直线与平面垂直的定义及判定

⑵过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． ⑶过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
直线与平面垂直的定义：
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，则称直线 l 和平面互相垂直． 记作：l⊥
思考： 如果 l⊥ ， ，那么 l a 吗？ a
l P α
探究1： 如果直线 l 与平面内的一条直线垂直， 则直线 l 和平面 互相垂直?
证明:∵a⊥AC,a⊥BC,AC∩BC=C. ∴a⊥面ABC. ∵AB⊂面ABC,
A C B
a
∴a⊥AB. 思考:此例为”线线垂直”的判断提供了一种什么方法？
例2.如图,已知:α ∩β ＝l ,PA⊥α 于Α ,PB⊥β于
B,AQ⊥l于Q,求证:BQ⊥l . 提示：
Байду номын сангаас
欲证BQ⊥l ⇔l⊥平面BPQ
⇔ l⊥PQ ⇔l⊥平面PAQ
a
b
α
探究2： 如果直线 l 与平面内的两条直线垂直， 则直线 l 和平面 互相垂直? 如果两条直线平行 如果两条直线相交
a
b
α
直线与平面垂直 那平面内的两条直线相交时又是什么情况呢？
A A 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： A
l
C
A
D

B B
D D
P
C C
C
B B
D
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 线与桌面所在平面 垂直． 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
大桥的桥柱与水面垂直
大漠孤烟直
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B B1 C1 C
直线与平面垂直的定义：
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，则称直线 l 和平面互相垂直． 记作：l⊥
l
直线l 的垂面 平面α 的垂线
线面垂直的判定定理
线面垂直判定定理1：一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
线不在多，
l a l b a l b a b A
重在相交！
l
b

A
a
三.典例分析.
例1. 求证:与三角形的两边同时垂直的直线必与第 三边垂直. 已知:如图,a⊥AC,a⊥BC,求证:a⊥AB.
线面垂直判定定理1: (P36) 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线， 那么这条直线就垂直于这个平面。 线面垂直判定定理２： 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面．
四．巩固运用．
作业.在空间四边形中ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证: 对角线AC⊥BD 提示：设Ｅ为BD中点,连接AE和CE．
证明：在平面 内作 a 两条相交直线m，n． 因为直线 a ， 根据直线与平面垂直的定义知
a m, a n.
b
m
n

又因为 b// a 所以 b m, b n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
五．课堂小结．
１．线面垂直⇒线线垂直 ２．线面垂直的两个判定定理
P α
垂足
二．基本概念
1.线面垂直的定义: (P35)如果一条直线与一个平面内任 何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相 互垂直。 l
2.画法： 3.符号语言: l⊥α,l ∩α=P,P是垂足 4.常用结论：
α
Ｐ a
线面垂直 定义的反 用 ⑴若直线l垂直平面α,直线a在平面α内,则l⊥a．

A

l
Q
例3. 如图, PA垂直圆O所在平面, AB是圆O的直径, C是圆周上一点, 求证：BC⊥PC。
P
A C
O
B
D1 A1 B1
C1
例4. 在正方体AC1中，取DD1的中 点E，AC和BD交于O点。 求证：OB1⊥面EAC
A
E
D
O B
C
线面垂直判定定理２:如果两条平行线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 如图，已知 a // b, a ，求证 b .