高等数学空间曲线画法1
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大学课件高等数学空间曲线及其方程
(x a 2 ) y
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x
上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x
上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程
高等数学-空间曲线及其在坐标面上的投影PPT课件
交线方程为
2 y2 x2
2
x2
z
z
消去z 得投影柱面 x2 y2 1
在xoy面上的投影为
x2 y2 1 z 0
例 求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
解
由
z z
2 x2
x2 y2
y2
z
得交线L：
1
x2 y2 1 z 1
o
x
.
y
例 求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
解
由
z z
2 x2
x2 y2
y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .
.
z 0
.
o
.
.
x
y
z =0
2
一、填空题：
xoz平面上的投影方程是_______________；
4、方程组
y y
5 2
x x
1 3
在平面解析几何中表示______；
x2 5、方程组 4
y2 9
1在平面解析几何中表示_______
y 3
______，在空间解析几何中表示_______________；
6 、旋转抛物面z x2 y2 (0 z 4 ) 在xoy 面的投影为__________， 在 yoz 面的投影为____________， 在 zox 面上的投影为__________.
例 求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影。
空间曲线PPT课件
空间曲线ppt课件
contents
目录
• 空间曲线的基本概念 • 空间曲线的方程 • 空间曲线的几何性质 • 空间曲线在几何图形中的应用 • 空间曲线在现实生活中的应用 • 空间曲线的发展前景与展望
01
CATALOGUE
空间曲线的基本概念
定义与特性
定义
空间曲线是由三维空间中的点的 集合构成，这些点通过连续的参 数变化而形成一条连续的轨迹。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t，将空间曲线 上的点与参数t关联起来，形成参数 方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状 和方向，但有时候参数的选择可能较 为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴，将空间曲线上的点与三个坐标轴上的 值关联起来，形成直角坐标方程。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一，它是连接点与点之间 的桥梁，也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积 分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外，空间曲线还 在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，如建筑设计 、机械设计、动画制作等。
直角坐标方程的应用
直角坐标方程广泛应用于解析几何、微积分等领域。
极坐标方程
极坐标方程
利用极径和极角来描述空间曲线上的 点，形成极坐标方程。
极坐标方程的特点
极坐标方程可以方便地描述旋转对称 的曲线，但在处理复杂曲线时可能不 够直观。
球坐标方程
球坐标方程
利用球径和球角来描述空间曲线上的点，形成球坐标方程。
contents
目录
• 空间曲线的基本概念 • 空间曲线的方程 • 空间曲线的几何性质 • 空间曲线在几何图形中的应用 • 空间曲线在现实生活中的应用 • 空间曲线的发展前景与展望
01
CATALOGUE
空间曲线的基本概念
定义与特性
定义
空间曲线是由三维空间中的点的 集合构成，这些点通过连续的参 数变化而形成一条连续的轨迹。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t，将空间曲线 上的点与参数t关联起来，形成参数 方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状 和方向，但有时候参数的选择可能较 为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴，将空间曲线上的点与三个坐标轴上的 值关联起来，形成直角坐标方程。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一，它是连接点与点之间 的桥梁，也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积 分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外，空间曲线还 在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，如建筑设计 、机械设计、动画制作等。
直角坐标方程的应用
直角坐标方程广泛应用于解析几何、微积分等领域。
极坐标方程
极坐标方程
利用极径和极角来描述空间曲线上的 点，形成极坐标方程。
极坐标方程的特点
极坐标方程可以方便地描述旋转对称 的曲线，但在处理复杂曲线时可能不 够直观。
球坐标方程
球坐标方程
利用球径和球角来描述空间曲线上的点，形成球坐标方程。
第三节空间曲线
(s)为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为
k (s), (s)
s s 为了确定曲线的位置，设 空间 P0 点（即 r(s0 ) r0
）0，时并，且曲在线该对点应的
基本向量为给定的两两正交的右手系的单位向
量 0, 0,0
证明（1）以 (s) 和 (s) 为系数建立微分方程组
因曲线 (C) 在 p 点的密切平面，又因为
和 都垂直于切向量 ，所以
和 所确定的平面是曲线上 p 点的法平 面， 和 所确定的平面则称为曲线 (C)
上 p 点的从切平面
方程分别为： 密切平面
或 法平面
或 从切平面
线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我 们把 k k(s), (s) 称为空间曲线的自 然方程。
空间曲线论的基本定理：
给出闭区间[s0.s1]上的两个连续函数 s 0, (s) ，则
除了空间的位置差别外，惟一地存在一条空间曲线，
s 使得参数 是曲线的自然参数，并且 和(s分) 别
1 2!
