【最高考】2015届高考数学二轮专题突破高效精练 第30讲 概率统计、计数原理
【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-6-2文、3理(专题六 概率与统
条形统计图计算抽取的高中生近视人数．
该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为 10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数
为 2 000×2%×50%＝20，故选 A.
答案 A
2．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进 行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为 [12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序 分别编号为第一组，第二组，…，第五组．下图是根据试验数据制 成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没 有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为( )
真题感悟 1.(2014·广东卷)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 ①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽
样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近 视人数分别为( )
A．200,20
B．100,20
C．200,10
D．100,10
解析 在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据
(2)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等 比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量 的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积.
对点训练 1.(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践 活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中 抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、 三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5:6，则应从一年级本科生 中抽取________名学生．
2015年高考理数专题复习---概率统计(解析版)
2015年高考理数专题复习---概率统计预测2013年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。
（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。
（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。
这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。
复习建议在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.母题一：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.母题二：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.母题三：某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）： （1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率.母题四：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数 的分布列.母题五:.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白2，服鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A有效的概率为31. （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3用B有效的概率为2个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.7 8 99 4 4 6 4 7 3高考模拟1．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4【答案】C2.右图是 2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4【答案】C 【解析】2580855x =+=,244 1.6.5s +== 3.如图，矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( ) A .712π B.23π C .34π D.56π 【答案】B【答案】A6．右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约（ ） A ．523 B ．521 C ．519 D ．516 【答案】A 7．设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（ ） A ．964 B ．964π C ．916π D ．916【答案】B8．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅< 的点M 的概率为（ ）A B C D ．12【答案】B9.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为（）A.12B.24C.36D.48【答案】C10．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．115B．112C．12D．23【答案】D【解析】32352180.33243 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为__ _天．【答案】16天（15.9天给满分）16．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。
2015年高考数学总复习精品课件：专题六 概率与统计
方法二：设个位数与十位数分别为 x，y，则 x＋y＝2k－1， k＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以 x，y 分别为一奇一偶，第一类 x 为奇 数，y 为偶数共有 C51×C15＝25(个)数；第二类 x 为偶数，y 为奇 数共有 C14×C15＝20(个)数.两类共有 45 个数，其中个位是 0，十 位数是奇数的两位有 10,30,50,70,90 这 5 个数，所以其中个位数 是 0 的概率是455＝19.故选 D.
(1)估计该校高三男生的平均身高；
(2) 从身高在 170 cm( 含 170 cm) 以上的样本中随机抽取 2 人，记身高在 170～175 cm 之间的人数为 X，求 X 的分布列和 数学期望.
(部分参考数据：167.5×0.125＋172.5×0.35＋177.5×0.325
＝139.00)
答案：C
第十三页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考点 3 抽样方法的判断与计算 例 3：(1)某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽
样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本，则
此样本中男生人数为____________. (2)已知某商场新进 3000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否
达标，现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查，若第一组 抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为_________.
第十四页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
解析：(1)总体中男生与女生的比例为 4∶3，样本中男生人 数为 280×47＝160(人).
(2)此抽样方式为系统抽样，则应将3000袋奶粉分成150组，每组 20袋.每组抽出号码依次构成排列，构成以11为首项，20为公差的 等差数列{an}，则第六十一组抽出号码为a61，故a61＝11＋60×20 ＝1211.
高考数学二轮专名师讲义：第30讲-概率统计、计数原理(含答案)
