江苏省盐城市文峰中学高中数学 第一章 第1课时 任意角教案 苏教版必修4
高一数学必修4(第一章)
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止边所旋转的最小正角为 θ ，则终止边所表示的角 β = α + θ ．本题还需要注意两点，一是 弧度制的正确使用；二是旋转边为直线的表示方法． 例 4． 一扇形 AOB 的面积是 1cm2，它的周长是 4cm，求扇形的半径及圆心角∠AOB． 分析 根据弧长及扇形面积计算公式列出方程组求解即可． 解 设扇形的半径为 r cm，圆心角∠AOB 为 α rad，
π π , k ∈ z }，B ={ x | x = 2kπ + , k ∈ z }，试判断集合 A 2 2
21．已知 A = { α | 2kπ ≤ α ≤ 2kπ + π , k ∈ z }，B = { α | −4 ≤ α ≤ 4 }，求 A∩B．
四、拓展视野
欧拉与弧度制
18 世纪以前，人们一直是用线段的长来定义三角函数的．瑞士数学家欧拉（Leonhardo Eulero，1707 年～1783 年） ，在他于 1748 年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》 中，提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值，并令圆的半径为 1，使得对三角函
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⑷ 不正确．如负角都是小于 90°的角，但都不是锐角． 点评 本题考查了关于各类角的定义及范围，要求学生概念清晰，并善于用举反例的方法进 行概念辨析． 并指出上述集合中介于 −180 和 180 之 例 2． 试写出终边在直线 y = x 上的所有角的集合， 间的角． 分析 先找出终边在直线 y = x 上且在 (0 , 360 ) 内的角，再写出与其终边相同的角的集合， 最后再考虑形式上的合并，然后给 k 赋值得出介于 −180 和 180 之间的角 解 终边在直线 y = x 上且在 (0 , 360 ) 内的角为 45 和 225 ， 所以终边与其相同的角的集合
江苏省盐城市文峰中学高二苏教版数学选修1-1教案：第1章第3课时简单的逻辑联结词
高中数学教教案第一章常用逻辑用语第 3 课时简单的逻辑联络词教课目的：1．经过数学实例，认识简单的逻辑联络词“或”、“且”、“非”的含义；2．能正确地利用“或”、“且”、“非”表述有关的数学内容；3．知道命题的否认与否命题的差别．教课要点：逻辑联络词“或” 、“且”、“非”的含义；教课难点：逻辑联络词“或”的含义；教课过程：Ⅰ.问题情境问题：判断下边的语句能否正确．⑴12 5；⑵3 是 12 的约数；Ⅱ.建构数学1．逻辑联络词2．真值表Ⅲ.数学应用例 1：分别指出以下命题的形式：(1) 87(2)2 是偶数且 2 是质数（3）不是整数练习：分别指出以下命题的形式：(1) 2 2 (2)1 既是奇数，又是素数（ 3）等腰三角形的两个底角不相等例 2：将以下命题用“且”联络成新命题，并判断它的真假：⑴p：平行四边形的对角线相互均分；q：平行四边形的对角线相等．⑵ p：菱形的对角线相互垂直； q：菱形的对角线相互均分．练习：将以下命题用“或”联络成新命题，并判断它的真假：（1） p： 47 是 7 的倍数或； q： 49 是 7 的倍数；（2） p：等腰梯形的对角线相互均分； q：等腰梯形的对角线相互垂直 .例 3．写出以下命题的否认，并判断它们的真假：⑴p： y sin x 是周期函数；⑵3 2 ；练习：写出以下命题的否认，并判断它们的真假：⑴ p：是无理数；⑵p：周长相等的两个三角形全等．Ⅳ.课时小结 :从会合的“交” 、“并”、“补”运算理解“且” 、“或”、“非”的含义．Ⅴ. 讲堂检测Ⅵ.课后作业：书籍P101， 2。
高一数学必修4第一章第一节导学案
高一数学必修4第一章第一节导学案课题：1.1.1任意角一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法；教学重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
教学难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
二、问题导学1、角的定义：___________________________;2、角的概念的推广：___________________________;3、正角___________________________; 负角 ___________________________; 零角概念___________________________.4、象限角___________________________。
5.终边相同的角的表示___________________________ 。
三、问题探究例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.四、课堂练习（1）教材6P 第3、4、5题.（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 五、自主小结 六、当堂检测1．设第一象限的角｝＝锐角｝，的角｝ 小于{G {F 90{o==E ，，那么有（）．A ．B ．C ．（） D ．2．用集合表示：（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在轴右侧的角的集合．3．在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2）；（3）．3.解：（1）∵∴与 角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与 终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．课后练习与提高1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？2. 下列命题正确的是： （ ）（A ）终边相同的角一定相等。
高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章《任意角》教案
《5.1.1 任意角》教学设计教学目标1．通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了解学习三角函数的必要性；2．了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养；3．掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．教学重难点教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角；终边相同的角．教学难点：任意角概念的建构；“0°～90°的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的角”这些概念之间的关系．课前准备PPT课件教学过程（一）整体感知问题1：请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的函数是什么？（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？预设的师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题．预设答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用．设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向．（二）新知探究1．任意角的概念、运算引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．问题2：如图1，O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？