上海大学高等代数历年考研真题
2000上海大学 高等代数(一) 计算行列式:acccb ac cb b a cb b b a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方和.(三) B A ,分别为m n ⨯和m n ⨯矩阵, n I 表示n n ⨯单位矩阵.证明: m n ⨯阶矩阵n A I X B ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆当且仅当B A 可逆，可逆时求出X 的逆. (四) 设12,n e e e ⋅⋅⋅是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ⋅⋅⋅n V ∈，证明：存在唯一的线性变换A ，使得(),1,2i i A e a i n ==⋅⋅(五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1(0)V A V A -=⊕当且仅当若12,r a a a ⋅⋅⋅为A V 的一组基则12,r A a A a A a ⋅⋅⋅是2()A V 的一组基. (六) 设A 为2级实方阵，适合21001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求证：A 相似于0110-⎛⎫⎪⎝⎭. (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足22,f f gg ==试证：（1）f 与g 有相同的值域⇔,fg g g f f ==. （2）f 与g 有相同的核⇔,fg f g f g ==.2001上海大学 高等代数（一）计算行列式：231212123n n n x a a a a x a a a a x a a a a x（二）设A 为3阶非零方阵，且20A =.（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）求方程组0A X =的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244f x x x x x x x x x x =++--为标准形（四）设A 为n m ⨯阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'()A A a A A =，求证'm A A a E =.（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n nAA-≠=求证：存在a V ∈，使2211,,,,n n n a A a A a A a Aa Aa Aa a ---++++ 为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵.（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a A a a ≠<⇔A 的所有特征值都小于0. （七）设A a B aβ-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B 正定的充分必要条件为'10a A a β-+>.（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)sA =-（A 为A 的行列式）.2002 上海大学 高等代数（一）计算行列式：若1232nx a a a ax a aA B aa x a aaax ==，求AB A BA ⎛⎫=⎪⎝⎭. （二）设A 是n 阶可逆方阵，0A A B A ⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）计算kB （K 是整数），（2）假设100110111A =，C 为6阶方阵，而且2BC C E =+，求C .（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n p pp n p p A p n p p p n pppp--------=--------，A 是n 阶矩阵（0p ≠），求0A X =的基础解系.（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).（五）设向量组A ：123,,n a a a a ⋅⋅的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,r i i i a a a + ，若1211210r i i rika k a k a ++++= ，则121,r k k k +或全为0或全不为0.（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ⨯为秩为m 的实矩阵，求证'B A B tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2A E =.（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换. （2）设{}1,V a a V A a a =∈=，求证：12V V V =+是直和.（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ⋅⋅为n 维列向量，且线性无关，若12,n A E a A E a A E a +++ 线性无关，则1A =.2003上海大学 高等代数（一）计算行列式：x a a a ax a aA a a x a aaax=（A 为n 阶矩阵），2AA B AA ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A （2）求B（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若A B E A =- （1）求证：1A =±，（2）若200120232B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求A . （四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121n n a a a a -=++ 121n n a a a a β-=+++ ，求A X β=的解.（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k A -的每行元素之和为ka -（k 为正整数）（六）设A 为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1rs E GA G E -⎛⎫=⎪-⎝⎭. （七）设2A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =.（1）求证：2rE A += （2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0A X =的解.