分式及其基本性质
初二数学下册知识点归纳
初二数学下册知识点归纳初二数学下册知识点归纳篇1第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算(1)分数的乘除乘定律:分数乘以分数，分子的乘积作为乘积的分子，分母的乘积作为乘积的分母。
除法定律:分数被分数除，除数的分子和分母颠倒后，再乘以除数。
（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
(3)正方形:它既是一个特殊的长方形，又是一个特殊的菱形，所以它具有长方形和菱形的所有性质。
3、梯形：直角梯形和等腰梯形等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；在同一个底边上有两个等角的梯形是等腰梯形。
数学初一上册第十九章教学解析
数学初一上册第十九章教学解析第一节分式的定义及其基本性质初一上册第十九章是关于分式的学习内容。
分式是数学中的一种数表示形式，可以在初中阶段引入，通过学习分式的定义及其基本性质，可以帮助学生更好地理解和应用分式。
本文将对初一上册第十九章的教学内容进行解析，并探讨如何通过合适的教学方法来提高学生的学习效果。
1. 分式的定义分式是指形如 $\frac{a}{b}$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 为整数，$b$ 不等于 $0$。
分子 $a$ 表示被除数，分母 $b$ 表示除数。
可以理解为除法的一种扩展形式。
2. 分式的基本性质分式具有一系列基本性质，包括：- 分式可以进行加、减、乘、除等运算。
根据分式的定义，对分式进行算术运算时，可以对分子和分母分别进行相应的运算。
- 分式的值可能是一个整数、一个有限小数或一个无限循环小数。
具体取决于分子和分母的取值。
- 同类分式可以进行比较大小。
对于同分母的分式，分子越大，分式的值越大。
第二节分式的化简与恢复化简分式是指将一个分式约分为最简形式。
化简分式的基本原则是找到分子和分母的最大公约数，然后将其约去。
化简分式有助于简化计算和比较大小的过程，并能使问题更加清晰明了。
2. 分式的恢复恢复分式是指将一个小数或一个整数转化为分式的形式。
对于小数，可以将其转化为分数形式，并进行化简。
对于整数，可以将其视为分子，分母为1的分式表示。
第三节分式的乘法和除法1. 分式的乘法分式的乘法遵循乘法的基本法则，即将分子与分子相乘，分母与分母相乘，然后将其化简为最简形式。
分式的乘法在实际问题中常常出现，例如求两个分数的乘积或者将分数乘以一个整数等。
2. 分式的除法分式的除法是将两个分式进行相除的运算。
将除数的分子、分母取倒数，然后将除法转化为乘法运算。
最后化简得到最简形式。
第四节分式的加法和减法1. 分式的加法分式的加法是将两个分式进行相加的运算。
首先要找到两个分式的公共分母，然后将分子相加，分母保持不变。
分式的概念及其基本性质优秀教案
9.1分式（1）教学设计一、教材分析1.内容：分式的概念，分式有意义的条件。
2.内容解析：分式是描述实际问题中两个量之比的一类代数式。
从运算角度看，分式表示两个整式相除的商，这与分数表示两个整数相除的商类似。
正因为都是表示两个量相除的商，因此，分式与分数具有相似的基本性质和运算法则、相似的研究思路和方法。
分式是分数的分子分母分别进行符号抽象的结果，分式是分数的一般化，分数是分式中字母取一些特殊值时具体的结果。
本课是分式一章的起始课，核心是分式的概念。
作为起始课教学，需要引导学生类比分数的学习构建分式研究的整体思路和方法，在这一过程中能发展学生系统结构抽象的素养；类比分数表示整数运算结果的方法，研究整式的运算，产生分式，抽象分式概念,类比有理数的概念抽象有理式的概念，发展学生数学概念抽象的素养。
因此，本课的重点是：类比分数抽象分式的概念，整体构建分式的研究思路和方法。
二、目标与目标解析1.目标（1）了解分式的概念和分式有意义的条件。
（2）能根据实际情境列出分式。
（3）能类比分数抽象分式的概念，提出分式研究的整体思路和方法。
2.目标解析(1)目标（1）要求学生能判断一个代数式是否是分式，知道分式与分数、分式与整式的关系，能确定分式有意义的字母取值范围；（2）目标（2）要求学生能根据实际问题中的数量关系列出分式；（3）目标（3）要求类比分数得到分式的概念，提出分式研究的整体思路“定义——性质—运算”。
三、教学问题诊断分析学生已经学习过整式及其运算，分数及其运算，这为分式的学习奠定了知识基础，提供了学习经验。
学生从字面上理解分式的概念并不困难，难的是理解分式所反映的数量关系的本质，理解分数与分式、整式与分式之间的联系与区别。
因此，设计合理的活动，让学生类比分数，经历分式概念的形成过程是帮助学生突破难点的关键，也是发展学生数学抽象素养的抓手。
四、教学整体思路从整数四则运算的封闭性出发，引导学生回顾引入分数表示整数的商的做法；在此基础上，引导学生类比这一思路，考察整式四则运算的封闭性，用类似分数的方法表示两个整式相除的商，发现一类新的代数式，在这个过程中，插入字母表示数的抽象活动；接着类比分数提出研究这类新代数式的整体思路：用定义明确研究对象——探索性质——研究运算；然后，让学生列出实际问题中的分式，类比分数概括分式的本质属性——两个整式的商，分母含有字母；再给出分式的定义，用数系扩充的思想指导学生类比从整数到有理数的扩充过程得到有理式的概念;最后引导学生辨别分式与整式、分式与分数的联系与区别，确定分式有意义的条件。
