数学11月月考

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湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．集合{}0,1,2,3A =的真子集的个数是（）A ．16B ．15C ．8D ．72．“11x -<”是“240x x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，则sin2α=（）A ．43B ．725C ．2425D ．2425-4．设向量a ，b满足a b += a b -=r r a b ⋅ 等于（）A ．B ．2C ．5D ．85．若无论θ为何值，直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x ym -=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥B ．01m <≤C ．05m <<，且1m ≠D ．1m ≥，且5m ≠6．已知函数()2f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f x ++-=，且当()2,4x ∈时，()()12log 2f x x m =--+，若()()2025112f f -=-，则m 等于（）A ．13B ．23C ．23-D ．13-7．已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上，且AB =11A B =）A ．1B ．4C ．7D ．1或78．北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab 个，下底有cd 个，共n 层的堆积物（如图所示），可以用公式()()()2266nn S b d a b d c c a =++++-⎡⎤⎣⎦求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab ，()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd +++⋅++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A ．2B ．6C ．12D ．20二、多选题9．若2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ ，则下列正确的是（）A ．02024a =B ．20240120243a a a +++= C ．012320241a a a a a -+-++= D ．12320242320242024a a a a -+--=- 10．对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列说法中正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值点C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11．过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）A ．5OA OB ⋅=-B ．直线MN 恒过定点C ．点M 的轨迹方程是()22(1)10y x y -+=≠D ．ABMN三、填空题12．已知复数1z ，2z 的模长为1，且21111z z +=，则12z z +=.13．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c 已知5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则sin B =.14．若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点，2x 是函数()()()3e ln 1e g x x x =---的一个大于e 的零点，则()122e e x x -的值为.四、解答题15．现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？(2)试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：101.12.594≈，101.259.313≈）16．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，222AD AB BC ===.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段，H 为垂足，并给出严谨的作图过程；(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.17．已知函数()e sin cos x f x x x =+-，()f x '为()f x 的导数.(1)证明：当0x ≥时，()2f x '≥；(2)设()()21g x f x x =--，证明：()g x 有且仅有2个零点.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为1F 、2F ，P为椭圆C 上一动点，设12F PF θ∠=，当2π3θ=时，12F PF(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N （M 在B ，N 之间），若Q 为椭圆C 上一点，且OQ OM ON =+，①求OBMOBNS S 的取值范围；②求四边形OMQN 的面积.19．飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数X 的均值()()()11lim n n k k E X kP k kP k ∞∞→==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑）(2)对于两个离散型随机变量ξ、η，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记()()()11,mi i ijj p x p x p x y ξ====∑，()()()21,njiij i p y p y p xy η====∑）ξη1x 2x ⋯n x 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y L()2,n p x y ()22p y ⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x L()1n p x 1若已知i x ξ=，则事件{}j y η=的条件概率为{}{}{}()()1,,j i i j j i i i P y x p x y P y x P x p x ηξηξξ=======.可以发现i x ηξ=依然是一个随机变量，可以对其求期望{}{}()()1111,mmi j j i j i jj i iE x y P y x y p x y p x ηξηξ====⋅===⋅∑∑.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（ξ取值不同时，期望也不同），不妨记为{}E ηξ，求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”，1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”，η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求E η.。

重庆市第一中学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题(无答案)

【考试时间：11月30日16：15~18：15】数学试题卷注意事项：1.答卷前､考生务必将自已的姓名､准考证号码填写在答题卡上2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题（本大题共8小题､每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数满足，则可以为（）A. B. C. D.2.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.为等比数列的前项和，若，且，则等于（）A.2 B.4050 C. D.4.已知实数满足，则的最小值为（）A.20 B.25 C.30 D.355.若为锐角，已知（）A. B. C. D.6.已知函数的定义域为，若函数与函数的交点为，则（）A.0 B. C.2025 D.40507.已知圆，直线，点为直线上的动点.过点作圆的两条切线，切点分别为.若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为（）A.或B.或5C.3或D.3或58.已知点分别为椭圆的左､右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（）z i z z =⋅z 1i -1i +12i +12i -()()1,2,,1a b m ==- 2m <a b n S {}n a n 12a =20222030a a +=2025S 2-4050-x 104x <<1914x x +-αsin cos αα-=cos2α=2525-3535-()f x ()(),22f x f x =--R ()11221x x g x --=-+()f x ()()()112220252025,,,,,,x y x y x y 20251i i x ==∑2025222:(1)4C x y +-=:0l x y m ++=P l P C ,M N PMCN P m 3-5-3-5-12,F F 22:11612x y C +=1F x C ,M N 123,,O O O 12122,,MF F NF F F MN 123O O OC. D.二､多项选择题（本大题共3小题､每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选借的得0分）9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正砳的是（）A.B.C.关于直线对称D.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象10.已知抛物线的焦点为，过点的直线交该抛物线于，两点，点，则下列结论正确的是（）A.B.C.若直线的斜率为1，则D.面积的最小值为11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.在上是增函数B.若关于的方程有两个不相等的实根，且，则C.若，不等式恒成立，则的取值范围为2+22+2-()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭2ω=π3ϕ=()f x 11π12x =()f x 5π12()2cos2g x x =24x y =F F ()()1122,,,A y B x y x ()0,1P -1214x x ⋅=-111AF BF+=AB 8AB =ABP ()()e ,ln x f x x g x x x =-=-()ln g x ()1,∞+x ()g x a =12,x x 12x x <1223x x +>0,0a x >∀>()e ln 1xa f f x x x ⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭…a 2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.若，且，则的最大值为三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线与直线平行，则实数__________.13.点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为__________.14.若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.（1）求证：；（2）若，求的面积.16.（本小题满分15分）已知数列的前项和为，且.（1）若，求；（2）若数列是单调递增数列，求首项的取值范围.17.（本小题满分15分）某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.（1）已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；（2）现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：（3）为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.（参考数据：若，则，()()()12e 1f x g x a a ==>-210x x >>()21ln e ln x ax a a -+-e-21:20l x m y m ++=2:210l x y ++=m =O ()3,0A -P 2PA PO =Q 22:(3)(4)1C x y -+-=PQ PC +{}n a *n ∈N 212n n n a a a +++…{}n a *N 244m n n mn n b +=-{}n b {}*2n n ∈N ∣…m ABC ,,A B C ,,a b c 12cos ,a c B D c a+=+AC sin sin BD ABC a C ∠=BD b =4b =ABC {}n a n n S 1221n n a S n +=+-11a =n S {}n a 1a ()110,100N ξ~[140,150][)130,140()2,X N u σ~()0.6827P u X u σσ-+=……）18.（本小题满分17分）已知双曲线，其左顶点，离心率.（1）求双曲线方程及渐近线方程；（2）过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，与渐近线分别交于点，直线分别与直线交于.（i）求的取值范围；（ii ）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）讨论函数极值点的个数；（2）当时，数列满足：.求证：的前项和满足.()()220.9544,330.9973P u X u P u X u σσσσ-+=-+=…………()2222:10,0x y C a b a b-=>>()2,0A -32e =F ,P Q ,M N ,AP AQ 43x =,R T PQMN RT ()293ln 32f x x ax x =+-+()f x 32a ={}n a ()113,126n n n f a a a a +==+{}n a n 23n n S n <<+。

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测(11月月考)数学试题(含答案)