预设的师生活动：学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra动画）．预设答案：通过角的变化进行刻画．图1说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如Geogebra）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段OP用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点P的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系．设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角（版书）．问题3：我们以前所学角都在0°～360°的范围内，生活中有超出0°～360°角的例子吗？请你举例说明．预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．预设答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）；如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360°（如图）．追问1：这些角的不同，体现在哪几个方面？预设答案：两个方面，一是大小；二是方向． 设计意图：一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一方面，学生在用语言描述这些超出0°～360°角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定义角．追问2：假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．预设答案：逆时针旋转；分针会旋转450°（链接Geogebra 动画）．假如校准前如图（1），校准后应该为图（2）．图2（1） 图2（2）图3（1）图3（2）设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个方面，一是旋转方向；二是旋转量．追问3：以上问题中对角的描述的共性是什么？预设的答案：都要说清楚角的大小及旋转方向．问题4：请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负角、零角．这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的．设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向．练习1：你能分别作出210°、-150°、750°、-660°吗？预设的师生活动：学生作图，教师用Geogebra展示动画作图过程．预设答案：如图3（1）（2）（3）（4）．设计意图：熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从数到形的认识．追问1：你知道什么是两角相等？两角相加又是怎样规定的？预设的师生活动：学生回答．预设答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等；规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题．追问2：你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？预设的师生活动：学生回答．预设答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有α－β=α+（－β）．设计意图：类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算．练习2：你能用作图的方式反映出30°与-30°；30°+120°与150°；30°-120°与-90°的关系吗？预设的师生活动：学生分别作图并说明．图4（1） 图4（2）图4（4）图4（3）预设答案：如图5（1）（2）（3）．追问：对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？预设答案：对于一般的α－β，如果α＞β，则α－β＞0°；如果α=β，则α－β=0°；如果α＜β，则α－β＜0°．从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°，则顺时针旋转│β│；若β＜0°，则逆时针旋转│β│；若β=0°，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．设计意图：通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解，并能推广到一般情形，这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法．2．象限角问题5：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？预设的师生活动：学生互相交流后，再回答．预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准．在这个统一前提下，才能对象限角进行定义．另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便．这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论图5（3）图5（2） 图5（1）得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示．练习3：教材第171页第1、2、3题．预设的师生活动：由学生逐题给出答案．预设答案：1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．2．三，三，五．3．（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角．设计意图：检验学生对象限角的理解情况．3．终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？将－32°推广到一般角 ，结论应该是什么？预设的师生活动：教师演示（链接Geogebra动画），学生观察并思考后，再举手回答．预设答案：还有－392°、328°、688°等等；有无数个；相差360°的整数倍；{β｜β＝－32°＋k·360°，k∈Z}；{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}；设计意图：通过动画演示与回答问题，使学生明确：（1）终边相同的角不一定相等；（2）终边相同的角有无数个，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征；（3）这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360°的整数倍．例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．预设的师生活动：先由学生独立计算，再回答．追问：与－950°12′角终边相同的角都有什么共同点？预设答案：相差360°的整数倍；与－950°12′角终边相同的角可以写成{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，当k=3时，β＝129°48′，它是第二象限角．设计意图：熟悉终边相同的角的表示，并会在0°～360°范围内找出与已知角终边相同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．例2写出终边在y轴上的角的集合．预设的师生活动：学生先独立完成，再相互交流．