反证法
反证法
反证法（麻城实验高中：阮晓锋）定义：反证法就是从命题结论的否定出发，先假设结论的否定成立， 然后从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得到与已知条件， 已知公理，定理，定义，法则，公式等相矛盾的结果。
这样就 证明了结论的否定不成立，从而得出原命题的结论成立。
证题步骤：一般地，反证法的证题步骤如下1.反设：即假设命题的结论不成立，从而命题结论的否定成立。
2.导出矛盾：即在上述“命题结论的否定”参与推理的前提下，得到矛盾。
3.肯定结论：即由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
适证题型：主要是以下两类⑴含否定性词语或含“至多，至少，唯一，无限”等词语的命题。
⑵不易找到直接证明的思路，但若从反面入手问题变得容易解答的命题。
例一：试证明质数的个数有无穷多个证明：假设质数的个数仅有有限个，不妨设为n 个：p p p ,,,,321n p 取整数N=p p p p n 321+1,易知N 不能被上述质数整除且它不等于其中任意一个∴N 只有两种可能：①N 本身就是一个质数；②N 还含除这n 个质数以外的质因数p不管是上述那种情况都与质数的个数为n 个矛盾故假设不成立，从而原命题成立。
例二：求证：直径是圆中最长的弦证明：如图，假设直径AB 不是☉O 中最长的弦则一定存在弦CD>AB.连接OC,OD,则OC+OD=AB∵OC+OD>CD∴AB>CD 这与CD>AB 矛盾∴假设不成立，从而原命题成立。
例三：证明2是无理数 O A BC D证明：假设2是有理数，则可设2=qp （p,q 是互质的整数） ∴p=2q,于是得q 22=p 2 故p2是偶数，因而p 是偶数 ∴又可设p=2k(k 为正整数），从而得q 2=k 22 故q 2是偶数，从而得q 也是偶数∴p,q 都是偶数，从而2为其公约数，这与p,q 互质矛盾 ∴2必为有理数。
例四：当a a 21=2(b 21b +)时，试证方程b a x 112x ++=0和b a x 222x ++=0中至少有方程有实数根。
第2章 2.2 2.2.2 反证法
2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。
反证法
即假设结论的反面成立在已 知条件和“否定结论” 知条件和“否定结论”这个新 条件下，通过逻辑推理， 条件下，通过逻辑推理，得出 与公理、定理、提设、 与公理、定理、提设、临时假 定相矛盾的结论或自相矛盾， 定相矛盾的结论或自相矛盾， 从而断定结论的反面不能成立 即证明了命题的结论一定是正 确的！ 确的！
例一： 不是有理数。 例一：证明 2 不是有理数。 例二：证明1， 例二：证明 ， 3 ，2 不能为 同一等差数列的三项。 同一等差数列的三项。 例三：平面上有四个点， 例三：平面上有四个点，没有 三点共线。 三点共线。证明以每三点为顶 点的三角形不可能都是锐角三 角形。 角形。
直接证明与间接证明
之 间接证明
间接证明不是直接从正面论结 论的真实性， 论的真实性，而考虑间接地达 到目的。 到目的。最常见的间接证法是 反证法。 反证法。关于反证法法国数学 家阿达玛曾说过： 家阿达玛曾说过：“这种证明 在于表明， 在于表明，如果肯定定理的假 设而否定其结论， 设而否定其结论，就会导致 盾。”这是对反证法的精辟概 括。
引例： 引例： 证明： 是正整数，如果p 证明：“设P是正整数，如果p2是 偶数， 也是偶数” 偶数，则p也是偶数”。
反证法定义： 反证法定义：
一般地，由证明p ⇒ q转向证明 一般地，由证明 转向证明 q ⇒r ⇒ … ⇒ t，t与假设矛盾， 与假设矛盾， ， 与假设矛盾 或与某个真命题矛盾， 或与某个真命题矛法， 为假 推出q为真的方法 做反证法。 做反证法。
反证法
将49个球分别放入A、B两个盒子中，无 论怎样放，至少有25个球在同一个盒子中，对 吗？
解法一：
将49个球分别放入A、B两个盒子中，无 论怎样放，至少有25个球在同一个盒子中， 对吗？
解法二： 假设有某种放法使某个盒子里的球数都不超过24 个，则球的总数不超过24+24=48，这与球的总数 是49矛盾。因此假设不成立。所以，无论怎样放， 至少有25个球在同一件 矛盾
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的假设 条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样 的命题方法叫做反证法。
反证法的步骤：
提出假设 推理论证 得出矛盾 命题成立
例1：
例1：
正难则反
谢 谢
介绍反证法及举例
