复变函数与积分变换复习必备

复变函数与积分变换概念及公式
常用积分公式
1.
为逆时针方向且的圆周为中心，半径为是以，为整数C ,C )
(1,01,2)(ρρπ=-⎩⎨
⎧≠==-⎰a z a n n n i a z dz
C n 2.柯西积分定理：
)D D C D )((0)(的边界，或者为多连通区域内任意一条简单闭曲线为单连通区域内解析，在区域，z f dz z f C
=⎰
3.柯西高阶导数公式：)
(2)()
(0)C D D D C )((,...)2,1,(!)
(2)()()(1z if d z f n z f n D z n z if d z f C n C n πξξξπξξξ=-=+==∈=-⎰⎰+时，即为柯西积分公式特别的，上连续内解析，在所围成的区域在简单闭曲线，
4.
⎰
+∞
=0
2
sin π
dx x x 5. ⎰
∞
+-=
2
2
π
dx e
x
6.留数定理：
)
,...,,)((,)),((Re 2)(211
部的一条简单闭曲线内包含这些奇点在其内是外解析，
内出去有限个孤立奇点在区域D C z z z D z f z z f s i dz z f n n
k k C
∑⎰
==π
常用不等式
1.||...||||...2121n n z z z z z z +++≤+++
2.
),)(C (,)(的长度为曲线上，在曲线C l M z f Ml dz z f C
≤≤⎰
3.柯西不等式：))()((,...),2,1(,!
)()
(M z f R a z z f n M R
n a f n n ≤≤-=≤
内解析，且在圆函数
常用等式
1.|
||
|z )(
21212121z z z z z z z =
= 2.无穷的运算发则：无意义0
,,
0,;0
,
0;,0,
∞∞•∞∞±∞∞=∞=∞•=•∞⇒≠∞=∞
=∞∞=±∞=∞±⇒∞≠z
z z z z
z z z z
3.De Movie 公式：)sin (cos ,sin cos )sin (cos θθθθθθθ
i r re n i n i i n
+=+=+欧拉公式：
4.柯西-黎曼方程：y
v
i
y x v i x z f x
v
y y v x y x iv y x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='∂∂-
=∂∂∂∂=∂∂+=u u )(u ,u D ),(),()(并因此有内有定义，在区域函数
5.对数函数的主值：Lnz=ln|z|+iargz+2k πi=lnz+2k πi （k 为任意正整数，ππ≤<-z arg ）, lnz =ln|z|+iargz 即为主值
6.拉普拉斯方程：内的调和函数为区域称内满足拉普拉斯方程，在区域D ),(D ),(,02
222y x g y x g y
g
x g =∂∂+∂∂ 7.常用函数在z=0处泰勒展式：
∑
∑∑∑∞
=∞
=∞=+∞
=+--=+<-=+-==∞<0
20120!
)
1)...(1()1(:1||;
)!2()1(cos ,)!12()1(sin ,!:||n n
n n n n n n n n z
z n n z z n z z n z z n z e z αααα
8.),..,,)((0)),((Re )),((Re ,211
外解析在扩充复平面上除去函数∞==∞+∑n n
k k
z z z z f z f s z
z f s
常用定理
1.刘维尔定理：有界整函数（在有限复平面上解析的函数）一定恒等于常数
2.解析函数的唯一性定理：设函数f(z)与g(z)在区域D 内解析，{z n }是D 内彼此不同的点列，且{z n }在D 内有聚点。

若f(z n )=g(z n )(n=1,2,…),则在D 内，f(z)≡g(z)
3.最大模定理：若函数f(z)在区域D 内解析，并且不为常数，则|f(z)|在D 内取不到最大值
孤立奇点及留数的计算
设z=z0是函数f(z)的孤立奇点，∑+∞
-∞
=-
n
n
n
z
z
c)
(
为f(z)在z0某个去心邻域0<
z
z-<R内的罗朗展式，
傅里叶变换与拉普拉斯变换。