空间向量练习题

《 空间向量与立体几何》练习2

一、选择题

1、在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．

其中正确命题的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

2、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、是 （ ） （A ） 有相同起点的向量 （B ）等长向量 （C ）共面向量 （D ）不共面向量

3、若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件

4、已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角,〈〉a b 为 （ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）以上都不对

5、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） （A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c

6、已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为 （ ） （A ）0° （B ）45° （C ）90° （D ）180°

7、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） （A ）

627 （B ）637 （C ）647 （D ）657

8、已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

9、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是 （ ） （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不确定

10、已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ） （A ）131(,,)243 （B ）123(,,)234 （C ）448(,,)333 （D ）447(,,)333

二、填空题

11、若A(m ＋1,n －1,3)，B(2m,n,m －2n)，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m+n= ．

E

M G

D

C

B

A

F

E

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

E

A

D

C

B z y

x

S

B

C

D

A

12、已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xAB y AC z AS ++，则x ＋y ＋z ＝ ．

13、在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，

以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ． 14、设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，

则

,〈〉a b ＝ ．

15、已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ． 三、解答题（用向量方法求解下列各题）

16、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和BB 1的

中点．

（1）证明：AEC 1F 是平行四边形； （2）求AE 和AF 之间的夹角； （3）求四边形AEC 1F 的面积． 17、在棱长为1正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，试求CE 与平面BCD 所成的角．

18、ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12

． （1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；

E z y

x

C 1

B 1

A 1

D G

C B

A

（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦． （本题为2001年高考试题第17题）

思考题：（2003年高考江苏卷第18题）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°．侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ． （1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小． （2）求A 1到平面ABD 的距离．