反证法将更多地与其他证明方法相结合，形成更强大的证 明工具。例如，可以与归纳法、构造法等相结合，共同解 决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善，包括更严谨的假设 条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步，为数学 、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假，没有中间状态；矛盾律则表 明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾，可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证 明困难或不可能的情况，通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时，其运动状 态不会改变。如果物体运动状态发生 了改变，则可以推导出物体必定受到 了外力的作用，从而证明了牛顿第一 定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之 间的正压力成正比。如果两个物体之 间的摩擦力与正压力不成正比，则可 以推导出物体之间的滑动摩擦系数不 是一个常数，从而证明了库仑摩擦定 律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如 果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比，则 可以推导出电场强度不是一个恒定的值，从而证明了库仑定 律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流 在导体中产生的磁场与电流强度不成正比，则可以推导出磁 感应强度不是一个恒定的值，从而证明了安培环路定律的正 确性。
反证法
2.2.2 反 证 法
复习
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。 在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。 先用分析法寻求解题思路，再用综合法解答或证明；有时要 分析法和综合法结合起来交替使用。
因为在ABC中，C是直角，所以B C 180
由三角形内角和为 180，可知A 0
这与在ABC中A 0，180 相矛盾，
所以假设不成立，故B是锐角，即原命题成立.
归纳总结：
1.定义：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条
件下，结论不经成过立正）确，的推理，
最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证这明样了的原证命明题方成法立叫，做反证
法。
2.三个步骤：反设—归谬—下结论
3.归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎 样染,至少有5个球是同色的.
新 知 1.反证法的定义：
假设原命题结论不成立（即在原命题的条件下，结 论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此 说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明 方法叫反证法。
试一试： 证明：2, 3, 5不可能是等差数列
证明：假设 2，3，5是等差数列
原词语
否定词
反证法的一般步骤例子
反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。
下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。
一、反证法的一般步骤反证法的一般步骤包括以下几个步骤：1. 假设待证命题的反命题为真；2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论；3. 由此得出结论，待证命题为真。
二、具体例子1. 证明根号2是一个无理数假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。
设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。
同样地，可知b也是2的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。
2. 证明素数有无穷多个假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。