（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型22221234121314232434()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---（1）求()f X 对应的实对称矩阵A .（2）求正交变换X P Y =，将()f X 化为标准型.（十）设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，12,k a a a 是对应的不同特征值12,k λλλ 的特征向量.若12k a a a W ++∈ ，而W 是A 的不变子空间，则有维（W ）k ≥ （十一）设B 为欧式空间V 上的变换，A 为欧式空间V 上的线性变换且有：(,)(,),,A a a B a V βββ=∀∈.证明：（1）B 为欧式空间V 上的线性变换. （2）1(0)()A B V -⊥=2004 上海大学 高等代数（一）设n 阶可逆方阵()ij A a =中每一行元素之和为(0)a a ≠，证明：（1）11(1,2)nij j A aA i n -===∑ ，其中i j A 为ij a 的代数余子式.（2）如果ij a 都是整数(1,2)i n = ，则a 整除A . （二）设1212121n n nn n a a a a A b b b b -⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭为实矩阵，且()2r A =. （1）求行列式'E A A λ-.（2）求'0A A X =的解（X 是n 维列向量）.（三）设,A B 为n 阶整数方阵，若2B E A B =-.（1）求证：21A B+=.（2）若100110231B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1(2)A B -+. （四）若A 为非零的半正定矩阵，B 为正定矩阵，求证： （1）求证：存在实矩阵T ，使'T T B =. （2）1A E +>. （3）A B B +>.（五）设λ为A 的特征值的最小者.求证:对任意的n 维列向量a ,有''a A a a a λ≥. (六) 设123,,λλλ为3阶方阵A 的特征值,且()()()111,011,01分别为其对应的特征向量,求nA .(七) V 是n 维欧氏空间, σ是n 维空间V 上的线性变换,如果1231,,n a a a a - 是V 中1n -个线性无关的向量,且(),σββ分别与1231,,n a a a a - 正交(β不为0).求证: β为σ的特征向量.(八)设3223303060303A B ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求证： （1）()()2r A r B == （2）题型与钱吉林书习题类示。
（九）设F 为数域，A 为数域上n 阶方阵，且{}10V x F A x =∈=，{}2()0V x F A E x =∈-= 求证：2AA =⇔12F V V =⊕。
（十）设24aβγ=，aaA a a γβγβγβ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为n 阶方阵，B 为n 阶正交方阵，求证：222(1)24n nB A an BA=+（十一）设221231(1)(1)()()()()(2)n n n n n nn x x f x xf x x f x x f x n --⎡⎤--++++≥⎣⎦求证：(1)()(1,21)i x f x i n -=- 。
（十二）设A 为n 阶实可逆矩阵，则A 为正定矩阵充分必要条件为存在n 阶上三角实可逆矩阵L ，使A L L ⊥=。
（十三）设A 为秩为r 的n 阶矩阵，证明：2A A =的充要条件是存在秩为r 的r n ⨯阶矩阵B 和秩为r 的n r ⨯矩阵C ，使A C B =且B C E =。
（十四）设V 为数域F 上n 维线性空间，设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，()A V 为A 的值域，1(0)A -为A 的核。
（1） 求证：维1(()(0))2n A V A -+≥ ，（2） 求证：维1(()(0))2n A V A -+=充分必要条件为：1()(0)A V A -=，并举出这样的线性变换A 。
2005上海大学 高等代数（一） 已知1()2n nf x xx +=+-，求()f x 在有理数域上的不可约多项式并说明理由。
（二） 已知100110,0111A A A B A ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭，C 是6阶方阵，2B C C E =+。
求C 和C *。
（三） β是方程组A X b =的一个解，12,,n r a a a - 是其导出组的一个基础解系。
求证：（1） 12,,n r a a a - ，β线性无关，（2） 12,,,n r a a a ββββ-+++ 也线性无关。
高等代数考研真题第一章多项式
且f(x)在有理数域上不可约。
第一章多项式1 (清华2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4整除，而f(X )-1能被(X 1)4整除。
2、 (南航 2001 — 20 分)(1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。
(2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式2(x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=02(x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=02 2证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x)3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是d I n (这里里记号 d I n 表示正整数d 整除正整数n )。
4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x),g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：(〔)如果 g 1(x) ,g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X )(2)如果g1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x)I f(X )5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p I ab 则p I a 或p I b 。
6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幕主充分必要条件是，对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m(x)。
上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.