第30讲概率统计、数原理江苏高考考这部分内容时，一般第1问考概率的计算，第2问考散布列、希望的计算．重点考察随机变量的散布列与希望，互斥事件有一个发生的概率，互相独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，同时考察数学分类思想，难度可能有所提高．概率统计考试说明要求序号内容A B C1 失散型随机变量及其散布列√2 超几何散布√3 条件概率及互相独立事件√4 n 次独立重复试验的模型及二项散布√5 失散型随机变量的均值和方差√计数原理考试说明要求序号内容A B C1 加法原理与乘法原理√2 摆列与组合√3 二项式定理√例1 如图，设P1，P2，⋯，P6为单位圆上逆时针平均散布的六个点．现任选此中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝3的概率；2(2) 求S 的散布列及数学希望E(S)．3解：(1) 从六个点任选三个不一样点构成一个三角形共有C6种不一样选法，此中S＝3的为有2一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12 种，所以P S＝32＝12 336＝5.C3(2) S 的全部可能取值为，43 3 3 ，4 . 2S＝3的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共 6 种，所以P S＝4346 3＝10.3＝C63 3的为等边三角形(如△P1P2P5)，共 2 种，S＝4所以P S＝3 342＝＝3C6110.又由(1) 知P S＝3212＝＝3C635，故S 的散布列为S34323 34 P31035110所以E(S)＝3×43＋103 3×＋2 53 3 1×＝4 109 320 .设ξ为随机变量，从棱长为 1 的正方体ABCDA 1B1C1D1 的八个极点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点构成的四周体的体积．(1) 求概率P( ξ＝0)；(2) 求ξ的散布列，并求其数学希望E( ξ．)4解：(1) 从正方体的八个极点中任取四个点，共有C8＝70 种不一样取法．此中共面的状况共有12 种(6 个侧面， 6 个对角面)，则P(ξ＝0)＝1270＝6.35(2) 任取四个点，当四点不共面时，四周体的体积只有以下两种状况：1 ①四点在相对面且异面的对角线上，体积为1－4×＝6 13，这样的取法共有 2 种．②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为16.这样的取法共有70－12－2＝56 种．∴ξ的散布列为ξ0 1316P 63513528351 1 1 28 1数学希望E(ξ＝)×＋.×＝3 35 6 35 7*)个白球， 3 个红球．挨次从口袋中任取一球，假如取到红球，那例2 口袋中有n(n∈N么持续取球，且拿出的红球不放回；假如取到白球，就停止取球．记取球的次数为X，若P(X 7＝2)＝.求：30(1) n 的值；(2) X 的概率散布与数学希望．1 13×A A解：由题知P(X ＝2)＝＝3n ＝7，n2（n＋3）（n＋2）30An＋3即7n2－55n＋42＝0，即(7n－6)(n－7)＝0，因为n∈N* ，所以n＝7.(2) 由题知，X 的可能取值为1、2、3、4，所以1A 77P(X＝1)＝＝，1A 1010P(X＝2)＝P(X＝3)＝7，302 1A3A 773＝，A 120107 7 7P(X＝4)＝1－＝－－10 30 1201，120所以X 的概率散布表为X 1 2 3 4P710730712011207 7 7 1所以E(X) ＝1×＋2×＋3×＋4×10 30 120 120＝11 . 8故X 的数学希望是118.5袋中装有大小同样的黑球和白球共9 个，从中任取 2 个都是白球的概率为12.现甲、乙两人从袋中轮番摸球，甲先取，乙后取，而后甲再取，每次摸取 1 个球，拿出的球不放回，直到此中有一人取到白球时停止．用X 表示取球停止时取球的总次数．(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量X 的概率散布及数学希望E(X) ．2Cn 解：(1)设袋中原有n 个白球，则从9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为，2C9n（n－1）由题意知2C 5n＝，即2C 12929×825＝，12化简得n2－n－30＝0.解得n＝6 或n＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6.(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝6 2＝；P(X＝2)＝9 33×6 1＝；9×8 4P(X＝3)＝3×2×69×8×7＝1；14P(X＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以取球次数X 的概率散布列为X 1 2 3 4P2314114184 2 1 1 1所求数学希望为E(X) ＝1×＋2×＋3×＋4×3 4 14 84＝10 7.例3 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投 5 次，乙同学决定投中 1 次就停止，不然就持续投下去，但投篮次数不超出5 次．(1) 求甲同学起码有 4 次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数 ξ的散布列和数学希望． 解：(1)设甲同学在 5 次投篮中，恰有 x 次投中，“起码有 4 次投中 ”的概率为P ，则 P ＝P(x ＝4)＋P(x ＝5)4 5＝C 2 3 4 2 31－ 1 5 ＋ C 5 2 3 5 2 3 1－ 0 112 ＝ . 243 (2) 由题意 ξ＝1，2，3，4，5.2 ，P( ξ＝2)＝ P( ξ＝1)＝3 1 2 × ＝ 3 3 2 9，1 P( ξ＝3)＝ × 31 3× 2 2＝ ， 3 27P( ξ＝4)＝1332×＝32，81P( ξ＝5)＝1341＝.81ξ的散布列为ξ 1 2 3 4 5P 2329227281181 2 2 2 2 1ξ的数学希望E(ξ＝)1×＋2×＋3×＋4×＋5×3 9 27 81 81＝121 81.在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次．在A处每投进一球得 3分，在B处每投进一球得 2 分；假如前两次得分之和超出3 分即停止投篮，不然投三次．某同学在A处的命中率q1＝0.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，此后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其散布列为ξ0 2 3 4 5p 0.03 p1 p2 p3 p4(1) 求q2 的值；(2) 求随机变量ξ的数学希望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超出3 分与选择上述方式投篮得分超出3 分的概率的大小．解：(1)设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件 A 、B 互相独立，－且P(A) ＝0.25，P( A－)＝0.75，P(B)＝q2，P( B)＝1－q2.－－依据散布列知：ξ＝0时，P( AB 所以1－q2＝0.2，q2＝0.8，－B－)＝P( A－)P( B－)P( B2＝0.03，)＝0.75(1－q2)－(2) 当ξ＝2时，P1＝P( A－－＋ AB B－B－－B)＝P( A B B－－)＋P( A B B)＝0.75q2(1－q2) ×2＝1.5q2(1－q2)＝0.24，－－当ξ＝3时，p2＝P(A AB－)＝P(A)P( B－)P( B2＝0.01，)＝0.25(1－q2)－当ξ＝4时，p3＝P( A－BB) ＝P( A22＝0.48，)P(B)P(B) ＝0.75q－－当ξ＝5时，p4＝P(A BB＋AB) ＝P(A B－B)＋P(AB) ＝P(A)P( B )P(B) ＋P(A)P(B) ＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24，所以随机变量ξ的散布列为ξ0 2 3 4 5p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量ξ的数学希望Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)该同学选择都在B处投篮得分超出3 分的概率为－－P( B BB ＋B B－B＋BB) ＝P( B－2 22＋q2＝0.896，BB) ＋P(B B B)＋P(BB) ＝2(1－q2)q该同学选择(1)中方式投篮得分超出3 分的概率为0.48＋0.24＝0.72，由此看来该得分超出3 分的概率大．投篮同学选择都在B处众投票场数百名观晚会上，有 5 位民间例4 在一场娱乐歌手(1 至5 号)登台演唱，由现票上选3名歌手，此中观众甲是 1 号歌手的相互独立地在选迎歌手．各位观众须选出最受欢众乙和丙对5位歌手的演唱歌迷，他必选1号，不选2号，另在 3 至5 号中随机选2名．观3名歌手．没有独爱，所以在 1 至5 号中选(1) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2) X 表示3 号歌手获取观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的散布列及数学希望．解：(1)设A表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”，则P(A) 1 2C 2 C 32 4＝，P(B)＝2 3＝＝5.∵事件 A 与B 互相独立，∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 C 3 C3 51 32· C－－ 2 2 4 C 4－4号歌手的概率为P(A B)＝P(A) ·[1－P(B)] ＝)＝P(A) ·P( B ×＝)．(或P(A B )＝＝2 33 5 15 C3· C 15524C 3(2)设C表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则P(C)＝.