考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。
根据素数的定义，M必然是一个合数。
而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。
然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。
这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。
3. 证明根号3是一个无理数假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。
设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。
同样地，可知b也是3的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。
4. 证明根号5是一个无理数假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
；
等级森严，对市场反应迟钝，韦尔奇的举措是改革内部管理体制，减少管理层次和冗员，并撤换了部分高层管理人员。最终，他成功了。 韦尔奇之所以能重振“通用”，并且自己不被人际关系所伤，无非是因为主动回避不必要的复杂关系，以自己扎实的工作和明确的目标告诉员工，他所做的 一切绝无私心。这让人想起一个故事，一位老船长长年在河上驾船，从未发生过事故。有人问他是不是对河中的暗礁险滩全部了然于心。老船长说：“不是，我只要把船开进深水区就行了，暗礁险滩就会与我无关。” 人的一生有太多的暗礁和险滩，你根本无法一一了解，也根本不必去记住。 你所要做的，只是把船开进深水区就行了。 39、留住幸福的种子 从前有个孤儿，过着贫穷的日子。这年刚刚进入初冬，他的全部口粮就只剩下父母生前为他留下的一小袋豆子了。他强忍饥饿，把那一小袋豆子藏了起来。之后，他全靠拾破烂勉强糊口。尽管如此，在他心中总有一株株绿油 油的诱人豆苗在旺盛地生长，他在梦中也似乎真的看见了来年那些可爱的豆荚。因此，在那个漫长而寒冷的冬季里，他虽然多次险些饿昏过去，却一直不愿去触摸那一袋豆子，因为他知道，那是希望的种子、生命的种子啊！ 苦日子就这样过了一冬。第二年春天来了，孤儿把那一小袋豆子播种 到地里，再经过一个夏天的辛勤耕耘，到了秋天，他果然收获了数十倍的种子。孤儿并没有就此满足，他还想获得更多的豆子、更多的幸福。于是，他把收获的豆子又留下来，继续播种、耕耘、收获……后来，孤儿告别了贫困，并成为远近闻名的富裕户。不久，他娶妻生子，过上了人人羡慕的幸福 生活。再后来，他和妻子一面继续种豆，一面学做豆制品，不到40岁，他成了声名显赫的大富豪。 人生有了幸福还需要什么？还需要留住幸福；人生没有了幸福还需要什么？还需要留住幸福的种子。 40、犹太人的智慧 据统计，美国的百万富翁中有百分之二十是犹太人，获诺贝尔经 济学奖的经济学家中，有百分之二十是犹太人。因而历来犹太人被公认为是最会赚钱的民族，被誉为“世界第一商人”。 然而，犹太人并不以赚钱为人生目的，他们认为人生的目的就在于热情地享受生活。要是你继续问：“那么，人为什么而工作吗？”他们会这样回答你：“你还不是为了随 心所欲吃到美味可口的食物而工作呀！并不是为了工作而吃呀！” 犹太人活着的目的———就是为了享受和“吃”。说到吃，不能不赞叹犹太人的健康教育。他们珍惜生命，保护自然。犹太人为使最神圣的耶路撒冷清洁、美丽，实行十个特殊的规定。其中包括：在城里不得堆粪堆；不得建砖 窑；除了早期先知们留下来的玫瑰园以外，不得耕种其他花园或果园；不得养鸡；死人不能在城里过夜。 此外，犹太人特别注重卫生，保持身体的清洁被称之为一种宗教责任。值得一提的是，犹太人把饮食的节制，作为健康体格的先决条件。犹太人有一个“饮食基本法”：吃（胃的容量）三分之 一，喝三分之一，留下三分之一的空。这其实颇有科学根据，吃得太饱，非长寿之道。 ? 41、学学乔丹的爱国 篮球上帝乔丹在日前的中国之行中，拒绝乘坐主办方为他提供的奔驰、宝马，而是点名要了美国的道奇山羊。原来乔丹有一条重要的商业原则，那就是“做广告从来只做美国货”，所 以，座驾事件与“爱国精神”息息相关。 从某种意义上说，球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，这才是一个“星”真正的道德良知和社会责任。相反，我们的各种“星”们，同样作为青少年们顶礼膜拜的偶像，他们的表现又如何呢？我们知道有的歌星歌唱得不 怎么样，却热衷于把奇形怪态遁入极端；有些影星表演够差，却总走不出绯闻缠身的怪圈；还有那些所谓的足球明星，球踢得极烂，可酗酒、打架等丑闻从来不绝于耳。在未成年人思想道德建设方面，我们的“星”们有着不可推卸的社会责任，从这个角度来说，是不是应该好好学学人家乔丹呢？ 