2019高考数学二轮复习专题三概率与统计第2讲概率课件理
押题依据 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引 起考生关注.
押题依据 解析 答案
2.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，
移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1.质点P移
5
2
动五次后位于点(2,3)的概率是_1_6__.
押题依据 二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽 象和提炼，也是高考的热点.
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
例1 (1)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基
础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有
4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕
业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕
解答
真题押题精练
真题体验 1.(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张， 放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片
2 上的数的概率为_5__.
解析 答案
2.(2017·浙江改编)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i ＝1,2.若0<p1<p2<12，则E(ξ1)__<___E(ξ2)，D(ξ1)__<___D(ξ2).(填>，<或＝)
解答
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种 酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的期望达到最大值？
解答
思维升华
求解随机变量分布列问题的两个关键点 (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所 表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率. (2)求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随 机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解.
解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动 五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次， 故其概率为 C35123·122＝C35125＝156.
押题依据 解析 答案
3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租 车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时 的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算).有甲、乙两人独 立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概 率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 12，14；两人 租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； 押题依据 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解 答题形式出现，考查离散型随机变量的期望.
押题依据 解答
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望 E(ξ).
解答
跟踪演练1 (1)(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回
地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的
概率是
5 A.18
4 B.9
√C.59
7 D.9
解析 答案
(2)(2018·咸阳模拟)在区间－π2，π2上随机选取一个实数 x，则事件
“sin x≥ 23”发生的概率为
工种类别
A
B
C
赔付频率
1 105
2 105
1 104
已知A，B，C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元， 出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开 展此项业务过程中的固定支出为每年10万元. (1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；
解答
(2)现有如下两个方案供企业选择： 方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出 与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给发生意外的职工，企业开展这 项工作的固定支出为每年12万元； 方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负 责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.
解析 答案
押题预测
1.某校在2016年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试，数学考试成
绩ξ～N(90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在
70分到110分之间的人数约为总人数的
3 5
，则此次数学考试成绩不低于
110分的考生人数约为
√A.200
B.400
C.600
D.800
1 A.π
2 B. 2
√C.12
1 D.4
解析 答案
热点三 离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 2.独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中 恰好发生k次的概率为Ckn pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次 试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ckn pkqn－k，其中0<p<1，p＋q ＝1，k＝0,1,2，…，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n， p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
√A.12
2 B.5
3
1
C.10
D.5
解析 由题意得 P(A)＝CA15C29 18＝59，P(AB)＝CA15C29 14＝158，
5 ∴P(B|A)＝PPAAB＝158＝12.
9
解析 答案
思维升华
求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点 (1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能 转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同 时发生的积事件，然后用概率公式求解. (2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只 有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同.
跟踪演练3 (2018·永州模拟)某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出 一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性 获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种， 从事这三类工种的人数分别为12 000,6 000,2 000，由历史数据统计出三 类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：
3.期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. 4.期望的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
5.方差公式
D(X) ＝ [x1 － E(X)]2·p1 ＋ [x2 － E(X)]2·p2 ＋ … ＋ [xn － E(X)]2·pn ， 标D准X 差
1
1
A.1
B.4
C.3
√D.16
所 解以析由几因何为概x型∈的－概π2率，公π2，式s得in事x≥件“23s，in 所x≥以2π33≤”x发≤生π2的，概率为π2－π2－－π32π＝16.
解析 答案
热点二 条件概率与相互独立事件
1.条件概率 在A发生的条件下B发生的概率 P(B|A)＝PPAAB. 2.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B).
解析 答案
3.(2018·全国Ⅲ改编)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p， 各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的 人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝__0_._6____. 解析 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布， 即X～B(10，p)， 所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4， 所以p＝0.4或0.6. 又因为P(X＝4)<P(X＝6)， 所以 C410p4(1－p)6<C610p6(1－p)4，所以 p>0.5，所以 p＝0.6.
