2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)
专题07 平面向量 解析版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解
专题07 平面向量【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).5 (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【2019年】1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC=【2018年】1．【2018·全国I 卷 】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.2．【2018·全国II 卷 】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【2018·天津卷 】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =. 设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.5．【2018·北京卷 】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6．【2018·全国III 卷 】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12.7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________． 【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【2017年】1．【2017·全国III 卷 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ， 易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．2．【2017·全国II 卷 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．3．【2017·北京卷 】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【2017·全国I 卷 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为235．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=2cos α= 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720210n m ⎧=⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+， 则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 7．【2017·山东卷 】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e ，12|2-==e ，12||λ+===e e ，cos60λ=︒=λ=． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是 【2016年】1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ， 所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA = ，31()2BC = ，则ABC ∠=（ ） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选 B.6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】－2【解析】由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。
2020届高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题6.4复数练习含解析
专题6.4 复 数【考试要求】1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1.复数的有关概念内容 意义 备注复数的概念形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d(a ，b ，c ，d∈R)共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d(a ，b ，c ，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ →对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 22.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0).【微点提醒】 1.i 的乘方具有周期性 i n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系z ·z －＝|z |2＝|z －|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 【教材衍化】2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1【答案】 B【解析】 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.3.(选修2－2P116A1改编)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i【答案】 C【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i.【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i【答案】 D 【解析】3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【解析】11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i 的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 【答案】 －1【解析】 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ， ∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 【考点聚焦】考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( )A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A.2－iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.1B.0C.－12D.－1【答案】 (1)D (2)D (3)D【解析】 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 【规律方法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i (2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B.(2)∵1－i ＝2＋a i1＋i ，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i 对应的点关于实轴对称，则z ＝( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D.【规律方法】1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b )OZ →＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D. 考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D. 2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________.【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【解析】 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i2i＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.【规律方法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i5B.2＋i5C.1－2i5D.1＋2i5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z＝( )A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i【答案】 (1)D (2)D (3)C【解析】 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i 5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟) 一、选择题1.已知复数(1＋2i)i ＝a ＋b i ，a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】 B【解析】 因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以a ＝－2，b ＝1，则a ＋b ＝－1，选B. 2.(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【答案】 B【解析】 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B. 3.