42、鲁迅自喻“小白象” 鲁迅先生以象自喻，鲜为人知。 在他和许广平的通信中，经常署名“小白象”，或是“你的小白象”。比如1925年5月鲁迅在北平写给在的许广平的第二封信(5月15日夜)，署名的地方赫然画着一只高高举起鼻子的小象。(《鲁迅手稿全集?书信?第三册》第105页) 而《两地书》在公开出版时，署名“EL”，就是Elephant(象)的缩写。 鲁迅先生为什么要以象自喻呢？从《柔石日记》中，我们可以看到这样的记述：“鲁迅先生说，人应该学一只象。第一，皮要厚，流点血，刺激一下了，也不要紧。第二，我们强韧地慢慢地走去。我很感谢他的话，因为我 的神经末梢是太灵动得像一条金鱼了。”这给我们解开谜底提供了一些线索。鲁迅先生欣赏的正是象的宽厚和强韧的精神。 43、名人教子 家教：包拯为官公正清廉，被老百姓尊称为包青天。他担心家人子弟利用权势贪污腐化，因而自述家训：“后世子孙仕宦，有犯赃者，不得放归本家； 亡疫之后，不得葬与大茔之中。不从吾志，非吾子孙。” 铭教：宋代诗人苏东坡的长子苏迈赴任县太尉时，苏东坡送给他一个砚台，上有他亲手所刻的砚铭：“以此进道常若渴，以此求进常若惊；以此治财常若予，以此书狱常思生。” 鞭教：岳云12岁参军作战，一次骑马下坡，没注意地 形，人也栽进沟里。岳飞喝令按军法鞭打岳云，众将求情不允，责打百鞭。此后岳云刻苦训练，勇猛作战。1134年攻打随州时，挥舞80斤重的铁锤，首当其冲第一个登城。岳飞教子的原则是：受罪重于士卒，作战先于士卒，受功后于士卒。 名教：1945年，革命老前辈林伯渠6岁的小儿子要读书 上小学了。林老对儿子说：“上学，该有个地道的名字，我看你就叫‘用三吧！”儿子疑惑不解，林老解释说：“用三者，三用也，即用脑想问题，用手造机器，用足踏实地！” 联教：无产阶级革命家吴玉章曾撰写一幅对联挂在堂前。上联“创业难，守业亦难，明知物力维艰，事事莫争虚体 面”，教育子孙后辈要艰苦创业，勤俭持家，切不可铺张浪费，追求虚荣；下联：“居家易，治家不易，欲自我以身作则，行行当立好楷模”，指出做长辈的要时时刻刻以身作则，身教重于言教，处处做出好样子，成为后辈们效仿的楷模。 章程教：老舍先生的教子章程：一是不必非考一百分 不可；二是不必非上大学不可；三是应多玩，不失儿童的天真烂漫；四是要有健全的体魄。总之，老舍先生认为，孩子不必争做“人上人”，虚荣心绝对不可有。 44、感悟“国际一流大学” 日前看到一个发生在英国牛津大学的故事：苏格兰北部边远地区一个教育相对不发达的郡，有一位 女学生的毕业考试成绩达到了全A，符合牛津大学的录取标准。这是近百年来当地第一个达到牛津录取线的毕业生，当地政府对此极为重视。但牛津大学录取学生必须经过面试，教授在面试后认为该学生不具备牛津大学要求的创造潜质，拒绝了她的入学申请。当地议会将此事反映给英国中央议会， 议员们就找到教育大臣，请他出面说情，希望给予破格录取。在被牛津大学婉言拒绝之后，教育大臣又找到副首相前去求情，还是遭到拒绝。无奈之下，副首相只得请布莱尔首相出面疏通。虽然首相动之以情，晓之以理，但牛津大学仍然表示不能接收，理由就是一个：在招生问题上，任何人无权更 改学院教授的面试结论，这是牛津大学几百年来的传统。布莱尔当然觉得很没有面子，在此后的一个私人场合，当提到牛津大学的时候，他不自觉地说了一句牢骚话：牛津大学真是太古板了，要与时俱进，必须进行改革。牛津大学的师生得知后，极为愤慨，学校立即取消了授予布莱尔荣誉博士学位 的原定计划，并对政府行政干预学校事务的这一严重事件提出抗议。 这个故事实在耐人寻味。 据说，在牛津的学子中，先后出现了46位诺贝尔奖获得者。此外，英国历史上的41位首相中，有30位毕业于牛津大学。真不愧是“国际一流大学”！ 我们国家也提出了创建××所“国际一 流大学”的目标，一些名牌大学也跃跃欲试，试图在短时间内跻身于“国际一流大学”之列。姑且不论我国的高水平大学在办学理念、管理体制、师资队伍、学科水平、办学条件、资金投入等方面仍有相当大的差距，仅就招收有“创造潜力”的优秀生和捍卫“独立精神”这两点上，其差距简直就是 无法比拟的。 我们的高水平大学也想招收最有创造潜力的优秀生，但目前的“应试教育”已经将学生与生俱来的个性和“创造潜质”扼杀殆尽。 我们在很大程度上还处于“人情社会”、“熟人社会”、“权力社会”之中，即使名牌大学恐怕也不能幸免，招生、考试中的不正之风、种种违 规现象屡禁不止。不要说高级别领导人出面说话，就是某级教育行政部门、招生部门，乃至其它可以制约大学的部门和权势者，都会让学校难于捍卫自己的“独立精神”。 我们都很羡慕像哈佛、牛津、斯坦福、耶鲁等“国际一流大学”，也很想创建几所这样的“国际一流大学”。但我觉得， 仅在“寻求超常规的发展和跨越”上下功夫是远远不够的。发生在牛津大学的故事，实在是有着深刻的启示意义，值得我们好好思索和玩味。 