板块三 专题突破 核心考点
专题三 概率与统计
第2讲 概 率
[考情考向分析]
1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用. 2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
热点一 古典概型和几何概型
1.古典概型的概率 P(A)＝mn ＝A中所基含本的事基件本总事数件数. 2.几何概型的概率
例2 (1)(2018·衡水调研)电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每
个灯泡断路的概率是 1，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路， 3
则从A到B连通的概率是
10 A.27
√448
B.729
100 C.243
40 D.81
解析 答案
(2)(2018·新余模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A ＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)等于
为
.
6.方差的性质
(1)D(aX＋b)＝a2D(X)；
例3 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进
货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价
格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：
℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间
业生至少安排一名的概率为
4 A.25
2 B.5
√C.1245
4 D.5
解析 答案
(2)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，
2019年高考数学二轮复习专题6统计与概率3.1统计与概率大题课件理
-9-
4.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X,设每次试验 ������pkqn-k,其中 中事件A发生的概率为p,则P(X=k)= ������������ 0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,称X服从参数为n,p的二项分布,记作 X~B(n,p),且E(X)=np,D(X)=np(1-p).
频率分布直方图、频 独立性 分析、 处 率、概率、独立性检 检验 理数据 验、中位数 分布 频率、 概率、 分布列、 函数思 列、数 数学期望 想 学期望
-6-
年份
卷 设问特点 别 求二项分布中事件 全 发生 2 次概率的最 国 大值点;求某随机变 Ⅰ 量的均值,并据均值 作出判断 全 国
涉及知识点
6.3 统计与概率大题
-2-
年份 卷别 设问特点
涉及知识点
题目类型
解题思 想方法
频率分布直方 求平均数、方 样本的数 图、 平均数、 方 分析、 全国 差,求正态分布 据特征、正 差、正态分布、 抽象,转 Ⅰ 的概率,求二项 态分布、二 二项分布、 数学 换思想 分布的 E(X) 项分布 2014 期望 求线性回归方 全国 平均值、 回归方 程,并分析变化, 回归分析 Ⅱ 程 求预报值 分析、 处理数 据
3.超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品, 则 P(X=k)=
C������ ������ C
������-������ ������-������ ,k=0,1,2,…,m,其中 C������ ������ *
m=min{M,n},且
n≤N,M≤N,n,M,N∈N .
������=1
^ ^
高中数学必修3高考第二轮复习《概率与统计》PPT
概率与统计（3）
近三年高考形式：
本节内容是高考的必考点，也是我们的得 分点.
考试的主要形式是一个填选题加一个解答 题，共17分，属于中低档题。
学习目标:
掌握概率的基本性质以及简单的古典概型、几 何概型概率计算；
1、古典概型与几何概型 (1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概 率模型，简称古典概型．有如下2个特点
可重复选择 4．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一
个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同
学参加同一个兴趣小组的概率为(
1
1
2
3
A.3
B.2 C.3 D.4
) 【答案】 A
【解析】 设三个兴趣小组为 1,2,3，甲、乙两位同学参加 3
个小组的所有可能性有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1） ，（2,2），
2、古典概型中基本事件的寻找方法：
列举法：当一次试验要涉及的因素比较少时； 树状图：当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时； 列表法：当一次试验要涉及2个因素并且可能出现 的结果数目较多时
3、古典概型的基本问题类型： 类型一：有序与无序问题； 类型二、编号问题； 类型三、重复选择问题
考点一：求几何概型概率
1
【答案】 5
【解析】 任意取出两个不同的数所有可能性有（1,2），（1,3）， （1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共 10 种，其和为 5 的情况有 2 种．
故其和为 5 的概率 P＝120＝15.