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=log3(x2−1)}，集合B={y|y=3−x}，则A∩B=( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.若sinθ(sinθ+cosθ)=25，则tanθ=( )A. 2或−13B. −2或13C. 2D. −23.已知函数f(x)=a−e x1+ae x⋅cos x，则“a=1”是“函数f(x)的是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)={ax2+e x,x≥0x3−ax2+a,x<0在R上单调，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆半径为1，且a2+c2−b2=2ac,1+2sin A 1−2cos A =sin2C1+cos2C，则▵ABC的面积是( )A. 22B. 32C. 1D. 26.已知一个正整数N=a×1010(1≤a<10)，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为().(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)=x ln x，g(x)=e x−x2+a，若∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )A. (4−e2,ln4+1−e)B. [4−e2,ln4+1−e]C. (ln4+4−e2,1−e)D. [ln4+4−e2,1−e]8.已知正数x，y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。

安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考(11月)数学试题

安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题一、单选题1．已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（）A ．1B ．2CD 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38304S a ==,，则9S =（）A ．54B ．63C ．72D ．1353．已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（）A ．-15B ．-14C ．-11D ．-66．已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP m AB AC =+，则AP AB ⋅=（）A ．29B ．19C ．23D ．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A ．552B ．452C ．92D ．1028．已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、多选题9．已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（）A ．OA OB =B ．OA OC⊥C ．AC BC = D ．OB AC∥10．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（）A ．当9n =时，n S 最大B ．使得0n S <成立的最小自然数18n =C ．891011a a a a +>+D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 11．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误．．的是（）A ．当01q <<时，数列{}n d 单调递减B ．当1q >时，数列{}n d 单调递增C ．当12d d >时，数列{}n d 单调递减D ．当12d d <时，数列{}n d 单调递增三、填空题12．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为.13．已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为.14．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是.四、解答题15．设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{an }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.(1)求角A ；(2)若3,2a BA AC BD DC ⋅==，求AD 的长.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.18．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.(1)求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；(2)设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.19．已知函数()x f x e =.(1)当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；(2)若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；(3)设*2,n n ≥∈Nln n +.。

重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题(含解析)

