悖论及其对数学发展的影响
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用悖论是让数学家无法回避的问题。
悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性，这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。
而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，因而悖论在推动数学发展中的巨大作用。
现在我作如下简单阐述：毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派的致命打击，也对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.二百年后，欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。
一直到18世纪，当数学家证明了圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪微积分诞生，但是微积分理论是不严格的。
理论都建立在无穷小分析之上，作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”.笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识引言芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列悖论，它们挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解。
这些悖论引发了人们对于逻辑和数学的深度思考，对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
芝诺悖论的概述芝诺悖论是一系列看似矛盾和荒谬的陈述，但却能通过推理得出合理的结论。
它们挑战了我们对于现实世界的感知和理解，引发了人们对于逻辑和数学的思考。
悖论一：亚基里斯与乌龟赛跑在这个悖论中，亚基里斯与乌龟进行一场赛跑。
乌龟比亚基里斯慢，但亚基里斯必须先给乌龟一个头脑的优势。
然而，根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为每当亚基里斯到达乌龟之前，乌龟已经前进了一段距离。
悖论二：阿喀琉斯与乌龟赛跑这个悖论类似于前一个悖论，但加入了连续性的概念。
根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为在每次追赶乌龟之前，他都必须先赶上乌龟前一刻的位置，而乌龟又会在这一刻前进一段距离。
悖论三：无限齐次线段这个悖论涉及到无限的概念。
根据芝诺的推理，如果我们有一个长度为1的线段，我们可以无限次地将其分成两半。
这意味着我们可以得到无限多个长度为1/2、1/4、1/8等的线段，而它们的总和应该是无限大。
然而，这与我们对于有限和无限的理解相矛盾。
悖论四：阿喀琉斯与乌龟的箭矢在这个悖论中，亚基里斯试图射中乌龟。
然而，根据芝诺的推理，箭矢在射中乌龟之前必须先到达射出箭矢的位置，而在那之前箭矢已经前进了一段距离。
这意味着箭矢永远无法射中乌龟。
芝诺悖论的意义和影响芝诺悖论挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解，引发了人们对于逻辑和数学的深度思考。
它们对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
对于逻辑的影响芝诺悖论迫使人们重新审视逻辑的基础和推理的有效性。
它们揭示了一些常识和直觉可能会导致矛盾和荒谬的结论。
人们开始思考如何修正逻辑系统，以避免这些悖论的出现。
对于数学的影响芝诺悖论对于数学的发展也产生了重要影响。
它们引发了人们对于无限的思考，导致了对于无穷集合和无限序列的研究。
研究悖论的意义
什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。 鵜
数学科学历来被视为是严格、和谐、精确的典型学科，但数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上的三次危机皆由数学产生悖论而引起。悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使高明的数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考。可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。
悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论代替的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消解悖论，在消解悖论的过程中提高认知水平。消除悖论的过程常常是完善，发展原有的理论的过程。
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻。从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
数学悖论及其对数学发展的影响
数学悖论及其对数学发展的影响摘要：数学悖论，曾经引起了数学界的无数争端，它使得数学前进的脚步一次次陷入迷途。
然而，每一次数学悖论的解决、澄清，又会对数学前进的脚步加快，产生许多新的思想、新的学科，它又使得数学飞翔，毕答哥拉斯悖论的解决，使得数学向公理化、演绎化的方向发展。
贝克莱悖论引起的第二次数学危机的解决以及微积分的发现，使人们的眼睛从有限走向无限，微积分在这一时期的到了完善。
罗素悖论引起的第三次数学危机，又使人们对集合论的基础产生了怀疑，逻辑主义、直觉主义和形式主义之间激烈的争论，最终，哥德尔25岁时的发现又使得数学走向了新的纪元。
1毕答哥拉斯悖论与第一次数学危机1.1毕答哥拉斯悖论毕答哥拉斯悖论，又称希帕索斯悖论。
大约公元前580年到公元前500年左右，产生在撒摩斯岛的著名哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家毕答哥拉斯（与我国孔子，印度释迦牟尼基本同时）。
这位伟大的天才创办了以其名字命名的学派——毕答哥拉斯学派，这个学派当时对数学做了大量的研究并且有突出的贡献。
