一致收敛性及应用初步
一致收敛性判别及应用
一致收敛性判别及应用摘要：函数是高等数学中重要的内容之一，但是函数项级数与函数列的一致收敛性问题往往是初学者学习函数的最大障碍，本文对函数项级数、函数列的一致收敛性的常用判别方法进行简单分析并阐述其应用。
关键词：函数项级数 函数列 一致收敛 判别法及应用设(){}n x ⎰为定义在区间Z 上的函数序列，假如那么就存在x 1，x 2∈Z ，当|x 1-x 2|＜，对于一切n 有|()()12n -n X X ⎰⎰|＜，则称之为函数序列(){}n x ⎰在区间Z 上等度连续。
假设函数列{}n ⎰与函数⎰定义在区间Z 上，假如对于任意给的正数|()()n x -x ⎰⎰|＜以上情况则称之为{}n ⎰在区间Z 上一致收敛于⎰。
一、函数列及其一致收敛性假设1⎰，2⎰，，n ⎰，是一列定义在同一数集Z 上的函数，那么则称为定义在Z 上的函数列，可以表达为：{}n ⎰或n ⎰，n=1,2，。
（1） 以x 0∈Z 带入以上数列，可以得出以下数列：（2）假如数列（2）收敛，那么则称为数列（1）在点0X 收敛，x 0则是函数列（1）的收敛点，当函数列（1）在数集D Z 上每一个收敛点都出现收敛时，则称（1）在数集D 上收敛，这时候D 上面的每一个点x 都有相应的数列(){}n x ⎰的一个极限值与之相对应，根据这个对应法则所确定的D 上的函数，则称为函数列（1）的极限函数假如将此极限函数记作为⎰，那么则有：或者是：（），x ∈D例 1 设，n=1,2，，为定义在（-，。
证明：设＞0，当＞0时，由于有：||=|n x |，只要N （=，当n ＞（||=|x n |＜|x|N=.当x=0，x=1，对于任何正整数n ，都存在||=0＜，||=0＜.以上结果证明了{}n ⎰在(]-1,1上收敛。
例2 定义在()-∞∞，上的函数列，n=1,2，。
由于对于任何的实数x ，都存在sin nx n≤1n，因此，对于任意＞0，只要符合n ＞N=，就存在sin nx -0n＜所以，函数列{}sin nx/n 的收敛域为()-∞∞，。
第1节一致收敛性
当x 1有 f n (1) f (1) 0 ,
f n ( x )在(1,1]上收敛, 且其极限函数为
0, f ( x) 1,
n
x 1 x 1
当 x 1, 有 x ( n ),
x 1, 有 1,1,1,发散 .
x n 在(1.,1]外均发散
( 2) nx(1 x )n
nx x f ( x) 解 : (1)x [0,1], 有 lim n 1 n x
nx 而 sup f n ( x ) f ( x ) sup x x[ 0 ,1] x[ 0 ,1] 1 n x
x(1 x ) 2 sup n x[ 0,1] 1 n x
而 ln(1 an )或 an收敛 lim an 0
n
ln(1 an ) lim 1, 由比较判别法知 ： n an
ln(1 a
n
)与 an同敛散 .
CH13.函数列与函数项级数
第一节 一致收敛性
第二节 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
第一节 一致收敛性
2.若一致收敛， 则必收敛； 反之不真.
定理1 : (函数列的一致收敛性)函数列 f n 在数集D上
一致收敛 0, N 0, 使得n, m N
对于一切x D,均有 f n ( x ) f m ( x ) f ( n ), x D 证明 : (必要性)设 f n
1 且f n ( x ) n f ( x ) f ( x ) , 则函数列 f n ( x ) n 在[, ] (a, b)一致收敛于函数f ( x ).