注意事项：1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时、必须使用2B 铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题符合题目要求的．1. 已知集合{}2128,5016x A x B x x x ⎧⎫=<<=+>⎨⎬⎩⎭则A B = （）A. ()4,3-B. ()0,3C. ()3,0-D. ()4,0-【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合A B ，，再进行集合的交集运算【详解】由12816x <<解得43x -<<，∴{}43A x x =-<<，由250x x +>解得0x >或5x <-，所以{0B x =>或5}x <-，所以A B = (0,3)故选：B.2. 已知点()()()1,2,1,4,,1A B C x -，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可得解.【详解】因为()()()1,2,1,4,,1A B C x -，所以()()2,2,1,1AB AC x =-=--，因为A ，B ，C 三点共线，则,AB AC共线，则()212(1)x -⨯-=⨯-，解得2x =.故选：B.3. “1x >”是“11x-<”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】将11x -<化简，再根据充分必要条件关系判断.【详解】()1110101x x x x x x+-<⇔>⇔+>⇔<-或0x >，由1x >成立可以推出1x <-或0x >，但1x <-或0x >成立不能推出1x >，所以1x >是11x-<的充分不必要条件.故选：A.4. 若0.10.13125,,log 352a b c --⎫⎫⎛⎛=== ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a c b << B. c a b<< C. b c a<< D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】首先化解,a b ，再根据中间值1，以及幂函数的单调性比较大小，即可判断.【详解】00.1.11331a -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝，01.10.51225b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭，()35log 0,12c =∈，0.1y x =在()0,∞+上单调递增，532>，所以a b >，所以a b c >>.故选：D5. 设m ，n 是不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题正确的是（）A. 若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥．B. 若,//,//n m n m αβα= ，则//m β．C. 若,,//,//m n m n ααββÌÌ，则//αβ．D. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ．【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，直线m 与平面α可能平行、相交或直线m 在平面α内，故错误；对于B ，//m β或m β⊂，故错误；对于C ，平面α与平面β平行或相交，故错误；对于D ，//,,m n m α⊥则n α⊥，又n β⊥，所以//αβ，D 正确；故选：D ．6. 若曲线1()ln f x x x=+在2x =处的切线的倾斜角为α，则()sin cos cos 1sin2αααα-=-（）A. 1712-B. 56-C. 175-D. 【答案】A 【解析】【分析】根据导数的几何意义先求出函数()f x 在2x =处的导数值，即可得到在2x =处切线的斜率，进而得到倾斜角α的正切值，再根据tan α求出题中式子的值.【详解】由题意得，211()f x x x'=-，所以411(2)241f '=-=，于是()f x 在2x =处切线的斜率为14，即1tan 4α=.又()22sin cos sin cos cos 1sin2cos (sin 2sin cos cos )ααααααααααα--=--+2sin cos 1cos (sin cos )cos (sin cos )αααααααα-==--222sin cos sin cos cos ααααα+=-，将原式分子分母同时除以2cos α得，2222sin cos tan 1sin cos cos tan 1ααααααα++=--，代入1tan 4α=可得最终答案为1712-.故选：A.7. 已知数列{}n a 的首项12025a =，前n 项和n S ，满足2n n S n a =，则2024a =（）A.12025B.12024C.11012D.11013【答案】C 【解析】【分析】根据2n n S n a =得到211(1)n n S n a --=-，两式相减得到221(1)n n n a n a n a -=--，求出n a 即可求解.【详解】因为2n n S n a =，所以211(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减得221(1)n n n a n a n a -=--，所以11(2)1n n a n n a n --=≥+，所以1321221123121213121(1)n n n n a a a n n a a a n a n a n n -------⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=++++L L ，所以12(2)(1)n a n a n n =≥+，所以4050(2)(1)n a n n n =≥+，所以202411012a =.故选：C.8. 已知1x 是函数()()2ln 1f x x x =---的零点，2x 是函数()2266g x x ax a =+--的零点，且满足1234x x -<，则实数a 的取值范围是（）A. )3,-+∞B. 253,8⎫-⎪⎭C. 7125,,568⎫⎫⎛⎛-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ D. 7125,568⎫⎛-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数()f x 存在唯一零点，即12x =，可得()g x 在511,44⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，利用参变分离可求解.【详解】由()()2ln 1f x x x =---，1x >，可得()12111x x f x x --=-'-=，当12x <<时，()0f x '<，此时()f x 在()1,2单调递减；当2x >时，()0f x '>，此时()f x 在()2,+∞单调递增；又因为()20f =，所以函数()f x 存在唯一的零点，即12x =.因为122324x x x -=-<，解得2511,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.即()2266g x x ax a =+--在511,44⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，故方程2623x a x -=-在511,44⎛⎫⎪⎝⎭上有解，而263336(3)333x x x x x x -⎡⎤=---=-+-+⎢⎥---⎣⎦，因为511,44x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故713,44x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故349(3)34x x ≤-+<-，所以25624a ≤<2538a -≤<故选：B.【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间(),m n 上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、()(),f m f n 的符号）的方法解答.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在下列函数中，最小正周期为π且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为减函数的是（）A. ()cos f x x= B. ()1πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()22cos sin f x x x=- D. ()πtan 4f x x ⎫⎛=-⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数图象与性质，以及复合函数的单调性判断方法逐项判断即可.【详解】对于A ，()cos f x x =的最小正周期为π，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()cos cos f x x x ==，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故A 正确；对于B ，()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2πT=4π12=，故B 不正确；对于C ，()22cos sin f x x x =-cos 2x =，所以最小正周期2πT=π2=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,πx ∈，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C 正确；对于D ，最小正周期πT=π1=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，由复合函数单调性判断方法可知，此时()πtan 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故D 正确.故选：ACD.10. ABC V中，BC =BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（）A. 4AB AC +=B. AB AC ⋅为定值C. 2220AC AB +=D.BAD ∠的最大值为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A 选项；由中线的性质和向量数量积的运算有22AB AC AD DB ⋅=- ，求值判断B 选项；C 选项，由πADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理求22AC AB +的值；D 选项，ABD △中，余弦定理得22cos 4AB BAD AB+∠= ，结合均值不等式求解.【详解】A ．24AB AC AD +==，故A 正确；的B ．22()()()()422AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-= ，故B 正确；C ．πADB ADC ∠+∠= ，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=，由余弦定理知，222222022AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-+=⋅⋅0=，化简得2212AC AB +=，故C 错误；D ．22cos 4AB BAD AB +∠==≥=AB =时等号成立，由于090BAD <∠< ，所以BAD ∠的最大值为45 ，故D 正确；故选：ABD ．11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，M 为线段1B C 上一动点，N 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线AM 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 过点,,B P Q的截面周长为+D. 当AN BN ⊥时，三棱锥A NBC -体积最大时其外接球的体积为【答案】ACD 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质可判断A 正确；由11A D B C 转化异面直线所成的角，在等边1AB C △中分析可知选项B 错误；找出截面图形，利用几何特征计算周长可得选项C 正确；确定三棱锥体积最大时点N 的位置，利用公式可求外接球的半径和体积，得到选项D 正确.【详解】A.∵11111111111,,AC B D AC B B B D B B B ⊥⊥= ，11B D ⊂平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，∴11A C ⊥平面11BDD B ，∵1BD ⊂平面11BDD B ，∴111A C BD ⊥，同理可证，11DC BD ⊥，∵1111A C DC C ⋂=，11AC ⊂平面11AC D ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，选项A 正确.B. 如图，连接1,AB AC ，由题意得，11A D B C ，11AB AC B C ===直线AM 与1A D 所成的角等于直线AM 与1B C 所成的角，在等边1AB C △中，当点M 与1,B C 两点重合时，直线AM 与1B C 所成的角为3π，当点M 与1B C 中点重合时，1AM BC ⊥，此时直线AM 与1B C 所成的角为2π，故直线AM 与1A D 所成角的取值范围是[,]32ππ，选项B 错误.C. 如图，作直线PQ 分别与直线1,CC CD 交于点,S T ，连接BS 与11B C 交于点E ，连接BT 与AD 交于点F ，则五边形BEPQF 即是截面.由题意得，1SPC △为等腰直角三角形，113PC SC ==，由1BB CS ∥得，1112BB B EC S CE==，∴114,2B E C E ==，∴BE =PE =，同理可得，BF QF ==，∵,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，∴PQ =，∴截面周长为+C 正确.D.当AN BN ⊥时，点N 的轨迹为以AB 为直径的球，球心为AB 中点，半径为3，三棱锥A NBC -的体积即为三棱锥N ABC -的体积，点N 到平面ABC 距离的最大值为球的半径，此时点N 在正方形11ABB A 的中心处，三棱锥A NBC -体积有最大值.由题意得，平面NAB ^平面ABC ，NAB △，ABC V 均为等腰直角三角形，NAB △的外接圆半径为132AB r ==，ABC V 的外接圆半径为22ACr ==，∴三棱锥A NBC -的外接球半径R ==，∴外接球体积为3344ππ33R =´=，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题为立体几何综合问题，求三棱锥外接球半径方法为：（1）在三棱锥A BCD -中若有AB ⊥平面BCD ，设三棱锥外接球半径为R ，则2224h R r =+，其中r为底面BCD △的外接圆半径，h 为三棱锥的高即AB 的长.（2）在三棱锥A BCD -中若有平面ABC ⊥平面BCD ，设三棱锥外接球半径为R ，则2222124l R r r =+-，其中12,r r 分别为,ABC BCD 的外接圆半径，l 为,ABC BCD 公共边BC 的长.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 复数221iz =--（i 是虚数单位），则复数z 的模为________．【解析】【分析】利用复数除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】()()()()21i 22221i 1i 1i 1i 1i z +=-=-=-+=---+，z ∴==.13. 在数列{a n }中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥-N 恒成立，则实数k 的最小值为______.【答案】427【解析】【分析】利用构造法分析得数列{}2n a +是等比数列，进而求得2n a +，从而将问题转化为353nn k -≥恒成立，令()()*253nn f n n -=∈N ，分析数列(){}f n 的最值，从而得解.【详解】由134n n a a +=+，得()1232n n a a ++=+，又12123a +=+=，故数列{}2n a +为首项为3，公比为3的等比数列，所以12333n n n a -+=⨯=，则不等式()235n k a n +≥-可化为353nn k -≥，令()()*353n n f n n -=∈N ，当1n =时，()0f n <；当2n ≥时，()0f n >；又()()1132351361333n n n n n nf n f n ++---+-=-=，则当2n =时，()()32f f >，当3n ≥时，()()1f n f n +<，所以()()333543327f n f ⨯-≤==，则427k ≥，即实数k的最小值为427.故答案为：427.14. 若定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()()6f x y f x f y xy +=++，且有()3f n n ≥对n *∈N 恒成立，则81()i f i =∑的最小值为________．【答案】612【解析】【分析】由条件等式变形为()()()()222333f x y x y f x x f y y +-+=-+-，再构造函数()()23g x f x x =-，得到()()()g x y g x g y +=+，并迭代得到()()13g n n f =-⎡⎤⎣⎦，由此得到()()23133f n n f n n =+-≥⎡⎤⎣⎦，，并求和，利用放缩法，即可求解最小值.