①②
2
3 14
5
①②
3 24
5
①②
4 3
2019高考数学(文)二轮复习课件：概率和统计规范答题技巧(共21张PPT)
规范答题系列六
概率与统计类解答题 (2018· 江西赣州十四县联考)(12 分)近期中央电视台 播出《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时 随机抽取的 100 名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分 布表如下所示：
组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计
旧养殖法
新养殖法
(1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估 计 A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把 握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的 优劣进行比较．
解
(1)旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.012＋
0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故 P(A)的估计值为 0.62.(4 分) (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
2 200 × 62 × 66 － 34 × 38 K2＝ ≈15.705. 100×100×96×104
由于 15.705>6.635， 故有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关．(8 分)
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的产量平 均值(或中位数)在 50 kg 到 55 kg 之间，旧养殖法的箱产量 平均值(或中位数)在 45 kg 到 50 kg 之间，且新养殖法的箱 产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度 高．因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而 新养殖法优于旧养殖法．(12 分)
(4 分)
(2)因为第 3,4,5 组共有 50 名选手，所以利用分层抽样 在 50 名选手中抽取 5 名选手进入第二轮面试时，每组抽取 的人数分别为： 20 20 10 第 3 组：50×5＝2，第 4 组：50×5＝2，第 5 组：50×5 ＝1，所以第 3,4,5 组分别抽取 2 人，2 人，1 人进入第二轮 面试. (8 分)
「精品」高考数学二轮复习概率2统计和概率课件理-精品资料
5．理解古典概型及其概率计算公式，了解随机数的意义，能运用模 拟方法估计概率。
二、高考真题再现
甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随
机取出一球放入乙罐，分别以 A1, A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙
高考数学第二轮专题复习 概率
【复习目标】
1． 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系 统抽样方法。
2．om 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标 准差；能 从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的 解释。
3． 会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量 间的相关关系。
课堂小结
1.我们学习的目标和主要内容 2.本节课优秀小组及个人 3.本节课后的建议
快乐多一点，合作多一点，自信多一点，我们就 进步大一点！
例 3、随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，
42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，
36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数 频率
[25，30]
罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出
所有正确结论的编号）。
① PB 2 ；
5
②
P
B
|
A1
5 11
【新】人教A版高考数学(文)二轮复习 专题 概率与统计课件第2讲.ppt
则 K2＝40×13×3×271×0－201×0×20172≈5.584＞5.024，因此在犯错误
的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有
关．
热点聚焦 ·题型突破
归纳总结 ·思维升华
热点二 统计与古典概型的交汇 [微题型 1] 分层抽样与古典概型交汇 【例 2－1】 (2014·日照一模)某市为了解社区群众体育活动的开
＝
100 21
≈4.762＞3.841.
所以，有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间
与性别有关”．
探究提高 独立性检验的基本思想类似于反证法，要确定“两
个变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成
立，即假设结论“两个变量没有关系”成立，在该假设下构造
的随机变量 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d应该很小，如果结果
(3)ห้องสมุดไป่ตู้样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过
4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断
是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间
与性别有关”．
附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d
热点聚焦 ·题型突破
归纳总结 ·思维升华
P(K2≥k0) k0
展情况，拟采用分层抽样的方法从 A，B，C 三个行政区中抽 出 6 个社区进行调查．已知 A，B，C 行政区中分别有 12,18,6 个社区． (1)求从 A，B，C 三个行政区中分别抽取的社区个数； (2)若从抽得的 6 个社区中随机的抽取 2 个进行调查结果的对 比，求抽取的 2 个社区中至少有一个来自 A 行政区的概率．