追问：这些角终边在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？预设答案：两条；y轴正、负半轴上的角的集合分别为{β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}、{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}；相差180°的整数倍；{β｜β＝90°＋k·180°，k∈Z}．设计意图：此题是终边在坐标轴上的角的表示．应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释：“两个集合中的元素相差180°的整数倍．”设计意图：让学生熟悉简化角的集合的表示方法．上的角的集合S．S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素例3写出终边在直线y xβ有哪些？预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示．追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？预设答案：六个；所求角的范围包含了三周；S={β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；－315°、－135°、45°、225°、405°、585°．设计意图：此题主要是巩固终边相同的角的表示．为了使学生顺利完成相应的集合运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征．（三）归纳小结问题5：通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容？其作用是什么？其基本的研究方法是什么？本节课关于角的概念出现了几个定义？分别是怎样规定的？你能从数与形两个角度进行描述吗？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：学生自主总结，展示交流．预设答案：三角函数；刻画周期现象；与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用；角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角，规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．从形上看，终边相同的角就是“终边旋转整数周回到原来的位置”．设计意图：帮助学生梳理基本知识，提升数学抽象素养．（四）布置作业（1）分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合；（2）预习5.1.2弧度制的内容；（3）第175页习题5.1复习巩固1、2．（五）目标检测设计1．写出终边在x轴与坐标轴上的角的集合．2．写出与下列各角度终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β（教科书第171页练习第5题）：（1）1303°18′；（2）－225°．设计意图：检验学生对任意角、终边相同角和象限角的理解情况．参考答案：1．{β｜β＝k·180°，k∈Z}；{β｜β＝k·90°，k∈Z}；终边在x轴上的角相差180°的整数倍，而终边在坐标轴上的角相差90°的整数倍．2．（1）{β｜β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z}，－496°42′，－136°42′，223°18′；（2）{β｜β＝－225°＋k·360°，k∈Z}，－585°，－225°，135°．。
弧度制(最新)
课题：1.1.2 弧度制教学设计教材：苏教版高中数学必修4A 组7号【教材分析】本节课是苏教版必修4第1章第1节任意角、弧度的第2课时．三角函数这一章的教学共分为三大节，其中第1节任意角、弧度，分为两部分，第一部分是“任意角”，角的度量仍采用角度制，第二部分弧度制的本质用线段长度度量角的大小，用对应的弧长与圆半径之比来度量角，实现了角的集合与实数集R 之间一一对应的关系．弧度制统一了三角函数自变量与函数值的单位，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性， 同时学习弧度制为后续学习提供便利，如微积分中重要极限1sin lim 0=→x x x 成立，众多公式可以简化．所以本节课的学习对本章以及今后的数学学习十分重要． 【教学目标】1. 通过经历弧度制产生的过程，理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．2. 了解角的集合与实数集R 之间可以建立一一对应的关系．3. 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题． 【教学重点】 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． 【教学难点】 弧度的概念．【教学手段】 多媒体辅助教学，实验操作、小组讨论、相机引导相结合. 【教学过程】 一、实验：直观感知导语 同学们，很高兴能来省常中参加这次优课比赛，很巧昨天正好也是我儿子10周岁的生日．经过中心将圆形蛋糕切三刀分成了6块，这6块大小相差无几．现从中挑出最大的一块给儿子，同学们帮我想想办法?问题1 在半径为r 的圆O 中，如何比较AOB ∠与COD ∠的大小，并说明理由．可能方案： （1）用量角器度量． （2）比较弦长． （3）比较弧长．【设计意图说明】 数学源于生活，对生活中的深刻研究是数学发现的最自然的来源．结合情境，让学生直观感知，抽象出数学模型，并通过实验操作、合作交流来比较AOB ∠与COD ∠的大小．重温了角度制，对同圆或等圆中的弦、弧、圆心角之间关系进行了回顾，培养了学生直观想象，数学建模的能力．问题2 当弧长l 一定时，随着半径r 的增大，圆心角α发生什么变化?问题3 弧长l 、半径r 和圆心角α三者之间存在怎样的数量关系式?本质揭示 通过弧长公式π180n r l =，引导学生利用l 与r 的比值来表示圆心角180l n r =⋅π．画板验证【设计意图说明】 构建开放的活动，让学生经历直观感知——公式说理——画板验证等环节，感悟数学的严谨之美．通过几何画板实验得到：圆心角随着l 与r 的比值的确定而唯一确定，从而启发学生，利用l 与r 的比值来度量圆心角，同时穿插数学史，鼓励学生用审慎、科学严谨的数学眼光和数学思维去观察和思考． 二、探究：意义建构形成定义问题4 请你在给出的实验纸上作出1弧度的角．问题5 弧度制下1 弧度的角和角度制下︒60角相比，哪一个更大呢?【设计意图说明】通过学生活动，进一步理解1弧度的角的定义，建立对1弧度的角的直观理解，并加深对定义的理性认识．问题6 完成下表．【设计意图说明】 由1 rad 的定义出发，引导学生发现||lrα=．通过两组特殊数据：2π=360︒和π=180︒．发现角度和弧度之间的互化关系，培养学生依托数据分析解决问题的能力． 三、引导：实践应用做一做：在下图中写出各特殊角所对应的弧度数．例1 请将下表中的弧度和角度互化．π180°165°150°135°120°105°90°75°60°45°30°15°0°【设计意图说明】 强化弧度与角度之间的互化，一方面帮助学生巩固所学，正确进行弧度与角度的互化，熟记特殊角的弧度数；另一方面通过规范化思考问题，提升学生的数学运算素养． 例2 推导弧度制下的弧长和扇形面积公式应用：已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为 2 rad ，求该扇形的面积．【设计意图说明】 通过弧度制的定义得到弧长公式，类比初中推导扇形面积公式的方法得到弧度制下的扇形面积公式．培养学生逻辑思考数学问题的能力，形成合乎逻辑的思维品质和理性精神． 四、提炼：反思拓展 知识结构：【设计意图说明】通过提要素、理关系、建结构、明功能，对本节内容进行梳理重构，形成可见的思维结构．【课后作业】基础达标：教材第10页，习题1.1中3，4，6，8，9．能力提升：①教材第10页，习题1.1中10．②用弧度制表示：终边相同的角、各轴线角、各象限角的集合．拓展探究：①搜集与弧度制有关的数学故事（数学史），并相互交流．②了解度量角的其它单位制．。