【详解】因为()()()6f x y f x f y xy +=++，所以()()()()222333f x y x y f x x f y y +-+=-+-，设()()23g x f x x =-，则()()()g x y g x g y +=+，因此()()()()()()()()11211221g n g n g g n g g g n g =-+=-++=-+()()()()()211321g n g ng n f ==+-==-⎡⎤⎣⎦ ，所以()()23133f n n f n n =+-≥⎡⎤⎣⎦，取1n =，得()13f ≥，所以()8111188822()3133612i i i i f i ii i f =====+-≥=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑，所以81()i f i =∑的最小值为612.故答案：612.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 平面四边形ABCD中，已知4,120,AB BC ABC AC =∠=︒=（1）求ABC V 的面积；（2）若150,BCD AD ∠=︒=ADC ∠的大小．【答案】（1（2）60︒【解析】【分析】（1）由已知，设BC x =，则4AB x =，由余弦定理，可得1x =，利用三角形的面积公式即可求得ABC V 的面积；（2）在ABC V中，由正弦定理，可求得sin ACB ∠=，进而求得cos ACB ∠=，进而求得sin ACD ∠=ACD中，由正弦定理，求得sin ADC ∠=ADC ∠的大小．【小问1详解】由已知，设BC x =，则4AB x =，在ABC V 中，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，为因为120,ABC AC ∠=︒=，所以22222116421x x x x =++=，解得1x =，所以1BC =，4AB =，所以11sin 4122ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯= .【小问2详解】在ABC V 中，由正弦定理，sin sin ACB ABCAB AC ∠∠=，因为120,ABC AC ∠=︒=，4AB =，所以sin sin 4ABC ACB AB AC ∠∠=⋅==，又在ABC V 中，120ABC ∠=︒，则060ACB ︒<∠<︒，所以cos ACB ∠==，因为150BCD ∠=︒，所以()sin sin 150ACD ACB ∠=︒-∠sin150cos cos150sin ACB ACB=︒∠-︒∠12⎛== ⎝，在ACD 中，由正弦定理，sin sin ADC ACDAC AD∠∠=，又AD ==解得sin ADC ∠=>，所以60ACD ∠>︒，因为0180ADC ︒<∠<︒，则60ADC ∠=︒.16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4,,,AB AC AC AB AA M N P ⊥===分别为11,,AB BC A B 的中点．（1）求证：//BP 平面1C MN ；（2）求二面角1P MC N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）先证明1,,,M N C A 四点共面，再证明1MA BP ，由线面平行的判定定理可证；（2）以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角公式，带入求解即可.【小问1详解】证明：连接1A M ，因为,M N 分别为,AB BC 的中点，则MN AC ∥，在三棱柱111ABC A B C -中，11ACA C ，则11MN A C ∥，则11,,,M N A C 四点共面，11AB A B = ，且11AB AB ∥，,M P 分别为11,AB A B 的中点，则1BM PA 且1BM PA =，则四边形1BMA P 为平行四边形，则1MA BP ，BP ⊄ 平面1C MN ，1MA ⊂平面1C MN ，则//BP 平面1C MN .【小问2详解】在直棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB AA AC AB AC ⊥⊥⊥，则以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则有13(0,0,0),(4,0,0),(0,3,0),(2,0,0),(2,,0),(2,0,4),(0,3,4)2A B C M N P C ，13(2,3,4),(0,,0),(0,0,4)2MC MN MP =-== ，设平面1MPC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，平面1MNC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则1234040m MC x y z m MP z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩及12340302n MC a b c n MN b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3,1x c ==，则有(3,2,0),(2,0,1)m n ==，则cos ,m n m n m n ⋅===，因为二面角1P MC N --为钝角，则所求二面角的余弦值为.17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，点()4,3P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程.（2）设过点()10-,的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y -=；（2）存在，29(,0)8Q -，58564.【解析】【分析】（1）根据题意由双曲线的渐近线方程得到ba的值，再根据(4,3)P 在双曲线上，将坐标代入双曲线方程即可解得,a b 的值.（2）设出直线l 方程与M ，N 点坐标1122(,),(,)x y x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可表示出12x x +、21x x 、12y y +、12y y ，再设出Q 坐标(,0)t ，则可以表示出,QM QN 坐标，即可用坐标表示出QM QN⋅的值，再结合具体代数式分析当QM QN ⋅为常数时t 的值.【小问1详解】由题意得，因为双曲线渐近线方程为y x =，所以b b a =⇒=，又点(4,3)P 在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：221691a b-=，联立两式解得21612a a -=⇒=，b =，所以双曲线的标准方程为：22143x y -=.【小问2详解】如图所示，点(1,0)E -,直线l 与双曲线交于,M N 两点，由题意得，设直线l 的方程为1x my =-，Q 点坐标为(,0)t ，联立221431x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得，22(34)690m y my ---=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122634m y y m +=-，122934y y m -=-，21212122268(1)(1)()223434m x x my my m y y m m +=-+-=+-=-=--，22121212122124(1)(1)()134m x x my my m y y m y y m --=--=-++=-，11)(,t y QM x =- ，22,)(Q x t y N =-，所以21212121212()()()Q t x t y y x x t x x t y M N y Q x +⋅--=-++=+2222212489343434m t t m m m ---=-⋅++---222222121384(34)8293434m t m t t tm m -------=+=+--22829434t t m +=--+-，所以若要使得上式为常数，则8290t +=，即298t =-，此时58564QM QN ⋅= ，所以存在定点29(,0)8Q -，使得QM QN ⋅ 为常数58564.【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题关键首先在用适当的形式设出直线l 的方程，当已知直线过x 轴上的定点(,0)n 时，可设直线方程为x my n =+，这样可简化运算，其次在于化简QM QN ⋅时计算要仔细，最后判断何时为常数时要抓住“消掉m ”这个关键，即最后的代数式中没有我们设出的m.18. 已知函数()2sin cos f x x x x x =--.（1）求()f x 在πx =处的切线方程；（2）证明：()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；（3）若()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，求a 的取值范围.【答案】（1）220x y π+-= （2）证明见解析（3）1πa <-【解析】分析】（1）根据解析式求出切点，再根据导函数求出斜率，点斜式可得到切线方程；（2）先分析函数的单调性，需要二次求导，再结合函数值的情况进行判断；（3）对于函数图象的位置关系问题，可先特值探路求出参数的取值范围，再证明在该条件不等式恒成立即可.【小问1详解】()2sin cos f x x x x x =--，当πx =时，()π2sin ππcos ππ0f =--=，所以切点为()π,0，因为()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x =-+-=+-'，【所以斜线方程的斜率()πcos ππsin π12k f ==+-=-'，根据点斜式可得()02πy x -=--可得220x y π+-=，所以()f x 在πx =处的切线方程为220x y π+-=；【小问2详解】由（1）可得()cos sin 1f x x x x =+-'，令()()cos sin 1g x f x x x x ==+-'，所以()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x <，()0g x '<，()g x 单调递减；()πππππ0cos00sin010,cos sin 11022222g g ⎛⎫=+⨯-==+⨯-=-> ⎪⎝⎭，()πcos ππsin π1=2<0g =+--，3π3π3π3π3πcos cos 11022222g ⎛⎫=+-=--< ⎪⎝⎭，()2πcos 2π2πsin 2π10g =+-=，存在0π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得g (x 0)=0，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,2πx 单调递减，又()()02sin 00cos 00,π2sin ππcos ππ0f f =-⨯==-⨯-=，()2π2sin 2π2πcos 2π2π=4πf =---，所以()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；【小问3详解】因为()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，即2sin x ax x >+恒成立，等价于2sin x xa x -<恒成立，当πx =时，有2sin 1ππa ππ-<=-，下证：2sin 1πx x x -≥-即证21sin πx x x -≥-，()0,x ∞∈+恒成立，令()21sin πs x x x x =-+，当2πx ≥时，2sin 2π4π>01sin πx x x x --++>，当()0,2πx ∈时，()2cos 1πs x x x -+'=，设()2cos 1πt x x x =-+，则()2sin πt x x -'=+，此时()0t x '=在()0,2π有两个不同解1212π,,0π2x x x x <<<<，且当10x x <<或22πx x <<时，()0t x '>，当12x x x <<时，()0t x '<，故()t x 在()12,x x 上为减函数，在()10,x ，()2,2πx 上为增函数，而()()()π0π0,2π402t t t t ⎛⎫====> ⎪⎝⎭，故当π02x <<时，()0t x >，当ππ2x <<时，()0t x <，当π2πx <<时，()0t x >，故()s x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在()π,2π为增函数，而()()0π0s s ==，故()0,2πx ∈时，()0s x ≥恒成立，综上1πa <-.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数y =g (x )的图象的交点问题.19. 数列{}n b 满足32121222n n b b b b n -++++= ，{}n b 前n 项和为n T ，等差数列{}n a 满足的的1143,a b a T ==，等差数列前n 项和为n S ．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中的项落在区间()21,1m m T T ++中的项数为()m c m N*∈，求数列{}mc 的前n 和n H；（3）是否存在正整数m ，使得3m m m mS T S T +++是{}n a 或{}n b 中的项．若有，请求出全部的m 并说明理由；若没有，请给出证明．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=（2）2121233m m m H +=-+（3）1m =，2m =或5m =【解析】【分析】（1）先利用数列通项与前n 项和的关系求出12n n b -=，然后得到12n n b -=为等差数列，求得n T ，再求得14,a a ，计算数列{a n }的通项公式即可；（2）先求出区间()21,1m m T T ++的端点值，然后明确{a n }的项为奇数，得到()21,1m m T T ++中奇数的个数，得到()m c m N*∈通项公式，然后求和即可；（3）先假设存在，由（1）求得2n S n =，21nn T =-，令3m m m mS T L S T ++=+，然后判断L 的取值，最后验证，不同取值时，m 的值即可.【小问1详解】由题可知，当1n =时，11b =；当2n ≥时，得3121221222n n b b b b n --++++=- 因为32121222n n b b b b n -++++= 两式相减得11122n n n n bb --=⇒=经检验，当*N n ∈时，12n n b -=显然，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以122112nn n T -==--所以1143,17a b a T ====等差数列{a n }的公差71241d -==-所以21n a n =-【小问2详解】由（1）可知，2212,12m m m m T T +=+=因为21n a n =-，所以21n a n =-为奇数；故()m c m N *∈为区间()21,1m m TT ++的奇数个数显然2212,12m m m m T T +=+=为偶数所以21224222m m mm m c --==-所以()2121444412222m mm m m H ---++++=-++++ ()214141122122141233m mm m +--=⨯-=-+--【小问3详解】由（1）可知2n S n =，21nn T =-所以23322121m m m m m m S T m S T m ++++-=++-若3m m m mS T S T +++是{a n }或{b n }中的项不妨令3m m m mS T L S T ++=+，则L *∈N 则有()()()232221118221m m m m L L m L m ++-=⇒--=-+-因为210,20m m -≥>所以18L ≤≤因为L 为数列{a n }或{b n }中的项所以L 的所有可能取值为1,2,3,4,5,7,8当1L =时，得20m =无解，所以不存在；当18L <≤时得28112m L m L --=-令()2*1,2m m g m m -=∈N 得()22ln 2ln 22mm m g m +='-令()22ln 2ln 2h m m m =-+显然()22ln 2ln 2h m m m =-+为二次函数，开口向下，对称轴为()11,2ln 2m =∈()()()120,368ln 20,4815ln 20h h h =>=->=-<所以当3m ≤时，()0g m '>，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递增；当3m ≥时，()0g m '<，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递减得()()1531,416g g ==因为28112m L m L --=-所以89112L L L -≤⇒≥-所以L 的可能取值有5,7,8我们来验证，当5L =时，得21324m m -=，可得存在正整数解2m =或5m =，故5L =满足；当7L =时，得21126m m -=，当m 为整数时，212m m -分子为整数，分母不能被3整除；所以21126m m -=无正整数解，故7L =不满足；当8L =时，得2102m m -=，得存在正整数解1m =，故8L =满足；综上所诉，1m =，2m =或5m =.【点睛】关键点点睛：（1）需要构造数列，然后合理利用数列通项与前n 项和的关系求解即可；（2）需要明确两个数之间奇数的个数即可；（3）先假设存在，然后确定数列{a n }或{b n }中的项是哪些，最后再反过来求m 的值即可.。

