空间向量练习题
空间向量的数量积与向量积练习题
空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。
下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。
解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。
练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。
解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。
练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。
解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。
然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。
空间向量与立体几何练习题(带答案)
空间向量与立体几何练习题（带答案）一、选择题1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量【解析】若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．【答案】D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，CD→的相反向量是()A.BA→B．A1C1→C.A1B1→D．AA1→【解析】由相反向量的定义可知，A1B1→是CD→的相反向量．【答案】C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，AC→〉相等的是() A．〈AB→，BC→〉B．〈BC→，CA→〉C．〈C1B1→，AC→〉D．〈BC→，B1A1→〉【解析】∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，BC→〉＝〈AB→，AC→〉＝〈BC→，B1A1→〉＝60°，故选D．【答案】D4．在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB，CD的中点，设〈EF→，AC→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等于()A.π6B．π4C.π3D．π2【解析】如图，取BC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AC，FG∥BD，故∠FEG＝α，∠EFG＝β.∵A－BCD是正三棱锥，∴AC⊥BD．∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2.∴α＋β＝∠FEG＋∠EFG＝π2.【答案】D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()图2－1－9A．8个B．7个C．6个D．5个【解析】与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，B1A1→，C1D1→，D1C1→，CD→，DC→，共8个，故选A.【答案】A二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则向量CE→和BD→的夹角为________．【解析】∵BD→为平面ACC1A1的法向量，而CE在平面ACC1A1中，∴BD→⊥CE→.∴〈BD→，CE→〉＝90°.【答案】90°7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4.②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④8．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a ＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】8三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量．【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与AD→的夹角．【解】∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC又∵BD∩SO＝O∴AC⊥平面SBD．∴AC→为平面SBD的一个法向量．∴〈AC→，AD→〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．【解】(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊12BC，又BC綊AD，∴EF綊12AD，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴FM→就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴DE→是平面PBC的一个法向量，由(1)可知FM→＝ED→，∴FM→就是平面PBC的一个法向量.。
高二数学空间向量的练习题
高二数学空间向量的练习题在高二数学学习中，空间向量是一个重要的知识点，它与平面向量有许多相似之处，同时也具备一些特殊的性质和运算规则。
为了提高对空间向量的理解和应用能力，以下是一些空间向量的练习题，供大家进行巩固和练习。
练习题一：已知空间向量 a = 3i + 4j - 2k，b = i - 2j + 5k，c = 2i - j + 3k，求：1. a + b - c；2. |a × b|；3. ∠(a, b) 的大小。
练习题二：已知平面内的向量 u = 3i + 4j - k，v = 2i - 6j + 3k，w = -7i + 8j - k，求：1. u × v 的大小和方向；2. 建立平面向量 u, v, w 的三角形 ABC，求三角形 ABC 的面积。
练习题三：已知空间向量 a = 3i - j + 4k，b = 2i + 3j - 5k，c = ai + bj + ck，且 |c| = √27，则 a, b, c 为何种关系？练习题四：已知空间向量 d = 4i + 2j - k，e = 3i - j + k，f = 5i + 3j + 2k，求实数λ，使得 d + λe = λf。
练习题五：已知空间向量 a = 3i + 4j - k，b = 2i - j - 4k，c = 4i + 2j - 2k，d = 2i + j + 2k，求向量组 {a, b, c, d} 的线性相关性与线性无关性。
练习题六：已知空间向量 a, b, c 满足 |a| = 3，|c| = 2，且 a × b = c，则向量组 {a, b, c} 的线性相关性与线性无关性如何？练习题七：已知空间向量 a = i + j - k，b = 2i + 3j + k，c = xi + yj + zk，如果向量组 {a, b, c} 线性无关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题八：已知空间向量 a = 2i + j + 4k，b = i + 3j + k，c = 3i - 2j + 5k，d = xi + yj + zk，且向量组 {a, b, c, d} 线性相关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题九：已知坐标为 A(1, 2, -1)，B(-3, 5, 6)，C(2, -1, 3)，求向量 BA × BC 的大小和方向。