2022-2023学年苏教版江苏高一数学上学期同步讲义第01讲 角与弧度(教师版)
第7章三角函数第01讲 不等式的性质课程标准重难点1. 理解任意角的概念；2. 掌握象限角和终边相同的角的集合表示；3. 会表示终边相同的角；4. 理解并掌握象限角及其应用．5. 理解弧度制的概念；6. 掌握角度制与弧度制的换算；7. 会利用弧度制表示角；8. 会利用扇形的弧长公式及面积公式解决实际问题． 1. 理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角、弧度制的概念及表示.2. 认识集合S 中k 、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360︒的整数倍．掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算．一、任意角 1.角的概念有关概念 描 述定义 角可以看成平面内① 绕着② 从一个位置 ③ 到另一个位置所成的④图示其中O 为⑤ ，OA 为⑥ ，OB 为⑦记法角α或α∠，或简记为α2.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型 定义图示正按⑧ 旋转形成的角知识精讲目标导航角 负角 按⑨ 旋转形成的角零角一条射线⑩ ，称它形成了一个零角3.. 象限角：⑪在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角.4.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合⑫，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个○13的和. 二、弧度制 1. 角的单位制 (1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于 ① 的弧所对的 ② 叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做 ③ ，它的单位符号是rad ，读作 ④ ，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个 ⑤ ，负角的弧度数是一个 ⑥ ，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ ⑦ . 2．角度与弧度的换算角度化弧度 弧度化角度 360°＝ ⑧ 2π rad＝360° 180°＝ ⑨ π rad＝ ⑩1°＝180πrad≈0.017 45 rad1 rad ＝180()π°≈57.30°3.弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l ＝180n r πS ＝2360n r π弧度制 l ＝ ⑪ S ＝ ⑫参考答案一、①一条射线 ②端点 ③旋转 ④图形 ⑤顶点 ⑥始边 ⑦终边 ⑧逆时针方向 ⑨顺时针方向 ⑩没有作任何旋转 ⑪终边 ⑫ {β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } ○13周角 二、①半径长 ②圆心角 ③弧度制 ④弧度 ⑤正数⑥负数 ⑦1r⑧2πrad ⑨πrad ⑩180° ⑪|α|·r ⑫ 12lr ＝12|α|r 2考法01 任意角引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．（2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置．（3）角的范围不再限于[0,360]︒︒．（4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．（5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．（6）角的记法：用一个希腊字母表示，如α，β，γ，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“∠”，中间的字母表示角的顶点，如AOB ∠，DEF ∠，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为“α”．（7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化αβ-为()αβ+-．能力拓展1．喜洋洋步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是（ ） A ．30︒ B ．30-︒ C ．60︒D ．60-︒【思路分析】分针60分钟走一圈→计算出分针1分钟走的度数→计算出分针10分钟走的度数→注意角度的正负． 【答案】D【解析】利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角， 又周角为360︒，所以有36026012︒⨯=︒， 即分针走过的角度是60-︒． 故选D ．【跟踪训练】1．（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．（2）如图，射线OA 绕顶点O 逆时针旋转45︒到OB 位置，并在此基础上顺时针旋转120︒到达OC 位置，则AOC ∠= ．【思路分析】（1）计算出指针单位时间内走过的度数→乘以时间．（2）45AOB ∠=︒→120BOC ∠=-︒→AOC AOB BOC ∠=∠+∠ 【答案】（1）100-︒ 1200-︒ （2）75-︒【解析】（1）从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转30︒，分针每小时转360︒，每分钟转6︒、时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即133小时，故时针转过的角度数为13301003-⨯︒=-︒；分针转过的角度数为1336012003-⨯︒=-︒．（2）由角的定义可得45(120)75AOC AOB BOC ∠=∠+∠=︒+-︒=-︒．例 1考法02 象限角1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例如：由于图（1）中的角45︒，405︒，315-︒都是始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角480︒是第二象限角，70-︒，290︒都是第四象限角．2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，0︒，90︒，180-︒，630︒等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角．给出下列四个命题：①75-︒角是第四象限角； ②225︒角是第三象限角； ③475︒角是第二象限角； ④315-︒角是第一象限角； ⑤90-︒角是第四象限角． 其中正确的命题的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】把已知角α写成360(,0360)k k αββ=︒+∈︒<︒Z →用象限角的概念判断.【答案】C【解析】利用象限角的概念来判断． 先把已知角α写成360(,0360)k k αββ=︒+∈︒<︒Z 的形式，再判断β是第几象限角， 从而确定α是第几象限角． 所以①②③④都对．90-︒的角的终边在y 轴的非正半轴上，例 2所以90-︒角不是第四象限角． 因此⑤是不正确的． 所以正确的命题的个数是4． 故选C ． 【跟踪训练】判断下列各角分别是第几象限角：670︒，480︒，150-︒，45︒，405︒，120︒，240-︒，210︒，570︒，310︒，50-︒，315-︒．【解析】45︒，405︒，315-︒是第一象限角； 120︒，480︒，240-︒是第二象限角； 210︒，570︒，150-︒是第三象限角； 310︒，670︒，50-︒是第四象限角．