河北省沧州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

河北省沧州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，35a =，63a =，则9a =（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．双曲线221916y x -=的渐近线方程为（）A ．34y x=±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．54y x =±3．若平面α的法向量()1,2,3n =-r，直线l 的方向向量()1,1,1m = ，则（）A ．l α∥B ．l α⊥C ．l α⊂D ．l α∥或l α⊂4．若数列{}n a 的前四项依次为2，12，112，1112，则{}n a 的一个通项公式为（）A ．1102n n a -=+B ．(1)(4580)2n a n n =--+C ．1089n n a -=D ．1089n n a +=5．在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =-的距离比它到定点()3,0的距离小2，则点P 的轨迹方程为（）A ．26y x=B ．212y x=C ．26y x=-D ．212y x=-6．已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A ．1BC ．62D ．27．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线1y kx =-上存在点P ，使以P 点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．,22⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭8．椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy 中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C 的方程为229x y xy +-=，则该“斜椭圆”C 的离心率为（）A B ．23C ．12D ．25二、多选题9．若直线l 过点(4,2)-且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为（）A ．20x y +=B ．20x y -=C ．20x y +-=D ．60x y -+=10．已知数列{}n a 满足112a =-，()*111n n a n a +=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．323a =B ．333196n n S S +-=C ．1919S =D ．()*1112,n n n a a a n n -+=-≥∈N11．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（）A ．若A 的纵坐标为2，则||3AF =B ．若直线AB 过点F ，则AB 的最小值为4C ．若4OA OB ⋅=-，则直线AB 恒过定点(2,0)D ．若BB '垂直C 的准线于点B '，且2BB OF '=，则四边形OFBB '的周长为3三、填空题12．已知椭圆2216x y m+=的焦距为2，则m =．13．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7333n nA nB n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的集合是.14．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是底面ABCD 、侧面11BCC B 的中心，点,P Q 分别是棱11A D ，11A B 所在直线上的动点，且EP FQ ⊥，当PQ 取得最小值时，点P 到平面EFQ 的距离为.四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，42a =-，1025S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最小值及取得最小值时n 的值．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点00(,)P x y 在C 上．(1)判断直线00()2y y x x =+与C 的公共点个数；(2)若直线PF 与C 交于另外一点Q ，直线QR 与C 的准线垂直，垂足为R ，O 为坐标原点，求证：点P ，O ，R 共线．17．已知圆22:4250C x y x y +-+-=和点()1,5M -.(1)过点M 作一条直线与圆C 交于A 、B 两点，且6AB =，求直线AB 的方程；(2)过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求EF 所在的直线方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，1,,1,2AB AD CD AD AB AD PD CD PA ⊥⊥=====，PC =，点Q 为棱PC上一点．(1)证明：PA CD ⊥；(2)当点Q 为棱PC 的中点时，求直线PB 与平面BDQ 所成角的正弦值；(3)当二面角P BD Q --时，求PQ PC．19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1E 的方程0(),F x y =中，以(,)x y λλ(0λ>且1)λ≠代替(,)x y 得到曲线2E 的方程(,)0F x y λλ=，则称2E 是由曲线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，λ称为伸缩比.(1)若不过原点的直线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是2E ，证明:2E 是与1E 平行的直线;(2)已知伸缩比12λ=时，曲线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是222:1164x yE -=，且1E 与x 轴有A ，B 两个交点（A 在B 的左侧），过点(4,0)且斜率为k 的直线l 与1E 在y 轴的右侧有M ，N 两个交点.①求k 的取值范围;②若直线AM BM BN ，，的斜率分别为123,,k k k ，证明：()213k k k -为定值.。

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学检测试卷(含解析)

