2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何A理
2019年高三数学(理)二轮专项检测：专项5解析几何专项检测
2019年高三数学（理）二轮专项检测：专项5解析几何专项检测注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
(本卷总分值150分，考试用时120分钟)【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共计60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1、过点(－2,0)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 A 、2x ＋y ＋4＝0 B 、－2x ＋y －4＝0C 、x －2y ＋2＝0D 、－x ＋2y －2＝0 解析易知所求直线的斜率为－2，所以方程为y －0＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋4＝0. 答案A2、(2017·中山模拟)假设抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，那么p 的值为A 、－2B 、2C 、－4D 、4解析据题意p2＝2，∴p ＝4. 答案D3、以下曲线中离心率为62的是A.x 24＋y 22＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24＋y 210＝1D.x 24－y 210＝1解析选项A 、B 、C 、D 中曲线的离心率分别是22、62、155、142. 答案B4、抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件解析由⎩⎨⎧y 2＝xy ＝kx ＋1得ky 2－y ＋1＝0，当k ≠0时，Δ＝1－4k ＞0，得k ＜14.即假设直线l 与抛物线C 有两个不同的交点，那么k ＜14且k ≠0，应选D. 答案D5、圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，那么圆C 的方程为A 、(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B 、(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C 、(x －1)2＋(y －1)2＝2D 、(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析设圆心坐标为(a ，－a )，∴r ＝|2a |2＝|2a －4|2， 解得a ＝1，∴r ＝2，故所求的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案B6、假设曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，那么k 的值为A 、1B 、－1 C.12 D 、2 解析曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， 由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.应选D. 答案D7、椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2＝30°，那么△F 1PF 2的面积为A 、3(2＋3)B 、3(2－3)C 、2＋ 3D 、2－ 3解析由题意，得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝4，所以|PF 1|·|PF 2|＝12(2－3)，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝3(2－3)、 答案B8、直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是 A 、相离 B 、相交 C 、相切 D 、不确定 解析圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2aa 212＝2aa 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1＜r ＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交、答案B9、(2017·大纲全国卷)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝A.45B.35C 、－35D 、－45 解析解法一由⎩⎨⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5 ＝－45.解法二由解法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)，∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝3×0＋425×2＝－45.答案D10、椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A 、x ＝±152yB 、y ＝±152xC 、x ＝±34yD 、y ＝±34x 解析由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆的右焦点(3m 2－5n 2，0)， 双曲线的右焦点(2m 2＋3n 2，0)， ∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2， 即|m |＝22|n |，∴双曲线的渐近线为y ＝±3·|n |2·|m |x ＝±34x ，即y ＝±34x . 答案D11、(2017·课标全国卷)双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3. 由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得 (b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝6a 2a 2－b 2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2， ∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1. 答案B12、如下图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，那么离心率为A.3＋12B.3－1C.3－12 D.3＋1解析设F 2(c,0)，那么圆O 的方程是x 2＋y 2＝c 2.与双曲线方程联立，消掉y得x 2a 2－c 2－x 2b 2＝1，解得x ＝－a b 2＋c 2c (舍去正值)、由于O 是正三角形F 2AB 的外接圆的圆心，也是其重心，故F 2到直线AB 的距离等于32|OF 2|＝3c 2，即c ＋a b 2＋c 2c＝3c 2，即2a b 2＋c 2＝c 2. 将b 2＝c 2－a 2代入上式，并平方得4a 2(2c 2－a 2)＝c 4， 整理，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，两端同时除以a 4，得e 4－8e 2＋4＝0. 解方程得e 2＝4±23，由于e 2＞1， 故e 2＝4＋23，所以e ＝3＋1.答案D【二】填空题(本大题共4小题，每题4分，共计16分、把答案填在题中的横线上)13、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，那么M 到抛物线焦点的距离是________、解析因为点M 的横坐标是2，故其纵坐标为8，又p 2＝18，所以M 到抛物线焦点的距离为8＋18＝658.答案65814、点P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，那么点M 的轨迹方程是________、解析设P (x 0，y 0)，M (x ，y )， 那么x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1. 答案x 2－4y 2＝115、椭圆的中心在原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，那么此椭圆的方程为________、解析抛物线的焦点为(0，－3)，椭圆的中心在原点， 那么所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，半焦距c ＝3，又离心率e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1，故所求椭圆的方程为x 2＋y 24＝1.答案x 2＋y 24＝116、a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，那么直线l 的一般方程是________、解析∵a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2,3)，∴与向量a ＋2b 平行的直线的斜率为－32，又l 与向量a ＋2b 垂直，∴l 的斜率k ＝23. 又l 过点A (3，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝23(x －3)， 化成一般式为2x －3y －9＝0. 答案2x －3y －9＝0【三】解答题(本大题共6小题，共74分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、(12分)(2017·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程、解析(1)由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1. 故点A (2,1)、因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18、(12分)(2017·安徽)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上、证明(1)假设l 1与l 2不相交，那么l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交、(2)解法一由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 此即说明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上、解法二交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x .故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0. 整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上、19、(12分)(2017·开封模拟)如下图，圆O ：x 2＋y 2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A 、B ，求△AOB 面积S 的最大值、 解析(1)证明直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ， 故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x 2＋y 2＝4内部， 所以直线m 与圆O 恒有两个不同交点、 (2)圆心O 到直线m 的距离为d ＝11＋k 2，而圆O 的半径r ＝2，故弦AB 的长为|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，故△AOB 面积S ＝12|AB |×d ＝12×24－d 2×d＝4d 2－d 4＝d 2－22＋4.