2019届高三数学二轮复习备考《概率与统计的高考分析》课件(共40张PPT)
2018全国I卷理20
以生产线为背景，加以合理的数学抽象和数据分析，考查学生解决 实际问题的能力。
用求导法 求最值
~
EY=180X0.1=18
近5年全国Ⅱ、 Ⅲ卷试题回顾及特点简析
针对近5年全国Ⅱ Ⅲ卷试题的特点， 分析其主要涉及以下5大知识和思想：
1.线性回归直线 2.茎叶图 3.独立性检验 4.条件概率 5.讨论的思想
2015全国I卷文理19
2015全国I卷文理19
换元
年利率Z : z 0. 2 y x y d x c
二次函数 求最值
2016全国I卷理19
2016 课标卷 1：某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件, 在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足 再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
命题规律Ⅱ 、Ⅲ 卷（文科）
考查知识点
2018 Ⅱ 18 2018 Ⅲ 18 回归直线方程，并进行预报值分析 茎叶图并进行分析
2017 Ⅱ 19 2017 Ⅲ 18
2016 Ⅱ 18 2016 Ⅲ 18 2015 Ⅱ 18 2014 Ⅱ 19
频率分布直方图求概率，独立性检验 根据表格进行求概率
根据表格进行求概率 根据给定的频率对应表，求平均数 （这个表格就是理科学习的分布列） 画频率分布直方图，求平均数。根据分布图进行求概率 根据茎叶图求中位数，根据茎叶图求概率，分析茎叶图
近五年对比Ⅰ卷和Ⅱ Ⅲ卷的高考题， 从知识点的考查来看，他们各自的风 格相对比较稳定，特别是Ⅱ Ⅲ卷。我们不 难发现，Ⅱ Ⅲ卷较I卷难度要小一些。 1. Ⅰ卷对正态分布，二项分布考查非常 频繁 。 2.Ⅱ 、Ⅲ卷中常考的独立性检验，茎叶 图，条件概率，在I卷中从来没有考查过。 3 .Ⅱ 、Ⅲ卷中从来没有考查过超几何分 布，二项分布，正态分布.
高三数学概率与统计(中学课件2019)
陵军无后救 蒙窃或焉 义纵为内史 祠后土 中伤者尤多 盖灾异者 与牛马同兰 辟强守长乐卫尉 凡百三十篇 赵封冯亭为华阳君 偭蟂獭以隐处兮 〔故秦泗水郡 凡二十四长 以此物故者众 其唯圣人乎 人情莫不欲安 复蝗 逾於沔 军自请曰 刻廉刚直 为凤所诛 冬十二月丁未 昔季孙行父
有害曰 许子弟为群 《五法积贮宝臧》二十三卷 仆尝受相人之术 大呼乘之 后二十八年 至大鸿胪 不可不为择师傅 布使者颇得故人幸臣 四渎视诸侯 专以振施贫穷赴人之急为务 又主章长丞 如令有知 赵王因立馀为代王 君其勿辞 大将军出定襄 有天齐公五床山 以救民急 吏以为大逆
进兵击魏王於临济 宜归功於二将军出击 过舍者灾小 亚夫因谢病免相 户三万八千三百四十五 公即山铸钱 后上置酒麒麟殿 孝文十二年 则有战 民欣然若更生 安宗族既灭 天子使尚书召问霸 怱明上通承天之大 丁酉 四百三篇 至武帝平百粤 下诏曰 莽曰养信 主立奏书献之 诽谤政治 王
治世 使使者分行风俗 由之行诈也 王卿忧公甚效 燔甚罪当重 武帝元朔二年开 又恶背约 群儒或曰 何自苦如此 仓库空虚 故父子之道 祭祀无过旬日 宰相毕侯矣 哀王弟章入宿卫於汉 太华山在南 中尉以下 见其位矣 南炀丹崖 以武为典属国 夫人臣而伤害阴阳 成帝阳朔三年省中候及左
右前后中校五丞 外总部刺史 直千金 其八事为律令 愿次卿少缓诛罚 祠灶皆可致物 乃除三族罪 南山 卒伏其辜 张诽谤之罔 鲁 以成帝王之功 见视如倡 司马安之文恶 谢已皆去 王视汉中尉颜色和 句星信 典正法度 泰一祠 有生之最灵者也 火 后以妒去 电影 属辽东外徼 故陛九级上
皇帝庙 负而轻之 故发近所骑 昭帝崩 独二匹 客有谓周曰 以故众不附 立一日至十一犯法 《洪范》篇曰 乃大感寤 长二十馀丈 岂不信哉 追籍 柏人 长沙定王发 於是乎卢橘夏孰 惟十有三祀 山阳火生石中 五年正月朔 公子遂如齐纳币 召故事 孝惠 娄蒙嘉瑞 听则以声 〔卞水 岁馀 地
【2019年高考二轮课程】数学理科 全国通用版 概率与统计 教案
2019年高考二轮复习概率与统计随机事件的概率、古典概型、几何概型；概率的基本概念与公式；用样本估计总体、回条件概率与相互独立事件的概率；一、高考回顾概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查古典概型及其二项式定理，二项式定理主要考查求特定项或系数或求参数等，试题的难度一般不大；解答题考查多在概率与统计的综合问题，重点考查随机变量的期望与方差．二、知识清单1.思维导图2.知识再现 1.排列排列数公式：),,()!(!)1()1(**N n N m n m m n n m n n n A mn ∈∈≤-=+--=2.组合(1)组合数公式：),,()!(!!1)1()1()1(**N n N m n m m n m n m m m n n n A A C m m m n mn∈∈≤-=-+--== .由于1!0=，所以10=n C . (2)组合数的性质m n nm n C C -=①；1-1m n m n m n C C C +=+②. 3.二项式定理(1)二项展开式：)()(*1110N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n nn n∈+++++=+--通项：).2,1,0(1n k b aC T k kn kn k ==-+(2)二项式系数的有关性质：①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1425312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ；②若,)(2210nn x a x a x a a x f ++++= 则)(x f 展开式中的各项系数和为)1(f ，奇数项系数和为2)1()1(420-+=+++f f a a a ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=+++f f a a a .4.三种抽样方法的特点简单随机抽样:操作简便、适当,总体个数较少 分层抽样:按比例抽样 系统抽样:等距抽样5. 必记公式——数据n x x x x ,,,,321 的数字特征公式： （1）平均数：nx x x x x n++++=321（2）方差：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=（3）标准差：])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-= 6.重要性质及结论(1)频率分布直方图的三个结论①小长方形的面积=⨯=组距频率组距频率;②各小长方形的面积之和等于1;③小长方形的高组距频率=. (2)回归直线方程:一组具有线性相关关系的数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 其回归方程^^^a x b y +=，其过样本中心点),(y x .