考法03 终边相同的角1．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{|360S k ββα==+︒，}k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．象限角的分类及表示方法如下：36090360,}k k α︒<<︒+︒∈Z 90360180360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z |180360270360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z 270360360360,}k k k α︒+︒<<︒+︒∈Z3．设{|45360,}S k k ββ==︒+︒∈Z ，显然，所有与45︒角终边相同的角都是集合S 的元素；反过来，集合S 中的任何一个元素也都与45︒角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{|360,}S k k ββα==+︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4．利用与角α终边相同的角的集合，可把任意角β转化成360k βα=+︒，k ∈Z ，0360α︒<︒的形式；也可利用与角α终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角α终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在0︒~360︒范围内，第一象限角表示为090α︒<<︒，然后在两端加上360k ︒，k ∈Z ，即可得到第一象限角的集合：{|36036090k k αα︒<<︒+︒，}k ∈Z ，其他各象限角同理可得．若α为象限界角，如终边落在x 轴的负半轴上，代表角为180︒，所以终边落在x 轴的负半轴上的角的集合为{|360180k αα=︒+︒，}k ∈Z ．同理可得其他非象限角的集合．已知1910α=-︒．（1）把α写成360(k k αβ=+︒∈Z ，0360)β︒<︒的形式，并指出它是第几象限角；（2）求θ，使θ与α的终边相同，且7200θ-︒︒．【思路分析】用所给角除以360︒，将余数作为β即可．注意负角除以360︒时，为保证余数为正角，试商时应使得到的负角的绝对值大于已知负角的绝对值． 【解析】（1）∵19103606-︒÷︒=-余250︒， ∴19106360250-︒=-⨯︒+︒， ∴相应的250β=︒，是第三象限角． ∴6360250α=-⨯︒+︒是第三象限角． （2）令250360()k k θ=︒+︒∈Z ， 取1k =-，2-，则250360110︒-︒=-︒，250720470︒-︒=-︒． ∴与α的终边相同，且适合7200θ-︒︒的角θ为110-︒角，470-︒角．【跟踪训练】与457-︒角终边相同的角的集合是（ ）A ．{|360457k αα=︒+︒，}k ∈ZB ．{|36097k αα=︒+︒，}k ∈ZC ．{|360263k αα=︒+︒，}k ∈ZD ．{|360263k αα=︒-︒，}k ∈Z【思路分析】用所给角除以360︒，将余数作为β即可．注意负角除以360︒时，为保证余数为正角． 【答案】C【解析】题目考查终边相同的角的表示方法，可用特殊值法研究，也可用定义分析解决，由4572360263-︒=-⨯︒+︒，可得给论为C ，或者由457-︒角与97-︒角终边相同，97-︒角与263︒角终边相同，263︒角应与360263k ︒+︒角终边相同，故应选C ．考法04 角度与弧度之间的互化1．将角度化为弧度3602π︒=rad ；180π︒=rad ；π1rad 0.01745180︒=≈rad ． 2．将弧度化为角度2π rad=360︒；π rad 180=︒；1801rad ()57.305718π'=︒≈︒=︒ ．【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如sin 2是指sin （2弧度）；π180=︒是指π弧度180=︒．以度为单位表示角时，度就不能省去．（2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π化成小数，如π454︒=弧度，不必写成450.785︒≈弧度． （3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便．（4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了．（5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad 180=︒是关键，由它可以得到：角度π180⨯︒=弧度，弧度⨯180π︒=角度． 1．将下列角度与弧度进行互化：（1）20︒；（2）15-︒；（3）7π12；（4）11π5-．【思路分析】利用公式1°＝180π rad 或1 rad ＝180π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭进行换算． 【解析】（1）20π20π1809︒==； （2）15π15π18012-︒=-=-； （3）7π7π1807()(180)1051212π12=⨯︒=⨯︒=︒； （4）11π11π18011()(180)39655π5-=-⨯︒=-⨯︒=-︒． 【跟踪训练】（1）300-︒化为弧度是（ ）A ．4π3- B ．5π3-C ．7π4- D ．7π6-（2）8π5化为角度是（ ） A ．270︒ B ．280︒ C ．288︒D ．318︒【思路分析】利用公式1°＝180π rad 或1 rad ＝180π⎛⎫⎪⎝⎭进行换算．【答案】B C 【解析】（1）∵π1180︒=rad ， ∴π5π300300 rad rad 1803-︒=-⨯=-．故选B ． （2）∵1 rad 180()π=︒，∴8π5 rad 8π180()2885π=⨯︒=︒，故选C ．考法05 弧长与面积公式1．弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则lrα=，变形可得l r α=，此公式称为弧长公式，其中的α是弧度角．2．扇形面积公式因为圆心角为1 rad 的扇形面积为22π12π2r r =，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为lr rad ，所以其面积为2122l r S lr r =⨯=，将l r α=代入上式可得21122S lr r α==，此公式称为扇形面积公式．显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单的多，记忆和应用也就更加方便．已知一个扇形的周长为8π49+，圆心角为80︒，求这个扇形的面积． 【思路分析】先根据扇形的周长等于弧长加两个半径长列出方程，求出半径的长度，再用扇形的面积公式计算．【解析】设扇形的半径为r ，面积为S ， 则扇形的圆心角为π4π801809⨯=． ∴扇形的弧长为4π9r ，∴4π8π2499r r +=+， ∴2r =．∴214π8π299S r ==． 即扇形的面积为8π9．【解题技巧】求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．【跟踪训练】直径为20 cm 的圆中，求弧度为4π3的圆心角所对的弧长及该扇形的面积． 【思路分析】先用弧长公式求出弧长，再用扇形的面积公式求出扇形的面积． 【解析】因为直径为20 cm ， 所以10r =cm ，又4π3α=， 所以弧长4π40π1033l r α==⨯=（cm ）， 面积1140π200π102233S lr ==⨯⨯=（2cm ）．题组A 基础过关练1．已知扇形的弧长l 为23π，圆心角α为3π，则该扇形的面积S 为（ ） A ．6π B ．23πC ．43πD ．3π【答案】B 【解析】扇形的圆心角α为3π，弧长l 为23π，∴扇形的半径2l r α==，∴扇形的面积112222233S lr ππ==⨯⨯=． 