证明： r (, b), x [, ], N1 0, n N1 , 有
函数项级数一致收敛性判别法及其应用
函数项级数一致收敛性判别法及其应用数学科学学院08级蒙班 包艳玲 20082115054指导老师 苏雅拉图摘 要：本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法，并通过例题给出了它的应用. 关键词：一致收敛，函数项级数，和函数.下面我要给出函数项级数的一致收敛性的定义定义 设给定函数项级数∑∞=1)(k k x u ，如果它的部分和序列=)(x S n ∑=π1)(k kx u在区间I 一致收敛到和函数)(x S ;那么称级数∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛到和函数)(x S ,即用N -ε语言来叙述，函数项级数∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛到)(x S ，是指对任给的0>ε，存在于x 无关的N ，只要N n >就有ε<-=-∑=nk kn x S x ux S x S 1)()()()(对一切I x ∈一直成立.例1 证明函数项级数∑∞=-11k k x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21一致收敛.证明 已知∑∞=-11k k x=x x n --11，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 时 xx xx S nnk k n --==∑=-11)(11ε<≤-≤-=--12111)()(n nnn x x x x x S x S ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 时取121ln ln +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=εN则只要N n >，就有ε<-)()(x S x S n ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x ，∑∞=-11k k x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21一致收敛.定理1（柯西原理） 函数项级数∑∞=1)(k k x u 在I 上一致收敛的充要条件是，I x N p N n N N N ∈∀∈∀>∀∈=∃>∀++及,,,,0)(εε都有ε<+++=-=++++++=∑)()()()()()(211x u x u x u x S x S x up n n n n p n pn n k k，证明 必要性 已知∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛，设其和函数是)(x S ，即2)()(ε<-x S x S n 也有 2)()(ε<-+x S x S p n于是εεε=+<-+-≤-+-=-=+++++=∑22)()()()()()()()()()()(1x S x S x S x S x S x S x S x S x S x S x un p n n p n n p n p n n k k充分性 已知I x N p N n N N N ∈∀∈∀>∀∈=∃>∀++及,,,,0)(εε有ε<-=+++=∑)()()(1x S x S x un p n pn n k k从而∑∞=1)(k k x u 在区间I 收敛，设其和函数是)(x S ，因为p 是任意正整数，所以当∞→p 时，上述不等式有ε<-)()(x S x S n即函数项级数∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛.例2 函数项级数∑∞=++-11)1(n n n n x nx 在区间[]1,1-的一致收敛性.证明 有柯西原理；[]0,1,1>∀-∈∀εx 要使不等式ε<+≤++++≤++++≤++-+=++-++++-+++-+=-++++++++++++++1211111111)1()32()21()()(111113221n p n n p n x n x p n x n x p n x p n x n x n x n x n x x S x S p n n p n n p n p n n n n n n p n从ε<+12n 得到12->εn ，则取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12εN ，于是 [],1,1,,,12,0-∈∀∈∀>∀∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∃>∀++x N p N n N N 及εε有ε<-=+++=∑)()()(1x S x S x un p n pn n k k即函数项级数∑∞=++-11)1(n n n n x nx 在区间[]1,1-一致收敛.