毕答哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念。
也就是说，在他们眼里，一切事物和现象可以归结为整数与整数的比，这就是所谓的“数的和谐”。
而他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”，在这种情况下，他们对几何量做了大量的研究。
换句话说，有理数可以充满整个数轴。
他们通过实验的方式证实了，任何两条线段都是可通约的。
着一命题显然是正确的。
于是，我们可以明白，当毕答哥拉斯学派提出“任何两个量都是可通约的”时，古希腊人是如何坦然地接受这一似乎是无可怀疑的结论，怀疑可作为共同公度量的第三条线段的存在，似乎是十分荒谬的，不是吗？答案竟是：就不是！毕答哥拉斯的一个学生希帕索斯，他发现的###就是人类历史上诞生的第一个无理数，不可通约量或无理数的发现，是毕答哥拉斯学派的最重大的贡献。
1.2第一次数学危机的解决1.2.1欧多克索斯的解决方案毕答哥拉斯悖论，曾使希腊数学的发展陷入迷途、陷入困境。
哲学悖论
有趣的悖论
悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾，但表面上又能自圆其说的命题或结论。
悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解和认识不够深刻所致。
有些悖论是很有趣的，对推动数学发展有一定的促进作用。
1.芝诺悖论
阿基里斯追一只海龟，若海龟在阿基里斯的前面，尽管阿基里斯奔跑的速度比海龟爬行的速度快，但阿基里斯还是永远追不上海龟。
这是因为阿基里斯必须跑到海龟的出发点A;而当他到达点A时，海龟又向前爬了一段，到达了点B;当阿基里斯到达点B时，海龟又向前爬了一段，到达了点C……如此一直追下去，尽管阿基里斯和海龟的距离在无限地缩小，但永远追不上海龟。
2.理发师悖论
理发师悖论是数学家罗素给出的.在萨维尔村，理发师挂出一块招牌“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发”，有人问他“你给不给自己理发？”理发师无言以对。
如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给自己理发；如果他给自己理发，那么他就成了“给自己理发的人”，他就不该给自己理发。
悖论有三种主要形式：
(1)一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（伴谬）。
(2)一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
(3)一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论似乎都能自圆其说，悖论的抽象公式是：若事件A发生，则推导出A不发生；若事件A不发生，则推导出A发生。
悖论论促进了数学、逻辑学、语义学等学科的发展。
数学悖论及其对数学发展的影响
数学悖论及其对数学发展的影响魏瑜（西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州 730070）摘要：本文论述了三次数学危机的解决，以及危机解决后给数学带来的新的内容、新的进展，甚至革命性的变更。
关键词:数学危机; 数学;变更Mathematical Paradox and Its Influenceupon the Development of MathematicsWei Y u(Institute of Mathematics and Information Science，Northwest Normal University，Lanzhou730070, China)Abstrct:This paper offers a comprehensive analysis of the solution of mathematical crisises and researches the new content , further development and even revolutionany change in the field of mathematics after the solution.Key words: mathematical paradox ; mathematics; modify1毕答哥拉斯悖论与第一次数学危机1.1毕答哥拉斯悖论毕答哥拉斯悖论，又称希帕索斯悖论。
大约公元前580年到公元前500年左右，出生在撒摩斯岛的著名哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家毕答哥拉斯（与我国孔子，印度释迦牟尼基本同时）。
这位伟大的天才创办了以其名字命名的学派——毕答哥拉斯学派，这个学派当时对数学做了大量的研究并且有突出的贡献。
毕答哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念。
也就是说，在他们眼里，一切事物和现象可以归结为整数与整数的比，这就是所谓的“数的和谐”。
而他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”，在这种情况下，他们对几何量做了大量的研究。
悖论对数学的影响
悖论对数学的影响悖论和希尔伯特问题说起悖论，人们会想到著名的“说谎者悖论”，何为说谎者悖论呢，公元前六世纪，克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯说到：“所有克里特人都说谎。
”这就是这个著名悖论的来源。
大家有时间可以好好琢磨一下这个悖论，我在这里就不再赘述了。
在漫长的数学发展史中，曾有过三次危机：无理数的发现；微积分的创立，集合论的悖论。
这三次危机，使数学与逻辑学、哲学的联系不断加深，也使人类对各种事物的认识不断得到深化。
1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未得到解决。
这其中第二个问题和第十个问题对数学的影响最大，这两个问题总结起来可以分为三个部分1、数学是不是完备的？是不是所有数学问题都可以用一组有限的的公理证明？2、数学是不是一致的，无矛盾的？也就是说是不是所有可以证明的命题都是真命题？3、就是后来著名的图灵判定问题，是否有一种明确程序可以判定任何命题是否为真？哥德尔不完备定理20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”，希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论引起的危机。
希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。
正当一切都越来越明朗之际，突然一声晴天霹雳。
1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。
哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲卢伯友一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。
今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。
讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。
国学大师王国维在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
入乎其内，故能写之。
出乎其外，故能观之。
入乎其内，故有生气。
出乎其外，故有高致。
”同学们平时听课、读书、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。
我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1) 以锄头为代表的农耕文明；(2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明; (3) 以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。
今天，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的重要影响，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角度，而且从文化和历史的高度审视数学的全貌和美丽。
赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1毕达哥拉斯与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
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悖论及其对数学发展的影响【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。
后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。
老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。
这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。
”一句话把老讼师给气死了。
类似的：1)我正在说谎？！！2)鸡与鸡蛋何为先？一、悖论的定义“悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。
关于悖论，目前并没有非常权威性1的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。
通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。
这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。
下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。
这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。
悖论不同于通常的诡辩或谬论。
诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。
悖论是（在当时）解释不了的矛盾。
悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理；悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能；数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。
二、悖论的起源起源之一：芝诺悖论（公元前五世纪）芝诺（Zenon Eleates，约公元前490年——约公元前429年）出生于意大利南部的埃利亚（Elea）城，是古希腊埃利亚学派的主要代表人物之一。
他是古希腊著名哲学家巴门尼德（Parmennides）的学生。
他否定现实世界的运动，信奉巴门尼德关于世界上真实的东西只能是“唯一不动的存在”的信条。
在他那个时代，人们对时间和空间的看法有两种截然不同的观点。
一种观点认为，空间和时间无限可分，运动是连续而又平顺的；另一种观点则认为，时间和空间是由一小段一小段不可分的部分组成，运动是间断且跳跃的。
芝诺悖论是针对上述二观点而提出的。
他关于运动的四个悖论，被认为是悖论的起源之一。
其中前两个悖论是针对那种连续的时空观而提出的，后两个悖论则是针对间断时空观提出的。
（1）一物体要从A点到达B点，必先抵达其1/2处之C点；同样，要到达C点，必先抵达其1/4处之D点；而要到达D点，又必先抵达其1/8处之E点。
如此下去，永无止境，因此，运动不可能存在。
据说，在芝诺作关于运动不存在这个悖论的演讲时，当时有一个反对者，在气急之下也只是在听众席前默默地走来走去。
问题：要到达无穷多个位置，是否就需要无限长的时间？（2）阿里斯追不上乌龟阿里斯与乌龟赛跑，阿里斯的速度是乌龟速度的10倍，乌龟先行100米，阿里斯开始追赶；等到阿里斯走过100米时，乌龟又走了10米；等到阿里斯再走过10米时，乌龟又走了1米；…… , 阿里斯永远也追不上乌龟。
问题：无穷多个时间段，是否就是无限长的时间？（3）飞矢不动“飞着的箭静止着”。
飞箭在任一瞬间必然静止在一个确定的位置上，所以，运动就是（无数）静止（的总和）。
问题：什么叫运动？（4）三个物体A,B,C依次等距并行排列，B不动，A以匀速左行，C以同样的速度匀速右行；于是，在B看来，A（相对于B）运动一个长度单位所用的时间等于，在C看来，A（相对于C）运动两个长度单位所用的时间。
悖论：一半时间等于整个时间。
结论：运动是相对的。
起源之二：说谎悖论（约公元前六世纪）说谎悖论是一个语义上的悖论。