故选：B ．2．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）分层提分A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B【解析】扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B3．与20-︒终边相同的角是（ ） A ．340-︒ B ．170°C ．20°D ．340°【答案】D【解析】与20-︒终边相同的角一定可以写成36020k ⨯︒-︒的形式，k Z ∈， 令1k = 可得，20-︒与340︒终边相同，其它选项均不合题意，故选：D ．4．如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是（ ）A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°【答案】C【解析】一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为3603012︒=︒，丑时与午时相差5个时辰，故丑时与午时的夹角为305150︒⨯=︒ 故选：C5．装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（ ） A ．55厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B【解析】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）．故选：B 6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位的单位制叫做密位制．在角的密位制中，采用4个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数和十位数之间画一条短线连接（不足100密位的角用0补全百位和十位），例如7密位写成“007-”，2021密位写成“2021-”，1周角等于6000密位，记作“6000-”．如果一个半径为2的扇形的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B【解析】设扇形半径为r ，圆心角为α，则扇形面积为221172226r ααπ=⋅=， 则7π12α=，则其表示的密位为()726000175012ππ÷⨯=，即17-50.故选：B 7．密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-.如果一个扇形的半径为2，面积为73π，则其圆心角可以用密位制表示为（ ） A ．25-00 B ．35-00C ．42-00D ．70-00【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则217223απ⨯=，则76απ=，由题意可知，其密位大小为76600035002ππ⨯=密位，用密位制表示为35-00.故选：B.8．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D【解析】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．题组B 能力提升练1．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S 的比值为510.6182≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（ ）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C ．2(51)απ=D ．12512αα-=【答案】BCD【解析】设扇形的半径为R ，由211122221512122R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，22512απ-+=，解得)251απ=，故C 正确；510.618-≈51 1.236≈， 所以)251 1.236180222.5απ=-≈⨯≈，所以1360222.5137.5α≈-=︒，故B 正确.故选：BCD 2．下列说法错误的是（ ） A ．第二象限角比第一象限角大 B ．60角与600角是终边相同角 C ．钝角一定是第二象限角D ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为3π 【答案】AB【解析】A 中，第二象限角比第一象限角大不正确，如100︒是第二象限角，400︒是第一象限角； B 中，因为60036060,k k Z ︒≠⋅︒+︒∈,所以60角与600角终边不同，故错误；C 中，因为钝角的范围为(,)2ππ，所以钝角是第二象限角，故正确；D 中，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为3π正确.故选：AB 3．关于角度，下列说法正确的是（ ） A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60︒ B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角 【答案】BD【解析】对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是60-︒，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90︒，是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，角α的终边在第二象限，π2π2ππ2k k α∴+<<+，k ∈Z ， ππππ422k k α∴+<<+， 当k 为偶数时，ππ2π2π422n n α+<<+，n ∈Z ，得2α是第一象限角；当k 为奇数时，()()ππ21π21π422n n α++<<++，n ∈Z ，得2α是第三象限角，故正确．故选：BD4．如图，扇形AOB 的圆心角为60，半径为6，记弓形ACB 的面积为1S ，扇形AOB 的面积为2S ，则12S S =______．【答案】2332ππ-【解析】扇形AOB 的面积2260π66π360S ，弓形ACB 的面积1216π6336π932OABS S S △， 则1269323362S S ππππ--==， 故答案为：2332ππ-.5．折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时须展开，成扇形，聚头散尾.如图，某折扇的扇骨长度15cm OA =，扇面长度10cm AB =，已知折扇展开所对圆心角的弧度为32，则扇面的面积为___________.【答案】2150cm【解析】由题可知，扇面的面积为2221313155150cm 2222⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：2150cm . 6．与2021︒终边相同的最小正角是___________.【答案】221︒【解析】因为202118002215360221︒=︒+︒=⨯︒+︒，所以与2021︒终边相同的最小正角是221︒.故答案为：221︒.7．在与角2010-︒终边相同的角中，求满足下列条件的角． （1）最小的正角； （2）最大的负角； （3）720~720-︒︒内的角．【答案】（1）150α=︒；（2）210α=-︒；（3）570α=-︒、210-︒、150︒、510︒. 【解析】20103606150-︒=-︒⨯+︒ 150∴︒和2010-︒终边相同其余的终边相同的角度可以写成360150()k k Z α=︒+︒∈ （1）当0k =时是最小的正角，150α=︒； （2）当1k =-时是最大的负角，210α=-︒；（3）当2k =-，1-，0，1时，570α=-︒、210-︒、150︒、510︒符合条件． 8．