上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数1．（10分）设P 为数域。
()()[]x P x g x f ∈,令()()()()()x g x x x f x X F 1122++++=；()()()()x g x x xf x G 1++=。
证明：若()x f 与()x g 互素，则()x F 与()x G 也必互素。
2．（10分）设J 为元素全为1的阶方阵。
（1） 求J 的特征多项式与最小多项式；（2） 设()x f 为复数域上多项式。
证明()J f 必相似于对角阵。
3．（10分）（1） 设n 阶实对称矩阵()ij x A =，其中1+=j i ij a a x 且0...21=+++n a a a ，求A 的n 个特征值。
（2） 设A 为复数域上n 阶方阵。
若A 的特征根全为零，证明：1=+E A 。
此处E 为n 阶单位阵。
4（10分）设()x f 是数域F 上的二次多项式，在F 内有互异的根21,x x ，设A 是F 上线性空间L 的一个线性变换且I x A 1≠，I x A 2≠（I 为单位变换）且满足()0=A f ，证明21,x x 为A 的特征值；且L 可以分解为A 的属于21,x x 的特征子空间的直和。
5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：32312123222184422x x x x x x x x x ++---6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：7（10分）假设A 为n m ⨯实矩阵，B 为1⨯n 实矩阵，TA 表示A 的转置矩阵。
证明： （1） AB=0的充要条件是0=AB A T； （2） 矩阵A A T与矩阵A 有相同的秩。
8（10分）设p A A A ,...,,21均为n 阶矩阵且0...21=p A A A 。
证明这p 个矩阵的秩之和小于等于()n p 1-，并举例说明等式可以达到。
上海大学高等代数历年考研真题
2000上海大学 高等代数(一) 计算行列式:acccb ac cb b a cb b b a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方和. (三)B A ,分别为mn ⨯和m n ⨯矩阵,nI 表示n n ⨯单位矩阵.证明:m n⨯阶矩阵0n A I XB ⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆当且仅当B A 可逆，可逆时求出X 的逆.(四) 设12,n e e e ⋅⋅⋅是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ⋅⋅⋅n V ∈，证明：存在唯一的线性变换A，使得(),1,2i i A e a i n ==⋅⋅(五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1(0)VAV A -=⊕当且仅当若12,r a a a ⋅⋅⋅为A V 的一组基则12,r Aa Aa Aa ⋅⋅⋅是2()A V 的一组基. (六)设A 为2级实方阵，适合21001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求证：A 相似于0110-⎛⎫⎪⎝⎭. (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足22,f f g g==试证：（1）f 与g 有相同的值域⇔,fg g gf f==.（2）f 与g 有相同的核⇔,fg f gf g==.2001上海大学 高等代数（一）计算行列式：231212123n n n x a a a a x a a a a x a a a a x（二）设A 为3阶非零方阵，且20A =.（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A ab b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）求方程组0A X=的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244f x x x x x x x x xx=++--为标准形 （四）设A 为n m ⨯阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'()AA aAA=，求证'm AA aE =.（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n n A A -≠=求证：存在a V ∈，使2211,,,,n n n a A a A aA aA a A a A a a---++++为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵.（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a Aa a ≠<⇔A的所有特征值都小于0.（七）设Aa B aβ-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B 正定的充分必要条件为'1a A a β-+>.（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)sA =-（A为A 的行列式）.2002 上海大学 高等代数（一）计算行列式：若1232nx a a aax a aA B a a x a aaax ==，求AB A BA ⎛⎫=⎪⎝⎭.（二）设A 是n 阶可逆方阵，0A AB A ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）计算k B （K 是整数），（2）假设100110111A =，C 为6阶方阵，而且2B CC E=+，求C .（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n ppp n pp A p n p p p n pppp--------=--------，A是n 阶矩阵（0p ≠），求0A X =的基础解系.（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).