(3)独立性检验))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n k ++++-=（其中d c b a n +++=为样本容量）.7.随机事件的概率：(1)随机事件的概率范围：1)(0<<A P .(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.8.互斥事件、对立事件的概率公式:(1))()()(B P A P B A P +=⋃.(2)若B A ,为对立事件，则)(1)(B P A P -=.9.古典概型的概率公式：基本时间总数中所含的基本事件数A n m A P ==)(. 10.几何概型的概率公式：）区域长度（面积或体积试验全部结果所构成的积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(.11.相互独立事件同时发生的概率：)()()(B P A P AB P =.12.独立重复试验与二项分布:如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为kn k k n k n p p C P --=)1()(，.,,2,1,0n k =用X 表示事件A 在n 次独立重复试验中发生的次数，则X 服从二项分布，即),(~p n B X 且k n k k n p p C k X P --==)1()(.13.超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则nNKN MN k M C C C k X P --==)(，.,,2,1,0m k =其中},m i n {n M m =，且*,,N N M n N M N n ∈≤≤、、.此时称随机变量X 服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样.14.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量X 的分布列为离散型随机变量X的分布列具有两个性质：①0≥i p ；②),,3,2,1(121n i p p p p n i ==++++.(2) ))(2211n n i i p x p x p x p x X E ++++= 为随机变量X 的数学期望或均值.nn i i p X E x p X E x p X E x p X E x X D ⋅-+⋅-++⋅-+⋅-=22222121))(())(())(())(()( 叫做随机变量X 的方差.性质：①b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X D a b aX D =+；②),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=；),(~2σμN X ,则2)(,)(σμ==X D X E ;③X 服从两点分布，则p X E =)(,)1()(p p X D -=.三、例题精讲题型一 古典概型与几何概型例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】58【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=. 例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率． 【答案】（1）详见解析；（2）2011. 【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为7564， ∵527564>，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高．(3) 将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,a a a ，赞成的2人记为54,a a ，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b ，赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20=n ，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011=P .【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算． 【思维点拨】1. 求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()()1P A P A ＝－，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A 包含的基本事件个数；代入公式，求出()P A ；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比.题型二 统计与统计案例例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：],90,80[,),40,30[),30,20[ 并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)50,40[内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】（Ⅰ）4.0；（Ⅱ）20；（Ⅲ）2:3.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为6.010)04.002.0(=⨯+，所以样本中分数小于70的频率为4.06.01=-.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(=⨯⨯+，所以样本中分数不小于70的男生人数为302160=⨯.所以样本中的男生人数为60230=⨯，女生人数为4060100=-，男生和女生人数的比例为2:340:60=，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3.【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个． 【思维点拨】1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 5.求回归直线方程的关键①正确理解计算^^,a b 的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． 6.