定理2 （维尔斯特拉斯判别法，或称M 判别法或称控制收敛判别法） 若对函数项级数∑∞=1)(k k x u ，存在),2,1(, =k M k ，使得k k M x u ≤)(，I x ∈∀，而正项数值级数∑∞=1k k M 收敛，则∑∞=1)(k k x u 在区间I I 一致收敛.证明 ∑∞=1k k M 收敛，,,,,0++∈∀>∀∈∃>∀N p N n N N ε有ε<++++++p n n n M M M 21，从而只要+∈∀>N p N n ,，有由柯西原理知,,)()()()()()(212121I x M M M x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n p n n n ∈∀<+++≤+++≤++++++++++++ε函数项级数∑∞=1)(k k x u 在区间I 一致收敛.例3 证明∑∞=-11k k x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21一致收敛.证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀≤--21,21,)21(11x xk k ，而∑∞=-11)21(k k 收敛，由M 判别法知∑∞=-11k k x在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21一致收敛.定理3 （狄利克雷判别法）若函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a 满足下面两个条件：1. 函数列{})(x a n 对每一个I x ∈0是单调的，且∞→n 时在区间I 一致收敛于0；2. 函数项级数∑∞=1)(n n x b 的部分和函数列{})(x B n 在区间I 一致有界，则函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a 在区间I 一致收敛.证明 已知函数列{})(x a n 一致收敛于0， 即I x N n N N N ∈∀>∀∈=∃>∀+,,,0εε，有.)(1ε<+x a n又已知函数项级数∑∞=1)(n n x b 的部分和函数列{})(x B n 在区间I 一致有界，即.)(,,,0M x B I x N n M n ≤∈∀∈∀>∃+有从而，有.2)()()()()()(21M x B x B x B x B b x b x b n p n n p n p n n n ≤+≤-=++++++++根据阿贝尔引理，I x ∈∀，有).(2)()()()()()(12211x Ma x b x a x b x a x b x a n p n p n n n n n +++++++≤+++ 于是，,,,,,0I x N p N n N N ∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε有,2)()()()()()(2211εM x b x a x b x a x b x a p n p n n n n n ≤+++++++++ 即函数项级数∑∞=1)()(n n nx b x a在区间I 一致收敛.例4 证明函数项级数∑∞=1sin n n nx在区间[])0(2,πδδπδ<<-一致收敛.证明 []+∈∀-∈∀N n x ,2,δπδ有.2sin121sin 12sin 2)21cos(21cos )21cos()21cos(2sin 212sin sin 22sin 21sin 111M x x xn x x k x k x x kx x kx nk nk nk =≤≤+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--==∑∑∑===δ知函数项级数∑∞=1sin n nx 的部分和函数列在[]δπδ-2,一致有界，而数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调减少趋于0（当然在[]δπδ-2,也是一致收敛于0），根据狄利克雷判别法，函数 项级数∑∞=1sin n n nx在区间[]δπδ-2,一致收敛. 定理4 （阿贝尔判别法）若函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a 满足下面两个条件：1. 函数列{})(x a n 对每一个I x ∈0是单调的，且在区间I 一致有界；2. 函数项级数∑∞=1)(n n x b 在区间I 一致收敛，则函数项级数∑∞=1)()(n n n x b x a 在区间I 一致收敛.证明 由条件知存在.0>M 使得.,2,1,,)( =∈∀≤n I x M x a n由柯西原理知，,,,,0++∈∀>∀∈∃>∀N p N n N N ε有.,)(1I x x bpn n k k∈∀<∑++=ε因此，对任意,N n >任意的正整数p ，用阿贝尔引理，有.,3))(2)(()()(11I x M x a x a x b x ap n n pn n k k k∈∀<+<++++=∑εε再由柯西原理知∑∞=1)()(n n n x b x a 在区间I 一致收敛.