＝3C 55∵X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为－－P(X＝0)＝P( A B －C )＝13×25×2 4＝，5 75－－P(X＝1)＝P(A B C－－)＋P( A B C－)＋P( A－B C)2 ＝×3 25×2 1＋×5 335×25＋1 2××3 53520 4 ＝＝，75 15－P(X＝2)＝P(AB C－－)＋P(A B C)＋P( A BC)2 ＝×3 35×2 2＋×5 325×35＋1 3××3 53533 11 ＝＝，75 25P(X＝3)＝P(ABC) ＝∴X 的散布列为2 3 3××＝3 5 51875＝6，25X 0 1 2 3 P47541511256254 4 11 6∴X 的数学希望E(X) ＝0×＋1×＋2×＋3×75 15 25 25＝140 28＝.75 15现有10 道题，此中 6 道甲类题， 4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答．(1) 求张同学起码取到 1 道乙类题的概率；(2) 已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题， 1 道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否互相独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的散布列和数学希望．－解：(1)设事件A＝“张同学所取的 3 道题起码有 1 道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的 3道题都是甲类题”．3－C6因为P( A＝)＝3C10 16－，所以P(A) ＝1－P( A)＝56.(2) X 全部的可能取值为0，1，2，3.0 P(X＝0)＝C2·35·252·15＝4；1251 P(X＝1)＝C2·351·351·152＋C35·252·4 28＝；5 1252 P(X＝2)＝C2·352·25·1512＋C351·251·4 57＝；51252 P(X＝3)＝C2·352·25·45＝36.125所以X 的散布列为X 0 1 2 3P4125281255712536125 4 28 57 36所以E(X) ＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.125 125 125 1251. (2014 江·苏卷)盒中共有9 个球，此中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完整同样．(1) 从盒中一次随机拿出 2 个球，求拿出的 2 个球颜色同样的概率P；(2) 从盒中一次随机拿出 4 个球，此中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1、x2、x3，随机变量X 表示x1、x2、x3 中的最大数，求X 的概率散布和数学希望E(X) ．解：(1) 取到的 2 个颜色同样的球可能是 2 个红球、 2 个黄球或 2 个绿球．2 2 24＋C3＋CC 6＋3＋1 52所以P＝2＝＝C 3618.9(2) 随机变量X 全部可能的取值为2，3，4.444CCX＝4 表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”，故P(X ＝4)＝＝91；126X＝3 表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其余颜色的球，或3 个黄球和 13 1 3 15＋CC4C 3C 20＋6 136个其余颜色的球”，故P(X＝3)＝4＝＝；C 126 6391363 于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－所以随机变量X 的概率散布以下表：－1＝12611.14X 2 3 4P 111413641126所以随机变量X 的数学希望为11 13 1＋3×＋4×＝E(X) ＝2×14 63 126 20 9 .2. 某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%.生产一件甲产品，假如是一等品可赢利 4 万元，假如二等品则要损失1 万元；生产一件乙产品，假如是一等品可赢利 6 万元，假如二等品则要损失2 万元．设生产各样产品互相独立．(1)记X( 万元)为生产1件甲产品和 1 件乙产品可获取的总收益，求X 的散布列；(2) 求生产4件甲产品所获取的收益许多于10 万元的概率．解：(1) 由题设知，X 的可能取值为10、5、2、－3，且P(X＝10)＝0.8 ×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2 ×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8 ×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2 ×0.1＝0.02.由此得X 的散布列为X 10 5 2 －3P 0.72 0.18 0.08 0.02 (2)设生产的 4 件甲产品中一等品有n 件，则二等品有(4－n)件．14知4n－(4－n) ≥10，解得n≥，由题设5又n∈N，得n＝3 或n＝4.3 3×0.2＋0.84＝0.8192.所求概率为P＝C4×0.8故生产4件甲产品所获取的收益许多于10 万元的概率为0.8192.3.设整数n≥ 4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy 中的点，此中a、b∈{1 ，2，3，⋯，n} ，a＞b.(1)记A n为知足a－b＝3 的点P 的个数，求 A n；1(2)记B n为知足(a－b)是整数的点P 的个数，求B n.3解：(1) 点P 的坐标知足条件1≤ b＝a－3≤ n－3，所以 A n＝n－3.(2)设k为正整数，记f n(k)为知足条件以及a－b＝3k 的点P 的个数．只需议论f n(k) ≥ 1的情况．n－1由1≤ b＝a－3k≤ n－3k 知f n(k) ＝n－3k，且k≤，设n－1＝3m＋r，此中m∈N3*，r∈{0 ，m m1，2} ，则k≤ m，所以B n＝∑k＝1f n(k) ＝∑k＝1(n－3k)＝mn－3m（m＋1）＝2m（2n－3m－3）2，将m＝n－1－r3代入上式，化简得B n ＝（n－1）（n－2）6－r（r－1）6，所以B n ＝n（n－3），6 n3是整数，（n－1）（n－2），6 n3不是整数.评论：此题主要考察计数原理，考察研究能力，B级要求，是难题．4.设ξ为随机变量，从棱长为1 的正方体的12 条棱中任取两条，当两条棱订交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1) 求概率P( ξ＝0)；(2) 求ξ的散布列，并求其数学希望E( ξ．)解：(1) 若两条棱订交，则交点必为正方体8 个极点中的一个，过随意 1 个极点恰有 3 条2棱，∴共有8C3对订交棱．28C 8×3 43∴P(ξ＝0)＝＝＝.2C 66 1112(2) 若两条棱平行，则它们的距离为1或2，此中距离为2的共有6对，∴P( ξ＝2)＝6 62＝＝C 6612 1，P( ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－114 1 6－＝11.11 11∴随机变量ξ的散布列是ξ0 1 2P( ξ)4116111116∴其数学希望E(ξ＝)1×＋2×11 1 6＋ 2＝11 .11(此题模拟高考评分标准，满分10 分)(2014 南·京、盐城模考)某中学有 4 位学生申请A、B、C 三所大学的自主招生．若每位学生只好申请此中一所大学，且申请此中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有 2 人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X 的概率散布列与数学希望E(X) ．解：(1)记“恰有 2 人申请A大学”为事件A，2 24×2C 24 8P(A)＝ 4 ＝＝.3 81 278答：恰有 2 人申请A大学的概率为27 .(4 分) (2) X 的全部可能值为1，2，3.P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝3 14＝，3 273 2 24×A 3＋3×AC34 ＝32 34×AC 36 434 ＝＝.3 81 94281＝1427，X 的概率散布列为X 1 2 3P 127142749(8 分)1 14 4 65所以X 的数学希望E(X) ＝1×＋2×＋3×.(10 分 )＝27 27 9 27(1) 用红、黄、蓝、白四种不一样颜色的鲜花部署如图1所示的花园，要求同一地区上用同一种颜色的鲜花，相邻地区用不一样颜色的鲜花，问共有多少种不一样的摆放方案？图1(2) 用红、黄、蓝、白、橙五种不一样颜色的鲜花部署如图2所示的花园，要求同一地区上用同一种颜色的鲜花，相邻地区使用不一样颜色的鲜花．图2①求恰有两个地区用红色鲜花的概率；②记花园中红色鲜花地区的块数为ξ，求ξ的散布列及其数学希望E(ξ．)图3解：(1) 依据分步计数原理，摆放鲜花的不一样方案有4×3×2×2＝48 种．(2) ①设M表示事件“恰有两个地区用红色鲜花”，如图3，当地区A、D 同色时，共有5×4×3×3＝180 种；当地区A、D 不一样色时，共有5×4×3×2×2＝240 种；所以，全部基本领件总180＋240＝420 种．数为(因为只有A、D，B、E 可能同色，故可按采用 3 色、4 色、5 色分类计算，求出基本领3 4 5A5＋2A5＋A5＝420 种．)件总数为色时，共有4×3×3＝36 种；红又A 、D为红，共有4×3×3＝36 种；B、E为色时所以，事件M 包括的基本领件有36＋36＝72 种．所以，P(M) ＝72 6＝. 420 35②随机变量ξ的散布列为0 1 2P63523356356 23 6所以E(ξ＝)0×＋1×＋2×＝1.35 35 35。