空间向量投影练习题
空间向量投影练习题空间向量投影是线性代数中的一个重要概念，它用于描述一个向量在另一个向量上的投影长度。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用空间向量投影的概念与计算方法。
练习题一：已知向量a = (2, 3, 1) 和向量b = (4，-1，2)，计算向量a在向量b上的投影。
解答：首先，我们需要计算向量b的单位向量u_b。
设u_b = (x, y, z)为向量b的单位向量，则有|u_b| = √(x^2 + y^2 +z^2) = 1。
根据向量的定义，向量的数量乘法即为各分量同时进行数量乘法。
由此可得，向量b的单位向量为：u_b = (4/√21, -1/√21, 2/√21)。
接下来，我们可以计算向量a在向量b上的投影长度p。
根据向量投影的定义，投影长度p等于向量a和单位向量u_b的点积。
p = a • u_b = (2, 3, 1) • (4/√21, -1/√21, 2/√21)= (2 * 4/√21) + (3 * -1/√21) + (1 * 2/√21)= (8 - 3 + 2) / √21 = 7 / √21练习题二：已知向量a = (1, -2, 3) 和向量b = (2, 1, 4)，计算向量a在向量b上的投影。
解答：首先，我们需要计算向量b的单位向量u_b。
设u_b = (x, y, z)为向量b的单位向量，则有|u_b| = √(x^2 + y^2 +z^2) = 1。
根据向量的定义，向量的数量乘法即为各分量同时进行数量乘法。
由此可得，向量b的单位向量为：u_b = (2/√21, 1/√21, 4/√21)。
接下来，我们可以计算向量a在向量b上的投影长度p。
根据向量投影的定义，投影长度p等于向量a和单位向量u_b的点积。
p = a • u_b = (1, -2, 3) • (2/√21, 1/√21, 4/√21)= (1 * 2/√21) + (-2 * 1/√21) + (3 * 4/√21)= (2 - 2 + 12) / √21 = 12 / √21练习题三：已知向量a = (2, 1, -3) 和向量b = (3, 4, -1)，计算向量a在向量b上的投影。
向量空间的数量积练习题
向量空间的数量积练习题
练题一
已知向量a和向量b的坐标分别为 (1, 2, 3) 和 (4, 5, 6)，求向量
a和向量b的数量积。
练题二
已知向量c的坐标为 (2, -1, 3)，求向量c的模长。
练题三
已知向量d的模长为 5，向量d和向量c的数量积为 10，求向
量c的模长。
练题四
已知向量e和向量f的数量积为 7，向量e和向量f的模长分别
为 2 和 3，求向量e和向量f夹角的余弦值。
练题五
已知向量g的模长为 4，向量g和向量h的夹角的余弦值为 -
0.5，求向量h的模长。
练题六
已知向量i的坐标为 (1, -2) 和向量j的坐标为 (3, 4)，求向量i
和向量j的数量积。
练题七
已知向量k的坐标为 (1, 2, -1) 和向量l的坐标为 (2, -1, 3)，求
向量k和向量l的数量积和它们夹角的余弦值。
练题八
已知向量m和向量n的数量积为 0，向量m的模长为 5，向量
n的模长为 3，求向量m和向量n夹角的余弦值。
练题九
已知向量p和向量q的模长分别为 2 和 3，向量p和向量q夹
角的余弦值为 -0.8，求向量p和向量q的数量积。
练题十
已知向量r的模长为 4，向量r和向量s的数量积为 15，求向
量s的模长。
高中数学《空间向量与立体几何》练习题(含答案解析)
高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ）A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1--2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =则四面体P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC △平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH △平面BCD ；（2）BD △平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PBD .18．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案与解析1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， △11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==. 故选：B.9．C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误；对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB △CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB △CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，△11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥， 而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥， 所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD △AB ，CD △1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED△111ABC A B C 是三棱柱，△四边形11BCC B 为平行四边形，△E 是1BC 的中点.△点D 是AB 的中点，△ED 是1ABC 的中位线，△1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，△1AC △平面1CDB .（2）△1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，△1AA AB ⊥，△AC BC =，AD BD =，△CD AB ⊥，△1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，△CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH △BD ，由此能证明EH △平面BCD ；（2）由BD △EH ，由此能证明BD △平面EFGH .【详解】（1）△EH 为△ABD 的中位线，△EH △BD .△EH △平面BCD ，BD △平面BCD ，△EH △平面BCD ；（2）△FG 为△CBD 的中位线，△FG △BD ，△FG △EH ，△E 、F 、G 、H 四点共面，△BD △EH ，BD △平面EFGH ，EH △平面EFGH ，△BD △平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：△四边形ABCD 为正方形，△O 为BD 的中点，△E 为PB 的中点，△OE PD ∥，又△OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，△OE 平面PDC ；（2）证明：△四边形ABCD 为正方形，△AC BD ⊥，△PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又△,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，△AC ⊥平面PBD ，又△AC ⊂平面PAC ，△平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析； 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．△使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．△ 将△△两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。
【高中数学】新人教A版高二1.1.1 空间向量及其线性运算(练习题)
新人教A 版高二1.1.1 空间向量及其线性运算(2016)1.空间任意五个点A ，B ，C ，D ，E ，则DA →+AE →+CD →−CB →+EA →等于（ ） A.DB →B.AC →C.AB →D.BA →2.已知向量A ，→A ，→BC →满足|A |→=|A |→＋|B |→，则（ ） A.AB →=A ＋→BC →B.AB →=−AC →−BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向3.如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，设AB →=a ，AD →=b ，AA 1→=c ，则CE →=（ ）A.−a −12b +cB.a −12b +cC.a −12b −cD.a +12b −c4.下列说法中，错误的个数为（ ） ①在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC →=A 1C 1→；②若两个非零向量AB →与CD →满足AB →=−C ，→则A ，→CD →为相反向量; ③AB →=CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合； ④两直线的方向向量平行，则两直线平行. A.1B.2C.3D.05.下列条件中，使M 与A,B,C 一定共面的是（ ） A.OM →=2OA →−OB →−OC →B.OM →=15OA →+13OB →+12OC →C.MA →+MB →+MC →=0→D.OM →+OA →+OB →+OC →=0→6.在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若OG →=13OA →+xOB →+y O ，→且G ，M ，N 三点共线，则x +y =（ ）A.−13B.13C.23D.−237.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →=xOA →+yOB →+zOC →(x,y,z ∈R)，则“x =2，y =−3，z =2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有6OP →=O ＋→2O ＋→3O ，→则一定有（ ）A.O ，A ，B ，C 四点共面B.P ，A ，B ，C 四点共面C.O ，P ，B ，C 四点共面D.O ，P ，A ，B ，C 五点共面9.在三棱锥A −BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则化简A ＋→12BC →−32DE →−AD →的结果为 .10.如图，在正四棱锥P −ABCD 中，设AB →=a ，AD →=b ，AP →=c ，O 为底面ABCD 中一点，且PO ⊥平面ABCD ，则PO →= .11.已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点，若由OP →=15OA →+23OB →+λOC →可确定点P 与A,B,C 共面，则λ= .12.给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →=0； ②|a|−|b|=|a ＋b|是a ，b 共线的充要条件； ③若A ，→CD →共线，则AB//CD .其中错误的说法有 .(填序号)13.如图，四边形ABCD 是空间四边形,E,H 分别是AB,AD 的中点,F,G 分别是CB,CD 上的点，且CF →=23CB →,CG →=23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形.14.如图,已知ABCD −A ′B ′C ′D ′是平行六面体,E 是AA ′的中点,F 在D ′C ′上且D ′F =2FC ′.(1)用AB →,AD →,AA ′→表示EF →;(2)设M 是底面ABCD 的中心,N 在侧面BCC ′B ′的对角线BC ′上，且BN =3NC ′，若MN →=αAB →+βAD →+γAA ′→，试求α,β,γ的值.15.如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点H 为PC 上的点，且PHHC =12，点G 在AH 上，且AGAH =m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，则m 的值为 .16.已知四棱锥P −ABCD 的底面是平行四边形，点E ，F ，G ，H 分别为△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，用共面向量定理证明：E ，F ，G ，H 四点共面.参考答案1.【答案】:D 【解析】:解：DA →+AE →+CD →−CB →+EA →=DA →+(AE →+EA →)+(CD →−CB →)=DA →+BD →=BA →． 故选：D ．可看出AE →+EA →=0→，CD →−CB →=BD →，从而得出DA →+AE →+CD →−CB →+EA →=DA →+BD →=BA →． 考查向量加法和减法的几何意义，以及零向量的概念．2.【答案】:D【解析】:由|A |→=|A |→＋|B |→=|A |→＋|C |→，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向.3.【答案】:A【解析】:连接AC ，AE .根据向量的三角形法则得到CE →=AE →−AC →=AA 1→+A 1E →−(AB →+BC →)=c +12b −a −b =−a −12b +c .故选A.4.【答案】:B【解析】:①中说法显然正确；AB →=−C ，→且A ，→CD →为非零向量，所以A ，→CD →为相反向量，②中说法正确；由AB →=C ，→知|A |→=|C |→，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合，③中说法错误；两直线的方向向量平行，两直线可能重合，④中说法错误.5.【答案】:C【解析】:C 选项中，∵MA →=−MB →−MC →,∴点M,A,B,C 共面，故选 C.6.