设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C.1D.－1－2i【答案】 A【解析】 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ，故选A. 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)【答案】 C【解析】 i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数.故选C. 5.设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2【答案】 B【解析】 因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 6.若a 为实数，且1＋2ia ＋i 为实数，则a ＝( )A.1B.12C.－13D.－2【答案】 B【解析】 因为1＋2i a ＋i ＝（1＋2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a ＋2＋（2a －1）i a 2＋1是一个实数，所以2a －1＝0，∴a ＝12.故选B.7.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a ＋i2＋i＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R ，i 是虚数单位)，则x ＋2y ＝( )A.1B.35C.－35D.－1【答案】 A【解析】 由题意得a ＋i ＝(x ＋y i)(2＋i)＝2x －y ＋(x ＋2y )i ，∴x ＋2y ＝1，故选A.8.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z －对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】 A【解析】 由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A. 二、填空题9.(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.【答案】 4－i 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝20－5i5＝4－i. 10.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 【答案】 5【解析】 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 11.(2019·西安八校联考)若a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.【答案】 －7 【解析】 ∵a ＋b i i＝（a ＋b i ）（－i ）－i2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b ii(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________. 【答案】 －2＋i【解析】 因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i (i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2【答案】 A【解析】 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i 13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A.14.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B.15.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2【答案】 B【解析】 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，1－i1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.16.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】 D【解析】 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5，11 ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D.。
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案
1．(配合例2使用)已知P为△ABC所在平面内一点， ＋ ＋ ＝0，| |＝| |＝| |＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析由| |＝| |得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又 ＋ ＋ ＝0，所以 ＝－( ＋ )＝－2 ，所以PD＝ AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由| |＝2，PD＝1可得| |＝ ，则| |＝2 ，所以△ABC的面积为 ×2×2 ＝2 。故选B。
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
答案(1)A(2)D
考点三共线定理及应用微点小专题
方向1：共线定理
【例3】已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝( )
2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)
5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
2020版高考数学大一轮复习-第1节平面向量的概念及线性运算讲义(理)(含解析)新人教A版
第1节平面向量的概念及线性运算考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb相反；当λ＝0时，λa ＝03.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①B.③C.①③D.①②解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误. 答案 A3.(必修4P92A12改编)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →. 答案 D4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A.c ＝32b －12aB.c ＝2b －aC.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b解析 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB →－12OA→＝32b －12a . 答案 A5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形解析 因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 A6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k ＋λ)b＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0，解得k ＝12，λ＝－12.答案 －12考点一 平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A.a ＝2bB.a ∥bC.a ＝－13bD.a ⊥b(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直.(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|， AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A规律方法 对于向量的有关概念应注意以下几点：(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →(2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件； ②若AB →与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________.解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD →与BC →不平行，AC →与BD →不平行，所以AD →＝BC →，AC →＝BD →均错误，PE →与PF →平行，但方向相反也不相等，只有EP →与PF →方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP →＝PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 答案 (1)D (2)④考点二 平面向量的线性运算 多维探究角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又知D 是BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →.答案 A角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12(2)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y＝________.解析 (1)∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)由题设可得AM →＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC →＝34AB →＋14AC →， 则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案 (1)B (2)3规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)D (2)12考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.