1. 若复数z 满足一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学检测试卷一项是符合题目要求的）1i34i z +=-，则z =（）A.B.25C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算求出复数z ，计算其模，即得答案.【详解】由1i34i z+=-可得()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z+++-+===--+，则z =故选：C2. 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A. 12B. 15C. 18D. 21【答案】B 【解析】【分析】利用52S S -即可求得345a a a ++的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，所以34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=.故选：B.3. 抛物线24y x =的焦点坐标为（）A. (1,0)B. (1,0)-的C. 1(0,)16-D. 1(0,)16【答案】D 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,16，故选：D4. 如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A. πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】观察图象，确定函数()sin y x ωϕ=+的周期，排除B ，由图象可得当5π12x =时，函数取最小值，求ϕ由此判断AC ，结合诱导公式判断D.【详解】观察图象可得函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期为2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ππω=，故2ω=或2ω=-，排除B ；观察图象可得当π2π5π63212x +==时，函数取最小值，当2ω=时，可得5π3π22π+122k ϕ⨯+=，Z k ∈，所以2π2π+3k ϕ=，Z k ∈，排除C ；当2ω=-时，可得5ππ22π122k ϕ-⨯+=-，Z k ∈，所以π2π+3k ϕ=，Z k ∈，取0k =可得，π3ϕ=，故函数的解析式可能为πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，A 正确；5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误故选：A.5. 1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A. 10km /s B. 20km /sC.80km /s 3D. 40km /s【答案】B 【解析】【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.【详解】由题意122m m =，122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===，得03ln 82v =，故0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--，故选：B6.若83cos 5αβ+=，63sin 5αβ-=，则()cos αβ+的值为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【详解】因为83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，所以25(3cos 4)62αβ=，2(3sin )2536αβ=，即所以2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin 2536ααββ-=，两式相加得9)104αβ+++=，所以cos()αβ+=，故选：C ．7. 如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.49【答案】A 【解析】【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以求解.【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以，所以该质点共两次到达1的位置的概率为211124333332713⨯⨯+⨯⨯=.故选：A.8. 设n S 为数列{a n }的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A. {}20,21-B. {}20,20-C. {}29,11-D. {}20,19-【答案】A 【解析】【分析】利用121++=+n n a a n 可证明得数列{}21n a -和{}2n a 都是公差为2的等差数列，再可求得()2=21n S n n +，有了这些信息，就可以从k 的取值分析并求解出结果.【详解】因为121++=+n n a a n ，所以()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+，假设()2=21=210n S n n +，解得=10n 或21=2n -（舍去），由存*N k ∈，1210k k S S +==，所以有19k =或20k =，由121++=+n n a a n 可得，+1223n n a a n ++=+，两式相减得：22n n a a +-=，当20k =时，有2021210S S ==，即210a =，根据22n n a a +-=可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以()211+11120a a =-⨯=，解得120a =-，当19k =时，有1920210S S ==，即200a =，根据22n n a a +-=可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以()202+10120a a =-⨯=，解得218a =-，由已知得123a a +=，所以121a =.故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）在A. 直线EF 与11D B 为异面直线B. 直线1D E 与1DC 所成的角为60oC. 1D F AD ⊥D. //EF 平面11CDD C 【答案】ABD 【解析】【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB ，利用反证法可判断C ，利用线面平行判定定理可判断D.【详解】如图所示，连接AC ，1CD ，EF ，由于E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，即F 为AC 的中点，所以1//EF CD ，EF ⊄面11CDD C ，1CD ⊆面11CDD C ，所以//EF 平面11CDD C ，即D 正确；所以EF 与1CD 共面，而1B ∉1CD ，所以直线EF 与11D B 为异面直线，即A 正确；连接1BC ，易得11//D E BC ，所以1DC B ∠即为直线1D E 与1DC 所成的角或其补角，由于1BDC 为等边三角形，即160DC B ∠=，所以B 正确；假设1D F AD ⊥，由于1AD DD ⊥，1DF DD D = ，所以AD ⊥面1D DF ，而AD ⊥面1D DF 显然不成立，故C 错误；故选：ABD.10. 已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A. 12l l ⊥ B. 直线1l 与圆O 相切C. 直线2l 与圆O截得弦长为 D. OQ的值为【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 根据12l l ⊥，12120A A B B +=可判断正确；选项B 由圆心O 到1l 的距离不等半径可判断错误；选项C 根据垂直定理可得；选项D 先求出()4sin cos ,4cos sin Q θθθθ-+，根据两点间的距离公式可得.【详解】选项A ：因()cos sin sin cos 0θθθθ+-=，故12l l ⊥，A 正确；选项B ：圆O 的圆心O 的坐标为()0,0，半径为2r =，圆心O 到1l的距离为14d r ==>，故直线1l 与圆O 相离，故B 错误；选项C ：圆心O 到1l 的距离为21d ==，故弦长为l==，故C 正确；选项D ：由cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩，故()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-，故OQ ==，故D 正确故选：ACD11. 已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A. 23b ac>B. 若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C. 1313x x t t +<+D. 222222123123x x x t t t ++=++【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得()0f x '=有两个不同实根，则由0∆>即可判断；对于B ，若123,,x x x 成等差数列，则(x 2,f (x 2))为()f x 的对称中心，即可判断；对于C ，结合图象，当0a >和0a <时，分类讨论即可判断；对于D ，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.【详解】因为()32f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，0a ≠，对称中心,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，因为()f x 有三个不同零点，所以()f x 必有两个极值点，即()2320f x ax bx c =++='有两个不同的实根，所以2Δ4120b ac =->，即23b ac >，故A 正确；对于B ，由123,,x x x 成等差数列，及三次函数的中心对称性，可知(x 2,f (x 2))为()f x 的对称中心，所以23bx a=-，故B 正确；对于C ，函数()()1g x f x =-，当g (x )=0时，()1f x =，为则1y =与y =f (x )的交点的横坐标即为1t ，2t ，3t ，当0a >时，画出()f x 与1y =的图象，由图可知，11x t <，33x t <，则1313x x t t +<+，当0a <时，则1313x x t t +>+，故C 错误；对D ，由题意，得()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx da x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩，整理，得123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，得()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++，即222222123123x x x t t t ++=++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.【答案】9【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()3E X =，()2D X =，则()3,12np np p =-=，即得1,93p n ==，故答案为：913. 已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上投影向量为14a - ，则ab + 为______.的【解析】【分析】由条件结合投影向量公式可求a b ⋅ ，根据向量模的性质及数量积运算律求a b +.【详解】因为b 在a上的投影向量为14a - ，所以14b a a a aa ⋅⋅=- ，又2a =，所以1a b ⋅=-，又 1= b ，所以a b +====14. 如图，已知四面体ABCD 体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.【答案】11【解析】【分析】连接,EG ED ，将多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -，利用题设条件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四面体的体积即可求得多面体EFGHBD 的体积.【详解】如图，连接,EG ED ，则多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -.因H 是AD 上靠近D 点的四等分点，则14DHE AED S S = ，又E 是AB 的中点，故11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= ，因G 是CD 上靠近D 点的四等分点，则点G 到平面ABD 的距离是点C 到平面ABD的距离的14，的故三棱锥G EDH -的体积1113218432G EDH C ABD V --=⨯=⨯=；又因点F 是BC 的中点，则133248CFGBCD BCD S S S =⨯= ，故58BFGD BCD S S = ，又由E 是AB 的中点知，点E 到平面BCD 的距离是点A 到平面BCD 的距离的12，故四棱锥E BFGD -的体积51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=，故多面体EFGHBD 的体积为11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：（1）分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；（2）补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V ，求a 的值.【答案】（1）π3A = （2）2a =【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan A =，从而得解；（2）利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于a 的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为sin cos 0a B A =,即sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，所以sin A A =,则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，因为π3A =，所以11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得224b c bc +-=，所以()234b c bc +-=，则()22344a -⨯=，解得2a =.16. 设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.【答案】（1）4230--=x y （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数式和导函数式求出(1)f 和(1)f '，利用导数的几何意义即可写出切线方程；（2）对函数()f x 求导并分解因式，根据参数a 的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减，即得()f x 的单调性.【小问1详解】当0a =时，()221ln 2f x x x x =+，()2(ln 1)f x x x '=+，因1(1),(1)22f f '==，故()f x 在1x =处的切线方程为12(1)2y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】因函数()()221ln 2f x x ax x x =++的定义域为(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x '=+++=++，① 当2a e ≤-时，若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在1(0,)e上单调递增；若1e x >，由20x a +=可得2a x =-.则当1e 2a x <<-时，20x a +<，ln 10x +>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)e 2a-上单调递减；当2a x >-时，ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在(,)2a-+∞上单调递增；② 当20e a -<<时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增；若12e a x -<<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)2ea -上单调递减；若02a x <<-，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在(0,)2a-上单调递增，③当2ea =-时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，④当0a ≥时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增；若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(0,e上单调递减；综上，当2e a <-时，函数()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e 2a -上单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当2ea =-时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当20e a -<<时，函数()f x 在(0,2a -上单调递增，在1(,2e a -上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增；当0a ≥时，函数()f x 在1(0,e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.17. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）根据线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥，再根据线面平行的性质定理可证BD ∥MN ，进而可得结果；（2）根据题意可证⊥PO 平面ABCD ，根据线面夹角可知PAC 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】设AC BD O = ，则O 为,AC BD 的中点，连接PO ，因为ABCD 为菱形，则ACBD ⊥，又因为PD PB =，且O 为BD 的中点，则PO BD ⊥，AC PO O = ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，则BD PC ⊥，又因为BD ∥平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，平面AMHN 平面PBD MN =，可得BD ∥MN ，所以MN PC ⊥.【小问2详解】因为PA PC =，且O 为AC 的中点，则PO AC ⊥，且PO BD ⊥，AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，可知PA 与平面ABCD 所成的角为60PAC ∠=︒，即PAC 为等边三角形，设AH PO G =I ，则,G AH G PO ∈∈，且AH ⊂平面AMHN ，PO ⊂平面PBD ，可得∈G 平面AMHN ，∈G 平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以G MN ∈，即,,AH PO MN 交于一点G ，因为H 为PC 的中点，则G 为PAC 的重心，且BD ∥MN ，则23PM PN PG PB PD PO ===，设2AB =，则11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========，如图，以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u uu r ，设平面AMN 的法向量()111,,x n y z =，则1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令11x =，则110,y z ==，可得(n =，设平面PAM 的法向量()222,,m x y z =，则2222220330m AM y z mAP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2x =，则123,1y z ==，可得)m =u r，可得cos ,n m n m n m⋅===⋅r u rr u r r u r ，所以平面PAM 与平面AMN.18. 已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）线段AB 的长为6；（2）（i ）直线l的方程为2x y =±+；（ii ）直线l的斜率的取值范围为33()(44- .【解析】【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；（2）（i ）（ii ）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】由双曲线22:13y x Γ-=的方程，可得221,3a b ==，所以1,2a b c ====，所以1(2,0)F -，2(2,0)F ，若AB x ⊥轴，则直线AB 的方程为2x =，代入双曲线方程可得(2,3),(2,3)A B -，所以线段AB 的长为6；【小问2详解】（i ）如图所示，若直线l 的斜率为0，此时l 为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设:2l x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(31)1290t y ty -++=，t 应满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，由根与系数关系可得121222129,3131t y y y y t t +=-=--，直线1AF 的方程为110(2)2y y x x -=++，令0x =，得1122y y x =+，点112(0,2y M x +，直线1BF 的方程为220(2)2y y x x -=++，令0x =，得2222y y x =+，点222(0,2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==-，111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ 12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++，由11F AB F MN S S = ，可得1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++，所以21212|4()16|4t y y t y y +++=，所以222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--，解得22229484816||431t t t t -+-=-，22916||431t t -=-，解得22021t =，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以t =所以直线l的方程为2x y =±+；（ii ）由1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，可得2190F MF >︒∠，所以110F F N M < ，又112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+ ，所以1212224022y y x x +⨯<++，所以121210(2)(2)y y x x +<++，所以1221212104()16y y t y y t y y +<+++，所以2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--，所以22970916t t -<-，解得271699t <<43t <<或43t -<<，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以直线l的斜率的取值范围为33((44- .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12211||||2F F y y ⨯-或121||||2AB x x ⨯-.19. 已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）12170,1,4b b b === （2）1(1)22n n +-⨯+ （3）n a n =【解析】【分析】（1）根据集合新定义，利用列举法依次求得对应值即可得解；（2）根据集合新定义，求得12,b b ，121222i i i b b b i +++==== ，从而利用分组求和法与裂项相消法即可得解.（3）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；【小问1详解】因为2n a n =，则123451,4,9,16,25a a a a a =====，所以{}*11i B i a =∈<=∅N ∣，{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣，故12170,1,4b b b ===.【小问2详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N ，所以10b =，20b =，当122i i k +<≤时，则满足i a k <的元素个数为i ，故121222i i i b b b i +++==== ，所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ 1212222n n =⨯+⨯++⨯ ，注意到12(1)2(2)2n n n n n n +⨯=-⨯--⨯，所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ 1(1)22n n +=-⨯+.【小问3详解】由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =，若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾，所以11a =，设()*1n n n d a a n +=-∈N，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ，假设存在*k ∈N 使得2k d ≥，设k a t =，由12k ka a +-≥得12k a t++≥，由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾，所以对任意*n ∈N 都有1n d =，所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.。