而d 2＝11＋k 2，因为1＋k 2≥1，所以d 2＝11＋k 2∈(0,1]， 显然当d 2∈(0,1]时，S 单调递增，所以当d 2＝1，即k ＝0时，S 取得最大值3， 此时直线m 的方程为y －1＝0.20、(12分)圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，假设|AB |＝23，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，假设向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线、解析(1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23，满足题意、 假设直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，那么23＝24－d 2，得d ＝1.所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34， 故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )， 那么N 点坐标是(0，y 0)、 因为OQ →＝OM →＋ON →，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2. 又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以x 2＋y 24＝4(y ≠0)，所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点、21、(12分)(2017·上海)椭圆C ：x 2m 2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)、(1)假设M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)假设m ＝3，求|PA |的最大值与最小值；(3)假设|PA |的最小值为|MA |，求实数m 的取值范围、解析(1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)、(2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，那么|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)，∴当x ＝94时，|PA |min ＝22； 当x ＝－3时，|PA |max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，那么|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m 2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )、∵当x ＝m 时，|PA |取最小值，且m 2－1m 2＞0，∴2m 2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2.22、(14分)如下图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，假设|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，(1)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线方程；(2)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，假设G 为CD 的中点，H 为BE 的中点，问|BE ||CD |·|GF 2||HF 2|是否为定值？假设是，求出定值；假设不是，请说明理由、解析(1)解法一设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，那么2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6， 得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，那么(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减，得xc ＝32，由抛物线定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，那么c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32(因∠AF 2F 1为钝角，故舍去)、所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x .解法二设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线方程为y 2＝2px . 如下图，过F 1作垂直于x 轴的直线x ＝－c ，即抛物线的准线，过A 作AN 垂直于该准线于点N ，作AM ⊥x 轴于点M ， 那么由抛物线的定义，得|AF 2|＝|AN |，所以|AM |＝|AF 1|2－|F 1M |2＝|AF 1|2－|AN |2＝|AF 1|2－|AF 2|2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝ 6. |F 2M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－6＝12， 得|F 1F 2|＝52－12＝2，所以c ＝1.由p2＝c 得p ＝2. 由2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6， 得a ＝3.b 2＝a 2－c 2＝8.所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x .(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)，由题意知k ≠0，代入x 29＋y 28＝1， 得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0， 即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，那么y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2. 同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ， 得ky 2－4y －4k ＝0，那么y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－ 4.所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝y 1－y 22y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3－y 42＝y 1＋y 22－4y 1y 2y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3＋y 42－4y 3y 4＝16k 28＋9k 22＋4×64k 28＋9k 216k 28＋9k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3，为定值、[上传人：恒谦编辑付连国，QQ:1040591891]。
(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 题型练7 大题专项(五)解析几何综合问题 理
题型练7 大题专项(五)解析几何综合问题1.(2018天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点),求k的值.2.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P,求直线l的方程.3.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.4.(2018北京,理19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,=λ=μ,求证:为定值.5.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|= b.由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=所以,k的值为2.解 (1)由题意得解得a=2,b=1.故椭圆C的方程是+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=,x1x2=Δ>0⇒4k2+1>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2+kt+t2=因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.因为x1x2+y1y2==0,所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-或t>又设A,B的中点为D(m,n),则m=,n=因为直线PD与直线l垂直,所以k PD=-,得由解得当t=-时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±,所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.3.解 (1)设F(c,0),由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=因此直线MH的方程为y=-x+设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M≥1,即1,解得k≤-,或k所以,直线l的斜率的取值范围为4.(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0<k<1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=-,x1x2=直线PA的方程为y-2=(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为y M=+2=+2.同理得点N的纵坐标为y N=+2.由==,得λ=1-y M,μ=1-y N.所以===2.所以为定值.5.解由题知F设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1==-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=由题设可得2|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.6.解 (1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1), ①直线l2的方程:y=-(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故=1.由解得x0=,y0=无解.因此点P的坐标为。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题05平面解析几何