k0
0
(s)2
16其(中k0
20 k0
10
0 k0
20 3
0
0
)(s)3 ,
而 0,0, 0, 0, k0,0
等表示在点 r(s0 )的值。
由上式可得
r(s0
s)
r(s
0
)
[s
1 6
(k
2 0
1)(s)3
向量的夹角是
由第一节命题知（P11） lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋 转速度。
k (s), (s)
s s 为了确定曲线的位置，设 空间 P0 点（即 r(s0 ) r0
）0，时并，且曲在线该对点应的
基本向量为给定的两两正交的右手系的单位向
量 0, 0,0
证明（1）以 (s) 和 (s) 为系数建立微分方程组
因曲线 (C) 在 p 点的密切平面，又因为
和 都垂直于切向量 ，所以
和 所确定的平面是曲线上 p 点的法平 面， 和 所确定的平面则称为曲线 (C)
上 p 点的从切平面
方程分别为： 密切平面
或 法平面
或 从切平面
线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我 们把 k k(s), (s) 称为空间曲线的自 然方程。
空间曲线论的基本定理：
给出闭区间[s0.s1]上的两个连续函数 s 0, (s) ，则
除了空间的位置差别外，惟一地存在一条空间曲线，
s 使得参数 是曲线的自然参数，并且 和(s分) 别
1 2!
k0
0
(s)2
16其(中k0
20 k0
10
0 k0
20 3
0
0
)(s)3 ,
而 0,0, 0, 0, k0,0
等表示在点 r(s0 )的值。
由上式可得
r(s0
s)
r(s
0
)
[s
1 6
(k
2 0
1)(s)3
向量的夹角是
由第一节命题知（P11） lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋 转速度。
空间曲面与空间曲线【高等数学PPT课件】
研究空间曲面有两个基本问题：
S
（1）已知一曲面的几何轨迹， 建立曲面方程．
oy x F(x, y, z) 0
（2）已知一三元方程 F(x, y, z ) = 0 研究曲面形状．
以下给出几例常见的曲面：
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为
R 的球面方程.
z
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
y
0
.
o x
z
(3) y x 表示母线平行z轴的平面.
z
o
y
x
y x
平面
例2
y2 b2
z c
2 2
1
椭圆柱面
//x 轴
准线为：
y2 b2
z2 c2
x 0
1
x2 a2
y2 b2
1 双曲柱面
// z轴
准线为：
x2 a2
y2 b2
1
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴 准线为： x2 2 pz
交准线于点 M0 ( x0 , y0 ,1)( x02 y02 1),
OM OM0
即有 x0 y0 1 , x yz
即
x0
x z
,
y0
y, z
代入 x02 y02 1 得 x2 y2 z2 圆锥面 x
z
M
0
M
o y
常见锥面及方程:
x y2 z2 y x2 z2
o
y
x
该圆还可表示为下列形式:
x2 y2 z2 1
高等数学同济大学课件上第74空间曲线
空间曲线在其他领域的应用前景
建筑设计：空间曲线在建筑 造型、结构设计等领域有应 用
机械设计：空间曲线在机械 零件设计、机器人运动规划 等领域有应用
计算机图形学：空间曲线在 3D建模、动画制作等领域 有广泛应用
生物医学：空间曲线在生物 组织建模、医学图像处理等
领域有应用
航空航天：空间曲线在航天 器设计、飞行器轨迹规划等
掌握空间曲线的技巧和注意事项
理解概念：掌握空间曲线的定义、性质和特点 动手实践：通过绘制空间曲线，加深理解和记忆 学习工具：掌握使用绘图软件绘制空间曲线的方法 注意事项：注意空间曲线的连续性和光滑性，避免出现错误和遗漏
如何将空间曲线应用于实际问题和科学研究中
理解空间曲线的基本概念和性质
掌握空间曲线的表示方法和计算方 法
学习空间曲线的意义和方法
空间曲线是数学中 的重要概念，掌握 它可以帮助我们更 好地理解和解决实 际问题。
学习空间曲线的方 法包括：理解概念、 掌握公式、多做练 习、总结规律等。
空间曲线的学习可 以帮助我们提高空 间思维能力和解决 问题的能力。
学习空间曲线还可 以帮助我们更好地 理解和掌握其他数 学知识，如微积分 、线性代数等。
理模拟等
空间曲线是理 解高等数学中 微积分、向量 分析等概念的
重要途径
空间曲线是研 究空间几何、 拓扑学等数学 分支的重要基
础
空间曲线在解决实际问题中的应用
空间曲线在工程设计中的应用： 如建筑、机械、电子等领域
空间曲线在科学研究中的应用： 如物理、化学、生物等领域
空间曲线在艺术创作中的应用： 如绘画、雕塑、音乐等领域
感谢观看
汇报人：
空间曲线在几何学中的应用
空间曲线是三 维空间中的曲 线，可以用参 数方程或向量
同济版高等数学第六版课件第八章第六节空间曲线及其方程
直角坐标方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
高等数学空间曲线画法1
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o
x
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1 y
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 表示成参数t 将曲线 上的动点坐标x, y, z表示成参数 的函数: 上的动点坐标 表示成参数 的函数:
称它为空间曲线的参数方程. 称它为空间曲线的参数方程. 说明: 一般曲面 曲面的参数方程含两个参数 说明 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
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将下列曲线化为参数方程表示: 例1. 将下列曲线化为参数方程表示