河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题一、单选题1．设集合{}21A x x =-<<，21327x B x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()A B =R ð（）A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．()2,1--D ．(),1∞--2．已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为()A ．3[,1]2-B ．3[,1)(1,1]2--⋃-C ．[3,7]-D ．[3,1)(1,7]--⋃-3．设0.49a =，0.91(3b -=，0.90.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c<<4．已知函数()2313xx f x -+=，则()f x 的增区间为（）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知幂函数()f x 的图象经过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x （）A ．为偶函数，且在()0,∞+上单调递减B ．为偶函数，且在()0,∞+上单调递增C ．为奇函数，且在()0,∞+上单调递减D ．为奇函数，且在()0,∞+上单调递增6．若函数()223x x x f =-+在区间[](),m n m n <上的值域为[]2,18，则n m -的最大值为（）A ．2B ．4C ．6D ．87．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数()||1xf x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．8．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()10f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A ．[]0,2B ．(],2-∞C ．(][],01,2-∞ D ．[][)2,10,--+∞ 二、多选题9．下列关系式正确的是（）A ．0∉∅B ．{}∅⊆∅C ．{}0∅∈D ．{}∅∈∅10．对于实数,,a b c ，下列命题为假命题的有（）A ．若a b >，则11a b<.B ．若a b >，则22ac bc >.C ．若0a b <<则22a ab b >>.D ．若c a b >>，则a bc a c b>--.11．下列说法正确的是（）A ．若正实数a 、b 满足e e e a b ab ⋅=，则49a b +≥B ．函数()f x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是(],1-∞-C ．已知a ∈R ，则“12a >”是“12a <”的充分不必要条件D ．不等式()()2110x x --<的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭三、填空题12．已知函数()()()23f x x x b =+-是偶函数，且其定义域为[]32,1a a -+，则a b +=.13．已知14,263x y x y -≤+≤≤-≤，则68z x y =-的取值集合是.14．已知函数26()1x ax f x x ++=+，a 为实数，若对于(0,),()2x f x ∀∈+∞≥恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题15．已知集合{}13M x x =-<<，{}04N x x =<<，{}01P x x m =<<+．(1)()R M N ð；(2)若N P P =I ，求实数m 的取值范围．16．已知函数()f x 的解析式为()22,1,126,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩(1)画出这个函数的图象，并写出()f x 的最大值；(2)解不等式()2f x <；(3)若直线y k =（k 为常数）与函数()f x 的图象有两个公共点，直接写出k 的范围．17．某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年()*n ∈N 的材料费、维修费、人工工资等共2552n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．(1)写出()f n 关于n 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；(2)使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由．18．已知函数()f x 对任意正实数,a b ，都有()()()f ab f a f b =+成立.（1）求()1f 的值；（2）求证：()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）若()2f p =，()3f q =（,p q 均为常数），求()36f 的值.19．已知指数函数()f x 的图象过点()3,27，函数()()()g x f x f x =+-.(1)求()f x 的解析式；(2)判断()g x 在[)0,+∞上的单调性，并用定义证明；(3)若不等式()()22210g t x g x x ----≤对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围.。