专题05平面解析几何1.【2019年高考全国I 卷理数】已知椭圆C 的焦点为F 1( -1,0) , F",0)，过F 2的直线与C 交于A , B两点•若| AF 2 | = 2|F 2B |, IABUIBF 」则C 的方程为2 2x y‘ 13 22 2x y ’C .14 3【答案】BF 2B = n ，贝U AF 2 = 2n , BF | = | AB = 3n ,由椭圆的定义有 2a = BF , + BF 2 = 4n j AF 1 =2a — AF 2 =2n .2 22a - 4 n = 2、3,. a — 3,. b - a - c =3-1=2,.所求椭圆方程为1，故选 B .3 2在△ AR F 2 和△ BF 1F 2 中，由余弦定理得 』｛ + 4 _ 2 '2n 2 co# AF 2F 1 _、n +4-2,n 2 ■co^BF 2F 1 = 9n2 2x_丄5 4【解析】法一：如图，由已知可设在△ARB 中，由余弦定理推论得cos RAB 』匹 J在厶AFT ?中，由余弦定理得2 24n 4n1-2 2n 2n 4，解得 n =3 由椭圆的定义有 2a = BE * BF 2 = 4n ，二 AF 1 — 2^ - AF 2 — 2n .3又AF2R , BF2F-| 互补，cos AF2R cos BF2F^ 0，两式消去cos AF2F-| , cos BF2R，得OF 为直径的圆与圆x 2 y^a 2交于P , Q 两点.C . 23n 6=11^，解得n 订.2"曲厶3, a 『3b 2 二 a 2 -c 2 =3-1 =2,.所求椭圆方2 2程为y1，故选B .32【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、 转化与化归的能力，很好地落 实了直观想象、逻辑推理等数学素养.22 .【2019年高考全国n 卷理数】若抛物线 y =2px(p>0)的焦点是椭圆2 2x y ‘ 1的一个焦点，贝U P=3p P【答案】D【解析】因为抛物线y 2 =2px(p 0)的焦点(卫,0)是椭圆 22y1的一个焦点，所以3p-p =3p PX 2解得P =8，故选D .【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养•解答时，利用抛 物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于P 的方程，从而解出P ,或者利用检验排除的方法， 如P = 2时,抛物线焦点为(1, 0),椭圆焦点为(塑,0),排除A ，同样可排除B , C ,从而得到选D .23.【2019年咼考全国n 卷理数】设F 为双曲线C : x-^a2=1(a 0,b 0)的右焦点，0为坐标原点，以b3【答案】A【解析】设PQ与X轴交于点A，由对称性可知PQ—X轴,又：，陀讣^门叭寺PA为以OF为直径的圆的半径,OF，贝U C的离心率为.52 2 2 2又P点在圆—上，专牛荷，即『汽宀詈2•避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐2 24.【2019年高考全国川卷理数】双曲线C: - — =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上,4 2坐标原点，若PO = PF，则APFO的面积为3.24 C. 2 23、.2 2【答案】A【解析】由a = 2, b = 2 , c : a2b2 =46, * PO| =|PF X p3【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y 」x 上，则yp^ x p 二三乜aa 2 21…PFO = OFy p辽，故选A .4所以x可取的整数有0, -1, 1，从而曲线C ： x 2y 2 =^1 xy 恰好经过（0, 1）,（0, -1）,（1, 0）,（1,养•采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题•忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式 的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积.5.【2019年高考北京卷理 数】 已知財椭圆 22x y 2 2 =1 (a > b > 0)ab的离心率为 1，则 2 2A • a =2bB • 3a =4bC • a=2bD • 3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率 e c 1 2 ,c 二 a 2 -b 2，化简得 3a 2 二 4b 2 ,a 2故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识 ？基本运算能力的考查由题意利用离心率的定义和 a,b,c 的关系可得满足题意的等式.6 .【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过,2 ；③曲线C 所围成的 心形”区域的面积小于3•其中，所有正确结论的序号是 A •① C .①② 【答案】C2 2C ： x y =1|x|y 就B •② D .①②③是其中之一（如图）2 2【解析】由x +y =l + xy得,y 十x2, |x|J3x24，142 4,x3所以x可取的整数有0, -1, 1，从而曲线C ： x2y2=^1xy恰好经过（0, 1）,（0, -1）,（1, 0）,（1,1), (- 1, 0), (-1, 1)，共6个整点，结论①正确.2 2「22 22X+V22 亠 由x +y =1 + x y 得，X 2 + V 2, 1十——匚，解得x 2 + y 2兰2，所以曲线C 上任意一点到原点的距2离都不超过 2 .结论②正确如图所示，易知 A 0,-1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D 0,1，13四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD =丄1 11 仁3，很明显 心形”区域的面积大于2乐边形ABCD ，即心形22形”区域的面积大于 3,说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程 ？曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识 ? 基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透 美育思想”将所给方程进行等价变形确定 x 的范 围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，禾U 用图形的对 称性和整点的坐标可确定图形面积的范围27 .【2019年高考天津卷理数】已知抛物线V =4x 的焦点为F ，准线为I ，若I 与双曲线线的离心率为 A .22 x2a2占弘0,b0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB|=4|OF| ( O 为原点)，则双曲【答案】D【解析】抛物线y = 4x 的准线I 的方程为x = -1,双曲线的渐近线方程为 y =x ,a 则有 A ( _1,b),B(_1_-),a—=4 , b =2a ,a故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出 只需把AB =4 0F 用a,b,c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率 8 .【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是C . .2【答案】C点 A(-2, -1)，则 m = 【答案】-2 , , 51 1【解析】由题意可知k AC 八3 ： AC ： y • 1 (x 2)，把(0, m)代入直线AC 的方程得m = -2,a • 5 2b --AB =—aAB 的长度•解答时,【解析】因为双曲线的渐近线方程为x_y =0，所以 a 二b ，则 c~ a2 ・b 2=2a ，所以双曲线的离【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a 二b ，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查•理解概念,准确计算，是解答此类问题的基本要求•部分考生易出现理解性错误•9 .【2019年高考浙江卷】已知圆 C 的圆心坐标是(0, m)，半径长是r 若直线2x - y • 3 = 0与圆C 相切于此时r =|AC 卜.F7 = . 5 .•首先通过确定直线AC的斜率，进一步得【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系到其方程，将（0,m ）代入后求得m ，计算得解•解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的 结合，特别是要注意应用圆的几何性质•的中点在以原点 O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 【答案】,15【解析】方法1: 如图，设F 1为椭圆右焦点•由题意可知|OF|=|OM |= c= 2 ,由中位线定理可得PFj =2| OM |=4，设P （x, y ），可得（x —2）2 + y 2 =16 ,”厂、41又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得 P , ，所以k pF =-= •, 15 . I 2 2 丿12方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|OF |=|OM |= c= 2 ,3由中位线定理可得 PF 1 =2| OM |=4，即a —ex p =4n X p = --,f 厂）垂-从而可求得P i3,二5，所以k PF =—匸=15. I 2 2 丿 12【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，禾U 用数形结合10.【2019年高考浙江卷】 已知椭圆=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF2与方程—=1联立，可解得 321 x ,x =2 2（舍）,思想，是解答解析几何问题的重要途径•结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解•也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁2 211.【2019年高考全国川卷理数】设F i , F 2为椭圆C: - +—1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象3620限若△ MF 1F 2为等腰三角形，则 M 的坐标为 _______________ 【答案】3, 15【解析】由已知可得 a 2 =36, b 2 =20,. c 2 二a 2 - b 2 =16 ,. c =4 , 冷MFj = RF 2 =2c=8,••• MF 2 =4 .一J1设点 M 的坐标为(x o , y ° X x o A 0 , y ° A 0 )，则 S ^MF ’F 2 =? ' F 1F 2 -y 。
2019高考数学二轮复习专题五解析几何学案理
专题五 解析几何[全国卷3年考情分析]第一讲 小题考法——直线与圆考点(一) 直线的方程主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.[典例感悟][典例] (1)“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为( ) A ．y ＝2 B ．4x －3y ＋2＝0 C ．x ＝2D ．y ＝2或4x －3y ＋2＝0[解析] (1)因为两直线平行，所以2×2－ab ＝0，可得ab ＝4，必要性成立，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，充分性不成立，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设该直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] (1)C (2)D[方法技巧]直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况．[演练冲关]1．(2018·洛阳模拟)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：nx ＋y －p ＝0，则“m ＋n ＝0”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ①若m ＋n ＝0，当m ＝n ＝0时，直线l 1：x －1＝0与直线l 2：y －p ＝0互相垂直；当m ＝－n ≠0时，直线l 1的斜率为－1m ，直线l 2的斜率为－n ，∵－1m ·(－n )＝－1m·m ＝－1，∴l 1⊥l 2.②当l 1⊥l 2时，若m＝0，l 1：x －1＝0，则n ＝0，此时m ＋n ＝0；若m ≠0，则－1m·(－n )＝－1，即－n ＝m ，有m ＋n ＝0.故选C.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823. 3．