)对系数阵的每一列计算检验数：
Z
(k ) Q
k CQ Cik aiQ , Q 1,2,...,n
i 1
对于初始基本可行解k=0,若每一列的检验数全部大于等于零，则 X k 即 k 为最优解，迭代结束．若某个Ｑ列的 Z ( k ) 0 且全部元素 aiQ ， 0 Q 则此问题无解．
k (k ) (3)若某个Ｑ列的 ZQ 0且某些元素 I 有 aiQ 0 ，则选定Q列所对 应的变量XQ作为替换的非基本变量,求新的基本可行解.
(4)再计算每一列的检验数,再判断,如此迭代直至找到最优解.
19
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输入：初始基本可行解x(0)及相应的约束、方程组系数矩阵、目标函数系数阵Ｃ
１）若约束条件均为“≤”情况，则引入非负松弛变量xn+i，以形成一个m 阶单位阵(称为初始可行基)．
n aij x j xn i b(i 1,2,...,m) j 1 x j 0( j 1,2,...,n) x 0(i 1,2,...,m) n i
1/4 (-1/4) 0 0 1 0
4
12
j2 c j z j 2
0 -2
Ⅲ
x3 x1 x6 x2
0 4 4 2
0 -3
j3 c j z j 3
0
0
0
12
3/2
1/8
0
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单纯形法例题
目标函数：f(x)=-5x1-10x2
x1 x2 x3 1 14 7 x1 x2 x4 1 约束方程： 7 12 x1 x2 x5 8 x1 , x2 .....x5 0
0,0,12,8,16,12
z=0 ?? 最优解？
T
初始基本可行解 x0代入目标函数 基变换
4
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x3 12 2 x1 2 x2 x 8 x 2x 4 1 2 x1 x2 0 z 2 x1 3 x2 0 0 x5 16 4 x1 x6 12 4 x2
2)基变换 换入:将式中系数为负、且为最小的那个非基变量换入，作 为基变量。x2 基变量
x3 12 2 x2 x 8 2x 4 12 8 12 2 x2 min , , /, 3 x2 x6 4 2 2 x5 16 x6 12 4 x2
x1+2x2 s.t. 4x1 4x2
求初始基本可行解 = 12
+x4 +x5 =8 =16 +x6 =12
min z’= - 2x1- 3x2
s.t. 4x1 ≤16 4x2 ≤12
x1,x2≥0
2 1 A 4 0 2 2 0 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
P1x1+P2x2+P3x3+P4x4+P5x5=B
x1 x2 x3 1 14 7 x1 x2 x4 1 7 12 x1 x2 x5 8 x1 , x2 .....x5 0
1 P1 7 1
1 14
1 7 1 P2 12 1
cn+1
xn+1 1 0 0 0 0
cn+2
xn+2 0 1 0 0 0
…
cn+m
xn+m 0 0 0 1 0
… … … … … …
i
bi aik
1 2
…
0
…
…
j0 c j z j 0
cn+m xn+m
0 0 0 1 2 ... n
m
z j cBi aij
j0 c j z j 0
0 6
3
0
Ⅰ 0 -3
x4
x5 x2
2
16 3
[1]
4 0
0
0 1
0
0 0
1
0 0
0
1 0
-1/2
0 1/4
2
4 /
j1 c j z j 1
(-2)
0
0
0
0
3/4
11
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c→
-2
bi x1
-3
x2
0
x3
0
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