高数的空间曲线及其方程共26页文档
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【完整】高数空间曲线资料PPT
x a sin cos y a sin sin z a cos
0 π 0 2π
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
x x(s,t) y y(s,t)
z z(s,t)
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
F ( x, G ( x,
y, y,
z) z)
0 0
1 (z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
O 1y
x
又如,
上半球面 z 4 x2 y2 和锥面 z 3(x2 y2 )
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在
xOy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
C
:
z
z
4 x2 y2 3(x2 y2 )
y a sin t 令 t , b v
z vt
x x a cos y a sin
y
z b
当 2 π时, 上升高度 h 2π b, 称为螺距 .
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2 2x
y2 3z
1 6
(2)
z x2
a2 y2
x2 ax
y2 0
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
高数空间曲线
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
பைடு நூலகம்
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F(x, y, z) 0
例如,方程组
x2 y2 1 2x 3z 6 表示圆柱面与平面的交线 C.
高等数学 第八章 第六节 空间曲线及其方程
S2 L S1
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
例如，方程组
G(x , y , z) = 0 F(x , y , z) = 0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C 。
第八章 第六节
o 1y
x
2
又如，方程组
z
ay
表示上半球面与圆柱面的交线 C 。 x
特点：曲线上的点都满足 方程， 满足方程的点都在 曲线上， 不在曲线上的点 不能同时满足两个方程。
第八章 第六节
3
例1
方程组
x2 + y2 = 1
表示怎样的曲线？
2x + 3 y + 3z = 6
解 x2 + y2 = 1 表示圆柱面，
2x + 3 y + 3z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆。
第八章 第六节
4
z = a2 − x2 − y2
空间曲线的一般方程、参数方程。
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
x = x(t)
y
=
y(t )
z = z(t)
空间曲线在坐标面上的投影。
H(x , y) = 0 z = 0
R( y , z) = 0
x
=
0
第八章 第六节
T ( x , z) = 0
y
=
0
21
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z) = 0
x
=
0
xoz面上的投影曲线,
大学课件高等数学空间曲线及其方程
(x a 2 ) y
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x
上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x
上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程
空间曲线及其方程
§7.6 空间曲线及其方程
一空间曲线的一般方程
(1)
面上。
所以，它的坐标不满足方程组(1)。
由上述两点可知：
由方程组
方程组(1)称作空间曲线的一般方程。
二空间曲线的参数方程
(2)
(2)叫做空间曲线参数方程。
【例1
)，
螺旋线，试建立其参数方程。
以
螺旋线有一个重要性质：
螺距。
空间曲线的一般方程也可以化为参数方程，下面通过例子来介绍其处理方法。
【例2表示成参数方程。
(1)
(2)
则曲线又可表示成为
一般来说：
1、空间曲线总可以用参数形式给出它的方程；
2、随着参数选取的不同，方程的形式会发生变化。
三空间曲线在坐标面上的投影
(1)
(2)
因(2)(1)
(2)
点都在由(2)表示的曲面上。
同理，消去方程组( 1) 中的变量
或
有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，因此，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域。
投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定。
【例4】求上半球面
解：上半球面与锥面的交线为。
第04章空间曲线及其方程
y
x2 + y2 1
这是xoy面上的一个圆.
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
§6
二次曲面的标准方程
1.定义 由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面, 称为二次曲面.
2 2 z 4 x y 例8: 设一个立体由上半球面 和锥面 2 2 z 3 ( x y )所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
2 2 z 4 x y C: 2 2 z 3 ( x y )
O
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
h
t O M
A
M y
x
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而
x = |OM | · cosAOM = acos t
y = |OM点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而
的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做
空间曲线的参数方程.
例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以 角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿 平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其 z 参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面 上的投影为M (x, y, 0).
§7.4空间曲线及其方程高数
单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.
高等数学 -空间曲线及其方程
高等数学(下)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
第八章第4节空间曲线及其方程29395-29页精选文档
空 间 立 体
曲 面
16
例5 设一个 ,由 立上 体半z球4 面 x2y2 和z 3(x2y2)锥面所 ,求 围它 成 x在 oy 面上的 . 投影
解 半球面和锥面的交线为 C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2 柱 y2面 1,
17
则交C 线 在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
交线情况如何?
交线情况如何?
y
23
P37 题 7
z
z
ay x
ay x
x2 y2 ax z0
x2z2a2 (x0,z0) y0
24
作业
习8题 4 P 37
P37 3，4，5（1），6, 8
25
思考题
求 椭 圆 抛 物 面 2y2x2z与 抛 物 柱 面 2x2z的 交 线 关 于 xo面 y的 投 影 柱 面 和 在 xo面 y上 的 投 影 曲 线 方 程 .
y2 z2 x x2y z 0
如图,
14
y2 z2 x x2y z 0
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
15
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在 上的投影为
x2y21.
18
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
曲 面
16
例5 设一个 ,由 立上 体半z球4 面 x2y2 和z 3(x2y2)锥面所 ,求 围它 成 x在 oy 面上的 . 投影
解 半球面和锥面的交线为 C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2 柱 y2面 1,
17
则交C 线 在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
交线情况如何?
交线情况如何?
y
23
P37 题 7
z
z
ay x
ay x
x2 y2 ax z0
x2z2a2 (x0,z0) y0
24
作业
习8题 4 P 37
P37 3，4，5（1），6, 8
25
思考题
求 椭 圆 抛 物 面 2y2x2z与 抛 物 柱 面 2x2z的 交 线 关 于 xo面 y的 投 影 柱 面 和 在 xo面 y上 的 投 影 曲 线 方 程 .
y2 z2 x x2y z 0
如图,
14
y2 z2 x x2y z 0
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
15
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在 上的投影为
x2y21.
18
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )