新课标复习讲义对称问题

对称问题
一、自主梳理
1.点P(x 0,y 0)关于定点A(a,b)的对称点为(2a-x 0,2b-y 0),曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0.
2.设点P(x 0,y 0)关于直线y=kx+b 的对称点为P ′(x ′,y ′),则x ′、y ′可由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++∙=+-=∙--b x x k y y k x x y y 2'2
',1''0000来确定. 3.直线关于直线对称直线l 1:a 1x+b 1y+c 1=0关于直线l:Ax+By+C=0的对称直线l 2：(1)过直线l 1和l 的交点；(2)l 1到l 的角等于l 到l 2的角.
4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论
(1)点(x,y)关于x 轴的对称点为(x,-y)；
(2)点(x,y)关于y 轴的对称点为(-x,y);
(3)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y);
(4)点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x)；
(5)点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x).
二、点击双基
1.已知点M(a,b)与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关 于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为( )
A.(a,b)
B.(b,a)
C.(-a,-b)
D.(-b,-a) 解析：N(a,-b),P(-a,-b)，则Q(b,a)
答案：B
2.(2004浙江高考,理)曲线y 2=4x 关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）
A.y 2=8-4x
B.y 2=4x-8
C.y 2=16-4x
D.y 2=4x-16
解析：设曲线y 2=4x 关于直线x=2对称的曲线为C,在曲线C 上任取一点P(x,y),则P(x,y)
关于直线x=2的对称点为Q(4-x,y).因为Q(4-x,y)在曲线y 2=4x 上,
所以y 2=4(4-x),即y 2=16-4x.
答案：C
3.已知直线l 1:x+my+5=0和直线l 2:x+ny+p=0,则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是（ ） A.
m 5=n
p B.p=-5 C.m=-n 且p=-5 D.m 1=-n 1且p=-5 解析：直线l 1关于y 轴对称的直线方程为(-x)+my+5=0，即x-my-5=0，与l 2比较，∴m=-n 且p=-5.反之验证亦成立.
答案：C
4.(2005上海高考，文)直线y=
2
1x 关于直线x=1对称的直线方程是___________________. 解析：设所求曲线上任一点坐标为(x,y),则其关于x=1的对称点为(2-x,y),代入y=2
1x,得y=21(2-x),即x+2y-2=0.
答案：x+2y-2=0
5.设直线x+4y-5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y-3=0对称的直线的倾斜角是_________. 解析：数形结合.
答案：π-θ
三、诱思·实例点拨
【例1】 光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B （-2，
6），求射入y 轴后的反射线的方程.
剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.
解：∵A （-3，4）关于x 轴的对称点A 1（-3，-4）在经x 轴反射的光线上,
同样A 1（-3，-4）关于y 轴的对称点A 2（3，-4）在经过射入y 轴的反射线上, ∴B A k 2=3
246--+=-2. 故所求直线方程为y-6=-2(x+2),
即2x+y-2=0.
【例2】 求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b 的方程.
剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称,它们具有下列几何性质:(1)若a 、b 相交,则l 是a 、b 交角的平分线;(2)若点A 在直线a 上,那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上,这时AB ⊥l,并且AB 的中点D 在l 上;(3)a 以l 为轴旋转180°,一定与b 重合.使用这些性质,可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多,总的来说有两类:一类是找出确定直线方程的两个条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程;另一类是直接由轨迹求方程.
解：由⎩⎨⎧=-+=-+,
0143,042y x y x 解得a 与l 的交点E(3,-2),E 点也在b 上.
方法一:设直线b 的斜率为k,又知直线a 的斜率为-2,直线l 的斜率为-
43. 则)2()43(1)2(43-⨯-+---=)4
3(1)43(-+--k k . 解得k=-112. 代入点斜式得直线b 的方程为y-(-2)=-11
2(x-3), 即2x+11y+16=0.
方法二:在直线a:2x+y-4=0上找一点A(2,0),设点A 关于直线l 的对称点B 的坐标为(x 0,y 0),
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+⨯++⨯,3420,012042230
000x y y x 解得B(54,-5
8).
由两点式得直线b 的方程为)58(2)2(-----y =5
433--x , 即2x+11y+16=0.
方法三:设直线b 上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点Q(x 0,y 0),则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+⨯++⨯.3
4,0124230000x x y y y y x x 解得x 0=256247+-y x ,y 0=25
8724+--y x . Q(x 0,y 0)在直线a:2x+y-4=0上,
则2×256247+-y x +25
8724+--y x -4=0, 化简得2x+11y+16=0是所求直线b 的方程.
方法四:设直线b 上的动点P(x,y),直线a 上的点Q(x 0,4-2x 0),且P 、Q 两点关于直线l:3x+4y-1=0对称,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-----+=-+.34)24(5|1)24(43|5|143|0
000x x x y x x y x 消去x 0,得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍).
讲评：本题体现了求直线方程的两种不同的途径,方法一与方法二,除了点E 外,分别找出确定直线位置的另一个条件:斜率或另一个点,然后用点斜式或两点式求出方程;方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质,直接由轨迹求方程,在使用这种方法时,要注意区分动点坐标及参数.本题综合性较强,只有对坐标法有较深刻的理解,同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.
【例3】 直线l 经过点(1,1),若抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l 对称,求直线l 斜率的取
值范围.
解法一：设直线l 的方程为y-1=k(x-1),弦的两个端点分别是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),代入抛物线方程并作差得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=x 1-x 2.
∵k AB =2
121x x y y --=-k 1, ∴y 1+y 2=-k.注意到AB 的中点在直线l:y-1=k(x-1)上, ∴x 1+x 2=1-k
2. ∴y 12+y 22=x 1+x 2=1-
k 2. 由y 12+y 22>2)(221y y +,得1-k 2>22
k ⇒k k k k 2)22)(2(2+-+<0⇒-2<k<0.
解法二：设抛物线上关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点为(y 12,y 1)、(y 22
,y 2),则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+-
=--)
12(121
22
21212
22121y
y k y y k
y y y y
⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=+,21
1
2,
2
2121k k y y k y y
y 1y 2=22k +k 1-21
,
∴y 1、y 2是方程y 2+ky+22k +k 1-21
=0的两根.
由Δ=k 2-4(22k +k 1-21
)>0
⇒k k k k )
22)(2(2
+-+<0
⇒-2<k<0.。