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________.解析：因为两直线关于点A (1,0)对称，在直线x ＋2y －3＝0上取两点M (1,1)，N (5，－1)，M ，N 关于点A (1,0)对称的点分别为M ′(1，－1)，N ′(－3,1)，则M ′(1，－1)，N ′(－3,1)都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－3a ＋4＋b ＝0，解得a ＝b ＝2.答案：2考点(二) 圆 的 方 程主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题. [典例] (1)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43(2)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．[解析] (1)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (2)易知直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)， 即圆C 的圆心坐标为(－1,0)． 因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心(－1,0)到直线x ＋y ＋3＝0的距离等于半径r ，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. [答案] (1)B (2)(x ＋1)2＋y 2＝2[方法技巧]圆的方程的2种求法[演练冲关]1．(2018·长沙模拟)与圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为2. 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.2．(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝23．(2018·惠州调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x 轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5考点(三) 直线与圆的位置关系主要考查直线与圆位置关系的判断、根据直线与圆的位置关系解决弦长问题、参数问题或与圆有关的最值范围问题.[典例感悟][典例] (1)(2019届高三·齐鲁名校联考)已知圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0，当圆的面积最小时，直线y ＝x ＋b 与圆相切，则b ＝( )A ．±1B ．1C ．± 2D. 2(2)(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32](3)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [解析] (1)由题意可知，圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0化为标准形式为(x －1)2＋(y －m )2＝m 2－2m ＋2，圆心为(1，m )，半径r ＝m 2－2m ＋2，当圆的面积最小时，半径r ＝1，此时m ＝1，即圆心为(1,1)，由直线和圆相切的条件可知|b |2＝1，解得b ＝± 2.故选C.(2)设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ， 则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． (3)设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0.由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33. [答案] (1)C (2)A (3)33，－33[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的大小关系．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用转化思想和数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[演练冲关]1．(2018·宁夏银川九中模拟)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6解析：选C 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为2×2－12＝ 6.故选C.2．(2018·江苏苏州二模)已知直线l 1：x －2y ＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l 2与圆M ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0交于A ，C 两点，其中A (－1,0)，B ，D 在圆M 上，且位于直线l 2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是________．解析：由题意知，tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.直线l 2过点A (－1,0)，则l 2：y ＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋4＝0，又A 是圆M 上的点，则(－1)2＋2×(－1)＋F ＝0，得F ＝1， 圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心M (－1,1)， 其到l 2的距离d ＝|－4－3＋4|5＝35.则|AC |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝85. 因为B ，D 两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD 的面积可以看成是△ABC 和△ACD 的面积之和，如图所示，当BD 垂直平分AC (即BD 为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，此时AC ，BD 相交于点E ，则最大面积S＝12×|AC |×|BE |＋12×|AC |×|DE |＝12×|AC |×|BD |＝12×85×2＝85. 答案：853．(2018·广西桂林中学5月模拟)已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为____________．r ＝ 2.因为解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．直线方程的五种形式2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))． 4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切． (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交，d >r ⇔相离，d ＝r ⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则 (1)当|O 1O 2|＞r 1＋r 2时，两圆外离； (2)当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；(3)当|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交； (4)当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切； (5)当0≤|O 1O 2|＜|r 1－r 2|时，两圆内含．[二级结论要用好]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[针对练1] 若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1.答案：12．若点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则圆过该点的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝r 2. [针对练2] 过点(1，3)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线l 的方程为____________． 解析：∵点(1，3)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴切线方程为x ＋3y ＝4，即x ＋3y －4＝0. 答案：x ＋3y －4＝0[易错易混要明了]1．易忽视直线方程几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，未讨论截距为0的情况，直接设为x a ＋y a＝1；再如，未讨论斜率不存在的情况直接将过定点P (x 0，y 0)的直线设为y －y 0＝k (x －x 0)等．[针对练3] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________．解析：当截距为0时，直线方程为5x －y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，代入P (1,5)，得a ＝6， ∴直线方程为x ＋y －6＝0. 答案：5x －y ＝0或x ＋y －6＝02．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直，若一条直线的斜率不存在，则另一条直线斜率为0.如果利用直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，就可以避免讨论．[针对练4] 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0，解得t ＝1或t ＝－1. 答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C 1－C 2|A 2＋B 2，导致错解．[针对练5] 两平行直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0间的距离为________． 解析：把直线6x ＋8y ＋5＝0化为3x ＋4y ＋52＝0，故两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－5232＋42＝32.答案：324．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．[针对练6] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相切，则m ＝________. 解析：由x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，由x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，得(x －5)2＋(y－6)2＝61－m .当两圆外切时，有－2＋－2＝61－m ＋11，解得m ＝25＋1011；当两圆内切时，有－2＋－2＝||61－m －11，解得m ＝25－1011.答案：25±1011[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．(2018·贵阳模拟)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选D 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为x 2＋y2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.3．