【状元之路】2015版高考数学二轮复习 统计与统计案例专题训练(含解析)
【状元之路】2015版高考数学二轮复习 统计与统计案例专题训练（含解析）一、选择题1．(2014·四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本解析 由题目条件知5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.答案 A2．(2014·重庆卷)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析 由分层抽样的特点可知703 500＝n3 500＋1 500，解之得n ＝100. 答案 A3．(2014·广东卷)为了解 1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20解析 由系统抽样的定义知，分段间隔为1 00040＝25.故答案为C .答案 C4．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生人数为b ，则a ，b 的值分别为( )A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,84D ．2.7,83解析 前4组的频数成等比数列，由图知：第一组的频率是0.01，故第一组有1名学生；第二组的频率为0.03，故第二组有3名；所以第三组有9名，第四组有27名．所以后6组共87名学生，设最后一组人数为x ，则27＋x 2×6＝87，解得x ＝2，故公差d ＝2－275＝－5，所以a ＝27100＝0.27，倒数第二组人数为7，则b ＝87－2－7＝78.故选A .答案 A5．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为( A ．8 B ．8.2 C ．8.4D ．8.5解析 本题主要考查统计的相关知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得x －＝15(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y －＝15(1＋3＋6＋7＋m)＝17＋m 5，回归直线必经过样本中心点(x －，y －)，于是有17＋m5＝0.8×200－155，由此解得m ＝8，选A .答案 A6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：女由K 2＝＋b＋＋＋算得，K 2＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C . 答案 C 二、填空题7．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．解析 根据系统抽样的特点，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为805＝16，又其中有1个为28，则与之相邻的为12和44，故所取5个依次为12,28,44,60,76，即最大的为76.答案 768．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是________．解析 因为(0.002＋0.006＋0.012)×10×200＝40，40x ＝2003 000，所以x ＝600.故在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是600.答案 600 9.已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析 (1)由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34. (2)由茎叶图知5名职工体重的平均数 x －＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案 (1)2,10,18,26,34 (2)62 三、解答题10．(2014·课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部分评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．11．(2014·课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解 (1)(2)质量指标值的样本平均数为x －＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．B级——能力提高组1.(2014·郑州一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )A．甲B．乙C．甲、乙相等D．无法确定解析从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．答案A2．(理)(2014·贵州六校联考)某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？(2)将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E(X)．解(1)由题意得列联表：外语不优秀因为K 2＝160×640×200×600≈16.667>10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系． (2)由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是38.则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，38， P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫38k ⎝ ⎛⎭⎪⎫583－k，k ＝0,1,2,3.X 的分布列为E(X)＝3×38＝98.2．(文)(2014·东北三校联考)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：(250,300] 式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤w≤100，4w －400，100＜w≤300，2 000，w>300，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：解(1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜w≤250，频数为39，所以P(A)＝39100.(2)根据以上数据得到如下列联表：K2的观测值为85×15×30×70≈4.575>3.841.所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．。
2015届高考数学第二轮高效精练30
课堂讲义专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语(对应学生用书(文)、(理)1～3页)1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值，还是因变量的取值，还是曲线上的点，…集合中元素的“三性”既是解题的突破口，也是检验所得字母取值(或范围)是否保留的依据．2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．5. 命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中的“并”“交”“补”运算要进行类比理解，掌握解这类题的一般步骤与解题格式．6. 学习本节内容，要侧重于语言(集合语言、数学符号语言)的转化，要强化数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法在数学中的应用．1. 已知A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且xÏA∩B}．若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.答案：(－∞，3)解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．∴ A×B＝(－∞，3)．2. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______________．答案：12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题．如图，设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的人数有15－x，只喜爱乒乓球的人数有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.3. 已知条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}．则p是q的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：M＝(0，1)ËN＝(－2，2)．4. 已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(3－x)>0，若Øp是Øq的充分条件，则实数a的取值范围是____________．