解析几何公式-大全

解析几何中的基本公式
平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++
则：2
2
21B
A C C d +-=
注意点：x ，y 对应项系数应相等。

点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2
2
B
A C
By Ax d +++=
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨
⎧=+=0
)y ,x (F b
kx y
消y ：02
=++c bx ax ，务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+=
若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。

P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=+=222
121y y y x x x 变形后：y
y y y x x x x --=λ--=
λ21
21或 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2
11
21tan k k k k +-=
α
若l 1与l 2的夹角为θ，则=
θtan 2
1211k k k k +-，]2,0(π
∈θ
注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。

（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=
2
π。

（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→
→，，夹角b a ；
（3）直线l 与平面]2
0[π∈ββα，，的夹角；
（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2
0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，，
直线的倾斜角α与斜率k 的关系
每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。

若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。

直线l 1与直线l 2的的平行与垂直
（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2 ②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1
（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 l 1//l 2⇔
2
1
2121C C B B A A ≠
=； l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0；
l 1与l 2相交⇔
2
121B B A A ≠ l 1与l 2重合⇔
2
1
2121C C B B A A =
=； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在
点斜式： )( x x k y y -=- （1）斜率不存在： x x =
（2）斜率存在时为)( x x k y y -=- 两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=--
截距式：
1=+b
y
a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，交y 轴于),0(
b 当直线l 在坐标轴上，截距相等时应分：
（1）截距=0 设y=kx （2）截距=0≠a 设1=+a
y a x 即x+y=a 一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零） 11、直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若2
2
B
A C Bb Aa d +++=
，0<∆⇔⇔>相离r d
0=∆⇔⇔=相切r d 0>∆⇔⇔<相交r d 13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆
定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆。

标准方程：122
22=+b
y a x )0(>>b a
定义域：}{a x a x ≤≤-值域：}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴长=2b
焦距：2c
准线方程：c
a x 2
±=
焦半径：
)
(2
1c
a x e PF +=，
)
(2
2x c
a e PF -=，
2
12PF a PF -=，c a PF c a +≤≤-1等（注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。

）
注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +==等等。

顶点与准线距离、焦点与准线距
离分别与c b a ,,有关。

（2）21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起
来，建立1
PF +2PF 、1
PF •
2PF 等关系
（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨
⎧θ
=θ
=sin cos b y a x ；
（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相应的性质。

二、双曲线
（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。

（二）图形：
（三）性质 方
程
：
12
2
22=-b y a x
)0,0(>>b a 122
22=-b
x a y )0,0(>>b a
定义域：}{a x a x x ≤≥或； 值域为R ； 实轴长=a 2，虚轴长=2b
焦距：2c
准线方程：c
a x 2
±=
焦半径：
)(21c a x e PF +=，)(2
2x c
a e PF -=，a PF PF 221=-；
注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1
顶点到准线的距离：c a a c a a 22+-或；焦点到准线的距离：c a c c a c 22+-或;两准线间的距离=c a 2
2 （2）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a
b
y ±=
若渐近线方程为x a
b
y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x
若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x
（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） （3）特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，
可设为λ=-2
2
y x ；
（4）注意21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、2
1F F 和角结合起来。

二、抛物线
（一）定义：到定点F 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。

（二）图形：
（三）性质：方程：焦参数-->=p p px y ),0(,22；
焦点： )0,2
(
p
，通径p AB 2=； 准线： 2
p
x -=；
焦半径：,2p x CF += 过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++=21212
2
注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2
p
；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（2）抛物线px y 22
=上的动点可设为P ),2(2
y p
y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2
=其中。