关于初二数学下册必备知识点归纳
关于初二数学下册必备知识点归纳初二数学下册必备知识点归纳第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变。
2、分式的运算(1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的'积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;。
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
3、整数指数幂的加减乘除法。
4、分式方程及其解法。
第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质。
图像：双曲线。
表达式：y=k/x(k不为0)性质：两支的增减性相同;2、反比例函数在实际问题中的应用。
第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
第四章四边形1、平行四边形。
性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形(1)矩形性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。
(3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。
分式及其基本性质
分式的概念
做一做
(1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一
边长为
2 3
米；
(2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一
边长为
a (3)已知正方形的周长是acm，则一边的长是____cm ， 4 a2 面积是___ _cm2； 16
s a
米；
(4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则
1 , 2 x
3 , x
ab 1 2 c
xy
分式的概念
下列式子是分式的是[ B ] A.
B.
C. D.
x2 1
n x 2h 15 4x y , 2 , , , , 代数式 m 2 x x y x y 2 2 x( x 1) x 5 1 2 1 2 1 xy , , , a b ab 3 x 5 x 3 2
p 每千克苹果的售价是m n
元
1.分式的概念
2 s a a p 五个代数式： ，, , , 3 a 4 16 m n 哪些是整式？
哪些不是？
2 a a 整式：， , （整式特点：分母不含字母） 3 4 16
s p , 这两个代数式分母中含有字母． a mn
2
2
我们称这两个代数式为分式．
A 形如 （A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的 B 式子叫分式.其中A叫分式的分子，B叫做分式的分母
x , 2
1 , x
2 xy , x y
2x y 3
2 a 因为分母含有字母 a 所以是分式
练习1.把下列各有理式分别填入相应的圈内
1 1 3 a ab 1 x , ( x y) , , 0 , , , y 2 x 5 x 3 2 c 2
分式及其基本性质
分式（一） 分式及其基本性质【知识点1】：1、分式的概念：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成BA的形式。
如果B 中含有字母，式子BA叫做分式。
基中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
2、分式的基本性质：MB MA B A M B M A B A ÷÷=⋅⋅=,（其中M 是不等于0的整式）【例题解析】例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？①32x , ②23x y +, ③23a a ④12x + ⑤2x π ⑥523x x + ⑦22x y x y++ ⑧293x x -+ ⑨32y x -+ 分式：____________ 整式__________ （写题号即可）例2、（1）、当x 取什么数时，分式2||24x x -- （1）有意义 （2）分式的值有可能为零吗？（2）、若分式()()312x x x +-+有意义,则_________________________例3、已知分式bax ax +-2，当x=3时，分式值为0，当x=-3时，分式无意义，求a,b 的值。
【巩固练习】1．下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？52+x ， m n ， 2a-3b, 32-y y , )2)(1(92---x x x , 53-整式：_____________ 分式：_______________ 2、(南昌市)若分式11x x -+的值为零，则x 的值为3、x 取何值时，分式11-+x x 的值为正？可能为负吗？ 4、x 取何整数值时，16-x 的值为整数？5、当x 时，分式422--x x 有意义；当x 时，分式1872---x x x 的值为零.6、当x 时，分式xx 61212-+的值为负数；当x 时，分式x x 322-的值为－1.7、已知113x y -=，则分式2322x xy yx xy y+---的值为_____________________。