答案：[－1，6]解析：p ：a －4<x<a ＋4，q ：2<x<3，若Øp 是Øq 的充分条件，则q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，即－1≤a ≤6.题型一 集合的关系与运算例1 已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ÍA ，求实数p 的取值范围．解：由x 2－3x －10≤0，得－2≤x ≤5.∴ A ＝[－2，5]．① 当B ≠Æ时，即p ＋1≤2p －1Þp ≥2.由B ÍA 得－2≤p ＋1且2p －1≤5，得－3≤p ≤3.∴ 2≤p ≤3.② 当B ＝Æ时，即p ＋1>2p －1Þp ＜2.B ÍA 成立．综上得p ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝Æ，A ∪B ＝A ，A ∪B ＝B 或A ÍB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}．(1) 当a ＝－4时，分别求A ∩B 和A ∪B ；(2) 若(∁R A)∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1) 由2x 2－7x ＋3≤0，得12≤x ≤3， ∴ A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤3. 当a ＝－4时，解x 2－4<0，得－2<x<2，∴ B ＝{x|－2<x<2}．∴ A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x<2，A ∪B ＝{x|－2<x ≤3}． (2) ∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<12或x>3， 当(∁R A)∩B ＝B 时，B Í∁R A.① 当B ＝Æ时，即a ≥0时，满足B Í∁R A ；② 当B ≠Æ时，即a<0时， B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B Í∁R A ，须－a ≤12，解得－14≤a<0.综上，可得实数a 的取值范围是a ≥－14. 题型二 数形结合与分类讨论思想在集合问题中的应用例2 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪1－y x ＋1＝3，B ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋3}．若A ∩B ＝Æ，求实数k 的取值范围．解： 集合A 表示直线y ＝－3x －2上除去点(－1，1)外所有点的集合，集合B 表示直线y ＝kx ＋3上所有点的集合，A ∩B ＝Æ，所以两直线平行或直线y ＝kx ＋3过点(－1，1)，所以k ＝2或k ＝－3.已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫a n ，S n n |n ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪14x 2－y 2＝1，x 、y ∈R . 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：(1) 若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2) A ∩B 至多有一个元素；(3) 当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠Æ．解：(1) 正确；在等差数列{a n }中，S n ＝n （a 1＋a n ）2，则S n n ＝12(a 1＋a n )，这表明点⎝⎛⎭⎫a n ，S n n 的坐标适合方程y ＝12(x ＋a 1)，于是点⎝⎛⎭⎫a n ，S n n 均在直线y ＝12x ＋12a 1上． (2) 正确；设(x ，y)∈A ∩B ，则(x ，y)中的坐标x 、y 应是方程组⎩⎨⎧y ＝12x ＋12a 1，14x 2－y 2＝1的解，由方程组消去y 得：2a 1x ＋a 21＝－4(*)，当a 1＝0时，方程(*)无解，此时A ∩B ＝Æ；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x ＝－4－a 212a 1，此时，方程组也只有一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－a 212a 1，y ＝a 21－44a 1，故上述方程组至多有一解．∴ A ∩B 至多有一个元素．(3) 不正确；取a 1＝1，d ＝1，对一切的x ∈N *，有a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n>0，S n n>0，这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1＝1≠0 如果A ∩B ≠Æ，那么据(2)的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0，y 0)，而x 0＝－4－a 212a 1＝－52＜0，y 0＝a 1＋x 02＝－34＜0，这样的(x 0，y 0)A ，产生矛盾，故a 1＝1，d ＝1时A ∩B ＝Æ，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠Æ是不正确的．题型三 集合与逻辑知识应用的拓展例3 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x || x －1|＜a}，则“a ＝1”是“A ∩B ≠Æ”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由题意得A ：－1<x<1，B ：1－a<x<a ＋1，① 由a ＝1.A ：－1<x<1.B ：0<x<2.则A ∩B ＝{x|0<x<1}≠Æ成立，即充分性成立．② 反之：A ∩B ≠Æ，不一定推得a ＝1，如a 可能为12. 综合得“a ＝1”是“A ∩B ≠Æ”的充分不必要条件．设U 为全集，A 、B 是集合，则“存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ”是“A∩B ＝Æ”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充要解析：若存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ，则可以推出A ∩B ＝Æ；若A ∩B ＝Æ，由韦恩图可知，一定存在C ＝A ，满足A ÍC ，B Í∁U C ，故“存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ”是“A ∩B ＝Æ”的充要条件．题型四 充要条件的探求与证明例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q(p ≠0，p ≠1)，求数列{a n }为等比数列的充要条件．解：数列{a n }为等比数列，则a 1＝p ＋q ，n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1.由于p ≠0，p ≠1，∴ n ≥2时，数列{a n }是公比为p ，首项为p －1的等比数列，∴ p ＋q ＝p －1，∴ q ＝－1.由上面探求的过程可知，数列{a n }为等比数列的充要条件即为q ＝－1.已知p ：1＜2x ＜8；q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若Øp 是Øq 的必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：1＜2x ＜8，即0＜x ＜3，∵ Øp 是Øq 的必要条件，∴ p 是q 的充分条件，∴ 不等式x 2－mx ＋4≥0对x ∈(0，3)恒成立，∴ m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对x ∈(0，3)恒成立． ∵ x ＋4x ≥2x·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立， ∴ m ≤4.1. (2013·湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案：充分不必要2. (2014·福建卷)命题“"x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是________________． 答案：$ x ∈[0，＋∞)，x 3＋x<03. (2014·四川卷)已知集合A ＝{x|x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝________． 答案：{－1，0，1，2}4. 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m)(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n)，则m ＝________，n ＝________．答案：－1 1解析：∵ A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x|－5<x<1}，又A ∩B ＝(－1，n)，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.5. (2013·上海卷)设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为__________．