规律方法 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A.λ＋μ＝2B.λ－μ＝1C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)(一题多解)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( )A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1.(2)法一 若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB →＝BA →与BC →共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1.法二 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0， 即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1. 答案 (1)D (2)C[思维升华]1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.注意向量共线与三点共线的区别. [易错防范]1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D3.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 答案 B4.已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A.A ，B ，C B.A ，B ，D C.B ，C ，DD.A ，C ，D解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线. 答案 B5.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC →B.12AD → C.AD →D.12BC → 解析 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.答案 C6.(2019·唐山二模)已知O 是正方形ABCD 的中心.若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( ) A.－2B.－12C.－ 2D. 2解析 DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，∴λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.答案 A7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2. 答案 B8.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析 设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案 D 二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个.答案 310.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.答案 1211.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝________. 解析 由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →， 所以x ＝12，y ＝－16，因此x ＋y ＝12－16＝13.答案 1312.(2019·清华大学自主招生能力测试)设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________. 解析 ∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点. 又∵D 为AB 的中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.答案 4能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 答案 B14.(2019·青岛二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD → B.32AD → C.12AC →D.32AC → 解析 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →.答案 D15.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.同理E ，F 分别是AC ，AB 的中点，因此点M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.答案 316.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________.解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.答案 －94新高考创新预测17.(多填题)在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心. 若aMA →＋bMB →＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________.解析 由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c MA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33c .△ABC 中，由余弦定理可求得cosA ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934. 答案 π6 934。
专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。
2020年高考数学压轴必刷题附解答：平面向量(文理合卷)
平面向量1．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．2．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A． 1 B． 1 C．2 D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．3．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD ＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．4．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．5．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．6．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．7．【2016年天津理科07】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•．故选：C．8．【2014年浙江理科08】记max{x，y}，min{x，y}，设，为平面向量，则（）A．min{||，||}≤min{||，||} B．min{||，||}≥min{||，||}C．max{||2，||2}≤||2+||2D．max{||2，||2}≥||2+||2【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{||，||}＝0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{||2，||2}＝||2＝4，而不等式右边＝||2+||2＝2，故C不成立，D选项正确．故选：D．9．【2014年天津理科08】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，λ，μ，若•1，•，则λ+μ＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得若•（）•（）＝2×2×cos120°λ•λ•μ2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°＝4λ+4μ﹣2λμ﹣2＝1，∴4λ+4μ﹣2λμ＝3 ①．••（）（1﹣λ）•（1﹣μ）（1﹣λ）•（1﹣μ）＝（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°＝（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2），即﹣λ﹣μ+λμ②．由①②求得λ+μ，故选：C．10．【2013年上海理科18】在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M 分别为（）•（）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m＝0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M＝0 D．m＜0，M＜0【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（）•（）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选：D．11．【2012年天津理科07】已知△ABC为等边三角形，AB＝2．设点P，Q满足，，λ∈R．若，则λ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB＝2∴λ（1﹣λ）＝2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°＝2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，＝﹣2λ2+2λ﹣2∵∴4λ2﹣4λ+1＝0∴（2λ﹣1）2＝0∴故选：A．