由《三体》曲率驱动联想到的曲率问题

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由《三体》曲率驱动联想到的曲率问题

作者：吴禹谋

来源：《科技风》2018年第34期

摘要：几何学有着悠久的历史，至今仍然是最重要的数学学科之一。微分几何是几何学中一个以无穷小分析方法为特征的分支。著名的数学家高斯、黎曼、嘉当等人，都对微分几何学的发展做出过重大的贡献。另一方面，微分几何学也是现代物理学思想的重要源泉。曲率是微分几何学中的一个重要概念，在这篇论文中，我们尝试从数学与物理学两个角度，对这个概念做初步的探讨。

关键词：《三体》曲率驱动；曲率问题

1 曲率的数学直观认知

微分几何学是利用微积分的理论研究欧氏空间的几何性质的一个几何学分支。古典微分几何着重研究三维欧氏空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的欧氏空间——流形。微分几何学与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

在这篇论文中，我们主要尝试从数学与物理学两个不同的角度，对微分几何学中的一个非常重要的概念——曲率，尝试做一个初步的探讨。我们的论文的结构如下，在这一节中，我们将主要从数学的角度去理解曲率这个概念。因为严格定义曲率，需要相当篇幅的多元微积分的预备知识作为基础，所以这里我们更强调的是一种数学的直观定义，这也反映出微分几何学这个学科——对图形直观性地强调——本身所蕴含的特性。关于曲率最严格准确的定义，我们推荐感兴趣的读者参看参考文献[1]。在下一节中，我们将会从物理学与工程技术的不同的应用

场景的角度，去探讨曲率这个概念，在其中所发挥的作用。从物理学的角度，我们尤其强调的是它在现代宇宙学中的作用，而在工程技术的角度，我们会去探讨它在地球物理勘探中的应用。最后的一节中，我们将基于前两节所讨论的曲率的理论层面的知识，来给出一个有趣的实验。

欧氏空间中的一个曲面上有两个重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何学里，一个中心的问题便是要探讨怎样判定曲面上的一条特定的曲线是这个曲面的一条测地线，此外也还需要讨论测地线的其他几何性质。另一方面，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。