答案：(－∞，2]解析：若a ＞1，则A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，A ∪B ＝R ，a －1≤1，则1＜a ≤2；若a ＝1，A ∪B ＝R 成立，a ＜1，则A ＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，A ∪B ＝R 成立．综上a ≤2.6. (2013·福建卷)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f(x)满足；(ⅰ) T ＝{f(x)|x ∈S}；(ⅱ) 对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)<f(x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：① A ＝N ，B ＝N *；② A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|－8≤x ≤10}；③ A ＝{x|0<x<1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 答案：①②③解析：对①取f(x)＝x ＋1，x ∈N *，所以B ＝N *，A ＝N 是“保序同构”；同理对②取f(x)＝92x －72(－1≤x ≤3)；对③取f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2，所以应填①②③.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知命题：“$x ∈{x|－1<x<1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1) 求实数m 的取值集合M;(2) 设不等式(x －a)(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．解：(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1，1)上有解，即m 的取值范围为函数y ＝x 2－x 在(－1，1)上的值域，易得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪－14≤m<2.(3分) (2) 因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以m ÍN ，当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；(5分)当a>1时，a>2－a ，此时集合N ＝{x|2－a<x<a}，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a<－14，a ≥2，解得a>94；(9分) 当a<1时，a<2－a ，此时集合N ＝{x|a<x<2－a}，则⎩⎪⎨⎪⎧a<－14，2－a ≥2，解得a<－14.(13分) 综上，a>94或a<－14.(14分)1. 设集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{4，5，6，7}，则满足S ÍA 且S ∩B ≠Æ的集合S 的个数为____．答案： 56解析：集合A 的所有子集共有26＝64个，其中不含4，5，6，7的子集有23＝8个，所以集合S 共有56个．2. 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M Í [1，4]，求实数a 的取值范围． 解： M Í [1，4]有三种情况：其一是M ＝Æ，此时Δ＜0；其二是M ≠Æ，此时Δ≥0，分三种情况计算a 的取值范围．设f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a ＋8)＝4(a 2－a －2)．① 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M ＝ÆÍ [1，4]成立；② 当Δ＝0时，a ＝－1或2，当a ＝－1时，M ＝{－1}Ë[1，4]，当a ＝2时，M ＝{2}Í[1，4]；③ 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M Í[1，4]Û 1≤x 1＜x 2≤4Û⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0且f （4）≥0，1≤a ≤4且Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，18－7a ≥0，1≤a ≤4，a ＜－1或a ＞2， 解得2＜a ≤187. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 3. 已知a>0，函数f(x)＝ax －bx 2.(1) 当b>0时，若x ∈R ，都有f(x)≤1，证明：0<a ≤2b ；(2) 当b>1时，证明："x ∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2 b.证明：(1) ax －bx 2≤1对x ∈R 恒成立，又b ＞0，∴ a 2－4b ≤0，∴ 0＜a ≤2 b.(2) 必要性：∵"x ∈[0，1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx 2－ax ≤1且bx 2－ax ≥－1，显然x ＝0时成立，对x ∈(0，1]时，a ≥bx －1x且a ≤bx ＋1x ，函数f(x)＝bx －1x 在x ∈(0，1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b －1.函数g(x)＝bx ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，1b 上单调减，在⎣⎡⎦⎤1b ，1上单调增，函数g(x)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1b ＝2b ， ∴ b －1≤a ≤2b ，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax －bx 2＝－b ⎝⎛⎭⎫x －a 2b 2＋a 24b ，a 2b ＝a 2b ×1b ≤1×1b≤1，f(x)max ＝a 24b ≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a －b ，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a －b 中取最小的，又a －b ≥－1，∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立．综上，命题得证．4. 命题甲：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m 的取值范围．解：使命题甲成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m<0m ＞2.∴ 集合A ＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是Δ2＝16(m －2)2－16<0，∴ 1＜m ＜3.∴ 集合B ＝{m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：① m ∈A ∩∁R B ；② m ∈∁R A ∩B.若为①，则有A ∩∁R B ＝{m|m>2}∩{m|m ≤1或m ≥3}＝{m|m ≥3}；若为②，则有B ∩∁R A ＝{m|1<m<3}∩{m|m ≤2}＝{m|1<m ≤2}．综合①、②可知所求m 的取值范围是{m|1<m ≤2或m ≥3}．请使用“课后训练·第1讲”活页练习，及时查漏补缺！薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
2015高考数学(理)(江西)二轮专题补偿练：概率与统计
补偿练10 概率与统计(建议用时：40分钟)一、选择题1．将参加夏令营的编号为1,2,3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号为 ( )．A ．3B ．12C ．16D ．19解析 把52人分成4组，每组13人，第一组抽6号，则第二组抽19号，故未知的学生编号是19. 答案 D2．如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )．A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,86解析 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.答案 A3．某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )．A ．300B ．400C ．500D ．600解析 依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600. 答案 D4，PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 ( )．A ．甲B ．乙C ．甲、乙相等D ．无法确定解析 从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小． 答案 A5．