12．【2011年上海理科17】设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使成立的点M的个数为（）A．0 B．1 C．5 D．10【解答】解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若成立，得（x1﹣x，y1﹣y）+（x2﹣x，y2﹣y）+（x3﹣x，y3﹣y）+（x4﹣x，y4﹣y）+（x5﹣x，y5﹣y），则有x，y；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选：B．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：15．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．16．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．17．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．18．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．19．【2016年江苏13】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•4，•1，则•的值是．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴，，3，3，∴•22＝﹣1，•922＝4，∴2，2，又∵2，2，∴•422，故答案为：20．【2016年浙江理科15】已知向量，，||＝1，||＝2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|，则•的最大值是．【解答】解：由绝对值不等式得|•|+|•|≥|••|＝|（）•|，于是对任意的单位向量，均有|（）•|，∵|（）|2＝||2+||2+2•5+2•，∴|（）|，因此|（）•|的最大值，则•，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|＝|••|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|＝|••|，此时||2＝||2+||2﹣2•5﹣1＝4，此时||＝2于是|•|+|•|＝|••|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设，则|•|+|•|＝||+||≥|||＝||＝||，∵|•|+|•|，∴||，即（）2≤6，即||2+||2+2•6，∵||＝1，||＝2，∴•，即•的最大值是．法三：设，，，则，，|•|+|•|＝||+||＝||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（）2取得最大值6，由于||2+||）2＝2（||2+||2）＝10，于是（）2取得最小值4，则•，•的最大值是．故答案为：．21．【2016年上海理科12】在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y上一个动点，则•的取值范围是．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴（1，1），（cosα，sinα+1），cosα+sinα+1，∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．22．【2015年浙江理科15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，1（x0，y0∈R），则x0＝，y0＝，|＝．【解答】解：∵•||||cos•cos•，∴•，不妨设（，，0），（1，0，0），（m，n，t），则由题意可知m n＝2，m，解得m，n，∴（，，t），∵（）＝（x﹣y，，t），∴|（）|2＝（x﹣y）2+（）2+t2＝x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7＝（x）2（y﹣2）2+t2，由题意当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，（x）2（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2＝1，故2故答案为：1；2；223．【2015年上海理科14】在锐角三角形ABC中，tan A，D为边BC上的点，△ABD与△ACD的面积分别为2和4．过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则•．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tan A，∴，联立sin2A+cos2A＝1，得，cos A．由，得．则．∴•．故答案为：．24．【2015年天津理科14】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E 和F分别在线段BC和DC上，且λ，，则•的最小值为．【解答】解：由题意，得到AD＝BC＝CD＝1，所以•（）•（）＝（）•（）2×1×cos60°+λ1×1×cos60°2×11×1×cos120°＝1（当且仅当时等号成立）；故答案为：．25．【2014年江苏12】如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，3，2，则的值是．【解答】解：∵3，∴，，又∵AB＝8，AD＝5，∴•（）•（）＝||2•||2＝25•12＝2，故•22，故答案为：22．26．【2013年江苏10】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD AB，BE BC，若λ1λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【解答】解：由题意结合向量的运算可得，又由题意可知若λ1λ2，故可得λ1，λ2，所以λ1+λ2故答案为：27．【2013年浙江理科17】设、为单位向量，非零向量x y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴1×1×cos30°．∵非零向量x y，∴||，∴，故当时，取得最大值为2，故答案为2．28．【2012年上海理科12】在平行四边形ABCD中，∠A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设λ，λ∈[0，1]，M（2），N（），所以（2）•（）＝﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．29．【2011年浙江理科14】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是．【解答】解：∵||||sinθ∴sinθ，∵||＝1，||≤1，∴sinθ，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[]，30．【2011年天津理科14】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC 上的动点，则|3|的最小值为．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则（2，﹣b），（1，a﹣b），∴（5，3a﹣4b）∴5．故答案为5．31．【2010年浙江理科16】已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是．【解答】解：令用、，如下图所示：则由，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC＝60°又由AC由正弦定理得：||∴||∈（0，]故||的取值范围是（0，]故答案：（0，]1．【2018年天津文科08】在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，则的值为（）A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：解法Ⅰ，由题意，2，2，∴2，∴BC∥MN，且BC＝3MN，又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（）＝7，∴MN；∴BC＝3，∴cos∠OMN，∴•||×||cos（π﹣∠OMN）＝31×（）＝﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，知3333，∴（﹣33）•＝﹣33•＝﹣3×12+3×2×1×cos120°＝﹣6．故选：C．2．【2016年天津文科07】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•．故选：C．3．【2012年天津文科08】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2．设点P，Q满足，，λ∈R．若2，则λ＝（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意可得0，由于（）•（）＝[]•[]＝0﹣（1﹣λ）λ0＝（λ﹣1）4﹣λ×1＝﹣2，解得λ，故选：B．4．【2010年天津文科09】如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则（）A．B．C．D．【解答】解：故选：D．5．【2019年天津文科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．6．【2017年天津文科14】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．7．【2015年天津文科13】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F 分别在线段BC和DC上，且，，则•的值为．【解答】解：∵AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴BG，CD＝2﹣1＝1，∠BCD＝120°，∵，，∴•（）•（）＝（）•（）••••＝2×1×cos60°2×1×cos0°1×1×cos60°1×1×cos120°＝1，故答案为：8．