【答案】:B【解析】:若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得OG →=λON →+(1−λ)OM →=1−λ2OA →+λ2OB →+λ2OC →成立，所以1−λ2=13，可得λ=13，所以x =y =16，可得x +y =13.故选 B.7.【答案】:B【解析】: 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键． 【解答】解：若P ，A ，B ，C 四点共面，则满足x +y +z =1，则x =2，y =−3，z =2不一定成立，即必要性不成立．若x =2，y =−3，z =2，则满足x +y +z =2+3−2=1，则P ，A ，B ，C 四点共面，即充分性成立，故x =2，y =−3，z =2是P ，A ，B ，C 四点共面的充分不必要条件， 故选B ．8.【答案】:B【解析】:由6OP →=O ＋→2O ＋→3O ，→得OP →−OA →=2(OB →−OP →)＋3(OC →−OP →)，即AP →=2P ＋→3P ，→故A ，→P ，→PC →共面，又它们有公共点P ，因此，P ，A ，B ，C 四点共面.9.【答案】:0→【解析】:延长DE 交BC 于点F ，连接AF ，则AB →＋12BC →=AF →，32DE →＋AD →=AD →＋DF →=AF →， 故AB →＋12BC →−32DE →−AD →=0→.10.【答案】:12a +12b −c【解析】:连接AO ，PO →=PA →+AO →=PA →+12AD →+12AB →=12a +12b −c .11.【答案】:215【解析】:∵A,B,C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，且由OP →=15OA →+23OB →+λOC →可确定点P 与A,B,C 共面，∴15+23+λ=1，解得λ=215.12.【答案】:②③【解析】:显然①中说法正确；若a ，b 共线，则|a ＋b|=|a|＋|b|或|a ＋b|=||a|−|b||，故②中说法错误；若A ，→CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③中说法错误.13.【答案】:∵E,H 分别是AB,AD 的中点， ∴AE →=12AB →,AH →=12AD →。
【高中数学】新人教A版高二1.2 空间向量基本定理(练习题)
新人教A 版高二1.2 空间向量基本定理(2016)1.若O,A,B,C 为空间四点，且向量OA →,OB →,OC →不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）A.OA →,OB →,OC →共线 B.OA →,OB →共线 C.OB →,OC →共线D.O,A,B,C 四点共面2.正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中,O 1,O 2,O 3分别是AC,AB ′,AD ′的中点，以{AO 1→,AO 2→,AO 3→}为基底，设AC ′→=xAO 1→+yAO 2→+zAO 3→，则x,y,z 的值是（ ） A.x =y =z =1B.x =y =z =12 C.x =y =z =√22D.x =y =z =23.如图所示，在空间四边形ABCD 中,AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，连接AG 并延长，交BC 于点M,E 是BD 上一点,BE =3ED ，以{AB →,AC →,AD}→为基底，则GE →=（ ）A.−112AB →−13AC →+34AD →B.−34AB →−13AC →+15AD →C.12AB →+13AC →+34AD →D.−12AB →−34AC →+13AD →4.平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→=xAB →+2yAD →+3zAA 1→，则（ ） A.x =1，y =1，z =1 B.x =1，y =−12，z =1 C.x =1，y =−12，z =13D.x =1，y =12，z =135.若{a,b,c}是空间的一个基底，向量m =a +b,n =a −b ，则可以与m,n 构成空间的另一个基底的向量是（ ） A.aB.bC.cD.2a6.在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60∘，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A.√23B.√26 C.√66 D.√36 7.在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1→=a ，A 1D 1→=b ，A 1A →=c ，若B 1M →=−12a ＋12b ＋c ，则M 的位置为（ ）A.鰽DD 1A 1的对角线交点B.鰽BCD 的对角线的交点C.鱀CC 1D 1的对角线的交点D.点D 的位置8.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是棱D 1D 的中点，P ，Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且3B 1P =PD 1，若PQ ⊥AE ，BD →=λD ，→则λ的值为（ ）A.3B.4C.−3D.−49.如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D,E 分别为AA 1,B 1C 的中点，记AB →=a,AC →=b,AA 1→=c ，则DE →= .(用a,b,c 表示)10.如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若AB =√2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为 .11.平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1=√2,∠A 1AD =∠A 1AB =120∘，则对角线BD 1的长度为 .12.下列关于空间向量的说法中，正确的有 .（填序号） ①若向量a,b 与空间任意向量都不能构成基底，则a//b; ②若非零向量a,b,c 满足a ⊥b,b ⊥c ，则有a//c;③若{OA →,OB →,OC →}是空间的一个基底， 且OD →=13OA →+13OB →+13OC →，则A,B,C,D 四点共面;④若{a +b,b +c,c +a}是空间的一个基底，则{a,b,c}也是空间的一个基底. 13.在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→=a ，AB →=b ，AD →=c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →； (3)M ＋→NC 1→.14.已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点. (1)证明：EF ⊥BC ；(2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值.15.在空间四边形ABCD 中，已知AB 2+CD 2=AD 2+BC 2，则AC 与BD 的位置关系是 .16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：平面A 1BD ⊥平面GBD .参考答案1.【答案】:D【解析】:∵向量OA →,OB →,OC →不能构成空间的一个基底，∴向量OA →,OB →,OC →共面，因此O,A,B,C 四点共面，故选D.2.【答案】:A【解析】:连接BC ′，则AC ′→=AB →+BC ′→=AB →+BB ′→+BC →=AB →+AA ′→+AD →=12(AB →+AD →)+12(AB →+AA ′→)+12(AA ′→+AD →) =12AC →+12AB ′→+12AD ′→ =AO 1→+AO 2→+AO 3→，又AC ′→=xAO 1→+yAO 2→+zAO 3→， 所以x =y =z =1.3.【答案】:A【解析】:连接AE ，则GE →=AE →−AG →=AD →+DE →−23AM →=AD →+14DB →−13(AB →+AC →)=AD →+14AB →−14AD →−13AB →−13AC →=−112AB →−13AC →+34AD →.4.【答案】:D【解析】:根据题意得，AC 1→=AB →+AD →+AA 1→∴x =1，2y =1，3z =1∴x =1，y =12，z =13故选D ．5.【答案】:C【解析】:{a,b,c}是空间的一个基底，则a,b,c 不共面.对于选项A ，a =12[(a +b)+(a −b)]=12m +12n ，故a,m,n 共面，故A 错误；对于选项B ，b =12[(a +b)−(a −b)]=12m −12n ，故b,m,n 共面，故B 错误；对于选项C ，c,m,n 不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C 正确；对于选项D ，易得2a =m +n ，故2a,m,n 共面，故D 错误.故选 C.6.【答案】:C【解析】:如图，设AA 1→=c ，AB →=a,AC →=b ，AB =1，则a ·b =12,b ·c =12,a ·c =12，∴AB 1→·BC 1→=(a +c)·(b −a +c)=12−1+12+12−12+1=1.∵|AB 1→|=|a +c|=√3,|BC 1→|=|b −a +c|=√2，∴cos⟨AB 1→，BC 1→⟩=1√3×√2=√66，∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√66.故选 C.7.【答案】:B【解析】:连接A 1C 1，A 1C ，AC ，A 1M . 因为B 1M →=−12a ＋12b ＋c ，所以 A 1M →=A 1B 1→＋B 1M →=a −12a ＋12b ＋c=12(a ＋b)＋c =12A 1C 1→＋c=A 1C 1→＋C 1C →−12A 1C 1→=A 1C →＋12CA →，即A 1M →−A 1C →=12CA →，所以CM →=12C ，→所以M 为CA 的中点，即M 为鰽BCD 的对角线的交点.故选 B.8.【答案】:D【解析】:设AA 1→=a,AB →=b,AD →=c ,这三个向量不共面且两两垂直，故{a,b,c}构成空间的一个基底.PQ →=PB 1→+B 1B →+BQ →=14D 1B 1→+B 1B →+λ+1λBD →=B 1B →+(λ+1λ−14)BD →=B 1B →+(λ+1λ−14)AD →−(λ+1λ−14)AB →=−a −(λ+1λ−14)b +(λ+1λ−14)c, AE →=AD →+DE →=12a +c .因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →=0， 所以−12a 2+(λ+1λ−14)c 2=0， 解得λ=−4.9.【答案】:12a +12b 【解析】:连接A 1E,A 1C.DE →=DA 1→+A 1E →=12AA 1→+12(A 1B 1→+A 1C →) =12AA 1→+12(AB →+AC →−AA 1→)=12c +12(a +b −c)=12a +12b .10.【答案】:90∘【解析】:设BA →=a ，BC →=b ，BB 1→=c ，则{a ，b ，c}为空间的一个基底.设BB 1=1，则|a|=|b|=√2，|c|=1，⟨a,b⟩=60∘，c ⊥a ，c ⊥b ，AB 1→=c −a ，BC 1→=b ＋c ，所以AB 1→·BC 1→=(c −a)·(b ＋c)=c ·b ＋c 2−a ·b −a ·c =0＋12−√2×√2×cos60∘−0=0，所以AB 1→⊥B ，→即AB 1与C 1B 所成角的大小为90∘.11.【答案】:2【解析】:由BD 1→=AD →+AA 1→−A ，→得|BD 1→|2=|AD →|2+|AA 1→|2+|AB →|2+2AD →·AA 1→−2AD →·AB →−2AA 1→·AB →=1+2+1+2×1×√2cos120∘−0−2×1×√2cos120∘=4，故|B |→=2.12.【答案】:①③④【解析】:①若向量a,b 与空间任意向量都不能构成基底，则这两个向量为共线向量，即a//b ，故①正确；②若非零向量a,b,c 满足a ⊥b,b ⊥c ，则a 与c 的关系不确定，故②错误；③若{OA →,OB →,OC →}是空间的一个基底，则A,B,C 三点不共线，又OD →=13OA →+13OB →+13OC →，由空间向量基本定理得到A,B,C,D 四点共面，故③正确；④若{a +b,b +c,c +a}是空间的一个基底，则对于空间任何一个向量d ，存在唯一的实数组｛x,y,z ｝，使d =x(a +b)+y(b +c)+z(c +a)=(x +z)a +(x +y)b +(y +z)c ，则{a,b,c}也是空间的一个基底，故④正确. 13(1)【答案】∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →=AA 1→＋A 1D 1→+D 1P →=a ＋AD →＋12D 1C 1→=a ＋c ＋12AB →=a ＋12b ＋c .(2)【答案】∵N 是BC 的中点，∴A 1N →=A 1A →＋AB →＋BN →=−a ＋b ＋12BC →=−a ＋b ＋12AD →=−a ＋b ＋12c .(3)【答案】∵M 是AA 1的中点，∴MP →=MA →＋AP →=12A 1A →＋AP →=−12a ＋a +12b +c =12a ＋12b ＋c .又NC 1→=NC →＋CC 1→=12BC →＋AA 1→=12AD →＋AA 1→ =a ＋12c ，∴MP →＋NC 1→=(12a +12b +c)＋(a +12c) =32a ＋12b ＋32c .14(1)【答案】EF →=AF →−AE →=12AD →−12(AB →+AC →) =−12a +12b −12c , BC →=AC →−AB →=−a +c ,∴EF →·BC →=(−12a +12b −12c)·(−a +c)=12a 2−12a ·b +12a ·c − 12a ·c +12b ·c −12c 2 =12−12×12+12×12−12×12+12×12−12=0， ∴EF →⊥B ，→即EF ⊥BC .(2)【答案】∵AE →=12(AB →+AC →)=12a +12c ， ∴|AE →|=√(12a +12c)2=12√a 2+2a ·c +c 2 =12×√1+2×12+1=√32， 又∵CD →=AD →−AC →=b −c ，|CD →|=1，∴AE →·CD →=(12a +12c)·(b −c)=12a ·b +12c ·b −12a ·c −12c 2=−14，cos⟨AE →,CD →⟩=AE →·CD →|A |→·|C |→=−14√32×1=−√36，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为√36.15.【答案】:垂直【解析】:∵AB 2+CD 2=AD 2+BC 2，∴AB →2−AD →2=BC →2−CD →2, ∴(AB →+AD →)(AB →−AD →) =(BC →+CD →)(BC →−CD →)，即(AB →+AD →)·DB →=(BC →−CD →)·BD →，∴BD →·2AC →=0,∴AC →·BD →=0，故AC →⊥B ，→即AC ⊥BD .16.【答案】:连接A 1O ，GO .设A 1B 1→=a ，A 1D 1→=b ，A 1A →=c ，这三个向量不共面且两两垂直，则｛a,b,c ｝为空间的一个基底，且|a|=|b|=|c|, a ·b =0，b ·c =0，a ·c =0.A 1O →=A 1A →+AO →=A 1A →+12(AB →+AD →)=c ＋12(a ＋b)，BD →=AD →−AB →=b −a ， OG →=OC →+CG →=12(AB →+AD →)+12CC 1→=12(a ＋b)−12c ,∴A 1O →·BD →=(c ＋12a ＋12b)·(b −a)=c ·(b −a)＋12(a ＋b)·(b −a)=c ·b −c ·a ＋12(b 2−a 2)=0,A 1O →·OG →=(c ＋12a ＋12b)·(12a ＋12b −12c) =14(a +b)2+14c ⋅(a +b)−12c 2 =14(a 2＋b 2)−12c 2=0,∴A 1O →⊥BD →,A 1O →⊥OG →,即A 1O ⊥BD,A 1O ⊥OG .又BD ∩OG =O ，∴A 1O ⊥平面GBD .又A 1O ⊂A 1BD ， ∴平面A 1BD ⊥平面GBD .。
数学必修二：空间向量的坐标表示习题答案
数学必修二：空间向量的坐标表示习题答案导语：在数学中，空间向量是一个重要的概念，对于学习几何和代数的学生来说，掌握空间向量的坐标表示是必不可少的。
本文将为大家提供数学必修二中关于空间向量的坐标表示的习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、选择题1.已知向量$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$，则向量$\overrightarrow{BA}$的坐标表示是：A. $-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$B. $3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$C. $-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$D. $3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$解析：向量$\overrightarrow{BA}$就是向量$\overrightarrow{AB}$的反向，所以坐标表示就是将$\overrightarrow{AB}$的坐标取相反数，即$-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$。
答案选A。
2.设向量$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$，向量$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标表示是：A. $\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$B. $-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$C. $\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$D. $-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$解析：将向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的各个分量相加，得到$(2+(-1))\overrightarrow{i}+((-3)+5)\overrightarrow{j}+(4+(-2))\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overright arrow{k}$。
空间向量专题练习详细答案
空间向量专题练习一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为 ______ ．【答案】π3或2π3 【解析】解：设平面α的法向量为m ⃗⃗⃗ =（1，0，-1），平面β的法向量为n ⃗ =（0，-1，1），则cos ＜m⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=2⋅2=-12， ∴＜m⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=2π3． ∵平面α与平面β所成的角与＜m⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞相等或互补， ∴α与β所成的角为π3或2π3．故答案为：π3或2π3．利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.平面α经过三点A （-1，0，1），B （1，1，2），C （2，-1，0），则平面α的法向量u⃗ 可以是 ______ （写出一个即可） 【答案】（0，1，-1）【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，-1，-1）， 设平面α的法向量u ⃗ =（x ，y ，z ），则{u ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +z =0u ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −y −z =0，令z =-1，y =1，x =0． ∴u ⃗ =（0，1，-1）．故答案为：（0，1，-1）．设平面α的法向量u ⃗ =（x ，y ，z ），则{u ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +z =0u⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −y −z =0，解出即可． 本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），则平面ABC 的一个法向量为 ______ ． 【答案】（-2，3，1）【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），设平面ABC 的法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +2z =02x +y +z =0，取x =-2，则z =1，y =3．∴n ⃗ =（-2，3，1）．故答案为：（-2，3，1）．设平面ABC 的法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解出即可． 本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．