例5 已知函数项级数∑∞=1)(n n x a 收敛，证明∑∞=1)(n n n x x a 在[]1,0一致收敛.证明 已知∑∞=1)(n n x a 收敛，而对[]1,0∈∀x ，n x 对n 单调下降，且一致有界,[].,2,1,1,0,1 =∈∀≤n x x n由阿贝尔判别法知∑∞=1)(n n n x x a 在区间[]1,0一致收敛.例6 证明若函数项级数∑∞=1n n n x a （n a 是常数）在)0(>=r x 收敛，则它在区间[]r ,0一致收敛.证明 先把∑∞=1n n n x a 改写为.)(1n n nn n n r x r a x a ∑∑=∞= 已知级数∑∞=1n n n r a 收敛，从而它在区间[]r ,0也是一致收敛，且函数列在⎭⎬⎫⎩⎨⎧n r x )([]r ,0单调减少，又一致有界， 即[]有,,0,,1r x N n M ∈∀∈∀=∃+1)(≤n rx，根据阿贝尔判别法，函数项级数∑∞=1n n nx a在区间[]r ,0一致收敛.参考文献:1. 刘玉琏，傅沛仁，林玎.数学分析讲义.高等教育出版，2003年4月第二版.2. 邓东皋,尹小玲.数学分析简明教程（下）.高等教育出版，2006年3月第二版.。
第七节函数项级数的一致收敛性幂级数的一致收敛性
第七节 函数项级数的一致收敛性内容分布图示★ 引例(讲义例1) ★ 一致收敛的概念★ 例2 ★ 例3 ★ 魏尔斯特拉斯判别法 ★ 例4 ★ 例5 一致收敛级数的基本性质 ★ 定理2★ 定理3★ 定理4幂级数的一致收敛性★ 定理5★ 定理6 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题11—7 ★ 返回讲解注意：一、 一致收敛的概念：函数项级数在收敛域I 上收敛于和)(x s ，指的是它在I 上的每一点都收敛，即对任意给定的0>ε及收敛域上的每一点x ，总相应地存在自然数),(x N ε，使 得当N n >时，恒有ε<-|)()(|x s x s n .一般来说，这里的N 不仅与ε有关，而且与x 也有关. 如果对某个函数项级数能够找到这样的一个只与ε有关而不依赖于x 的自然数N ，则当N n >时，不等式ε<-|)()(|x s x s n 对于区间I 上每一点都成立，这类函数项级数就是所谓的一致收敛的级数.定义1 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上收敛于和函数)(x s , 如果对任意给定的0>ε，都存在着一个与x 无关的自然数N , 使得当N n >时, 对区间I 上的一切x 恒有ε<-=|)()(||)(|x s x s x r n n ，则称该函数项级数在区间I 上一致收敛于和)(x s ，此时也称函数序列)}({x s n 在区间I 上一致收敛于)(x s .二、定理1（魏尔斯特拉斯判别法）如果函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上满足条件：（1）);,3,2,1(|)(| =≤n a x u n n （2）正项级数∑∞=1n n a 收敛.则该函数项级数在区间I 上一致收敛. 三、 一致收敛级数的基本性质定理2 如果级数∑∞=1)(n n x u 的各项)(x u n 在区间],[b a 上都连续，且级数在区间],[b a 上一致收敛于),(x s 则)(x s 在],[b a 上也连续.定理3 设)(x u n ),3,2,1( =n 在],[b a 上连续，且级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛于)(x s ，则⎰xx dx x s 0)(存在，且级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上可以逐项积分，即])([])([)(11∑⎰⎰∑⎰∞=∞===n xx n x x n n xxdx x u dx x u dx x s (7.2)其中,0b x x a ≤<≤ 且上式右端的级数在],[b a 上也一致收敛.定理4 如果级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上收敛于和)(x s , 它的各项)(x u n 都有连续导数)(x u n'，并且级数∑∞='1)(n nx u 在],[b a 上一致收敛，则级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上也一致收敛，且可 逐项求导，即有∑∑∞=∞='='⎪⎪⎭⎫⎝⎛='11)()()(n nn n x u x u x s (7.3) 四、 幂级数的一致收敛性定理5 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则此级数在),(R R -内的任一闭区间],[b a 上一致收敛.