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a >0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.5．(2018·郑州模拟)已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C 在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t ＝6±2 5.7．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心C (3,4)，半径为2，则可设直线l 的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k x －，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1， 则|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2×1＋k 2×31＋k2|2k ＋1|＝6.故选B.8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B. 9．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．5D ．6解析：选A 易知圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝|－25|5＝5，所以圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选D 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D. 2解析：选C 设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t (t >0)，则－x 2＋－1－y 2－x2＋－2－y2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋－2t22≤2，解得0<t ≤2，所以|PB ||PA |的最大值为2.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 214．如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________.解析：由直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＋7－a ＝0平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧aa －－2×3＝0，a －a －3×3a ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠0且a ≠－2，故a ＝3.答案：315．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l的方程为____________________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l 的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝016．(2018·南宁、柳州模拟)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－33B 级——难度小题强化练1．(2018·重庆模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：选D 当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－＋－1＋323＝3－33，故选D. 2．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心C (1,1)，半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，此时方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.3．(2018·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 解析：选B 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝－2m2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝－2m 2＋m24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B.4.(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510C.910D ．－910解析：选D 法一：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2195.在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.法二：取AB 的中点D ，连接OD (图略)，则OD ⊥AB ，且∠AOB ＝2∠AOD ，又圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－2＝15，即|OD |＝15，所以cos ∠AOD ＝|OD ||OA |＝125，故cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252－1＝－910. 5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心坐标为C (1,2)，半径r ＝2，因为圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1，所以M (－1，－1)，|MC |2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r 2＝4，所以|MP |＝13－4＝3.答案：36．(2019届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2，两边平方并整理得m ＋n＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞)第二讲 小题考法——圆锥曲线的方程与性质[典例感悟][典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·重庆模拟)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，P 是该抛物线上任意一点，M (5,3)，则|PF |＋|PM |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3(3)(2018·湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 [解析] (1)根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.①又椭圆x212＋y23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由题意知，抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，过点P 作PE ⊥l 于点E ，由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，易知当P ，E ，M 三点在同一条直线上时，|PF |＋|PM |取得最小值，即(|PF |＋|PM |)min ＝5－(－1)＝6，故选A.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由点P (2，3)在椭圆上，知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，则c a ＝12.又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.[答案] (1)B (2)A (3)A[方法技巧]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2px 或x 2＝2py (p ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1.(2018·合肥一模)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：选D 由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，4a ，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，M ⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－2a .把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.2．(2018·河北五个一名校联考)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.答案：103.如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 224＝1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的标准方程为________________，△BF 1F 2的面积为________．解析：由|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得|BF 2|＝4a ，在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，化简得c ＝7a ，由a 2＋b2＝c 2得，a 2＋24＝7a 2，解得a ＝2，则双曲线的方程为x 24－y 224＝1，△BF 1F 2的面积为12|BF 1|·|BF 2|sin ∠F 1BF 2＝12×2a ×4a ×32＝8 3. 答案：x 24－y 224＝1 8 3考点(二) 圆锥曲线的几何性质主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线 的有关性质.[典例感悟][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13D.14(3)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝ 1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4， 所以e ＝c a ＝14.(3)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′， 则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点， ∴M 为A ′B ′的中点， ∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得AM ―→＝(－1－x 1,1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.[答案] (1)A (2)D (3)2[方法技巧]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． 3．抛物线几何性质问题求解策略涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性，还要注意抛物线定义的转化应用．[演练冲关]1．(2018·长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2，选C.2．(2018·福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，M 为抛物线C 的准线上一点，则△ABM 的面积为( )A ．16B ．18C ．24D ．