4.在三角形ABC 中，A （1，-2，-1），B （0，-3，1），C （2，-2，1），若向量n⃗ 与平面ABC 垂直，且|n⃗ |=√21，则n ⃗ 的坐标为 ______ ． 【答案】（2，-4，-1）或（-2，4，1）【解析】解：设平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ），则m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且m ⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，2），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2）， ∴{−x −y +2z =0x +2z =0， 即{x =−2z y =4z， 令z =1，则x =-2，y =4，即m ⃗⃗⃗ =（-2，4，1），若向量n⃗ 与平面ABC 垂直， ∴向量n⃗ ∥m ⃗⃗⃗ ， 设n ⃗ =λm ⃗⃗⃗ =（-2λ，4λ，λ），∵|n⃗ |=√21， ∴√21•|λ|=√21，即|λ|=1，解得λ=±1，∴n ⃗ 的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点．（1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）点M 在线段PC 上，PM =13PC ，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C 的大小．【答案】 解：（1）证明：由题意知：PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，PQ ∩BQ=Q ，∴AD ⊥平面PQB ，又∵AD⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（2）∵PA=PD=AD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q （0，0，0），A （1，0，0），P （0，0，√3），B （0，√3，0），C （-2，√3，0）∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-23，√33，2√33）， 设n 1⃗⃗⃗⃗ 是平面MBQ 的一个法向量，则n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{√3y =0−23x+√33y+2√33z=0，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3，0，1)，又∵n 2⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1)平面BQC 的一个法向量，∴cos ＜n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ ＞=12，∴二面角M-BQ-C 的大小是60°．【解析】（1）由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD ．（2）以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C 的大小．本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，点E 是PC 的中点，F在直线PA 上．（1）若EF ⊥PA ，求PF PA 的值；（2）求二面角P-BD-E 的大小．【答案】解：（1）∵在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵PD=DC=2，点E 是PC 的中点，F在直线PA 上，∴P （0，0，2），A （2，0，0），C（0，2，0），E （0，1，1），设F （a ，0，c ），PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（a ，0，c -2）=λ（2，0，-2）=（2λ，0，-2λ），∴a =2λ，c =2-2λ，F （2λ，0，2-2λ），EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2λ，-1，1-2λ），PA⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-2）， ∵EF ⊥PA ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4λ-2+4λ=0，解得λ=14， ∴PF PA =14．（2）P （0，0，2），B （2，2，0），D （0，0，0），E （0，1，1），DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，2），DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0），DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，1）， 设平面BDP 的法向量n ⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0，取x =1，得n ⃗ =（1，-1，0）， 设平面BDE 的法向量m ⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ），则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =（1，-1，1）， 设二面角P-BD-E 的大小为θ，则cos θ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√2⋅√3=√63． ∴二面角P-BD-E 的大小为arccos √63． 【解析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PFPA 的值．（2）求出平面BDP 的法向量和设平面BDE 的法向量，由此能求出二面角P-BD-E 的大小．本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7.如图所示的几何体是由棱台ABC-A 1B 1C 1和棱锥D-AA 1C 1C 拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB 1⊥平面ABCD ，BB 1=2A 1B 1=2．（Ⅰ）求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1D ；（Ⅱ）求二面角A 1-BD-C 1的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ，∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又BD ∩BB 1=B ，∴AC ⊥平面BB 1D ，∵AC⊂平面AB 1C ，∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D ；（Ⅱ）设BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B(0，−1，0)，D(0，1，0)，B 1(0，−1，2)，A(√3，0，0)，A 1(√32，−12，2)，C 1(−√32，−12，2)， ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，12，2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32，12，2)．