徐州市、宿迁市2013高三三模数学试题及答案

徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试2013.05.02 数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()nii sxx n==-∑，其中11ni i x x n==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3i i (,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ．2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1， 则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115xyk k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在A B C △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，P C 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为A B C △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ． 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

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2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确涂写考试号。

3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

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结束开始1i ←11S S ←+ 1i i ←+ 3i>输出SY N（第3题图）12S ←11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a bb =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ．13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)a f x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则O M N △的面积为▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15. 如图，AB ，C D 均为圆O 的直径，C E ⊥圆O 所在的平面，BF C E .求证：⑴平面BC EF ⊥平面A C E ；⑵直线D F 平面A C E ．16．已知A B C △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S = ．⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料A B C ，O 为半圆的圆心，12O C r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以B C 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段O C 上，且另一个顶点D 在 AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值． ABOCD（第17题甲图）ABOCD（第17题乙图）E AB CDOEF（第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率32e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线O P 的方程； ⑵求1PQ Q A 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和O M N △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，12n n a a a +=+，*n ∈N ．⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ． A 1 A 2O PQMNBC xy（第18题图）⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，B C 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结C D 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2D E D C AD D B ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换EA BC D （第21—A 题图）注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为解答题（第21题~第23题）。

本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

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2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确涂写考试号。

3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

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已知,a b ∈R ，若矩阵13a b-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M.C ．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2C N =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值； ⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n nn n n n f x x x x x x ------=-+-+-++- ,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)n nn n n a a a nf ++++= 对一切n *∈N 都成立？并说明理由．徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3. 58；4. {1,1}-；5.(1,5)-；6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12.2312+； 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题 （第22题图）A BC A 1B 1C 1 M N15.⑴因为C E ⊥圆O 所在的平面，B C ⊂圆O 所在的平面，所以C E BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C = ，,A C C E ⊂平面A C E ，所以B C ⊥平面A C E ，………………………………………………………………………5分 因为B C ⊂平面B C E F ，所以平面BC EF ⊥平面A C E ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为C D 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以A C B D ，…………………………………………9分 因为B D ⊄平面A C E ，AC ⊂平面A C E ，所以BD 平面A C E ．………………………11分因为BF C E ，同理可证BF 平面A C E ， 因为BD BF B = ，,B D B F ⊂平面BDF ，所以平面B D F 平面A C E ， 因为DF ⊂平面BDF ，所以D F 平面A C E ．……………………………………………14分 16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．① 由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分 解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设D BC α∠=， 则3cos 2r BD α=，3sin 2r D C α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BD C S r α=△ (4)分2916r ≤，当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到B C 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料A B C 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分D如图乙，设EO D θ∠=，则cos O E r θ=，sin D E r θ=，所以21(1cos )sin 2BD E S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，B D E △的面积最大值为2338r ． ………………………………………………………13分因为22339816r r >，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为2338r ．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠= .所以260POA ∠= ，所以直线O P 的方程为3y x =.……………………………………3分⑵由⑴知，直线2A P 的方程为3()y x a =--，1A P 的方程为3()3y x a =+，联立解得2P a x =. ………………………………………………………………………5分因为32e =，即32c a =，所以2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y aa=+.由22223(),341,y x a xy aa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分所以1()3274()7aa PQ a Q A a --==---． ………………………………………………………………8分⑶不妨设O M 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得22(,)1414a ak B k k ++，所以22114kO B a k+=+；……………………………………………………………………10分用1k-代替上面的k ，得2214k O C ak+=+．同理可得，221a OM k=+，221ak ON k=+．…………………………………………13分所以4122214(14)(4)kS S O B O C O M O N a k k ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅++．………………………14分因为22221115(14)(4)4()17kk k k k=++++≤，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，12n n a a +=，所以212n n a a +=，且0n a >．两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分 化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg 22lg 2a =+，所以数列{lg lg 2}n a +是以2lg 2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分所以11lg lg 22()lg 22n n a -=+，所以2212nn a --=．………………………………………6分⑵由12n n a a a +=+，得212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212nn a a a -=+，② ①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分 因为21a a =+，且0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立，所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x xx-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a xxx-=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分 ⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a xx---'=-+-=-．………………………………………6分若0a =，则2()2x g x x-'=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-， 若18a =-，2(1)2()0x g x x-'=≥，()g x 是单调增函数，当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分 若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90AC D BC D ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，C所以AC D E ∠=∠，BC D BD C ∠=∠，因为AD E BD C ∠=∠，所以90E AD E ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长D B 交B 于点F ，连结F C ，则2DF DB =，90D C F ∠=︒， 所以AC D F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以R t A D E △∽R t C D F △， 所以A D D E C DD F=，所以D E D C AD D F ⋅=⋅，因为2DF DB =，所以2D E D C AD D B ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''， 则133a x x ay x by bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M. ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)到直线的距离为413-=， 即235a =+，因为0a >，所以152a =-. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤. 所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分22．⑴以A C 的中点为原点O ，分别以,O A O B 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(0,0,3)B ，(1,2,0)N -，(0,4,3)M ，1(1,6,0)A ，1(1,6,0)C -.所以(1,4,3)AM =- ，11(2,0,0)A C =-.BCB 1C 1MNz所以11111125cos ,10220AM A C AM A C AM A C <>===， 所以异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值为510.…………………………………………5分⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面A M N 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(1,4,3)AM =- ，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n 得430,220,x y z x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩+++令1x =，则(1,1,3)=-n . 所以315cos ,55-<>===-m n m n m n，所以二面角1M AN A --的正弦值为105. ……………………………………………10分23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n nn n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n nx x --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-，因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,+∞(f x'++-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：x(,0-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,+∞(f x'+-++所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅-=-极小．…………6分（2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n nn n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mnn -=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n nn n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+ ，故0111()(C C C )2n n n nn n a a n +++++=⋅ ， 所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分()f x极大值极小值无极值。