定理6 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则其和函数)(x s 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式,)(111∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n n n n n n x na x a x s逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.例题选讲：一致收敛的概念例1（讲义例1）考察函数项级数+-++-+-+-)()()(1232n n x x x x x x x的和函数的连续性.本例表明，即使函数项级数的每一项都在[a , b ]上连续，并且级数在[a , b ]上收敛，但其和函数却不一定在[a , b ]上连续；同样也可举例说明，函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于它们的和函数的导数及积分. 那么在什么条件下，我们才能够从级数每一项的连续性得出它的和函数的连续性，从级数的每一项的导数及积分所成的级数之和得出原级数的和函数的导数及积分呢? 要回答这个问题，就需要引入函数项级数的一致收敛性概念.例2（讲义例2）研究级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n x n x 在区间]1,1[-上的一致收敛性.例3（讲义例3）研究级数∑∞=-0)1(n n x x 在区间[0,1]上的一致收敛性.例4（讲义例4）证明级数++++22222sin 22sin 1sin nx n x x 在),(+∞-∞上一致收敛.例5（讲义例5）判别级数∑∞=+1241n x n x在),(+∞-∞上一致收敛. 课堂练习1. 研究级数+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++111112111n x n x x x x 在区间),0[+∞上的一致收敛性.魏尔斯特拉斯（Weierstrass, Karl Wilhelm ，1815~1897)魏尔斯特拉斯德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用1. 引言1.1 研究背景函数项级数是数学分析中一个重要的研究对象，它是由无穷个函数组成的无穷级数求和。
在实际的应用中，往往需要研究级数的收敛性，其中一致收敛性是一个重要的性质。
一致收敛性指的是对于每一个给定的ε>0，存在一个N，使得当n>N时，级数的部分和与其极限的差的绝对值小于ε。
函数项级数一致收敛性的研究有着重要意义，它可以帮助我们更好地理解函数序列之间的关系，从而应用到不同的数学问题中。
函数项级数的一致收敛性判别方法有多种，比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法是常用的方法之一。
比较判别法通过比较级数与已知收敛的级数的大小关系来判断级数的收敛性，而魏尔斯特拉斯判别法则利用函数项级数中的Cauchy收敛原理来判断其收敛性。
在实际应用中，函数项级数的一致收敛性判别方法可以帮助我们解决各种数学问题，例如在微积分和数学分析中的应用。
通过深入研究函数项级数的一致收敛性，我们可以更好地理解其数学性质，为进一步的研究提供基础。
【研究背景】1.2 研究意义函数项级数是数学中重要的概念之一，它在分析学、数学物理等领域中有着广泛的应用。
研究函数项级数的一致收敛性对于深入理解这一概念的性质和特点具有重要意义。
一致收敛性是函数项级数收敛的一种较强的方式，它能够保证收敛的速度和稳定性，从而使得我们能够更好地掌握级数的性质和行为。
研究函数项级数的一致收敛性，不仅可以帮助我们更好地理解级数的收敛性质，还可以为我们解决实际问题提供有力的数学工具。
在实际应用中，我们经常会遇到需要考察函数项级数的收敛性的情况，比如在数值计算、信号处理、概率论等领域中都会涉及到函数项级数的处理。
研究函数项级数的一致收敛性具有重要的理论意义和实际应用价值。
1.3 研究目的研究目的是对函数项级数的一致收敛性进行深入探讨，通过研究不同的判别方法来确定函数项级数是否在整个定义域上一致收敛。
通过对比比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法的优缺点，可以更好地理解和判断函数项级数的收敛性。
第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 Sn (x) xn ,
0,
和函数 S(x) lim Sn (x)
n
1,
0 x 1 x 1
该和函数在 x＝1 间断.
又如, 函数项级数
因为对任意 x 都有:
sin n2x n2
1 n2
(n 1, 2, )
所以它的收敛域为(, ) , 但逐项求导后的级数
1 n2
收敛, 由Weierstrauss判别法知所给级数
在(, )上 一致收敛 .
说明: Weierstrauss判别法不仅能判别级数的一致收
敛性, 而且能判别其绝对收敛性.
当不易观察到不等式 un (x) an 时，可利用导数求
an sup un (x)
xI
例如, 级数
n1
nx 1 n5x2
nx 1 n2
x2
在(0,1)和(1,
)上是否一致收敛？
解： x,
lim
n
fn ( x)
0.