设平面A 1BD 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z)，由{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y +2z =0n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取z =√3，得n ⃗ =(−4，0，√3)， 设平面DCF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y +2=0，取z =√3，得m ⃗⃗⃗ =(4，0，√3)． 设二面角A 1-BD-C 1为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m||n|=1319． 【解析】（Ⅰ）由BB 1⊥平面ABCD ，得BB 1⊥AC ，再由ABCD 是菱形，得BD ⊥AC ，由线面垂直的判定可得AC ⊥平面BB 1D ，进一步得到平面AB 1C ⊥平面BB 1D ；（Ⅱ）设BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面A 1BD 与平面DCF 的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A 1-BD-C 1的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．。
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《 空间向量与立体几何》练习2
一、选择题
1、在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，
则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向
量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．
其中正确命题的个数为 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量1DA、1DC、是 （ ）
（A） 有相同起点的向量 （B）等长向量 （C）共面向量 （D）不共面向量
3、若a、b均为非零向量，则||||abab是a与b共线的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
4、已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角,ab为 （ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）以上都不对
5、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa，CBb，1CCc， 则1AB （ ）
（A）abc（B）abc（C）abc（D）abc
6、已知向量(0,2,1)a，(1,1,2)b，则a与b的夹角为 （ ）
（A）0° （B）45° （C）90° （D）180°
7、已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则
实数λ等于 （ ）
（A）627 （B）637 （C）647 （D）657
8、已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中
线长为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
9、设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0,0,0ADACADABACAB
则△BCD是 （ ）
（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定
10、已知(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1,1,2)OP，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最
小值时，点Q的坐标为 （ ）
（A）131(,,)243 （B）123(,,)234 （C）448(,,)333 （D）447(,,)333
二、填空题
11、若A(m＋1,n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ．
E
M
G
D
C
B
A
F
E
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
E
A
D
C
B
z
y
x
S
BC
D
A
12、已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝xAByACzAS，则x＋y＋z
＝ ．
13、在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，
G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，
以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝ ．
14、设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则
,ab
＝ ．
15、已知向量a和c不共线，向量b≠0，且()()abcbca，d＝a＋c，则,db＝ ．
三、解答题（用向量方法求解下列各题）
16、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的
中点．
（1）证明：AEC1F是平行四边形；
（2）求AE和AF之间的夹角；
（3）求四边形AEC1F的面积．
17、在棱长为1正四面体ABCD中，E为AD的中点，试求CE与平面BCD所成的角．
18、ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，
SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝12．
（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
E
z
y
x
C
1
B
1
A
1
D
G
C
BA
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．
（本题为2001年高考试题第17题）
思考题：（2003年高考江苏卷第18题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．侧棱AA1＝2，
D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（1）求A1B与平面ABD所成角的大小．
（2）求A1到平面ABD的距离．