（五）设向量组A ：123,,n a a a a ⋅⋅的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,r i i i aa a + ，若121121r i i ri k a k a k a ++++= ，则121,r k k k + 或全为0或全不为0.（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ⨯为秩为m 的实矩阵，求证'B AB tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2A E =.（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换. （2）设{}1,V aa V Aa a =∈=，求证：12V V V =+是直和.（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ⋅⋅为n 维列向量，且线性无关，若12,n A Ea A Ea A Ea +++ 线性无关，则1A =.2003上海大学 高等代数（一）计算行列式：x a a a ax a a A a a x a aaax=（A为n 阶矩阵），2AA B A A ⎛⎫=⎪⎝⎭（1）求A （2）求B（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若AB E A =- （1）求证：1A=±，（2）若200120232B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求A .（四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121nn a a a a -=++121n n a a a a β-=+++ ，求AX β=的解.（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k A -的每行元素之和为k a -（k 为正整数） （六）设A为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1rs E GAG E -⎛⎫=⎪-⎝⎭. （七）设2A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =. （1）求证：2rE A += （2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0A X=的解.（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型22221234121314232434()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---（1）求()f X 对应的实对称矩阵A . （2）求正交变换XPY=，将()f X 化为标准型.（十）设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，12,k a a a 是对应的不同特征值12,k λλλ 的特征向量.若12k a a a W ++∈ ，而W 是A 的不变子空间，则有维（W ）k ≥（十一）设B 为欧式空间V 上的变换，A 为欧式空间V 上的线性变换且有：(,)(,),,Aa a B a Vβββ=∀∈.证明：（1）B 为欧式空间V 上的线性变换. （2）1(0)()A B V -⊥=2004 上海大学 高等代数（一）设n 阶可逆方阵()ijA a =中每一行元素之和为(0)a a ≠，证明：（1）11(1,2)nij j A aA i n -===∑，其中ij A 为ij a 的代数余子式.（2）如果ija 都是整数(1,2)i n = ，则a 整除A .（二）设1212121n n nn n a a a a A b b b b -⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭为实矩阵，且()2r A =.（1）求行列式'E A A λ-. （2）求'0A AX=的解（X是n 维列向量）.（三）设,A B 为n 阶整数方阵，若2B E AB=-.（1）求证：21A B+=.（2）若100110231B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1(2)A B -+. （四）若A 为非零的半正定矩阵，B 为正定矩阵，求证： （1）求证：存在实矩阵T ，使'T T B=.（2）1A E +>. （3）A B B +>.（五）设λ为A 的特征值的最小者.求证:对任意的n 维列向量a ,有''a Aa a a λ≥.(六) 设123,,λλλ为3阶方阵A的特征值,且()()()111,011,01分别为其对应的特征向量,求n A .(七)V是n 维欧氏空间,σ是n 维空间V 上的线性变换,如果1231,,n a a a a -是V 中1n -个线性无关的向量,且(),σββ分别与1231,,n a a a a - 正交(β不为0).求证: β为σ的特征向量.(八)设3223303060303A B ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求证：（1）()()2r A r B == （2）题型与钱吉林书习题类示。
高等代数历年考研真题
高等代数历年考研真题高等代数是数学学科中的一门重要课程，对于数学专业的学生来说，它是必修课之一。
考研是追求学术进阶的一个重要途径，因此高等代数也成为许多考研学生备战的重点科目之一。
本文将通过回顾历年考研真题，分析高等代数考点和解题技巧，帮助考生更好地应对高等代数考研。
一、线性代数线性代数是高等代数的重要组成部分，它主要研究向量空间、线性变换、矩阵等内容。
在考研真题中，线性代数所占比例较大，因此掌握好线性代数的基本概念和基本性质非常关键。
1.1 向量空间向量空间是线性代数的核心概念之一。
考研真题中常涉及到子空间、基、维数等概念。
在解题过程中，要注意对向量空间性质的分析，运用相关定理和定理的推论进行证明。
1.2 线性变换线性变换是研究向量空间的重要方法之一。
考研真题中常涉及到线性变换的矩阵表示、特征值和特征向量等。
对于线性变换的性质和特征值的计算，考生需要熟练掌握相应的运算方法和计算技巧。
1.3 矩阵矩阵是线性代数中的重要工具之一。
考研真题中常要求计算矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的秩等。
在解答这类问题时，要善于利用矩阵的性质和运算规则，结合相应的定理进行证明和计算。
二、群论群论是代数学的一个重要分支，用于研究对称性和对称性破缺等问题。
在高等代数考研中，群论占有一定的比例，因此对群论的掌握和理解是非常重要的。
2.1 群的基本概念在群论中，要掌握群的定义、子群、陪集等基本概念。
考研真题中常结合这些概念来进行命题证明和运算。
2.2 循环群循环群是群论中重要的一类特殊群。
考研真题中常要求判断某个群是否为循环群以及计算循环群的阶等。
在解答这类问题时，要熟练应用循环群的定义和基本性质。
2.3 正规子群与商群正规子群和商群是群论中的重要概念。
考研真题中要求理解正规子群和商群的定义，熟练运用这些概念进行证明和计算。
三、域论域论是代数学的一个重要分支，主要研究环和域的性质与结构。
在高等代数考研中，域论占有一定比例，因此对域的基本概念和性质的理解是十分重要的。
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
上海大学线性代数样题
5 * 1 7. 已知A = 0 0
5 0 4 0 7 8 , A−1 = 0 5 0 0 7 5
一、选择题： 选择题： （每小题 2 分，5 题共 10 分）
1．A 是数域 F 上 m x n 矩阵，b 为 m 维列向量， 以下错误的是（ ） A．如果 A 是列满秩的，则线性方程组 Ax=b 有唯一解 B．如果 A 是列满秩且 m=n，则线性方程组 Ax=b 有唯一解。 C．齐次线性方程组 Ax=0 若有两个不同的解，它一定有无穷多个解 D．当 m < n 时，则齐次线性方程组 Ax=0 有非零解 E．若 Ax=b 所有解向量至多有 n 个解向量线性无关，则 r(A)=1 2．设 A 是 m╳n 矩阵，且 AB=AC，则（ ） A．当 A≠O 时，B=C B．当 m=n 时，B=C C．当 r(A)=n 时，B=C D．当 r(A)=m 时，B=C 3．设 A，B，C 是方阵，若 ABC =I ,则必有（） A． BCA=I； B． CBA = I ；C． BAC =I ；D． ACB =I . 4. 设 A 是方阵，若 A = 0 ,则错误的是（）
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得分
评卷人
三、计算题： 计算题： （本大题 6 小题，共 57 分）
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1 3 13.(9分) 设D = −2 5
1 1 1 1
7 −1 8 0 ，设A11 , A12 , A13 , A14为其第一行代数余子式。 4 3 2 5
1 1 1 1 1 1 1 −1 ( 共 4 页 ) , 且AXA −1 = −2 XA −1 + I , 求A和X 14.（ 10分）设( A + 2 I ) = 1 1 1
高等代数考研试题精选
《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数825考研真题
高等代数825考研真题高等代数是数学中的一门重要课程，对于提高数学建模能力和解决实际问题具有重要作用。
本文将针对高等代数825考研真题展开讨论。
第一部分：选择题（1）设V是数域K上的线性空间，S是V的子空间，则下列命题中正确的是()A. V⊂SB. V⊂VC. V=VD. V≠V（2）设A，B都是n阶方阵，则下列命题中正确的是()A. VV(VV+VV)≤VV V+VV VB. VVV V+VVV V=VV(VV+VV)C. VV(VV+VV)≥VV V+VV VD. VVV V+VVV V≥VV(VV+VV)第二部分：解答题1. 证明引理：设V={V1, V2,..., VV} ，V是V的一个非零子空间，则V(V1+V2+V+VV)≥2。
其中，V(V) 表示向量V的秩。
解：假设V1+V2+V+VV= V0 ，其中V0≠V为一线性组合等于零向量，需要证明线性相关，即证明存在VV≠V使得VV是线性相关向量。
首先，假设V1+V2+V+VV= V0 成立，则可以得到其中至少有一项VV=0。
其次，如果保持原假设成立，那么对于其他项V j ∈V中的向量V j，可以写成V j= −(V1+V2+V+VV)+2V i ，可知V j 是线性相关向量。
综上所述，线性空间V中至少存在两个线性相关的向量。
2. 设V，V，V是V阶方阵。
证明：如果V，V是可逆的，则VV和VV也是可逆的，并且特征值λ(VV) = 特征值λ(VV)。
解：首先，V，V是可逆的，则存在V的逆矩阵V^-1 和V的逆矩阵V^-1 。
其次，考虑矩阵VV，假设存在非零向量V使得 (VV)V= 0 ，则有V(VV)=0。
由于V是可逆的，所以V^-1 存在，因此可以得到VV=0。
由于V是可逆的，所以只有V为零向量才能使等式成立，即零向量是唯一解。
综上所述，矩阵VV是可逆的。
类似地，可以证明矩阵VV也是可逆的。
在特征值方面，由于可逆矩阵与其逆矩阵存在相同的特征值，所以特征值λ(VV) = 特征值λ(VV)。
2003--2010高等代数真题
2003年高等代数（综合卷）6.(14)设P 是数域,n n P B A ⨯∈,,E 是n 阶单位矩阵.证明:P b a ∈∀,(1)当bB aA +是可逆矩阵时,bB aA B bB aA B b A bB aA A a -=+-+--1212)()(.(2)当bB aA +,bB aA -都是可逆矩阵时, E bB aA B bB aA B b bB aA A bB aA A a =+--+-----112112)()()()(7.(20)设Ax x '是秩为r 的n 元半正定二次型,(1)证明:存在秩为r 的r n ⨯实矩阵C ,使C C A '=. (2)证明:x E A x )(+'是n 元正定二次型.8.(20)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212221212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a A是数域P 上的n 阶非零矩阵)1(>n (1)求A 的行列式A 和A 的秩. (2)当022221≠=+++k a a a n 时,证明存在n 阶可逆矩阵T 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001 k AT T . 