【2014年天津文科13】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC ＝3BE，DC＝λDF，若•1，则λ的值为．【解答】解：∵BC＝3BE，DC＝λDF，∴，，，，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，∴||＝||＝2，•2×2×cos120°＝﹣2，∵•1，∴（）•（）（1）•1，即44﹣2（1）＝1，整理得，解得λ＝2，故答案为：2．9．【2013年北京文科14】已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．【解答】解：设P的坐标为（x，y），则（2，1），（1，2），（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d∴平行四边形CDEF的面积为S＝|CF|×d3，即动点P构成的平面区域D的面积为3 故答案为：310．【2011年天津文科14】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC 上的动点，则|3|的最小值为．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则（2，﹣b），（1，a﹣b），∴（5，3a﹣4b）∴5．故答案为5．。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题25 平面向量基本定理及坐标表示(解析版)
考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则．【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：210+=m n ．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，3AP PB =，则点P 的坐标是____________． 【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故3AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2） 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影17，()sin ,cos x x =n ， （1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即sin cos 022x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2而由m ，n )1sin cos 2x x -=，18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？）213OP OA OB =+；213）由题意得1AP AB =，∴()1OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+．∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，。
高考数学(人教a版,理科)题库：平面向量的基本定理及向量坐标运算(含答案)
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )． A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴． 答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D. 答案 D4． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2) 解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A. 答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案 D 二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5. ∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)9．设OA→＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________． 解析 AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)． 答案 (0，－2) 三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎨⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎨⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)． 12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行 ∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB→，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB→，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求 (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
2020届高考数学一轮复习第6单元 平面向量 A卷
第6单元 平面向量第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，若∥a b ，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】C【解析】由题意，向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，因为∥a b ，则231m =，即32m =，解得23m =．故选C ．2．已知向量(2,1)=a ，(,1)m =-b ，且()⊥-a a b ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】因为(2,1)=a ，(,1)m =-b ，所以(2,2)m -=-a b ，因为()⊥-a a b ，则()2(2)20m ⋅-=-+=a a b ，解得3m =，所以答案选B ． 3．已知向量a ，b 满足||1=a，=b ，a 与b 的夹角为2π3，则2-a b 为（ ） A ．21 BCD【答案】B【解析】2||12b ==，2π1||||cos12132a b a b 骣琪?=创-=-琪桫，|2|a b \-=故选B ．4．已知向量a ，b 满足||1=a ，⊥a b ，则向量2-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．1-【答案】B【解析】根据向量的投影公式可知，向量2-a b 在向量a 方向上的投影为2(2)()1||||-⋅==a b a a a a ，故选B ．5．设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得λ=a b ，说明向量a ，b 共线， 当a ，b 同向时，+=+a b a b 成立，当a ，b 反向时，+=+a b a b 不成立，所以充分性不成立．当+=+a b a b 成立时，有a ，b 同向，存在实数λ，使得λ=a b 成立，必要性成立， 即“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的必要而不充分条件． 故选B ．6．已知非零向量a ，b ，若(3)0⋅+=a a b ，2=a b ，则向量a 和b 夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，||2||=a b ，∴由(3)0⋅+=a a b ，可得2222()33cos 46cos 0θθ+⋅=+⋅=+=a a b a a b b b ， 化简即可得到2cos 3θ=-，故答案选B ． 7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF=（ ）A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD + D ．3142AB AD + 【答案】D【解析】根据题意得1()2AF AC AE =+， 又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+，故选D ．8．设D 为所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若，则（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D【解析】因为D 为所在平面内一点，由1433AD AB AC =-+， 可得34AD AB AC =-+，即44AD AC AD AB -=-， 则4CD BD =，即4BD DC =-，可得3BD DC DC +=-，故3BC DC =-，则，故选D ．9．在四边形中，2AB =+a b ，43BC =--a b ，55CD =--a b ，那么四边形的形状是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【答案】C【解析】86AD AB BC CD =++=--a b ，2AD BC ∴=，AD BC ∴∥，AB CD ∥，四边形是梯形，答案选C ．10．在中，为的重心，为上一点，且满足3MC AM =，则（ ）A ．11312GM AB AC =+ B ．11312GM AB AC =-- C ．17312GM AB AC =-+ D ．17312GM AB AC =- 【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得GM GA AM =+， 因为G 为△ABC 的重心，M 满足3MC AM =，所以()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+，14AM AC =， 所以11111334312GM AB AC AC AB AC ⎛⎫=-++=--⎪⎝⎭，所以选B ．11．