悖论与数学发展
关于数学悖论
引言数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论. “悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”. 这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义.1 数学悖论的概述值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说.1.1 悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡.那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：(1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的；(2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论；(3）对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”.因为悖论与诡辩有含义上的不同.后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因.我们认为，布拉里——弗蒂与希尔伯特关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但是这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论.数学悖论也叫“逆论”或“反论”，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学悖论.这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定是错了，但实际却是对的；有的看起来是对的，但实际是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境.数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后的逐步发展又动摇了某些数学基础，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩.历史上人民对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革.1.2研究数学悖论的意义数学科学历来视为严格、和谐、精确的典型学科，但是数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠信仰的动摇.数学史上的三次数学危机皆由数学产生悖论而引起.悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使那些著名数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考.可以说是悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的.悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就是不完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平.消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程.悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻.从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的.因而研究悖论的定义、悖论产生背景、解决方案以及对数学发展是非常必要的.数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关.在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的.在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”.因此，它的发生是必然的、不可避免的.数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义.2 数学史上三个著名的悖论出现、消除及历史意义数学拥有“美”的内容，也存在着“丑”的东西，数学悖论就是一种“丑”的表现，追求数学美能促进数学发展，同样的，为了消除它的“丑”必然也能推动数学自身的发展，数学三次危机的克服对数学发展的推动作用，就是历史事实.数学发展是矛盾运动的结果.爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要.”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化.数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动.数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、试验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化，从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法.数学的历史，就是不断解决数学矛盾又产生新的数学矛盾的过程.从哲学上看，数学是现实世界量的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾.正像恩格斯所指出的：不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾.比如：正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与或然、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分、几何变换与其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构理性的，等等.当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾.例如：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等.他们可以说贯穿了整个数学发展史，而这些大大小小矛盾的产生，发展到激化，到解决，总是不断为数学产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的危机.危机实际上是一种激化的、非解决不可的矛盾，而这些矛盾的消除、危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力的基本原理.纵观数学与数学文化的发展史，数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，它的提出和解决是推动数学发展的重要力量.2.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的化解2.1.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的出现在古希腊毕达哥拉斯时期,数学思维尚处于刚刚形成有理数观念的早期阶段.由于数量概念源于测量,而测量得到的任何量在任何精确度的范围内都可以表示成有理数,所以,人们普遍相信一切量均可用有理数表示.这种认识反映到历史上第一个数学共同体——毕达哥拉斯学派的理论体系中,便凝练为可公度原理,即“一切量均可表示为整数与整数之比”.毕氏学派深信数的和谐与数是万物的本源,而宇宙间的一切现象都归纳为整数和整数比的信条.然而，毕达哥拉斯定理（勾股定理）却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示.希帕索斯的发现的诞生.这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派是致命打击，对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它竟然把以前所知道的事情从根本上推翻了.更糟糕的是，面对这一“荒谬”人们竟然毫无办法.这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”.2.1.2 第一次数学危机的解决第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”的彷徨之中.为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力.在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得.在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯给出的两个比相等的新定义所解决，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立.欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统，并编写出《几何原本》一书.这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次数学危机的产物.第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数.由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了一个难听的名字—无理数.不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑.甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”.戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法.这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具.第一次数学危机也随之化解.这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展.复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了.第一次数学危机持续了两千多年. 1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论.十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论.实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质.实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了.直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！2.1.3 “毕达哥拉斯悖论”的历史意义这次危机导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后，许多数学家正式研究了无理数，直到19世纪下半叶，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论.无理数本质才被彻底搞清，无理数在数学中的合法地位才被真正确立，同时也为数学分析的发展奠定了基础.第一次数学危机还表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示.反之，数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击.于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根.进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识，古典逻辑学应运而生.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.第一次数学危机的影响是巨大的.首先，它推动了数学及相关学科的发展.例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的.其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引发了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间几乎成为是全部严密数学的基础，这不得不说是数学思想史上的一次巨大革命.当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘做法，对数学的发展也产生了不利的影响.不可公度量的发现，使希腊人把几何看成了全部数学的基础，在数的研究过程中割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大弊端是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，从而导致了基本理论变的十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念，并取得重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上取得杰出成就，甚至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础.2.2“贝克莱悖论”与第二次数学危机的化解2.2.1 “贝克莱悖论”与第二次数学危机的出现在希腊的后期，除了研究直线、折线的长度、直线形的面积外，还讨论过曲线的长度和曲线形的面积问题.经过中世纪和文艺复兴，直到十七、八世纪，人们发现下列问题需要处理：(1)知路程函数，求速度以及它的逆问题；(2)求——曲线的切线；(3)求——函数的极值.在研究上述问题过程中逐步产生了微积分.牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法，有计算微分的明确步骤，确立它是(不定)积分的逆运算，得到牛顿——莱布尼茨公式，这一新生而有力的数学方法，受到数学家们的欢迎，解决了大量过去无法解决的问题，同时，微积分基础的问题也越来越严重了.这就是如何解释“无穷小”的问题，牛顿给出瞬时速度的定义，又给出有效的计算方法：第一步，他用无穷小作分母进行除法运算；第二步，他又把无穷小看作零，以去掉那些包含着它的项，而得到所要的公式.这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在着漏洞，还不能自圆其说.例如，牛顿当时是这样求函数n y x =的导数的：()()()212()12nn n n n x x x n x x n n x x x --+∆=+⋅⋅∆+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆ 然后把函数的增量△y 除以自变量的增量△x ，得到：()()()()211212n n n n n n x x x y x x n n x x nx x x x x ----+∆-∆==⋅+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆+∆∆∆ 最后，扔掉其中所有含 x ∆的项，就得到函数n y x =的导数为1n nx - .“无穷小”在逻辑推理上是零与非零的矛盾，而牛顿却不能在逻辑上说清楚，他说：“量在其中消失的终极比，严格地说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限.”无论牛顿用数学语言，还是利用物理意义，他都没有说清楚无穷小量是什么.科学家们相信它，因为它使用起来十分有效，得出的结果总是对的，但是由于逻辑上的漏洞，遭到一些人指责，甚至嘲讽与攻击.如1695年，荷兰数学家纽汶蒂在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等.法国数学家罗尔（罗尔中值定理以他的名字命名）也对微积分表示怀疑.然而，对新生的微积分攻击得最厉害的是爱尔兰主教贝克莱，他的观点是“存在即被感知”，认为一切事物不过是人的感知的综合，他的哲学目的是论证上帝的存在.贝克莱在1734 年写了题为《分析学家》，副标题“致不信神的数学家”一书，该书对微积分大肆攻击：“既不是有限量，也不是无穷小，但又不是无”、“是消失了的量的鬼魂”.尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳，但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱.贝克莱是出于恐惧当时自然科学发展所造成对宗教信仰的威胁，也是由于当时的微积分理论缺乏牢固基础，所以当时的微积分遭到攻击和非难在所难免. 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现的混乱情形叫做“第二次数学危机”，也把贝克莱的攻击称为“贝克莱悖论”.2.2.2 第二次数学危机的解决贝克莱悖论的提出与第二次数学危机的出现，使微积分基础问题引起了更大的重视.十七、十八世纪，数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击，受微积分有大用的鼓舞，继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦.在英国，数学家马克劳林对贝克莱悖论做出最重要的回应.虽然马克劳林巨大的努力回答了贝克莱的质疑，但十八世纪的大多数数学家对他这种用几何方法严格论证微积分的工作并不欣赏.后来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等为微积分的基础严密化做了重大贡献，但是微积分逻辑基础在十八世纪结束的时候仍然是一个悬而未决的问题.十九世纪初，许多迫切的问题基本上得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来.一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础.例如波尔查诺、阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等，波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量，而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；狄利克雷给出了函数的现代定义.在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，完成了一套被认为是天衣无缝的()N ξξσ--语言，严格刻画了极限的定义.人们放弃了无穷小，而以一个无限过程刻画的极限理论统一了导数和积分概念.由于这个理论用不着“无穷小”，一切都按程序操作,“无穷小”引起的混乱被消除了.十九世纪八十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限理论的基本定理，这样，数学分析中微积分的理论基础——严格的极限理论建立起来了，微积分的发展从此进入了一个新的阶段.原有的悖论在新的体系下可以圆满地予以清除，第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在十九世纪消除.第二次数学危机的消除，与第一次数学危机的消除，两者实际上是密不分的.为解决微积分问题，必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论，加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论，这样，第一、二次数学危机就相继消除.2.2.3 “贝克莱悖论”的历史意义“贝克莱数学上的悖论”源于他的哲学上的悖论认知.比如,他的著名观点“存在就是被感知”,就包含了存在、感知、观念、精神以及上帝.这里就潜藏着悖论因子:如果从上帝开始,那么,那是《创世纪》的方向,一切以经文为准,即“信仰之道”；相反,如从观念开始,就成了逆式的“哲学之路”了.这样他就混淆了这两条路:论证的路一再被信仰打破；而论证的困境一次又一次地因信仰而解决.事实上,贝克莱的思想处处充满逻辑悖论.对于他的“物质”观念化,我们就有理由追问:他的上帝似乎在虚无中创世,而创造的也是虚无.尽管作为抽象概念的物质并不存在,但在感知的另一头,是否会有某些不可名状的东西?但如果没有被动的观念,哪来主动的精神?既然没有物质实体,精神实体又在何处?如果没有精神实体,无限精神又当如何?最后的归宿就是:没有上帝,他的哲学注定漂无定所,假设有上帝,哲学又将变得可疑；如果哲学的虚拟性贯穿始终,则上帝将止于空洞的说词.可见,他的矛盾式的、悖论式的哲学思想就为微积分的缺口的批判——无穷小悖论做了伏笔.虽然从贝克莱本人的目的来看,他试图通过对微积分的批判,曲解数学而为神学辩护.但从客观上看,微积分的理论体系还是具有高度的精确性(虽然不十分严谨)和广泛的应用性.贝克莱悖论的出现只是从一个更高层次上对新生的微积分理论体系所提出的更高的要求,这样迫使数学家认真对待这一悖论：柯西用极。
悖论及其对数学发展的影响
悖论及其对数学发展的影响【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。
后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。
老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。
这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。
”一句话把老讼师给气死了。
类似的：1)我正在说谎？！！2)鸡与鸡蛋何为先？一、悖论的定义“悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。
关于悖论，目前并没有非常权威性1的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。
通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。
这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。
下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。
这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。
悖论不同于通常的诡辩或谬论。
诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。
悖论是（在当时）解释不了的矛盾。
悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理；悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能；数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。
芝诺悖论对数学界的影响
芝诺悖论对数学界的影响芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一个著名悖论，其内容涉及到了数学、逻辑和哲学等多个领域。
芝诺悖论提出了一种看似合乎逻辑却又不合乎常理的论述，其对数学界产生了深远的影响。
本文将探讨芝诺悖论对数学界的影响，并结合具体案例进行阐述，以便更好地理解其影响。
首先，芝诺悖论对数学界的影响主要体现在逻辑和数学基础的挑战上。
芝诺悖论提出了一种悖论性的思维方式，挑战着人们对事物的直觉理解和逻辑推理。
在数学领域中，逻辑推理是十分重要的，因为数学是一门精密的科学，需要通过严密的逻辑推理来推导出结论。
然而，芝诺悖论却给了人们一个思考的角度，即常理并不总是正确的，有时悖论的思维方式也是值得思考的。
这种挑战对数学家而言是一种激励，使人们不仅仅满足于表面的逻辑推理，而是需要更深入地思考每一个问题。
其次，芝诺悖论对数学界的影响还表现在数学研究方法的改变上。
在数学领域中，传统的数学研究方法主要是通过严格的逻辑推理和数学证明来解决问题。
然而，芝诺悖论却给了人们一个启示，即有些问题可能是悖论的，可能无法通过传统的逻辑推理来解决。
这就促使数学家们开辟了新的研究方向，例如非欧几何、拓扑学等领域的发展，这些领域都是通过对传统逻辑的挑战，形成了独特的研究方法和思维方式。
再次，芝诺悖论对数学教育的影响也是显著的。
在数学教育中，常常会用到芝诺悖论这个经典的悖论来引导学生思考和讨论。
通过芝诺悖论，学生可以了解到逻辑推理的局限性，因此能够更加开阔地看待数学问题，并且培养学生的批判性思维和解决问题的能力。
同时，在教学中引入芝诺悖论也可以激发学生对数学的兴趣，使他们对数学有更深层次的理解和探索。
在实际的数学研究和应用中，芝诺悖论也经常被引用。
比如，拓扑学中的莫比乌斯带就是一个经典的案例。
莫比乌斯带是一个表面只有一个面和一个边的特殊几何体，它在数学和实际生活中都有重要的应用。
这个悖论启发了数学家对不同维度的空间进行研究，拓展了数学领域的研究范围。
研究悖论的意义
什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。 鵜
数学科学历来被视为是严格、和谐、精确的典型学科，但数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上的三次危机皆由数学产生悖论而引起。悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使高明的数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考。可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。
悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论代替的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消解悖论，在消解悖论的过程中提高认知水平。消除悖论的过程常常是完善，发展原有的理论的过程。
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻。从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
数学悖论与数学发展
数学悖论与数学发展悖论是强烈违反我们直觉的问题。
尽管从古希腊起至今，悖论一直给人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。
在发展现代逻辑学和集合论等数学史上一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。
一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机1．第一次数学危机的内容公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数。
然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯学习勾股定理时，提出了一个问题：假设正方形边长为 1，并设其对角线长为 d，依勾股定理应有 d2＝12＋12＝2，即 d2＝12＋12＝2，那么 d是多少呢？希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找到，反而找到了两数不可通约性的证明。
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
2．第一次数学危机的影响第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。
首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。
其次，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。
欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在此时应运而生的。
第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机1．第二次数学危机的内容公元 17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。
然而，因为微积分才刚刚建立，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。
对于牛顿对求导过程的论述，哲学家贝克莱发现了其中的问题，他一针见血的指出，在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为 0，有时又异于 0的做法，不得不让人怀疑。
从数学史上的三大悖论看悖论的驱动功能
从数学史上的三大悖论看悖论的驱动功能作者：邹世龙来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第02期一切事物都是在矛盾中生存、矛盾中发展的，数学的发展也离不开这样的规律；数学史上三大悖论对数学发展的驱动也印证了这一点。
一、毕达哥拉斯悖论1. 毕达哥拉斯悖论不管度量单位取得多么小，都不可能成为正方形的边与对角线的共同度量单位。
也就是说，正方形的边和对角线不可公度；这与毕达哥拉斯学派关于任何两条线段都可公度的理论构成了一个悖论。
2. 受毕达哥拉斯悖论驱动的数学成果（1）发现了无理数，催生了相关的数学方法。
产生了一个新的数类——实数；更重要的是，人们在证明无理数存在和探索无理数性质的过程中得到了多种重要的数学方法。
如，辗转相截的方法、反证法、分析法、欧几里得奇偶数证法等等。
（2）形成了以逻辑演义为代表的一系列数学思想。
毕达哥拉斯悖论使人们认识到，直觉、经验乃至实验都不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识。
如柏拉图强调要把数学奠基于逻辑之上。
亚里士多德的经典著作《工具论》把逻辑规律典范化、系统化，阐述了逻辑学理论，创立了古典逻辑学。
（3）催生欧几里得《几何原本》。
欧几里得在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成一座几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。
《几何原本》的产生离不开亚里士多德的逻辑思想，而亚里士多德的逻辑思想源自柏拉图推理论证的思想，柏拉图推理论证的思想则是在毕达哥拉斯悖论的驱动下产生的。
二、贝克莱悖论1.贝克莱悖论贝克莱分析了牛顿求xn的流数的方法。
在这一方法中，为了求xn的流数，牛顿假设在相同的时间内，x通过流动变化为x+0，同时xn变化为（x+0）n……，在得到增量0与增量n0xn-1+n2-n202xn-2+…之比等于1和nxn-1+n（n-1）2xn-20+…之比后，牛顿令增量等于0，得到最后的比等于1：nxn-1.贝克莱指出这个推理中先取一个非零的增量0并用它计算，然而在最终却又让0“消失”，即令增量为零得出结果，这里关于0的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。
数学悖论及其对数学发展的影响
数学悖论及其对数学发展的影响摘要：数学悖论，曾经引起了数学界的无数争端，它使得数学前进的脚步一次次陷入迷途。
然而，每一次数学悖论的解决、澄清，又会对数学前进的脚步加快，产生许多新的思想、新的学科，它又使得数学飞翔，毕答哥拉斯悖论的解决，使得数学向公理化、演绎化的方向发展。
贝克莱悖论引起的第二次数学危机的解决以及微积分的发现，使人们的眼睛从有限走向无限，微积分在这一时期的到了完善。
罗素悖论引起的第三次数学危机，又使人们对集合论的基础产生了怀疑，逻辑主义、直觉主义和形式主义之间激烈的争论，最终，哥德尔25岁时的发现又使得数学走向了新的纪元。
1毕答哥拉斯悖论与第一次数学危机1.1毕答哥拉斯悖论毕答哥拉斯悖论，又称希帕索斯悖论。
大约公元前580年到公元前500年左右，产生在撒摩斯岛的著名哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家毕答哥拉斯（与我国孔子，印度释迦牟尼基本同时）。
这位伟大的天才创办了以其名字命名的学派——毕答哥拉斯学派，这个学派当时对数学做了大量的研究并且有突出的贡献。
毕答哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念。
也就是说，在他们眼里，一切事物和现象可以归结为整数与整数的比，这就是所谓的“数的和谐”。
而他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”，在这种情况下，他们对几何量做了大量的研究。
换句话说，有理数可以充满整个数轴。
他们通过实验的方式证实了，任何两条线段都是可通约的。
着一命题显然是正确的。
于是，我们可以明白，当毕答哥拉斯学派提出“任何两个量都是可通约的”时，古希腊人是如何坦然地接受这一似乎是无可怀疑的结论，怀疑可作为共同公度量的第三条线段的存在，似乎是十分荒谬的，不是吗？答案竟是：就不是！毕答哥拉斯的一个学生希帕索斯，他发现的###就是人类历史上诞生的第一个无理数，不可通约量或无理数的发现，是毕答哥拉斯学派的最重大的贡献。
1.2第一次数学危机的解决1.2.1欧多克索斯的解决方案毕答哥拉斯悖论，曾使希腊数学的发展陷入迷途、陷入困境。
数学史上的三次危机及其解决
论数学史上的三次数学危机学号：100521026 姓名：付东群摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。
历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。
数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。
危机的产生、解决，又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论；引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。
数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。
数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。
无理数的发现，微积分和非欧集合的创立，乃至费马定理的证明......这样的例子在数学史上不胜枚举，他们可以帮助人们了解数学创造的完美过程。
对这种创造的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。
第一次数学危机（无理数的产生）第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
(一)、危机的起源毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。
（二）、危机的解决由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。
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悖论与数学发展作者：王铭阳来源：《中国科技纵横》2018年第20期摘要：悖论表示与人的直觉和经验相矛盾的结论或命题，主要分为语义学悖论和逻辑-数学悖論。
在数学史上，由于人们认识上的局限性，悖论的发生是不可避免的，并引发了多次数学危机。
本文先是介绍了悖论的定义，阐述了由悖论引发的三次数学危机，然后重点讨论了芝诺悖论和贝特朗奇论，最后给出了悖论的发展及其意义。
关键词：悖论；数学危机；芝诺悖论；贝特朗奇论中图分类号：O144.2 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）20-0220-02“悖论”一词最早源于古希腊，它表示与人的直觉和经验相矛盾的结论或命题，也被称为“逆论”或“反论”。
悖论的矛盾性主要体现在语义学和逻辑学上，前者称为语义学悖论，后者称为逻辑-数学悖论。
在数学的发展史上，由于不同时代的人们在认识上总是存在一定的局限性，悖论的发生是不可避免的，由此引发了数学史上的三次危机。
但是，悖论的发现客观上迫使人们转变了过去的思维方式，重新构建和完善了数学基础，从而极大地促进了数学的发展。
因此，悖论在数学认识史中具有重要的意义。
1 悖论与数学危机悖论通常可以描述为一种导致逻辑矛盾的命题。
即如果承认该命题是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它又是真的。
或者由它为真可以推出它为假，反过来由它为假又可以推出它为真。
关于悖论的准确定义，可以从以下几个方面来具体阐述[1]：（1）悖论总是相对于一定的理论系统而言的。
比如，贝克莱悖论是针对微积分体系提出的，罗素悖论则是在朴素集合论的框架下产生的。
（2）悖论的核心是逻辑矛盾。
根据逻辑矛盾的不同，悖论又分为语义学悖论和逻辑-数学悖论。
语义学悖论是通过语义学上的真假概念构成的，比如说谎者悖论；逻辑-数学悖论则是借助于数学和逻辑符号形成的，比如毕达哥拉斯悖论和贝特朗奇论等。
（3）悖论不同于诡辩。
诡辩是一种歪曲的论证，表面上运用了正确的推理手段，实际上却违反了逻辑规律，得出的结论似是而非，具有一定的迷惑性。
而悖论只是限于当时的知识范畴因而无法解决，它在推理上是符合逻辑规律的。
悖论实际上是研究问题的一种方式。
在数学历史上，新理论的提出总是伴随着对旧理论的质疑，悖论往往在此时出现。
正是数学悖论引发了数学史上著名的三次危机。
第一次数学危机产生于公元前五世纪，它是由毕达哥拉斯悖论的出现而导致的。
毕达哥拉斯学派认为宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比，因此有理数理论在当时的数学规范中占据统治地位。
后来其学派成员希帕索斯发现，等腰直角三角形斜边与直角边之比是不可通约的，它们的比不能归结为整数或整数之比。
这一发现严重冲击了当时希腊人的常识，从而触发了数学史上的第一次危机。
直到两千多年后，戴德金等数学家引入了无理数的概念，建立起实数理论，第一次数学危机才得以彻底解决。
第二次数学危机由对微积分理论中无穷小量的质疑产生。