9.(21)设P 是数域,m n P A ⨯∈,如果m n P X ⨯∈∀规定AX X A :(1)证明A 是数域上线性空间n n P ⨯的线性变换.(2)令},{m n m n O AY P Y Y W ⨯⨯=∈=,证明W 是m n P ⨯的-A 子空间.(3)设秩n r A <=,求W 的维数W dim .2004年 高等代数1.(15)设n a a ,,1 是数域P 上n 个不同的数,解线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----11212111222221212211211n nn n n n n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x x x . 2.(15)设P 是数域,12)(,3++=∈⨯x x x m P A n n 是A 的最小多项式,求—A ,3.(20) 设P 是数域,n n n ij P a A ⨯∈==),,()(1αα ,nn a 的代数余子式0≠nn A ,(1)证明: n αα,,1 线性无关.(2)当0=A 时,求线性方程组O X A =*的基础解系,其中*A 是A 的伴随矩阵4.(30) 设P 是数域,}{1A A P A V n n ='∈=⨯, }{2是上三角矩阵B P B V n n ⨯∈=,(1)证明: 21V V ，都是n n P ⨯的子空间.(2)证明2121,V V P V V P n n n n ⊕≠+=⨯⨯.5.(30)设)(x p 是数域P 上的不可约多项式,α是)(x p 的复根,(1)证明:)(x p 的常数项不等于零.(2)证明:对任意正整数1)),((,=m x x p m (3)设22)(3+-=x x x p ,求51x. 6.(20)设n 元实二次型Ax x x x x f n '=),,,(21 经过正交替换Qy x =(其中Q 是正交矩阵)化为223222132n ny y y y ++++ ，证明: (1)A 的特征值是n ,,2,1 . (2)存在正定矩阵B ,使2B A =7.(20)设A 是数域P 上n 维线形空间V 的线性变换,0)(,0)(1=A ≠A ∈=αααn n V ，,证明:(1))(,),(),(,12αααα-A A A n 是V 的基.(2)设W 是A 的不变子空间,0,,,,121≠∈a P a a a n ,并且存在向量W a a a a n n ∈A ++A +A +=-)()()(12321ααααβ ,则V W =.2005年 高等代数1.(15)设A 是数域P 上的r r ⨯阶矩阵,D 是s s ⨯阶矩阵,A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,并且r A r M r ==)()(,证明:1D CA B -=.2.(15)设A 是数域P 上的m n ⨯矩阵,12,,,t ααα 是齐次方程组0Ax =的线形无关的解,0A β≠,证明12,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.3.(30)设P 是数域,1110{()|,0,1,2,,}n n n n i V f x a x a x a x a a P i n --==++++∈= .(1)证明V 关于多项式的加数乘多项式构成数域P 上的线性空间.(2)(),f x V ∀∈规定:()().'(),A f x f x x f x - 证明A 是V 的线性变换.(3)求线性变换A 在基21,,,,n x x x 上的矩阵.4.(20)设A 是n n ⨯阶复矩阵，0,k A =123,,,,r λλλλ 是A 的所有非零的特征值，(1)证明E A -是可逆矩阵，并求1()E A --. (2)求1()E A --的所有特征值.5.(20)设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，（1）证明1A -是n 阶正矩阵；（2）求实的可逆矩阵T ，使得1210000'()00n a a T A B T a -⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭ (0,1,2,,.ia i n >= )是对角矩阵，并说明主对角线上的元素6.(20)设()ij A a =是n 阶矩阵，1()nii i Tr A a ==∑是主对角线上的元素之和，22P ⨯表示数域P 上所有2阶构成的集合，22,A P ⨯∀∈规定:()f A Tr A ，(1)证明f 是线性空间22P ⨯线性函数.(2)1112212210000000,,,00011001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22P ⨯的一组基.求22P ⨯上的线性函数g ，使得11122122()2,()3,()4,() 1.g E g E g E g E ====-7.(20)设V 是数域P 上的线性变换，A 的最小多项式是2()23,m x x x KerA =--表示A 的核，Im A 表示A的值域，证明：(1)V 中存在一组基，使A 在这基下的矩阵是对角矩阵；(2)(3)Im()Ker A E A E -=+，其中E 是V 的恒等变换； (3)(3)()V Ker A E Ker A E =-⊕+2006年 高等代数1.(14)计算n 阶行列式:213141111222324221222331323334244142434421234n n n n n n n n n n na a a a a a x a a a a a a a a a a a x a a a a a a a x a a a D a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a +++=++,其中120n x x x ≠…. 2.(20)设11112122122212(,,),(,,),(,,),n n r r r rn a a a a a a a a a ααα===…………且12,,αααr …线性无关,12(,,,)n b b b β=….证明:12,,,αααβr …线性相关的充分必要条件是:线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩………的解都是方程11220n n b x b x b x +++=…的解.3.(24)R 是实数域,V 是线性方程组1234513451234512345242470224034440426340x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=⎧⎪+--=⎪⎨-++-=⎪⎪-++-=⎩的所有解构成的集合.(1)证明:V 是5R （列向量组成的空间）的子空间. (2)求V 的基个维数.(3)求V 的正交补V +的基与维数(5R 的内积(,)'αβαβ=).4.(32)设P 是数域,{()[]|()0()}.V f x P x f x f x n =∈=∂<或121210()n n n n f x a x a x a x a V ----∀=++++∈…，规定11:().n n A f x a x --(1)证明A 是V 的线性变换. (2)求A 在基12,,,,1n n x x x --…下的矩阵.(3)求A 在核10A -（）的基. (4)求A 的所有特征值和特征向量.5.(20)设P 是数域,,,.n n A B P C AB BA BC CB ⨯∈=-=，且 证明：(1)对大于1的自然数k,有1k k k A B B A kB C --=.(2)设()f λ是B 的特征多项式,'()f λ是()f λ的微商,则'()0f B C =.6.(20)R 实数域，n n A R ⨯∈,且A 是对称矩阵. (1)证明A 的伴随矩阵*A 也是实对称矩阵.(2)试问A 与*A 合同的充分必要条件是什么?并证明你的结论.7.(20)设V 是数域P 上的n 维线性空间,n r r εεεεε,,,121 +，，，是V 的基,),,(),(12211n r r V L V εεεεε +==，，，.(1)证明:V 是12,V V 的直和(即12V V V =⊕); (2)设A 是1V 的线性变换,B 是2V 的线性变换,求V 的线性变换C ,使得1V 与2V 的不变子空间，并且C 在1V 与2V 上的限制分别是 12|,|C V A C V B ==2007年 高等代数1.(20)设)(x f 是非零复多项式,用)(x f '记)(x f 的微分(导数)多项式;设)(x d 是)(x f 与)(x f '的最大公因式,设整数1>m .证明:复数c 为)(x f 的m 重根的必要充分条件是c 为)(x d 的1-m 重根.请说明这里为什么要假设1>m ?2.(30)设A 是n m ⨯矩阵,设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a 1是线性方程组0=AX 的非零解.证明:(1)如果A 的任何列向量非零,则n a a ,,1 中至少两个非零.(2)如果的A 任何两个列向量线性无关,则n a a ,,1 中至少三个非零.(3)推广(1),(2),你得到什么结论?请证明你的结论.3.(30)对n m ⨯矩阵A ,记A '是A 的转置矩阵.(1)设A 是实矩阵,证明:实线性方程组0=AX 与实线性方程组0)(='X A A 同解.(2)证明:实矩阵A 的秩与A A '矩阵的秩相等.(3)在复数域,上述结论成立吗?为什么?(4)对复数域，你认为应如何修改断言(2)得到一个正确的断言?为什么?4.(20)设A 是实方阵,证明:如果下面三条中的任意两条成立,则另外一条也成立:(1) A 是正交矩阵; (2)A 是对称矩阵; (3) E A =2,其中E 表示单位矩阵.5.(20)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a b a A 0000的特征根为3,2,1,其中b a ,是实数.求b a ,,并求正交矩阵T 使得AT T '是对角矩阵,其对角线元素依次为3,2,1.6.(30)用C 表示复数域.设A 是n m ⨯复矩阵,设A 的特征多项式)()()(λλλg f A =∆,其中)(λf 与)(λg 互素.在n 维向量空间n C 中,设F 是齐次线性方程组0)(=⋅X A f 的解子空间,G 是齐次线性方程组0)(=⋅X A g 的解子空间,证明: (1) ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n n n n C c c c c A f G C c c c c A g F 1111)(,)(; (2)G F C n ⊕=.2008年 高等代数1.(20)以下陈述是否正确?正确的请予以证明,不正确的请举反例(例子的正确性要求论证).(1)有理系数多项式)(x f ,如果在有理数域上不可约,则在任何数域上不可约.(2)两个有理系数多项式)(x f 与)(x g ,如果在有理数域上互素,则在任何数域上互素.{定义1 数域F 上的多项式)(x f 称为在上不可约.如果)(x f 次数大于0而且只要F 上的多项式)(x g 是)(x f 的因式,那么,)(x g 要么与)(x f 相伴,要么与1相伴.定义2 数域F 上的多项式)(x f 与)(x g 称为在F 上互素,如果它们在F 上的最大公因式与1相伴. }2.(20) (1)设B A ,都是n 阶方阵，且O AB =.证明:BA 的秩]2/[n ≤.其中]2/[n 表示不超过2/n 的最大整数(2)对于任意正整数n ,都存在n 阶方阵B A ,满足O AB =而BA 的秩]2/[n =.3.(30)令R 表示实数域,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001000100A .(1)求实矩阵A 的实特征值和实特向量.(2)求3R 中所有的-A 不变子空间(实向量空间3R 的子空间U 称为不变的,如果U Au ∈，U u ∈∀,其中u 写为列向量).4.(30)(1)请叙述什么是实二次型?什么是化实二次型为平方和定理?什么是实二次型的惯性定理?(2)证明实二次型的惯性定理.5.(20)设n 维复向量空间V 的线性变换P 满足P P =2,证明:(1)KerP P V ⊕=Im ,其中P Im 表示P 的像子空间, KerP 表示P 核子空间.