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a^的值是( )．A. B ．18 C.14 D ．12解析 由题意知x ＝34，y ＝38，故样本中心为(34，38)，代入回归直线方程y ^＝13x ＋a^，得a ^＝18. 答案 B6．在(x 2－1x )5的二项展开式中，第二项的系数为 ( )．A ．10B ．－10C ．5D ．－5解析 (x 2－1x )5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5(－1)r x 10－3r .令r ＝1，则第二项的系数是C 15(－1)1＝－5.答案 D7．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是 ( )．A.13 B ．512 C.12D ．712解析 从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数a ，b 的基本事件有： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)(4,3)，共12个，其中符合a 2≥4b 的事件有6个，故所求概率为P ＝612＝12. 答案 C8．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2)，且P (x ≥2)＝0.6，则P (x ＞6)＝ ( )． A ．0.4 B ．0.3 C ．0.2D ．0.1解析 依题意得，P (x ＞6)＝P (x ＜2)＝1－P (x ≥2) ＝1－0.6＝0.4. 答案 A9．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )．A ．12种B ．16种C ．24种D ．36种解析 当甲排在边上时，有2A 33＝12种方法；当甲不排在边上时，有12A 22＝24种方法，这样一共有12＋24＝36种不同的着舰方法． 答案 D10．向边长分别为5,6，13的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为( )．A ．1－π18B ．1－π12 C ．1－π9D ．1－π4解析 在△ABC 中，设AB ＝5，BC ＝6，AC ＝13，则cos B ＝52＋62－(13)22×5×6＝45，则sin B ＝35，S △ABC ＝12×5×6×35＝9，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率为S △ABC －12×π×12S △ABC＝1－π18.答案 A11．在一次学习方法成果交流会上，需要交流示范学校的5篇论文和非示范学校的3篇论文，交流顺序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类学校的概率是 ( )．A.1528 B ．1328 C.1556D ．1356解析 最先和最后交流为示范学校论文的情况有A 25A 66种，最先和最后交流为非示范学校论文的情况有A 23A 66种，故所求概率P ＝1－A 25A 66＋A 23A 66A 88＝1528.答案 A12．一个五位自然数a1a2a3a4a5，a i∈{0,1,2,3,4,5}，i＝1,2,3,4,5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”(如32 014,53 134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()．A．110 B．137C．145 D．146解析分四种情况进行讨论：(1)a3是0，a1和a2有C25种排法，a4和a5有C25种排法，则五位自然数中“凹数”有C25C25＝100个；(2)a3是1，有C24C24＝36个；(3)a3是2，有C23C23＝9个；(4)a3是3，有C22C22＝1个，由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有100＋36＋9＋1＝146个．答案 D二、填空题13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案50,101514．投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析抛掷两颗相同的正方体骰子共有6×6＝36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案1 915．若(2x＋ax)4(a＞0)的展开式中常数项为96，则实数a等于______．解析(2x＋ax)4的展开式通项为C r4(2x)4－r(ax)r＝24－r a r C r4x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴22a2C24＝96，∴a2＝4，∴a＝2.答案 216．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有________种．解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有C13C12C12＝12(种)；若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则2名同学来自一个年级，另外2名分别来自两个年级，有C13C12C12＝12(种)，共有24种．答案24。
[VIP专享]2015届高考数学二轮复习专题检测：计数原理与概率概率(含解析)
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[答案] D [解析] 当甲一人住一个寝室时有：C12×C24＝12 种， 当甲和另一人住一起时有：C12×C14×C23×A2＝48. 所以有 12＋48＝60 种． 4．(文)现釆用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率：先由计算器给 出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0、1 表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机 数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( ) A． 0.852 B． 0.8192 C．0.8 D． 0.75 [答案] D [解析] 随机模拟产生的 20 组随机数，表示至少击中 3 次的组数为 15，所以概率为
13 1 的概率为52＝4.
(理)将 5 名学生分到 A，B，C 三个宿舍，每个宿舍至少 1 人至多 2 人，其中学生甲不到 A 宿 舍的不同分法有( ) A．18 种 B．36 种 C．48 种 D．60 种
2006年经省农业厅，南平市政府19批41准年，毛南泽平东农在校《与改建造阳我农们业的工学程习学》校一合文署中办，学把，这强句强原联指合治，学实态行度一的套话班古子为，今两用个，校从区哲的学管的理高体度制做，了从新而的使分学析校，的深办化学了规对模实，事办求学是实的力理都解有，长并足为的其发提历展出史，了的逐一经步个验发经教展典训成的告为注诉有释我着，们广指：泛出什发：么展“时空‘候间实坚和事持良’实好就事发是求展客是前观，景存党的在和闽着国北的家唯一的一切事一事业所物就集，会文第‘顺理一是利、个’发农问就展工题是；商，客什实贸实观么事为事事时求一求物候是体是的背是，地内离一面看部实个向待联事老全我系求话国们，是题招的即，，生学规党实和校律和事就。性国求业职，家是的业‘的一，教求事一语办育’业、，学明就就实出规显是会事自模不我遭求东最同们遇是汉大于去挫地班、高研折看固师等究。待所资教”同学著力育。时校《量和毛，、汉最中泽只学书雄学东有生河厚教对坚和间、育中持学献办，国实校王学不社事当传质同会求前》量点、是工。和就中，作书办在国党以中学于革和及称声职命人存赞誉业的民在刘高教分的的德的育析事问“综所无业题修合有不才学性工贯能好国作穿顺古家和着利，级任实前实重何事进事点事求，求中情是一是专都的旦。和必精背”省须神离其级靠。实意文自因事思明己而求是学完他是根校成才就据。。能必实而找然事这到遭求些中到索成国挫真绩革折理的命甚。取的至得规倒是律退得，。益制实于定事学出求校适是党合是政中马领国克导国思的情主坚的义强路世领线界导方观，针的得政根益策本于，要全指求体导，党中是员国马干革克部命思和走主教向义职胜的工利精的，髓辛实。勤事工求作是和是共中同国努革力命的实结践果经，验但的最高主度要总的结一和条概是括得，益中于国学革校命始和终建坚设持的实经事验求表是明的，原实则事，求可是以是说胜，利坚之持本实，事只求要是坚原持则实是事我求们是学，校我各们项党事就业会健永康远、立稳于定不和败谐之发地展。的重要保证。
2015届高考数学(理·湖北)二轮专题复习课件【6】计数原理、概率与统计
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
的影响及计数原理、概率与统计自身的特征, 此类试题 的背景与日常生活最贴近, 联系也最为紧密, 不管是从内容 上, 还是从思想方法上, 都体现着应用的观念与意识, 考查学 生处理数据的能力、处理或然问题的方法, 考查学生对概率 事件的识别及概率计算, 以及分类与整合、化归与转化、或 然与必然思想的运用, 考查学生的阅读与理解能力、分析问 题解决问题的能力 .
= 50, 设第三组
= 0. 36, 解得 x=12, 故选 C .
热点重点) 设样本数据 x1, x 2, „, x 10 的均值和方差分 别为 1 和 4, 若 yi=x i+a( a 为非零常数, i =1, 2, „, 10) , 则 y1, y2, „, y10 的均值和方差分别为( A. 1+a, 4B. 1+a, 4+a C. 1, 4D. 1, 4+a ) .
