导数的概念及运算

例题精讲
考点一 导数的运算
【例1】分别求下列函数的导数：
(1)y＝exlnx；(2)y＝x ；
(3)y＝x－sin cos ；(4)y＝ln .
规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
规律方法(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.
(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标.
5.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于()
2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
考点三 导数几何意义的综合应用
【例3】已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围.
规律方பைடு நூலகம்解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可.
2.已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()
A.eB.－eC. D.－
3.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()
A.－1B.0C.2D.4
4.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.
导数的概念及运算
学习目标
1.了解导数概念的实际背景
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义
3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝ ，y＝x2，y＝x3，y＝ 的导数
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝lnx
f′(x)＝
f(x)＝logax
(a＞0，a≠1)
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(3)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
【训练2】(1)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________.
(2)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
(2)①如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.
②复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.
【训练1】求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；(2)y＝ ＋ ；(3)y＝ .
考点二 导数的几何意义
【例2】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
教学内容
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.()
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).()
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()
(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.()
2.某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－ gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是()
【训练3】(1)过点A(2，1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()
A.3条B.2条C.1条D.0条
(2)若函数f(x)＝ x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.
1.曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0，则a＝()
A. B.2C.ln 2D.ln
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3) ′＝ (g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
知识梳理
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim__ ＝lim 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim ＝lim __ .
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
A.14 m/s2B.4 m/s2
C.10 m/s2D.－4 m/s2
3.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()
A.0B.1C.2D.3
4.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
5.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________.