(2)像子空间维数trP P =Im dim ,其中trP 表示线性变换P 的迹,即P 的所有特征根(计重数)之和.6. (30)设n 2阶方阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=E E E E A ,其中E 是n 阶单位矩阵, (1)求A 的特征多项式. (2)求A 的极小多项式. (3) 求A 的约尔当标准形.2009年 高等代数1.(20)设n a a ,,1 是n 个复数,x 是复变元.求x 取哪些复数值时下述等式(等式左边是1+n 阶行列式)成立:011112122221221=n n n n n n n a a a x a a a x a a a x2.(20) 设)(x f 是n 次实系数多项式,设)(x f '是)(x f 的导数多项式,证明:(1)如果r 是)(x f 的m 重根,0>m ,则r 是)(x f '的1-m 重根(若r 是)(x f '的零重根,则表示r 不是)(x f '的根).(2)如果)(x f 的根都是实数,则)(x f '的根也都是实数.3.(20)设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵,B 是非零的1⨯m 阶矩阵,考虑线性方程组B AX =,其中X 是变元n x x ,,1 的列向量.证明:(1)线性方程组B AX =的任意有限个解向量n X X ,,1 的向量组的秩1+-≤r n .(2)若线性方程组B AX =有解,则它有1+-r n 个解向量是线性无关的.4.(30)设C B A ,,都是n 阶方阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O C B A 是分块构成的n 2阶方阵,其中右下块O 表示n 阶零方阵.(1)证明:)()(C rank B rank O C B A rank +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,这里)(B rank 表示B 矩阵的秩. (2)举例说明:(1)中的等号和不等号都可能成立.5.(30)设V 是有限维向量空间,设W U ,是V 两个字空间.(1)什么是U 与W 的和子空间W U +,请叙述关于W U +的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6. (30)设A 是阶实矩阵,si r t +=λ是A 的特征根,其中s r ,是实数,i 是虚数单位.(1)证明:)(21A A '+的特征根都是实数,令n μμ≤≤ 1是)(21A A '+的全部特征根. (2)证明: n r μμ≤≤1.(3)你有类似估计s 的办法吗?2010年 高等代数1.(20)设F 是任意数域,][)(x F x p ∈.证明：)(x p 是不可约多项式当且仅当是)(x p 素多项式.2.(20) (1)设A 是n 阶方阵,E 是单位矩阵,0≠k .证明kA A =2当且仅当n kE A rank A rank =-+)()(.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20)设R 表示实数域,)(3R M V =表示所有33⨯实矩阵构成的向量空间.对给定的)(3R M A =定义在V 上的线性替换V V T A →：为BA AB B T A -=)(,对任意的)(3R M B =.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000A ,求A T 的特征值和相应的特征子空间;并求此时A T 的极小多项式.4.(30)设有三元实二次型xz z y x z y x f 43),,(222+++=,并设z y x ,,满足1222=++z y x .试求f 的最大值和最小值,并求当z y x ,,取什么值时,f 分别达到最大值和最小值.5.(30)设R 是实数域,])1,0([1C V =是闭区间]1,0[上的连续可微函数的集合. V 在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数x e x h x x g x x f ===)(,2)(,cos )(在V 中线性无关.(2)任意给定0>n ,在V 中找出1+n 个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m ,是否有V 和m R 同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6. (30)(1)设A 和B 均为n 阶复方阵,证明:A 与B 相似当且仅当作为-λ矩阵有A E -λ等价于B E -λ.(2)设B A ，都是3阶幂零矩阵,证明: A 相似于B 当且仅当A 与B 有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论(2)对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。
高等代数考研真题__第一章_多项式
第一章多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X −整除,而()1f x −能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2−2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x −1)f(x)+(x −2)g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d −1∣x n −1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)，g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x)（2）如果g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x)5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a，b 若p∣ab 则p∣a 或p∣b。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x)，由f(x)∣g(x)h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。