如图所示，设为所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则与的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．14【答案】D【解析】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线， 所以()1CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =，代入可得CP mCA nkCB =+，即()()1AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+， 又因为1142AP AB AC =+，即14nk =，112m nk --=，且，解得1344m n ==，，所以1344CP CA CD =+，可得4AD PD =， 因为与有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比，所以与的面积之比为14．故选D ． 12．已知向量a ，b 满足4=a ，b 在a 上投影为，则3-a b 的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】b 在a 上投影为，即cos ,2=-b a b ，0>b ，cos ,0∴<a b ，又[)cos ,1,0∈-a b ，min 2∴=b ，2222223696cos ,9964-=-⋅+=-+=+a b a a b b a a b a b b b ，min 310∴-==a b ，本题正确选项B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量(1,2)x =+a 和向量(1,2)=-b 垂直，则-=a b _______． 【答案】5 【解析】向量()1,2x =+a 和向量()1,2=-b 垂直，140x ∴⋅=+-=a b ，解得3x =，()3,4∴-=a b，5∴-==a b ，本题正确结果5．14．已知向量()2,3=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =________． 【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故填9．15．已知向量=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为__________． 【答案】60︒【解析】很明显2=a ，设向量,a b 的夹角为θ，则21cos 1θ⋅=⨯⨯=a b ，1cos 2θ∴=，π3θ=， 据此有()()22224242-⋅=-⋅=-=b a b b a b ，且22==-=b a ，22=b ，向量2-b a 与2b 的夹角为β，则21cos 222β==⨯，60β=︒， 综上可得：2-b a 与2b 夹角为60︒．16．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0， 则OP ＝_____．【答案】12x x 【解析】因为PA PB PC ++=0，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2，故22OP =．填12x x ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ． （1）求3-a b 的值；（2）若()λ⊥+a a b ，求λ的值．【答案】（1）3-=a b ；（2）1λ=-．【解析】（1）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则3(6,2)-=a b ，则3-==a b ．（2）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则(13,24)λλλ+=-+a b ， 若()λ⊥+a a b ，则()1(13)2(24)550λλλλ⋅+=⨯-+⨯+=+=a a b ， 解得1λ=-．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =，设AB =a，AD =b ．（1）用向量,a b 表示向量AM ，AN ，MN ； （2）若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为π3，求AM MN ⋅的值． 【答案】（1）见解析；（2）92-． 【解析】（1）因为在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =，又AB =a ，AD =b ，故1122AM AD DM AD AB ===+++a b ， 1133AN AB BN AB AD ===+++a b ，11123223MN AN AM ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝=⎭a b a a b b ．（2）2211212192234362AM MN ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⋅=-⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝=⎭+a b a a b a b b ，故答案为92-．19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足OQ OA OP =+．若，π6π2θ≤≤， 表示OQ ，并求OQ 的最大值．【答案】（1）15；（2）．【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 可得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴341cos sin 555αα+=-+=． （2）因为，，所以()1cos2,sin 2OQ OA OP θθ=+=+，所以(12cos OQ θ===，因为π6π2θ≤≤，所以2cos OQ θ⎡=∈⎣， OQ 的最大值．20．（12分）设向量()()()11,cos22,14sin 1sin,12θθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，，，a b c d ，其中4π0,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求⋅-⋅a b c d 的取值范围； （2）若函数，比较()f ⋅a b 与()f ⋅c d 的大小． 【答案】（1）；（2）()()f f ⋅>⋅a b c d ．【解析】（1）∵2cos2θ⋅=+a b ，22sin 12cos2θθ⋅=+=-c d ，∴2cos2θ⋅-⋅=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()0,2⋅-⋅的取值范围是a b c d ．（2）∵()22cos211cos22cos f θθθ⋅=+-=+=a b ，()22cos211cos22sin f θθθ⋅=--=-=c d ，∴()()()222cos sin 2cos2f f θθθ⋅-⋅=-=a b c d ，∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()()f f ⋅>⋅a b c d ． 21．（12分）在中，三内角的对边分别为，已知向量()2sin ,cos2x x =m ，),1x =n ，函数()f x =⋅m n 且．（1）求角的值；（2）若23BA BC +=且成等差数列，求．【答案】（1）π3B =；（2）2． 【解析】（1）()cos cos2cos2f x x x x x x =⋅=+=+m n ， 整理得()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵，∴12sin 21si 62ππn 26B B ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵，∴π3B =． （2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由23BA BC +=，得，三个等式联立解得．22．（12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记AB =a ，AD =b ，试以,a b 为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题．（1）用,a b 来表示向量DE ，BF ；（2）若，且3BF =，求．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵在中，2DF FC =，∴111222DE DC CE AB CB AB AD =+=+=-=-a b ， 111333BF BC CF AD CD AD AB =+=+=-=-b a ．（2）由（1）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =-， ∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，∵且，∴22221223cos 339BAD ∠=-⨯⨯⨯+⨯，∴1cos 2BAD ∠=，∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE =。
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2020年高考数学平面向量专题练习
一、选择题
1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（）
A. B. C. D.
2、向量,，若，且，则x＋y的值为（）
A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1
3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4
4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则
（）
A．B． C．D．
5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）
A. B. C. D.
6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D.