32解析：选A 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，如图，因为直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB 为通径，所以2p ＝8，p ＝4，又M 为抛物线C 的准线上一点，所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM 的面积为12×8×4＝16，故选A.3．(2018·福州模拟)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：选A 由题设知，直线l ：x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a .又圆与直线l 有公共点，所以2bc b 2＋c 2≤b 2a，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0<e <1，所以0<e ≤55.故选A.[典例感悟][典例] (1)(2018·开封模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.5＋1D.5＋12(2)(2018·洛阳模拟)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83D.53(3)(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55[解析] (1)抛物线y 2＝4cx 的焦点F 1(c,0)，准线l ：x ＝－c ，连接PF 1和EO (O 为坐标原点)，如图，则|PF 1|＝2|EO |＝2a ，所以点P 到准线l ：x ＝－c 的距离等于2a ，所以点P 的横坐标为2a －c ，由点P 在抛物线y 2＝4cx 上，得P (2a －c,2ca －c )．连接OP ，则|OP |＝|OF |＝c ，所以(2a －c )2＋[2ca －c ]2＝c 2，解得e ＝c a ＝5＋12，故选D.(2)因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)， 故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px 整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x A x D＝2pp8＝16.故选A. (3)设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e＝c a＝1－b 2a2＝32，故选C. [答案] (1)D (2)A (3)C[方法技巧]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[演练冲关]1．已知椭圆的短轴长为8，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为椭圆上任意一点，△PF 1F 2的内切圆面积的最大值为9π4，则椭圆的离心率为( )A.45B.22C.35D.223解析：选C 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2b ＝8，即b ＝4，设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则有S △PF 1F 2＝12(2a ＋2c )r ＝12×2c |y P |，即r ＝c |y P |a ＋c ，当点P 运动到椭圆短轴的端点时，r 有最大值32，此时|y P |＝b ，于是有4c a ＋c ＝32，即3a ＝5c ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝35. 2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b ax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ， 所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ， 所以e ＝c a＝ 3.3．(2018·贵阳模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则p ＝________.解析：过点A ，B 向抛物线的准线x ＝－p2作垂线，垂足分别为C ，D ，过点B 向AC 作垂线，垂足为E ，∵A ，B 两点在抛物线上，∴|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |.∵BE ⊥AC ，∴|AE |＝|AF |－|BF |，∵直线AB 的倾斜角为60°，∴在Rt △ABE 中，2|AE |＝|AB |＝|AF |＋|BF |， 即2(|AF |－|BF |)＝|AF |＋|BF |，∴|AF |＝3|BF |. ∵|AF |＝2，∴|BF |＝23，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝83.设直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得3x 2－5px ＋3p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝53p ，∵|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝83，∴p ＝1.答案：1[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]圆锥曲线的定义、标准方程和性质[二级结论要用好]1．椭圆焦点三角形的3个结论设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .2．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，|PF 1|＝ex 0＋a ，|PF 2|＝ex 0－a ；若P 在左支上，|PF 1|＝－ex 0－a ，|PF 2|＝－ex 0＋a . 3．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的4个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2；(3)|AB |＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)；(4)|AB |＝x A ＋x B ＋p . 4．圆锥曲线的通径。
五解析几何(A) 高考教学(理科)二轮复习
五解析几何(A)
1.(2019·西城区模拟)已知直线l:x+my-3=0,圆C:(x-2)2+(y+3)2=9.
(1)若直线l与圆相切,求m的值;
(2)当m=-2时,直线l与圆C交于点E,F,O为原点,求△EOF的面积.
2.(2019·临沂三模)已知直线l过圆M:x2+(y+2)2=1的圆心且平行于x轴,曲线C上任一点P到点F(0,1)的距离比到l的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(异于原点)作圆M的两条切线,斜率分别为k1,k2,过点P作曲线C的切线,斜率为k0,若k1,k0,k2成等差数列,求点P的坐标.
3.(2019·海安县校级模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交于A,B两点,以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为,求直线l 的方程.
4.(2019·桃城区校级一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且+=.
(1)证明:B,C两点的纵坐标之积为定值;
(2)设λ=·,求λ的取值范围.。
2019届高考数学二轮复习大题分层练五解析几何函数与导数A组文
大题分层练(五)解析几何、函数与导数(A 组)1.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C 的顶点是原点,以x 轴为对称轴,且经过点P(1,2).(1)求抛物线C 的方程.(2)设点A,B 在抛物线C 上,直线PA,PB 分别与y 轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB 的斜率.【解析】(1)依题意,设抛物线C 的方程为y 2=ax(a≠0).由抛物线C 经过点P(1,2),得a=4,所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,所以直线PA 与PB 的倾斜角互补,所以k PA +k PB =0.依题意,直线AP 的斜率存在且不为零,设直线AP 的方程为y-2=k(x-1)(k≠0),将其代入抛物线C 的方程,整理得k 2x 2-2(k 2-2k+2)x+k 2-4k+4=0.设A(x 1,y 1),则1×x 1=,y 1=k(x 1-1)+2=-2,所以Ak 2-4k +4k 24k .以-k 替换点A 坐标中的k,得B .((k +2)2k 2,-4k -2)所以k AB ==-1.即直线AB 的斜率为-1.2.已知函数f(x)=e x -2(a-1)x-b,其中e 为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a 的取值范围.(2)已知函数g(x)=e x -(a-1)x 2-bx-1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)根据题意,函数f(x)=e x -2(a-1)x-b,其导数为f′(x)=e x -2(a-1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f′(x)=e x -2(a-1)≥0在区间[0,1]上恒成立,所以2(a-1)≤(e x )min =1(其中x∈[0,1]),解得a≤;当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f′(x)=e x -2(a-1)≤0在区间[0,1]上恒成立,所以2(a-1)≥(e x )max =e(其中x∈[0,1]),解得a≥+1.综上所述,实数a 的取值范围是e 2∪.(-∞,32](2)函数g(x)=e x -(a-1)x 2-bx-1,则g′(x)=e x -2(a-1)x-b,分析可得f(x)=g′(x).由g(0)=g(1)=0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x 0,则g(x)在区间(0,x 0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x 0)内存在零点x 1,同理,f(x)在区间(x 0,1)内存在零点x 2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当a≤时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当a≥+1时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;所以<a<+1.令f′(x)=0,得x=ln(2a-2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间32e 2[0,ln(2a-2)]上单调递减,在区间(ln(2a-2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x 1,x 2(x 1<x 2),因此x 1∈(0,ln(2a-2)],x 2∈(ln(2a-2),1),必有f(0)=1-b>0,f(1)=e-2a+2-b>0.由g(1)=0,得a+b=e,所以f = +1-(a+b)=+1-e<0,又f(0)=a-e+1>0,f(1)=2-a>0,所以e-1<a<2.综上所述,实数a 的取值范围为(e-1,2).。
2019年高考数学大二轮复习高考阅卷评分指导课五解析几何类解答题课件理ppt版本
[真题案例] (12 分)(2016·全国卷Ⅱ)已知 A 是椭圆 E：x42＋y32＝1 的 左顶点，斜率 k(k>0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当 2|AM|＝|AN|时，证明： 3<k<2.