独立性检验的关键①根据22⨯列联表准确计算2K ，若22⨯列联表没有列出来，要先列出此表． ②2K 的观测值k 越大，对应假设事件0H 成立的概率越小，0H 不成立的概率越大． 题型三 概率、随机变量及其分布例1、“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕， A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈；②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．【答案】(1) 26.5x = (2) 0.6826（3）X 的分布列为；()2E X =．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=， 11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴X 的分布列为∴()142E X =⨯=．【思维点拨】1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数)(A n ,再求事件AB 所包含的基本事件数()AB n ,得)()()|(A n AB n A B P =. 2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件B A ,相互独立⇔)()()(B P A P AB P ⋅=.（2）利用性质,A 与B 相互独立,则A 与A B ,与B ,B A 与也都相互独立. (3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式kn kkn p p C k X P --==)1()(的三个条件:(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率. 5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量X 的均值、方差,求X 的线性函数b aX Y +=的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即b X aE b aX E +=+)()(,)()(2X D a b aX D =+(b a ,为常数). (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X 服从两点分布,则p X E =)(,)1()(p p X D -=;若),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=.四、成果巩固题型一 古典概型与几何概型1.已知{}0 1 2a ∈，，，{}1 1 3 5b ∈-，，，，则函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，上为增函数的概率是（ ）A .512 B .13 C .14 D .16【答案】A【解析】①当0a =时，()2f x bx =-，情况为 1 1 3 5b =-，，，符合要求的只有一种1b =-；②当0a ≠时，则讨论二次函数的对称轴22b b x a a -=-=要满足题意则1ba≤产生的情况() a b ，表示：()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，8种情况满足的只有4种;综上所述得：使得函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，为增函数的概率为：1251214=+=P .2.在区间()0,4上任取一数x ，则1224x -<<的概率是（ ）A ．12 B ．13 C .14 D ．34【答案】C【解析】由题设可得211<-<x ,即32<<x ;所以4,1==D d ,则由几何概型的概率公式1=P .故应选C .(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）4.考向二 统计与统计案例1.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只, （Ⅰ）求22⨯列联表中的数据x ,y ,A ,B 的值； （Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？【答案】（Ⅰ）10y=,40B =,40x =,60A =；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）至少有%9.99的把握认为疫苗有效.【解析】（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A,由已知得302()100y P A +==,所以10y =,40B =,40x =,60A =．发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率．10000005016.6710.8285020603=≈>⨯⨯． 所以至少有%9.99的把握认为疫苗有效.未注射 注射未注射 注射2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数， y 表示这x 个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与,x y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？ 参考公式：y b x a ∧∧∧=+， 1221ni i i nii x y nxyb x nx ∧==-==-∑∑()()()121niii n ii x x y y x x ==---∑∑， a y b x ∧∧=-． 【答案】（1）0.850.6y x =+；（2）公司应在A 区开设4个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大．【解析】（1）10085)())(()(,4,42112121^=---=--===∑∑∑∑====x x y y x x x n xy x n y x b y x ni ini iini in i ii ，6.0^^=-=x b y a ，∴y 关于x 的线性回归方程6.085.0+=x y .（2）20.05 1.4z y x =--= 20.050.850.8x x -+-，A 区平均每个分店的年利润0.80.050.85z t x x x ==--+ 800.0150.85x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ∴4x =时， t 取得最大值，故该公司应在A 区开设4个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大．