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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例2. 求空间曲线 Γ: 时的旋转曲面方程 . 解: 转过角度θ 后到点 则
绕 z 轴旋转
轴旋转, 点 M1绕 z 轴旋转
面上的投影区域为: 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
面上的投影曲线 在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: 所围圆域 x2 + y2 ≤1, z = 0.
机动
C o
1
y
x
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例如, 例如,
x2 + y2 + z2 =1 C: 2 x + ( y −1)2 + (z −1 2 =1 )
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o
x
1 y
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o
x
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1 y
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 表示成参数t 将曲线 上的动点坐标x, y, z表示成参数 的函数: 上的动点坐标 表示成参数 的函数:
称它为空间曲线的参数方程. 称它为空间曲线的参数方程. 说明: 一般曲面 曲面的参数方程含两个参数 说明 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
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将下列曲线化为参数方程表示: 例1. 将下列曲线化为参数方程表示
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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例2. 求空间曲线 Γ: 时的旋转曲面方程 . 解: 转过角度θ 后到点 则
绕 z 轴旋转
轴旋转, 点 M1绕 z 轴旋转
面上的投影区域为: 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
面上的投影曲线 在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: 所围圆域 x2 + y2 ≤1, z = 0.
机动
C o
1
y
x
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例如, 例如,
x2 + y2 + z2 =1 C: 2 x + ( y −1)2 + (z −1 2 =1 )
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o
x
1 y
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面上的投影区域为: 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
面上的投影曲线 在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: 所围圆域 x2 + y2 ≤1, z = 0.
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C o
1
y
x
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例如, 例如,
x2 + y2 + z2 =1 C: 2 x + ( y −1)2 + (z −1 2 =1 )
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o
x
1 y
x2 + 2y2 − 2y = 0 z =0
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又如, 又如, 上半球面 和锥面
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o
x
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 表示成参数t 将曲线 上的动点坐标x, y, z表示成参数 的函数: 上的动点坐标 表示成参数 的函数:
称它为空间曲线的参数方程. 称它为空间曲线的参数方程. 说明: 一般曲面 曲面的参数方程含两个参数 说明 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
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将下列曲线化为参数方程表示: 例1. 将下列曲线化为参数方程表示
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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例2. 求空间曲线 Γ: 时的旋转曲面方程 . 解: 转过角度θ 后到点 则
绕 z 轴旋转
轴旋转, 点 M1绕 z 轴旋转
第七章
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组
S2
S1
L
例如,方程组 例如,
G(x, y, z) = 0 F(x, y, z) = 0
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 ´
z
C
=0 H(x, y) =0 z =0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C′ R(消去y 消去 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y =0