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 （1）133π，（2）263π-，（3）67.5︒，（4）103π-，（5）12π，（6）74π．【答案】（1）780︒；（2）1560-︒；（3）38π；（4）600-︒；（5）15︒；（6）315︒． 【解析】（1）780780180π︒=⨯弧度133π=弧度， （2）156********π-︒=-⨯弧度263π=-弧度， （3）67.567.5180π︒=弧度38π=弧度． （4）103π-弧度101806003=-⨯︒=-︒，（5）12π弧度1801512︒==︒， （6）74π弧度71803154=⨯︒=︒．题组C 培优拔尖练1．若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置可能是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．笫四象限【答案】ABD【解析】α是第二象限的角，则222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，2236333k k ππαππ+<<<，k Z ∈， 当3,k n n Z =∈时，3α是第一象限角， 当31,k n n Z =+∈时，3α是第二象限角，当32,k n n Z =+∈时，3α是第四象限角，故选：ABD ．2．下列命题中正确的是（ ） A ．若角α是第三象限角，则3α可能在第三象限 B ．35cos cos 022ππαα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若tan 0α<且sin 0α>，则α为第二象限角D ．锐角α终边上一点坐标为(cos 2,sin 2)P -，则2απ=- 【答案】ACD【解析】对于A ,角α是第三象限角,即322()2k k k Z ππαππ+<<+∈,所以2121()33332k k k Z αππππ+<<+∈,当3,k n n Z =∈时, 3α为第一象限角; 当31,k n n Z =+∈时, 3α为第三象限角; 当32,k n n Z =+∈时, 3α为第四象限角,故3α可能在第三象限正确,故A 选项正确.对于B ,运用诱导公式化简35cos cos sin sin 2sin 22ππααααα⎛⎫⎛⎫-++=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 选项不正确. 对于C ,若tan 0α<,则α为第二象限角或者第四象限角,若sin 0α>,则α为第一象限角或者第二象限角,同时满足tan 0α<且sin 0α>,则α为第二象限角,故C 选项正确. 对于D ,因为锐角α终边上一点坐标为(cos 2,sin 2)P -,由三角函数定义可得sin 2tan tan 2tan(2)cos 2απ==-=--,又因为02πα<<，所以2απ=-,故D 选项正确.综上ACD 选项正确.故选ACD3．在北纬60圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【答案】3Rπ 【解析】设甲、乙两地分别为,A B ， 北纬圈所在圆的半径为2R ， 它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于2Rπ（R 为地球半径）， 22RRπθ=⨯（θ是两地在北纬60圈上对应的圆心角）， 故θπ=. 所以线段22RAB R =⨯= 设地球的中心为O ，则AOB ∆是等边三角形， 所以3AOB π∠=，故这两地的球面距离是3Rπ. 4．如图，已知长为3dm ，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【答案】()()9236l dm π+=， ()274S dm π=．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()131dm 22l AB πππ=⨯=⨯+=，面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=．在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=，面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长()3233dm 333l A D πππ=⨯=⨯=， 面积()232131323dm 2332S A D πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 综上，点A 走过的路程()()1239233dm 236l l l l ππππ+=++=++=， 点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424S S S S ππππ=++=++=． 5．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0180αβ︒︒<<<）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限．（1）求α，β的值．（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，求当它们从点A 出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．【答案】（1）3607α⎛⎫= ⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）45πcm . 【解析】（1）由题意可得，14α与14β都是360的整数倍，不妨设()36140k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈， 则()1807k k Z α=⋅∈，()1807m m Z β=⋅∈， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，所以902180902180αβ⎧<<⎨<<⎩，即()()29018018072901801807k k Z m m Z ⎧<⋅<∈⎪⎪⎨⎪<⋅<∈⎪⎩，所以()()77427742k k Z m m Z ⎧<<∈⎪⎪⎨⎪<<∈⎪⎩， 因为0180αβ︒︒<<<，所以k m <，所以2k =，3m =，即3607α⎛⎫= ⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒，则()360t αβ+=，即36054036077t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得145t =， 所以红蚂蚁爬过的角度为144t α=，因为圆的半径为1cm ，所以红蚂蚁爬过的距离为1444213605ππ⋅⋅=cm . 6．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l.(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝ (cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为.(3)由已知得，l＋2R＝20.所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.。
江苏省盐城市文峰中学高中数学 第一章 第13课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2)教学案 苏教版必修4
盐城市文峰中学高中数学教学案
第一章 三角函数
第13课时 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象（2） 教学目标：
1.理解函数y ＝Asin （ωx ＋φ）图象的特征；
2.能根据条件求函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的表达式.