[审→
求直线AM的倾斜角
→
求AM的方程 → 联立lAM与椭圆E的方程 → 求M的纵坐标 → 求S△AMN (2) 联立lAM与椭圆E的方程 → 利用根与系数的关系及弦长公式 → 建立关于k的方程
→ 利用函数性质解决
（1）设 M（x1，y1），则由题意知 y1>0.由已知及椭圆
所以 3<k<2. 得分点⑧ (12 分)
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的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 .又 A（－2，0）， 因此直线 AM 的方程为 y＝x＋2.得分点①（2 分）
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因此△AMN 的面积
S△AMN＝2×12×172×172＝14494. 得分点③ (5 分)
(2)证明 将直线 AM 的方程 y＝k(x＋2)(k>0)代入x42＋y32＝1，得
（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－12＝0.得分点④ （6分）
由x1·（－2）＝136＋k2－4k122，得x1＝2（33＋－44kk22），
2019高考数学二轮重点新题分类汇编--专项五平面解析几何
2019高考数学二轮重点新题分类汇编--专项五平面解析几何特别说明：因时间关系，本资料试题未经校对流程，使用时请注意。
1、〔2018江西师大附中高三下学期开学考卷文〕“3=a ”是“直线022=++a y ax 和直线07)1(3=+--+a y a x 平行”的〔〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】此题主要考查平面解析几何中的直线与直线的位置关系〔平行〕.属于基础知识、基本运算的考查.3a =代入，⇒直线022=++a y ax 和直线07)1(3=+--+a y a x 平行，反之直线022=++a y ax 和07)1(3=+--+a y a x 平行⇒(1)232(7)a a a a -=⨯≠-+ 3a =或2a =-，所以“3=a ”是“直线022=++a y ax 和直线07)1(3=+--+a y a x 平行”的充分而不必要条件2、〔2018江西师大附中高三下学期开学考卷文〕设12F F 、分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线与E 相交于A B 、两点，且22,AF AB BF ，成等差数列，那么AB 的长为〔〕A 、32B 、1C 、34D 、35【答案】C【解析】此题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系，等差中项的计算.属于基础知识、基本运算的考查. 椭圆222:1(01)y E x b b+=<<，1a =，∵112221,1AF BF a AF BF +==+=，相加得11222AF BF AF BF +++=221122||AF BF AF BF AB +=-+=-22,AF AB BF ，成等差数列，22221AB AF BF a =+==于是22AB AB=-，∴23AB =3、(2018年石家庄市高中毕业班教学质检1文)曲线y=x 3在点(1，1)处的切线方程是 A 、x+y-2=0B 、3x+y-2=0 C 、3x-y-2=0D 、x-y+2=0 【答案C【解析】此题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系、导数.属于基础知识、基本运算的考查.点(1，1)在曲线y=x 3上，切线的斜率就是曲线的导数，23y x '=，斜率k ＝3 由点斜式方程得切线方程为13(1)y x -=-，即3x-y-2=0 4、〔2018唐山市高三上学期期末统一考试文〕双曲线的渐近线为y =，焦点坐标为〔-4，0〕，〔4，0〕，那么双曲线方程为〔〕A 、221824x y -= B 、221124x y -=C 、221248x y -= D 、221412x y -= 【答案】D【解析】此题主要考查双曲线的简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查. 双曲线的渐近线为y =，焦点在x 轴上，双曲线方程设为22(0)3y x λλ-=> 即2213x y λλ-=，22,3a b λλ==，∵焦点坐标为〔-4，0〕，〔4，0〕∴4c = 2224164c a b λλ=+==⇒=∴双曲线方程为221412x y -= 5、(2018年石家庄市高中毕业班教学质检1文)双曲线224yx -=1的离心率是A 、21B 、23C 、25D 、3 【答案】C【解析】此题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查. 双曲线224yx -=1中，222224,15a b c a b ==⇒=+=，双曲线224yx -=1的离心率是2c e a ==6、〔2018金华十校高三上学期期末联考文〕过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，假设()12OE OF OP=+，那么双曲线的离心率为 〔〕AB、5C、2D【答案】C【解析】此题主要考查双曲线的定义、直线与圆的位置关系、中点公式、双曲线的简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查. 圆的2224a x y +=半径为2a ，由()12OE OF OP =+知，E 是FP 的中点，如图，设(,0)F c '，由于O 是FF '的中点，所以，1,22OE PF OE PF PF OE a '''=⇒==由双曲线定义，3FP a =，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP OE ⊥，从而90FPF ︒'∠=，由勾股定理22222294FP F P FF a a c e ''+=⇒+=⇒=7、(2018年石家庄市高中毕业班教学质检1文)抛物线y 2=2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A 、B 两点，假设|AB|=10，P 为抛物线的准线上一点，那么△ABP 的面积为A 、20B 、25C 、30D 、50 【答案】B【解析】此题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查.抛物线y 2=2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A 、B 两点，那么|AB|＝2p ，|AB|=10，所以抛物线方程为y 2=10x ，P 为抛物线的准线上一点，P 到直线AB 的距离为p ＝5，那么△ABP 的面积为1105252⨯⨯=8、〔2018江西师大附中高三下学期开学考卷文〕P 是直线0843=++y x 上的动点，PA PB 、是圆012222=+--+y x y x 的切线，A B 、是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是().A 、2B 、2C 、22D 、4 【答案】C【解析】此题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离的基本运算.属于基础知识、基本运算、基本你能力的考查.由题意，圆012222=+--+y x y x 的圆心是C 〔1，1〕，半径为1，PA=PB 易知四边形PACB 面积＝1()2PA PB PA+=,故PA 最小时，四边形PACB 面积最小。
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五解析几何(A)
1.(2018·江西九江模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;
②求证:|MN|为定值.