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立创建了微积分。
后来英国大主教贝克莱提出，牛顿在微分的推导过程中，先是认为无穷小量不是零，最后又让它等于零，无穷小量是“已死的幽灵”。
这就是“贝克莱悖论”，它导致了数学史上的第二次危机。
十九世纪八十年代初，随着严格极限理论的建立，尤其是魏尔斯特拉斯创立的语言，消除了“无穷小”概念引起的混乱，第二次数学危机得到解决。
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初。
当时，康托尔创立的集合论，成为整个现代数学的逻辑基础，同时也是产生危机的直接来源。
英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素提出，集合论并不具有绝对严密性，它是自相矛盾的，即“罗素悖论”。
这在数学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。
后来策梅罗采用集合论公理化的方法试图消除罗素悖论。
随着数学家们对理论的不断改进和完善，逐渐形成了许多集合论公理系统，比如ZF系统以及由冯诺伊曼等人提出的NBG系统等，从而消除了以罗素悖论为代表的一系列集合悖论。
但第三次数学危机并没有彻底被消除，数学基础和数理逻辑方面的许多重要课题仍然亟待解决。
人们在向这些目标前进的过程中不断产生了许多新的重要成果[2]。
历史上三次数学危机的爆发，都是由数学悖论导致的，可见数学悖论在数学的发展史上有着非常重要的影响。
正是一个个当时无法解释的数学悖论的产生，引发了许多数学家的深入思考，并不断提出新的理论试图解决悖论，从而推动了数学的持续进步与发展。
2 经典数学悖论悖论的议题非常广泛，涉及数理科学、逻辑学、语义学、哲学等领域。
在数学上，悖论可以分为时间悖论、概率悖论、逻辑悖论、统计悖论和几何悖论等。
2.1 芝诺悖论古希腊数学家芝诺提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，其中最为著名的是关于阿基里斯追乌龟的悖论，也称阿基里斯悖论[3]。
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在和乌龟的竞赛中，假设阿基里斯的速度是10米/秒，乌龟的速度是1米/秒，开始时乌龟位于阿基里斯前100米处。
芝诺认为，在赛跑中阿基里斯永远无法追上乌龟。
因为当阿基里斯到达乌龟之前所处的起始位置时，乌龟在这段时间内已经往前爬了10米；当阿基里斯再追上这10米时，乌龟又往前爬了1米；等追完这1米，乌龟又往前爬了一段距离。
这样无限追赶下去，虽然阿基里斯与乌龟的距离在不断缩短，但他永远也无法追上乌龟。
这样的推理过程看似很有道理，结论却显然与人们的常识不符。
按照我们现在的知识，在100/9秒后二者即可相遇。
而以当时芝诺悖论的逻辑来看，这100/9秒可以无限划分下去，永远也用不完。
这一问题的矛盾在于时间的连续性与离散性。
将100/9秒类比为1秒，在这1秒内可以先经过 1/2秒，再经过1/4秒，再经过1/8秒……这样无限细分下去，永远也过不完这1秒。
但显然1秒很容易就会过去，将经过的1/2、1/4、1/8秒等相加，这是一个正项级数并且收敛于1。
即无限个越来越小的数相加和可能是有限的，因此阿基里斯是可以在有限的时间内追上乌龟的。
2.2 贝特朗奇论贝特朗奇论是法國学者贝特朗于1899年提出的，主要针对几何概率这一概念。
它的描述如：在圆内随机选取一条弦，求弦长超过该圆内接等边三角形边长的概率[4]。
解法一：由于对称性，不妨设弦的一个端点固定于内接三角形一顶点，另一端点在圆周上随机移动，如图1中（a）所示，当另一端点落于三角形底边对应的弧上时，弦长满足上述条件，概率为1/3。
解法二：由于对称性，可只考虑某指定方向上的弦。
作一条直径垂直于该方向，如图1中（b）所示，当所作的弦中点位于该直径的处至处时，弦长满足上述条件，概率为1/2。
解法三：由于圆内弦的位置被其中点唯一确定，在大圆内作半径为大圆半径一半的同心圆，如图1中（c）所示，当大圆内弦的中点落在小圆内的任意一点时，弦长满足上述条件，概率为1/4。
同一问题却有三种不同的结果，原因是取弦时采用了不同的等可能性假定。
解法一假定弦的另一端点在圆周上的落点处处等可能；解法二假定弦的中点在直径上的落点处处等可能；解法三假定弦的中点在大圆内的落点处处等可能。
三种做法各自的假定都是正确的。
贝特朗奇论的问题在于概率定义本身，在定义概率时一定要明确指出具体的样本空间。
3 悖论的发展与意义我国古代很早就有关于悖论的思考，《庄子·天下篇》中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，反映了当时的人们认为物质是可以无限分割的，但现代物理学已经证明了时间和空间都是不能无限分割的。
刘慈欣的《三体》一书中也对费米悖论做出了新的解释。
他认为在宇宙文明的生存竞争中，任何暴露自己存在的生命都将很快被消灭，这就是宇宙文明的图景，生存选择的最终结果是所有文明都变得难以发现。
悖论是科学发展的产物。
它的出现正是由于当时的人们对某些概念的理解认识不足导致的，因此悖论的作用主要体现在检验和完善已有的理论体系，从而推动科学不断向前发展。
数学悖论的提出往往引起人们的好奇与思考，比如罗素悖论的通俗说法理发师悖论等，人们在争辩的过程中对这些问题背后的原理有了更深刻的了解，然后提出新的见解。
这些贯穿于整个数学史上的大大小小的矛盾，从产生、发展到激化，和最终的解决，为数学基础问题提供了新的研究方向。
它推动着数学家们不断寻求新的概念、新的方法以及新的理论来替代旧有的框架，然后又会引发新的危机，带动数学发展进入新的阶段。
数学就在这样一种不断产生矛盾、并不断解决矛盾的过程中曲折地向前发展。
在21世纪的今天，讨论和研究悖论问题时，不能把悖论的出现当成是一种灾难，相反应该将它看成是促使人们进行辨证思维的动力。
每一次悖论的发现和相对解决，都推进了数学和逻辑的发展演化[5]。
解决悖论的过程实际上就是发展人的认识以克服历史局限性的过程。
因此，悖论对于推动整个科学发展乃至人类进步，都具有重大的作用。
参考文献[1]赵院娥，乔淑莉.悖论及其对数学发展的影响[J].延安大学学报：自然科学版，2004，（1）：21-25.[2]洪辛.芝诺悖论与数学危机[J].自然辩证法研究，1986，（2）：39-48.[3]曾诣.科学悖论的矛盾性及其对思维发展的意义[J].韶关学院学报，2011，（4）：85-88.[4]李建明，刘庆欧，郭东星.几个有趣的悖论的数学辨析[J].山西医科大学学报，2003，（s1）：75-77.[5]夏基松，郑毓信.西方数学哲学[M].人民出版社，1986.。