多年来通过对它的分析、研究，逐步澄清了语言学在逻辑、语义上存在的混乱和不清，推动了逻辑学、语义学的发展。
说谎悖论产生较早，也被认为是悖论的起源之一。
（1）埃比曼尼德悖论公元前六世纪，克里特岛上的哲学家埃比曼尼德（Epimenides）说：“所有的克里特人都是说谎者。
”（假定说谎者永远说谎，并假定所有克里特人要么都说谎，要么都讲真话。
）如果这句话是“真的”，由于埃比曼尼德本人也是克里特人，他应是说谎者，他说的上述话应该是“假的”。
如果这句话是“假的”，这说明埃比曼尼德本人在说谎，因此所有的克里特人都是说谎者，他说的上述话应该是“真的”。
如果没有前述假定，这句话并不构成悖论。
但在公元前三世纪，欧几里得学派把上述语句修改为“我正在说谎”这倒是一个标准的悖论了。
（2）柏拉图悖论A: 下面B的话是假的；B: 前面A说了真话。
（3）二难论鳄鱼问孩子的母亲：你猜我会不会吃掉你的孩子，猜对了我就不吃，猜错了，我就吃掉他。
母亲说：你是要吃掉我的孩子的。
问题：鳄鱼能否吃掉孩子？三、悖论形成的原因1.认识论方面的因素主观思维的形而上学性与客观事物的辨证性产生矛盾，而矛盾在“极限”情况下表现为“没有出路”的的程度，就出现悖论。
对于具体的悖论，由于科学的不断发展，将在新的理论体系中得到解决，又会在新的情况下出现新的悖论。
2.方法论方面的因素主观思维方法的形式化特性与客观事物的辨证性产生矛盾，而造成悖论。
比如。
Cantor 造集的任意性，就容易产生悖论。
四、悖论对数学发展的影响——三次数学危机从哲学上来看，矛盾无处不在。
即便以确定无疑者著称的数学也不例外。
数学中充满矛盾：正数与负数，实数与虚数，有限与无限，常量与变量，连续与离散，直观与抽象，分析与综合，微分与积分，数与形，加与减等等。
在整个数学发展史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及到整个数学基础时，就产生数学危机。
要消除矛盾，就要对旧的理论加以审视，找出矛盾根源，建立新的理论体系。
这样当矛盾消除，危机解决时，又往往给数学带来新的内容，新的进展，以致革命性的变化。
在数学发展史上，一般认为从公元前六世纪古希腊的毕达哥拉斯学派算起，到本世纪初的2600年间，经历了三次重大危机。
第一次数学危机发生在公元前470年左右，由无理数的发现所导致；第二次数学危机发生在17世纪，是由于实用但不够严密微积分而产生的；1902年，英国数学家罗素（B. Russell，1872---1970）关于集合的悖论的发表标志着第三次数学危机的到来。
每一次数学危机的出现，都源于数学新思想与传统思想的激烈冲突，因此都是以数学悖论的出现为特征。
而危机的解决则扩大了对数学对象、数学理论与数学方法的认识，从而促进了数学新的发展。
1.第一次数学危机公元前5世纪，无理数的发现，导致了数学的第一次危机。
（1）毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说数学是研究数与形的科学。
远在文字出现之前，人类祖先就已经有了数的概念。
人们最先认识的是1、2、3等自然数。
后来，由于劳动成果的分配问题，而引入了分数（有理数）。
在此后的很长一个时期内，人们认为，有理数就是所有的数了。
到了公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派坚信：任何一条线段的长度都可以表示为两个整数之比，世界上除了整数和分数（有理数）之外，再也没有别的数了。
这就是“万物皆数”的学说。
毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”这一信条，认为宇宙中的一切现象都能归结为“数”——即有理数。
关于这一信条有两个方面的解释，一个是宗教的，另一个是自然的。
从前者解释，当时他们认为上帝创造了整数“1”，然后由“1”生“2”，由“2”生“3”，以致生出所有的自然数，进而生出所有的（分）数——有理数；再由数生点，由点生线，由线生面，由面生体，由此生出“水、气、火、土”四种元素，最后生出世间万物——物质的和精神的。
“万物皆数”的信条后一种解释是从自然的角度。
他们认为宇宙中的一切现象都能归结为“数”——整数或整数之比。
因此所有的几何量：长度、面积、体积等均可以由整数或整数之比来表示，或者说任何两个量之间都是“可以公度”的——即可以找到一个较小的量去公度它们。
当时他们信奉这一信条是有其“充分”的根据的。
他们已经清楚，有理“数”之全体具有稠密性与和谐性，所谓稠密性是说，任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，从而必然有无穷多个有理数存在，而不管这两个有理数有多么接近。
所谓和谐性是指，有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，你永远找不到一个与之最接近的有理数。
因此，毕达哥拉斯学派自然地认为，（有理）数就是所有的量。
（2）无理数的发现与第一次数学危机毕达哥拉斯学派一个最重要的研究成果就是所谓的毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
按照这一定理，直角边边长为1的等腰直角三角形的斜边长作为一个几何量也应该是一个分数。
可是，毕达哥拉斯和他的门徒们费了九牛二虎之力也找不到这个分数。
该学派有个成员叫希帕斯(Hippias)，他对这一问题很感兴趣。
希帕斯花费很多时间苦心钻研这类问题，最终发现边长为1的正五边形的对角线的长度，也既不是整数，也不是分数，这是一个人们还没有认识的新数，就是我们现在所说的“无理数”。
像正方形的对角线的长度这样的几何量，却不是一个数（=量），这自然是一个悖论。
这一悖论的出现，动摇了毕达哥拉斯“万物皆数”的信条，推翻了毕达哥拉斯学派的基础，引起了毕达哥拉斯学派的恐慌，直接导致了数学的第一次重大危机。
据说当时毕达哥拉斯学派为了维护该学派的威信，下令严密封锁希帕斯的发现。
希帕斯则由于泄露了这一秘密而被追杀，他因此流浪国外数年。
后来，在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的信徒们发现了希帕斯，他们残忍地把希帕斯扔进海中，结束了希帕斯的生命。
（3）欧多克斯比例理论的建立后来，随着时间的推移，更多的无理数被发现，无理数逐渐被人们所接受。
大约在公元前370年，古希腊数学家、毕达哥拉斯学派的欧多克斯（Eudoxus,公元前408—前355年）建立了新的比例理论，标志着这一悖论的解决，同时无理数得以普遍承认，数学向前推进一大步。