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
第 20 题: 离散型 大 随机变量的分布 第 20 题: 正态分 题 列、期望及方差,布, 线性规划综合 概率加法公式 第 20 题: 随机事件 的概率、 二项分布 的概率、均值
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
【考向预测】
计数原理、概率与统计是高中数学的一个重要学习内 容, 也是高考考查的必考重点内容之一 . 本部分考查的内容 主要有: 抽样方法, 统计图表 ( 样本频率分布表与直方图、 茎叶 图) , 统计特征数字( 平均数、方差、中位数、众数) , 变量间的 关系、回归分析; 两个计数原理、排列组合的应用; 二项展开 式通项及二项式系数的性质与计算; 随机事件的概率、古典 概型、几何概型; 离散型随机变量的分布列、二项分布、正 态分布, 离散型随机变量的数学期望与方差. 由于新课标
2015年高考“统计与概率、计数原理”专题命题分析
和一道大题 ，共计 １ ７ 分 ；安徽文科卷是一道 １ ２ 分 的 事件 、相互独立事件 、独立重复试验等事件 的概率计 大题 ；天津文科卷是一道 １ ３ 分 的大题 ；江苏卷和湖北 算以及 概率分布列的数学期 望和方差 ． 新课程全 国文 文科卷 ，两道小题 ，所 占分值为 １ Ｏ分 ；题量最少的是 科 Ⅱ卷 、新 课 程全 国理 科 Ⅱ卷 、天 津 文科 卷 、安 徽 文 上海文科卷 ，为两道小题 ，分值为 ８ 分 ，占试题 总分 科卷 、北京文科卷 、北京理科卷 、福建文科卷 、陕西
《试 题 研 究
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
理科卷 、湖北理科卷 ，分值为 ２ ７ 分． 其他大多为两道 发 现 其 觉 得题 目有 难 度 的原 因也 在 于此 ，可 见 部分 教 小 题 和 一道 大 题 ，分 值 为 ２ ２分 ；新 课 程全 国文 科 师没有 重视 对课 本例 题 的研究 ． Ｉ 卷 、新课程全 国文科 Ⅱ卷 、新课程全 国理科 Ⅱ卷 、 在所有概率试题 中 ，涉及古典概 型的题 目有 四道 北京理科卷 、山东理科卷 、天津理科卷 、福建文科卷 、 小题 ，十一道解答题 ；几何概型有四道小题 ；随机事
求 线性 回归 方 程并 进 行 预 报 的 解 答 题 ．这 三道 题 目都 容易 出错 ．新 课 程 全 国 Ｉ卷 和 上 海 理科 卷 是 一 个 三项 源 于课 本 例 题 和 习题 ，是 比较 容 易 得 分 的 ． 新 课 程 全 展 开 式 的 问题 ，其 可 以转 化 为 二项 展 开 式 ，或 者溯 源
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第30讲 概率统计、计数原理
1. (1) 已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7
，求：
① a 1＋a 2＋…＋a 7；
② a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
③ a 1＋a 3＋a 5＋a 7；
(2) 已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b)2n 的展开式的系数之和小240，求⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中系数最大的项． 解：(1) ① ∵ (1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，
令x ＝1，得
a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.
令x ＝0得a 0＝1.
∴ a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2.
② 令x ＝－1，得
a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2 187.
由(1)和上式得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.
③ 由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1和a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187，
两式相减得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094.
(2) 由题意，得2n ＝22n －240，
∴ 22n －2n －240＝0，即(2n －16)(2n ＋15)＝0.
∵ 2n ＋15＞0，∴ 2n －16＝0.∴ n＝4.
∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n ＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4. ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，∴ 所求⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4展开式中系数最大的项为第3项，即T 3＝C 24(x)2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13x 2＝63x. 2. 求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除．
证明：1＋2＋…＋25n －1＝25n －12－1
＝32n －1＝(31＋1)n －1
＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n －1
＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31
＝31·(31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，
∵ 31n －1，C 1n ·31n －2，…，C n －1n 都是整数，
∴ 原式可被31整除．
3. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1) 求当天商品不进货的概率；
(2) 记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．
解：(1) P(“当天商品不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售
量为1件”)＝120＋520＝310
. (2) 由题意知，X 的可能取值为2、3.
P(X ＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝520＝14
， P(X ＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商
品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34
. 故X 的分布列为
X 2 3
P 14 34
X 的数学期望为E(X)＝2×14＋3×34＝114
. 4. 某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：
(1) 恰有2人申请A 片区房源的概率；
(2) 申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．
解：这是等可能性事件的概率计算问题．
(1) 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从
而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827
. (2) ξ的所有可能值为1、2、3. P(ξ＝1)＝334＝127
， P(ξ＝2)＝C 23（C 12C 34＋C 24C 22）34＝1427⎝
⎛⎭⎪⎫或P （ξ＝2）＝C 23（24－2）34＝1427， P(ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝
⎛⎭⎪⎫或P （ξ＝3）＝C 24A 3334＝49. 综上知ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 127 1427 49
从而有E(ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527
. 5. 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
(1) 求X 的分布列；
(2) 求此员工月工资的期望．
解：(1) X 的所有可能取值为0、1、2、3、4，P(X ＝i)＝C i 4C 4－i 4C 48
(i ＝0、1、2、3、4)．即
X 0 1 2 3 4
P
170 1670 3670 1670 170 (2) 令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100、2800、3500.
则P(Y ＝3500)＝P(X ＝4)＝170， P(Y ＝2800)＝P(X ＝3)＝1670
， P(Y ＝2100)＝P(X≤2)＝5370
. E(Y)＝3500×170＋2800×1670＋2100×5370
＝2280. 故新录用员工月工资的期望为2280元．
6. 下图是某游戏中使用的材料均匀的圆形转盘，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分的面积各占转
盘面积的112、16、14、12
.游戏规则如下： ① 当指针指到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分时，分别获得积分100分、40分、10分、0分； ② (ⅰ) 若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；
(ⅱ) 若参加该游戏转一次转盘获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．硬币正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．
设某人参加该游戏一次所获积分为ξ.
(1) 求ξ＝0的概率；
(2) 求ξ的概率分布及数学期望．
解：(1) 事件“ξ＝0”包含“首次积分为0分”和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，
所以P(ξ＝0)＝12＋16×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112＝83144
. (2) ξ的所有可能取值为0，10，40，100， 由(1)知P(ξ＝0)＝83144
， 又P(ξ＝10)＝14
， P(ξ＝40)＝16×12＝112
， P(ξ＝100)＝112＋16×12×112＝13144
， 所以ξ的概率分布为
ξ 0 10 40 100
P 83144 14 112 13144
故E(ξ)＝0×83144＋10×14＋40×112＋100×13144＝53536
(分)．。