教学重点：
函数y ＝Asin （ωx ＋φ）图象及其性质的应用
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
Ⅲ.数学应用
例1：试指出函数⎪⎭⎫
⎝⎛+=32sin 3πx y 的对称轴方程和对称中心的坐标.
练习：试指出函数⎪⎭⎫
⎝⎛+=32cos 3πx y 的对称轴方程和对称中心的坐标.
例2：已知点M ⎪⎭
⎫ ⎝⎛4,12π是函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A>0）的图象的一个最高点，且点N ⎪⎭
⎫
⎝⎛-4,127π是图象上与M 相邻的一个最低点，求此函数的解析式.
练习：已知点M ⎪⎭
⎫ ⎝⎛6,6π是函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A>0）的图象的一个最高点，且点N ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,67π是图象上与M 相邻的一个最低点，求此函数的解析式.
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本求，P 45 7，8。
江苏省盐城市文峰中学高中数学 第1章 常用逻辑用语 第
第一章 常用逻辑用语
第1课时 命题及其关系
教学目标：
1. 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；
2．会分析四种命题之间的相互关系及判别命题的真假．
3．提高学生分析问题解决问题的能力，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．
教学重点：
四种命题的相互关系．
教学难点：
由原命题准确写出另外三种命题．
教学过程：
Ⅰ.问题情境
复习命题的概念．
Ⅱ.建构数学
1．四种命题
2．四种命题之间的关系
Ⅲ.数学应用
例1 写出命题“若0=a ，则0=ab ”的逆命题，否命题与逆否命题。
变式练习：已知命题“负数的平方是正数”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
例2 把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：
（1）两个全等三角形的三边对应相等；
（2）四条边相等的四边形是正方形。
变式练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．并判断它们的真假：
（1）若1m <，则2
20x x m ++=方程有实数根；
（2）奇函数的图象关于原点对称；
（3）若220x x +-=，则1x =；
（4）2280x x ++>的解集是空集．
思考：已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.
Ⅳ. 课时小结:
Ⅴ. 课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P8习题1，2。
江苏省盐城市文峰中学高中数学第一章第1课时棱柱、棱锥和棱台教案苏教版必修2
盐城市文峰中学高中数学教学案
第一章立体几何初步
第1课时棱柱、棱锥和棱台
教学目标：
1. 通过实物操作，增强学生的直观感知；
2. 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征;
3. 培养学生的空间想象能力和抽象括能力教学重点：
棱柱、棱锥、棱台教学过程：
I •问题情境
观察下面的几何体，它们有什么共同特点?
共同特点:
n .建构数学
1. 棱柱:
2. 棱锥:
3. 棱台:
4. 多面体:
川.数学应用
例1: 画一个三棱柱
练习：画一个四棱柱例2: 画一个四棱锥练习：画一个三棱锥例3: 画一个四棱台练习：画一个三棱台
w.课时小结
v.课堂检测w.课后作业
分别画一个三棱柱和四棱锥, 并指出其底面、侧面和侧棱。
高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。
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盐城市文峰中学高中数学教学案
第一章 三角函数
第1课时 任意角
教学目标：
1.了解任意角的概念；
2.熟练掌握象限角的集合、及终边相同的角的表示方法；
3.树立运动变化的观点.
教学重点：
象限角的集合、及终边相同的角的表示方法
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
角：
正角：
负角：
零角：
象限角：
终边相同的角：
Ⅲ.数学应用
例1：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β≤
720°的元素β写出来：(1)60° （2）－21° （3）363°14′
练习：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式0°≤β≤
360°的元素β写出来：(1) －30° （2）－120° （3）390°
例2：写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示).
练习：写出终边在x轴上的角的集合(用0°到360°的角表示).
例3：在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限
角：(1)－120° （2）240° （3）－950°12′
练习：若是第三象限角，试求2、3的范围.
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P10 1,2