2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆
C上不同于A,B的任意一点,且满足k AP·k BP=-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率.
3.已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直
线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
4.(2018·红桥区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B 两点,且|AB|=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N 两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.
1.(1)解:由题意知c=,a=,所以b=1.
所以椭圆的方程为+y2=1,
“准圆”的方程为x2+y2=4.
(2)①解:因为“准圆”x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),
设过点P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,
联立方程组
消去y,
得到(1+3k2)x2+12kx+9=0,
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点,
所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,
解得k=±1.
所以l1,l2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.
②证明:a.当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l1与椭圆只有一个公共点,
则其方程为x=或x=-.
当l1的方程为x=时,此时l1与准圆交于点(,1),(,-1),
此时经过点(,1)(或(,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),
即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;
同理可证l1方程为x=-时,直线l1,l2垂直.
b.当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中+=4,
设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
联立方程组
消去y得到x2+3[tx+(y0-tx0)]2-3=0,
即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,
Δ=[6t(y0-tx0)]2-4·(1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0,
经过化简得到(3-)t2+2x0y0t+1-=0,
因为+=4,
所以有(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,
设l1,l2的斜率分别为t1,t2,
因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,
所以t1,t2满足上述方程(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,
所以t1·t2==-1,
即l1,l2垂直.
综合a和b知l1,l2垂直,
因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“准圆”于点M,N,且l1,l2垂直, 所以线段MN为“准圆”x2+y2=4的直径,
所以|MN|=4.
2.解:(1)设P(x,y)(x≠±),
所以k AP·k BP=-,所以·=-,
整理得+y2=1(x≠±),
因为A,B两点在椭圆上,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题可知,斜率一定存在且k≠0,
设过焦点F的直线方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
联立则(m2+2)y2+2my-1=0,
所以所以
所以|OM|=,
而|QM|=|PQ|
=·
=·
=·.
因为|OM|=|QM|,
所以=·,
所以m2=,所以k2=2,所以k=±.
因此,直线PF的斜率为±.
3.解:(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,
所以=,
得c=1,
所以F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),
由x2=4y得y′=x,
所以切线PA:y-y1=x1(x-x1),
有y=x1x-+y1,
而=4y1,
即切线PA:y=x1x-y1,
同理可得切线PB:y=x2x-y2.
因为两切线均过定点P(x0,y0),
所以y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,
由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上, 所以直线AB的方程为y0=xx0-y,
即y=x0x-y0.
(3)设点P的坐标为(x′,y′),
由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
则|AF|·|BF|=·
=·
=·
=(y1+1)·(y2+1)
=y1y2+(y1+y2)+1.
由
得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,
有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,
所以|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1
=y′2+(y′+2)2-2y′+1
=2(y′+)2+,
当y′=-,x′=时,
即P(,-)时,|AF|·|BF|取得最小值.
4.解:(1)由题意可得,2b=2,即b=1,
e==,得=,
解得a2=4,
椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)法一设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,-1),B(0,1),
所以k PA=,直线PA的方程为y=x-1,
同理,直线PB的方程为y=x+1,
直线PA与直线x=4的交点为M(4,-1),
直线PB与直线x=4的交点为N(4,+1),
线段MN的中点为(4,),
所以圆的方程为(x-4)2+(y-)2=(1-)2,
令y=0,则(x-4)2+=(1-)2,
因为+=1,所以=-,
所以(x-4)2+-5=0,
设交点坐标为(x1,0),(x2,0),
可得x1=4+,x2=4-,
因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解, 所以5->0,解得x0∈(,2].
则|x1-x2|=2(<x0≤2),
所以当x0=2时,该圆被x轴截得的弦长最大值为2. 法二设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,-1),B(0,1),
所以k PA=,直线PA的方程为y=x-1,
同理,直线PB的方程为y=x+1,
直线PA与直线x=4的交点为M(4,-1),
直线PB与直线x=4的交点为N(4,+1),
若以MN为直径的圆与x轴相交,
则[-1]×[+1]<0,
即-+-1<0,
即+-1<0.
因为+=1,所以=-,
代入得到5->0,解得x0∈(,2].
该圆的直径为
|-1-[+1] |=|2-|,
圆心到x轴的距离为
|-1+[+1]|=||,
该圆在x轴上截得的弦长为2=2(<x0≤2), 所以该圆被x轴截得的弦长最大值为2.。