高等数学 第八章 第六节 空间曲线及其方程

S2 L S1
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
例如，方程组
G(x , y , z) = 0 F(x , y , z) = 0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C 。
第八章 第六节
o 1y
x
2
又如，方程组
z
ay
表示上半球面与圆柱面的交线 C 。 x
特点：曲线上的点都满足 方程， 满足方程的点都在 曲线上， 不在曲线上的点 不能同时满足两个方程。
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例1
方程组
x2 + y2 = 1
表示怎样的曲线？
2x + 3 y + 3z = 6
解 x2 + y2 = 1 表示圆柱面，
2x + 3 y + 3z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆。
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z = a2 − x2 − y2
空间曲线的一般方程、参数方程。
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
x = x(t)
y
=
y(t )
z = z(t)
空间曲线在坐标面上的投影。
H(x , y) = 0 z = 0
R( y , z) = 0
x
=
0
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T ( x , z) = 0
y
=
0
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yoz 面上的投影曲线,
R( y , z) = 0
x
=
0
xoz面上的投影曲线,
T ( x , z) = 0
y
=
0
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例如，
x2 + y2 + z2 = 1
z
C
:
x
2
+
(
y
−
1)2
+
(z
− 1)2
=
1
o
在 xoy 面上的投影曲线方程为
x
x2 + 2y2 − 2y = 0
z=0
C
z = 1 2 y = 0
| x | 3 2
(3) 同理在 yoz 面上的投影也为线段。
z = 1 2 x = 0
| y | 3 2
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例7 求抛物面 y2 + z2 = x 与平面 x + 2 y − z = 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程。
解 截线方程为
y2 + z2 = x x+ 2y− z = 0
: 0 → 0 + , z : b0 → b0 + b ,
= 2 上升的高度为 h = 2b 螺距
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例4 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数，得所求为
第八章 第六节
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*例5 求空间曲线 :
绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 。 解 任取一点
M1 绕 z 轴旋转，转过角度 后到点
xoy 面的投影为 M( x , y , 0) 。
x = a cost
y = a sint
t
o
M
•
x A M y
z = vt
螺旋线的参数方程
第八章 第六节
7
螺旋线的参数方程还可以写为
x = a cos
y
=
a
sin
z = b
( = t , b = v )
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比。即
C
0
：GF((xx
, ,
y y
, ,
z) z)
= =
0 0
——关于xoy 面的投影柱面在此柱面上。
与 xoy
面的方程联立
H( z=
x 0
,
y)
=
0
C 关于 xoy 面的投影曲线在此曲线上。
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如图:投影曲线的研究过程。
空间曲线
投影柱面
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投影曲线
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类似地： 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
, t)
z = z(s , t)
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三、空间曲线在坐标面上的投影
给定空间曲线 C ，称以 C 为准线、母线 // z 轴 的柱面为 C 关于 xoy 面的投影柱面，此柱面与 xoy 面的交线为 C 在 xoy 面上的投影(曲线)。
投影曲线的求法： 消去z，得 H( x ,
设
y) =
1y
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x2 + y2 + z2 = 1
例6
求曲线
z =
1 2
在坐标面上的投影。
解 (1) 消去变量 z 后得
x2 + y2 = 3 4
在 xoy 面上的投影为
x2 + y2 = 3
4
z = 0
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(2)
因为曲线在平面
z
=
1 2
上，
所以在 xoz 面上的投影为线段。
线上的全部点。
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例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以
角速度 ω 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行
于 z 轴的正方向上升(其中 ω 、v 都是常数)，那么
点 M 构成的图形叫螺旋线。试建立其参数方程。
解
取时间 t 为参数，动点从 A 点出发，
z 经过 t 时间，运动到 M 。而点 M 在
则
这就是旋转曲面满足的参数方程 。
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例如，直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 ，得旋转曲面方程为
第八章 第六节
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又如， xoz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面( 即球面)方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数，形如
x = x(s , t)
y
=
y(s
例2
方程组
(
x
−
a 2
)2
+
y2
=
a2 4ห้องสมุดไป่ตู้
表示怎样的曲线？
解 z = a2 − x2 − y2
上半球面，
( x − a )2 + y2 = a2 圆柱面，
2
4
交线如图。
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二、空间曲线的参数方程
x = x(t)
y
=
y(t )
z = z(t)
空间曲线的参数方程
当给定 t = t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲
如图，
第八章 第六节
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x2 + 5 y2 + 4xy − x = 0 (1) 消去 z 得投影
z = 0
(2) 消去 y 得投影
x2 + 5z2 − 2xz − 4x = 0
y = 0
(3) 消去 x 得投影
y2 + z2 + 2y − z = 0
x = 0
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内容小结
第六节 空间曲线及其方程
教学内容
1 空间曲线的一般方程 2 空间曲线的参数方程 3 空间曲线在坐标面上的投影
考研要求
了解空间曲线的概念，了解空间曲线的参数方 程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投 影，并会求其方程。
第八章 第六节
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线，
其一般方程为方程组