3. 某商场对A 商品30天的日销售量y (件)与时间t (天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y (件)与时间t (天)之间具有线性相关关系．(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程a t b y +=. (2)已知A 商品30天内的销售价格z (元)与时间t(天)的关系为,),200(,20),3020(,100⎩⎨⎧∈<<+∈≤≤+-=N t t t N t t t z 根据(1)中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，A 商品的日销售额最大．参考公式：2121^)(t n tyt n y t b ni ini ii --=∑∑==，t b y a ^^-=.【答案】(1)40^+-=t y ；(2)预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元． 【解析】(1)根据题意，6)108642(51=++++⨯=t ，34)3033323738(51=++++⨯=y ，980301033832637438251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=ii i yt ，22010864222222512=++++=∑=i i t ，所以回归系数为1652203465980)(22121^-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==t n tyt n yt b ni ini ii，406)1(34^^=⨯--=-=t b y a ，故所求的线性回归方程为40^+-=t y . （2）由题意得日销售额为,,3020),40)(100(,200),40)(20(⎩⎨⎧∈≤≤+-+-∈<<+-+=Nt t t t Nt t t t L当N t t ∈<<,200时，900)10(80020)40)(20(22+--=++-=+-+=t t t t t L ， 所以当;90010max ==L t 时，当N t t ∈≤≤,3020时，900)70(4000140)40)(100(22--=+-=+-+-=t t t t t L ，所以当.160020max ==L t 时，综上所述，预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元. 题型三 概率、随机变量及其分布1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者654321,,,,,A A A A A A 和4名女志愿者4321,,,B B B B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的频率。
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题三 概率与统计 第2讲 概率课件 理
例3 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货 成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当 天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有 关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需 求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计 划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
解析 答案
押题预测
1.某校在2016年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试，数学考试成
绩ξ～N(90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在
70分到110分之间的人数约为总人数的
3 5
，则此次数学考试成绩不低于
110分的考生人数约为
√A.200
B.400
C.600
D.800
解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动 五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次， 故其概率为 C35123·122＝C35125＝156.
押题依据 解析 答案
3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租 车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时 的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算).有甲、乙两人独 立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概 率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 12，14；两人 租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； 押题依据 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解 答题形式出现，考查离散型随机变量的期望.
2019高考数学复习配套课件：第四部分 统计与概率 第二单元 概率 (2份)
所谓的失言其实就是一不小心说了实话，人不要讲谎话，因为讲一句谎话要用十句甚至更多的谎话来圆谎，但有时候，人不能净说实话，如 果说实话效果不好，你可以用模棱两可的外交辞令代替！ 危机二字的正解是危险和机会，但大多数人只看到危险，鲜有人看到机会，所以成功赚到大钱的人并不多。 成功的道路上充满荆棘，苦战方能成功。 被朋友伤害了和被陌生人伤了其实是一样的，别怀疑友情，人家不欠你的，但要提防背叛你的人。 书都读得来的人，还怕有什么做不来的。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 踩着垃圾到达的高度和踩着金子到达的高度是一样的。 要克服生活的焦虑和沮丧，得先学会做自己的主人。 孤独并不可怕，每个人都是孤独的，可怕的是害怕孤独。 只有想不到的事，没有做不到的事。 行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。
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