河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．函数tan y x =的值域可以表示为（）A ．{tan }xy x =∣B ．{tan }yy x =∣C ．{(,)tan }x y y x =∣D ．{tan }y x =2．若“sin 2θ=”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A ．第四象限角B ．第三象限角C ．第二象限角D ．第一象限角3．下列命题正确的是（）A ．x ∃∈R ，20x <B ．(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C ．(0,)x ∃∈+∞，132x x <D ．π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =4．函数24()f x x x =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e - 的夹角为（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒6．已知5πtan210α+=，则4π5tan 5α-=（）A ．125B ．125-C ．43D ．43-7．已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A ．8B ．9C ．12D ．168．若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）AB C D 二、多选题9．已知函数sin()()2x f x -=，则（）A ．()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的最小正周期为2π10．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A ．当0200x <<时，应进甲商场购物B ．当200300x ≤<时，应进乙商场购物C ．当400500x ≤<时，应进乙商场购物D ．当500x >时，应进甲商场购物11．已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A ．(0)0f =B ．()()()f x y f x f y +=⋅C ．()f x 在R 上是减函数D ．[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥三、填空题12．已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为．13．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是．14．若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为．四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =(1)求a ；(2)如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．17．已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．(1)求a ，b ，ω的值；(2)若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．18．已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．(1)当24m n =时，求()f x 的最小值；(2)当2m =-时，讨论()f x 的单调性；(3)当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．19．已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．(1)证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；(2)如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB AC λλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；(3)如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．。

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白马中学2012年秋九年级十一月月考数学试题
（考试时间：120分钟总分120分）
第Ⅰ卷
一．选择题（每题3分，共30分） 1、下列运算中，错误．．的是( ) A ．632=⨯ B ．
2
22
1=
C ．错误！未找到引用源。

D ．32)32(2-
=
-
2、若ab ＜o ，则代数式b a 2
可化简为（） A ．b a B ．b a -
C ．b a -
D ．b a --
3、若92222+=+x x ax 是一元二次方程，则a 的值是（）
A.0
B.a ≠0
C.a ≠－2
D.a ≠2
4、下列图中：①线段；②等边三角形；③正方形；④圆；⑤平行四边 ⑥等腰梯形形，是轴对
称图形，但不是中心对称图形有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5、关于X 的一元二次方程036)1(2=++-x x k 有实数根，则实数k 的取值范围为是（）
A.k ≤4,且k ≠1
B.k ＜4, 且k ≠1
C. .k ＜4
D. k ≤4
6、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针旋转能与△'CBP 重合.若PB =3，
则'PP =（）
A ．33
B ．32
C ．3
D ．4
7.如图,EF 为⊙O 的直径,OE=5cm,弦MN=8cm,那么E 、F 两点到直线MN 的距离之和等于 ( )
A. 12cm
B. 8cm
C. 6cm
D. 3cm 8．如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC =110°，则∠BDC 的度数是 ( )
A.110°
B.70°
C.55°
D.125°
9.下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x 2
2
a =,则x=a;②方程2x(x-1)=x-1的解是
x=0;
C A B
D '
P
③已知三角形两边分别为2和9，第三边长是方程 048142=+-x x 的根，则这个三角形的周长是17或19。

其中答案完全正确的题目个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
10、某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润月平均增长率
为，则依题意列方程为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11、．要使
1－2x
x+3
有意义，则x 的取值范围是。

12、若0是一元二次方程016)1(22=-++-m x x m 的一个根，则m 取值为 . 13、若y=1－2x +2x －1 +(x －1)2 ，则（x +y ）2012= 。

14、已知点A （a , 2）与点B (－1, b)关于原点O 对称，则
a b
的值为 _ 。

15、已知⊙O 的半径为5，点P 到⊙O 上一点的最短距离为4，则OP= ___________。

16、如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转42°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD ＝90°，则∠B 的度数是 17、如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=8，P 是弦AB 上任意一点，
则OP •的取值范围是______________．
18．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，
每天可售出500千克，市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价_______元．
第Ⅰ卷答题卡
一.选择题
二.填空题
11.__________12.________________13._________________ 14._________________ 15._________ 16._______________ 17._______________ 18._______________
第Ⅱ卷
三．解答题（8小题共66分）
19．化简，计算(每小题5分，共10分)
（1
2(－
2
1
)－2 －(22－3)0＋｜－32｜＋
1
2
1
（2）已知x=2+ 3 ，y=2－ 3 ，求
x +y
x －y
－
x －y
x ＋y
的值。

20．解方程(每小题5分，共10分)：
（1）（用配方法解）（2）(25)410x x x -=-
21．已知a 、b 是一元二次方程2x 2－2x －1=0的两个实数根，
求代数式（a －b ）（a ＋b －2）＋ab 的值. （本题满分8分）
22.已知关于x 的一元二次方程03)32()1(2=+-+-x a x a ．（1）求证：当a 取不等于l 的实数时，此方程总有两个实数根．（2）若)(,n m n m <是此方程的两根，并且
3
411=+n m ，直线l ：n mx y +=交x 轴于点A ，
交y 轴于点B ，坐标原点O 关于直线l 的对称点O ′在反比例函数x
k y =
的图象上，求反比
例函数x
k y =的解析式．（本题满分8分）
23.在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，∆ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的
坐标是（4，4）请回答下列问题：
（1）将A B C ∆向下平移五个单位长度，画出平移后的111A B C ∆并写出点A 的对应点1A 的坐标；（2）画出A B C ∆关于原点O 对称的222A B C ∆
（3）求出点A 旋转到2A 的路程是多少？（本题满分8分）
22．已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DA=DC ，以点D 为圆心，DA 长为半径的⊙D 与AB 相切于A ，与BC 交于点F ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．（10分）（1）求证：四边形ABED 为矩形；（2）若AB=4，
AD 3BC
4
= ，求CF 的长．
25、如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O1与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，已
知B（3，0），C（3，0）
（1）求出O1点的坐标
（2）过点C作CD∥AB交⊙O1于D，若过点C的
直线恰好平分四边形ABDC的面积，求出该直线的解析式
(3）直线CD上是否存在点P，使△BOP是等腰三角形，如果存在，请直接写出所有符合题意的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（本题满分12分）
x。