当1 x 时,
nx
nx 1 1
fn ( x) f ( x) 1 n2 x2 n2 x2 nx n
n sup
x(1, )
fn(x)
f (x)
10 n
一致收敛
当0 x 1时,
而n sup
x
lim
n x0
Sn (x)d
x
x
x0
S ( x) d
x
根据级数的一致收敛性, 0, N N( ),使当
n > N 时, 有
S(x) Sn (x)
ba
于是, 当 n > N 时, 对一切 x0, x [a,b] (x0 x), 有
一致收敛性及应用设计
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）题目一致收敛性及应用学院理学院成绩2013年 6月20日摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。
本文利用定义来简单的介绍一致收敛性，利用柯西一致收敛准则，证明函数项级数一致收敛的判别法。
通过研究定理当中，函数列的一致收敛性、函数项级数的一致收敛性以及含参变量广义积分的一致收敛性的一致收敛的充分必要条件、一般性质和判别方法，对比出三者之间的联系。
通过例题，说明了一致收敛是和函数的充分分析性质，而不是必要条件。
由此我们可以看出，在数学分析教学中，合理恰当的例题会更好的展现出定理。
关键词：函数列；函数项级数；含参变量广义积分；一致收敛AbstractStudy the sequence of function and series of functions , is in order to solve the analysis of the nature about limiting function of sequence of functions, and function of the series of functions. Using the definition of simple introduction to the uniform convergence. Using the Cauchy criterion of uniform convergence, Prove discriminance of uniform convergence in series of functions. Through the study of theorem, the necessary and sufficient condition for uniform convergence, general character and discriminant method in uniform convergence of function sequence, uniform convergence of function series and uniform convergence of generalized integral with parameters, contrast between the three contacts. Through examples, instruction the uniform convergence is a full analysis of the nature in function, rather than a necessary condition. From this we can see that, in the teaching of mathematics analysis, reasonable appropriate examples can show the theorem will be better.Keyword:sequence of function；series of functions；generalized integral with parameters；uniform convergence目录摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。
数学分析课件 一致收敛性
22 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ fn }在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x),
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xD. 现固定(4)式中的n, 让m , 于是当n N时,
对一切 xD都有| fn( x) f ( x) | . 由定义1知,
fn( x) f ( x) (n ), x D.
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
sin nx
n
是一致收敛的,
因为对任意
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给定的正数 , 不论 x 取(-,+)上什么值, 都有
N
1 ,
当n
N 时,
恒有
sin nx n
,
所以函数列
sin nx n
在(-,+)上一致收敛于
收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于
lim sup sin nx 0 lim 1 0,
n n x(, )
n n
所以在(,
)上,
sin nx n
0
(n ).
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例3 定义在[0,1]上的函数列
2n2 x,
0 x 1 , 2n
fn ( x) 2n 2n2 x,
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2, .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), , fn( x0 ), .
(2)
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一致收敛性及应用初步
作者：缪彩花何天荣
来源：《文理导航》2018年第03期
【摘要】本文对函数项级数一致收敛性的判别法进行介绍和举例，还介绍了一致收敛函数项级数性质的初步应用，有助于加深对一致收敛的理解，体会一致收敛的作用，增强数学的应用意识。
【关键词】级数；一致收敛；判别法
函数项级数具有高度的抽象性，特别是函数项级数的一致收敛性更是教学和学习中的难点，以下我们介绍函数项级数一致收敛性的判别方法及其初步应用。
一、函数项级数一致收敛性的判别法
1.M判别法
M判别法的适用范围虽然较窄，但当它适用時，用起来却很方便。
如对于函数项级数，x∈[-1，1]。
由于对任意的x∈[-1，1]有u （x）≤ ，而级数收敛，所以由M判别法知原函数项级数在[-1，1]上一致收敛。
该函数项级数也可用“裂项相消法”去求
部分和序列，证明其一致收敛，但和M判别法比较，就可以发现M判别法简单得多。
2.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法均适用于讨论通项是两个函数相乘的函数项级数，如对于函数项级数，x∈[0，+∞），记u （x）= ，v （x）= ， u （x）在[0，+∞）上一致收敛。
∨x∈[0，+∞），函数列{v （x）}是单调减少的，又因为v （x）≤1对一切x∈[0，+∞）和任意n∈N都成立，所以{v （x）}在[0，+∞）一致有界，由阿贝尔判别法知函数项级数 u （x）v （x）在[0，+∞）上一致收敛。
3.柯西准则及其推论
判别函数项级数一致收敛的M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法都是充分性判别法，不能用它们来判别函数项级数不一致收敛。
判别函数项级数不一致收敛可应用柯西准则及其推论。
对于函数项级数 2 sin（x/3 ），x∈（0，+∞），记u （x）=2 sin（x/3 ），取ε =1，∨N>0， n>N及x =π3 /2∈（0，+∞）有u （x ）=2 >1，由此得{u （x）}在（0，+∞）上不一致收敛于零，由柯西准则的推论得：函数项级数 2 sin（x/3 ）在（0，+∞）上不一致收敛。