7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( )
A. C. D. 3
8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为
A． B． C．5 D．10
9、下列命题中正确的个数是（）
⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0
⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则
A．0 B．1 C．2 D．3
10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且
，若存在最大值，则的取值范围为（）
二、填空题
11、已知向量与的夹角为120°,且,则____.
12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________.
13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________.
14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.
15、已知向量与的夹角为120°，，，则________.
16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若
，
则__________．
17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为.
18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。
若
(λ，µ∈R)，则λ＋µ的值为。
三、简答题
19、已知平面直角坐标系中，向量，，且.
（1）求的值；（2）设，求的值．
20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)．
（1）若∥，求的值；
（2）若，0＜＜，求的值．
21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若在区间[1,6]内取值，求满足的概率.
22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量，
（1）求证：且；
（2）设向量，，且，求实数t的值．
23、已知，设．
（1）求的解析式并求出它的周期T．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求△ABC的面积.
24、已知为圆:上一动点，圆心关于轴的对称点为,点分别是线段
,上的点，且 , 。
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围。
参考答案
一、选择题
1、A
2、C
3、A 【解析】依题意，将两边同时平方可得，
化简得，故向量在方向上的投影为，故选A．
4、B
5、C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，以为基底，利用平面向量基本定理可得结果．
【详解】如图所示，
平行四边形中，，，
则，
又是的中点，
则．
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，求解过程中关键是基底的选择，向量加法与减法法则的应用，注意图形中回路的选取．
6、C
根据向量平行可求得，利用坐标运算求得，根据模长定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.
7、.D
8、D
9、A
10、D
二、填空题
11、-5
12、
解析：因为对任意都有，故点C到AB所在直线的距离为2
设AB中点为M，则
当且仅当时等号成立
13、
利用数量积定义中对投影的定义，即，把坐标代入运算，求出投影为.
【详解】因为，故填：.
【点睛】本题考查向量数量积定义中投影的概念，考查对投影的基本运算.
14、.
【解析】
【分析】
直接利用向量数量积公式化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以=-7.
故答案为：-7
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15、
16、
17、
18、7/6
三、简答题
19、解：（1）因为，且，
所以，
即………………………………4分（2）由，，
可得，……………………6分
……………8分
所以…………10分
20、
21、(1)x,y的所有取值共有6×6＝36个基本事件．由，得 ,
满足包含的基本事件(x,y)为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情形，故 .
(2) 若x， y在[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为
，满足的基本事件的结果为
．
画出图形如图，正方形的面积为，阴影部分的面积为，
故满足的概率为．
22、（1）证明：，所以，因为，所以；
（2）因为，所以，
由（1）得：
所以，解得．
23、解析：（1）
...........4分函数的周期，
故，周期为
． ...............................................................6分
（2）因为，所以，
即
， .................................. ...........7分
又，所以，
所以
， ............................................... .....................9分
又，
由余弦定理得：
，所以
所以
.................................................................11分
24、解：（1）连接,因为，所以为的中点，因为，所以
，所以点在的垂直平分线上，所以,因为
,所以点在以为焦点的椭圆上，因为，所以，所以点的轨迹方程为：.…………………4分
（2）由得…………………5分
因为直线与椭圆相切于点，所以
，即，解得，
即点的坐标为，…………………7分
因为点在第二象限，所以，所以，
所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，
则是点到直线的距离，且直线的方程为，
所以
，…………………10分
当且仅当，即时，有最大值，所以,即面积的取值范围为.。