八年级上册分式
八年级上册分式一、分式的基本概念与性质1.分式的定义：分式是指形如a/b的表达式，其中a和b都是整式，b不为零。
a称为分子，b称为分母。
2.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母同时加减同一个整式，分式的值不变。
（3）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个有理数，分式的值不变。
二、分式的运算1.分式加减法：分式加减法是将两个或多个分式的分子进行加减运算，分母保持不变。
需要注意的是，分母必须相同，否则需要先进行通分。
2.分式乘除法：分式乘除法是将两个分式的分子相乘（或相除），分母相乘（或相除）。
同样需要注意，分子和分母的运算结果必须为整式。
3.乘法公式在分式中的应用：乘法公式如平方差公式、完全平方公式等，在分式运算中也同样适用。
三、分式方程及其解法1.分式方程的定义与特点：分式方程是指含有分式的等式，其中未知数的次数不低于1。
分式方程的特点是分母中含有未知数。
2.分式方程的解法：求解分式方程的一般步骤为去分母、移项、合并同类项、化简、求解。
需要注意的是，解分式方程时要防止分母为零的情况。
3.解分式方程的注意事项：在解分式方程时，要遵循分式方程的求解法则，同时注意化简和计算过程中的细节。
四、分式不等式及其解集1.分式不等式的定义与特点：分式不等式是指含有分式的不等式，其中未知数的次数不低于1。
分式不等式的特点是分母中含有未知数。
2.分式不等式的解法：求解分式不等式的一般步骤为去分母、移项、合并同类项、化简、求解。
需要注意的是，解分式不等式时要防止分母为零的情况。
3.分式不等式的应用：分式不等式在实际问题中具有广泛的应用，如不等式的求解、实际问题中的优化问题等。
五、分式在实际问题中的应用1.数学模型建立：分式在数学模型建立中具有重要作用，如波动问题、生长问题等。
2.实际问题分析与解决：分式在实际问题中可以用来表示数量关系、比例关系等，从而帮助分析问题和解决问题。
初二上册数学期中考试重点
初二上册数学期中考试重点【导语】学得越多，知道越多，想得越多，领会得就越多，就像滴水一样，一滴水或许很快就会被太阳蒸发，但如果滴水不停的滴，就会变成一个水沟，越来越多，越来越多……本篇文章是作者为您整理的《初二上册数学期中考试重点》，供大家鉴戒。
1.初二上册数学期中考试重点分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2、对于分式概念的知道，应掌控以下几点：(1)分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用;(2)分式的分子可以含有字母，也能够不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式;(3)分母不能为零。
3、分式成心义、无意义的条件(1)分式成心义的条件：分式的分母不等于0;(2)分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使=0的条件是：A=0，B≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式;多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：==，其中M(M≠0)为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：肯定几个分式的最简公分母。
肯定最简公分母的一样方法是：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的次幂、所有不同字母及指数的积。
(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去肯定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
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分式及其基本性质
【教材分析】
地位、作用
分式及其基本性质是在学生掌握整式的四则运算，多项式的因式分解基础上对代数知识进一步学习，它是分式乘除法运算中约分的依据，也是进行异分母分式加减法运算中通分的依据，因此分式的基本性质是本章学习的关键，同时对学生的后继学习有重要的铺垫作用。
重点、难点
教学重点：分式的概念及分式的基本性质
教学难点：分式概念的理解及分式约分中符号处理、公因式确定等。
【学情分析】
学生学习本节的基础是多项式的因式分解，分数的基本性质，因此类比分数，合理联想引入分式的概念及分式的基本性质，再通过让学生观察，思考，合作交流，教师点拨，紧扣性质，学生是能够掌握本节知识。
【设计理念】
本节课以学生为主体，让学生通过自主学习，积极思考、合作交流等活动，主动获取知识；强调使学生积极主动地参与到课堂教学中来，充分经历知识的生成、发展与运用的过程，在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者和引导者。
【教学目标】
知识与技能
1.了解分式的概念，明确分式与整式的区别，能用分式表示现实情境中的数量关系。
2.掌握识别分式是否有意义，分式的值是否等于零的方法。
3.初步掌握分式的基本性质，并能用它化简分式或进行分式变形
过程与方法
启发学生会观察、分析、寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力。
情感、态度与价值观
通过分数与分式的比较，培养学生良好的类比联想的思维习惯和思想方法，并培养学生严谨的科学态度。
【教学过程】
一、创设情境、导入新课
问题：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？
如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月。
根据题意，可得方程
在上面问题中，像2400
x
，
2400
4
x-
，
2400
30
x+
，它们有什么共同特征？与整式有什么不同？
课题：分式及其基本性质二、合作交流、探究新知
１、分式的概念
如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A
B
叫做分式。
其中A叫做分
式的分子，Ｂ叫做分式的分母。
问题：分式中，字母可以取任意实数吗？何时分式的值为零？
例１、（１）当ｘ取何值时，分式
42
x -有意义？ （２）当ｘ是什么数时，分式423x x +-的值为零？ 由学生独立完成，与同伴交流，教师点拨。
归纳：在分式A B
中，当B≠0时，分式有意义；当A=0且B≠0时，分式的值为零. 巩固练习一：
（1）下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？
1123,,,,,,.2322a x a b x x y ab x π
++-+- （2）x 为何值时，分式23
x x +-有意义？ （3）x 为何值时，分式55
x x --的值为零？ ２、分式的基本性质
填空，并说出从左到右变化的依据：
()()()121;312
==（ ） ()()()632;183
==（ ） 问题：你能类比分数的基本性质得出分式的基本性质吗？
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一不等于零的整式，分式的值不变。
即
a a m a m
b b m b m
⋅÷==⋅÷（ａ，ｂ，ｍ都是整式） 例２、根据分式的基本性质填空：
()()2
1;22x xy y
= ()()2;5a a b -=- ()()2213;a b a b ab +=+ ()()
24a a a b =+ 由学生独立完成，与同伴交流。
巩固练习二：
（1）填空： ①()2;a b ab a b -= ②()()()()()
12231a a a a a -++=-+-
③()22
225;m n m n n m m n
=++ ④()21121x x x -=-+ （2）下列等式从左边到右边是怎样得到的？ ①()0;33a ac c b bc
=≠ ②()22.x x y x x y x y -=-+ ３、约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做约分。
例３、约分：
()()22211;221a bc x ab x x --+
()()2222
823;4124xy a a x y a -- 由学生独立完成，与同伴交流，针对出现的问题进行点拨。
4、最简分式
分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式。
如
21,31
y x x x +- 注意：一个分式约分的结果应为最简分式或整式。
巩固练习三：
（1）下列的约分对不对？如果不对，应怎样改正？ ①1;a b a b -+=- ②()2
;a b b a b a
-=-- ③22m n m n m n -=-- （2）约分： ①25;20xy x ②23;6mn mn - ③()
229;3x x -- ④2222x y xy x y +- 三、反思小结、完善新知
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑？
四、分层作业、延伸新知
Ａ组（拓展）
1. 当x 取什么值时，下列分式无意义？
()()2221;222
x x x +-+ 2. 约分：
()()()2222
2222921;2;31462ac x a ab b a bc x a b
--++--- Ｂ组（延伸）
1.当x 取什么值时，下列分式无意义？
()()1
1;223510x x x x --+
2.约分：
()()()222222951;2;314621025ac x x x
a bc x x x ------+
Ｃ组（基础）
1.当x 取什么值时，下列分式无意义？ ()()1
1;223510x x x x -
-+
2.约分：
()()()22215291;2;320462x x x x x x -----
怀远实验中学 程丽
2013-4-15。