45、 不留退路才有出路 古希腊著名演说家戴摩西尼年轻的时候为了提高自己的演说能力，躲在一个地下室练习口才。由于耐不住寂寞，他时不时 就想出去遛达遛达，心总也静不下来，练习的效果很差。无奈之下，他横下心，挥动剪刀把自己的头发剃去了一半，变成了一个怪模怪样的“阴阳头”。这样一来，因为羞于见人，他只得彻底打消了出去玩的念头，一心一意地练口才，一连数月足不出室，演讲水平突飞猛进。经过一番顽强的努力， 戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。 一个人要想成功，就必须心无旁骛、全神贯注地扑下身去，持之以恒、锲而不舍地追逐既定的目标。但人都是有不小惰性、有太多欲望的动物，要做到这一点实在不易，常常就难免战胜不了身心的倦怠，抵御不住世俗的诱惑，割舍不下寻常的享乐。 一些人因此半途而废，功亏一篑。那么，当惰性膨胀、欲望汹涌，追求的脚步踯躅不前时，应该怎么办呢？不妨学学戴摩西尼，他的办法固然有些极端，但唯其如此，才能管用。他剃掉了一半头发，就彻底斩断了向惰性和欲望妥协的退路。而一旦没有退路可逃，就只能一门心思地朝前奔了。
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反证法及其运用
在初中阶段的很多几何证明题目中，我们大多是由题目所给的条件出发，通过以学习的基本知识一步步推导从而证明所要证明的结论的成立。
例如：已知：，O是对角线AC和BD的交点。
求证：CA=OC、OB=OD；而对于有些几
何证明题直接由条件出发证明并不容易得到所要证明的结论，例如：已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦，求证AB与CD不能互相平分。
而对于这类题目常常采用间接证明方法反证法证明。
1．反证法的概念
不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
为帮助理解反证法可以先看看下面两个小故事。
故事一：
南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。
乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。
”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。
”
实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。
风水先生当然不会承认这个事实了。
那么，显然，他说的就是谬论了。
这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。
如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二。
故事二：
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。
一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。
等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这是很著名的“道旁苦李”的故事。
实质上王戎的论述，也正是运用了反证法。
2．反证法的基本思路
首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
3．反证法的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。
4．反证法的应用
现在已经有了反证法应用的基本步骤，那么现在回头解决开头提出的问题例1: 已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦，
求证AB与CD不能互相平分。
证
明：假设AB与CD互相平分于点M、则由
已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定
M不是圆心O，连结OA、OB、OM。
∵OA＝OB，M是AB中点
∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂
直于底边）
同理可得：OM⊥CD，
从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于
OM 这与已知的定理相矛盾。
故AB与CD
不能互相平分。
例2: 求证：是无理数。
n
m
=，即最简分数的形式。
则
2
22
2
22
n
m n
m
==
，
所以2n为偶数，则n为偶数，可表示为2
n x
=
则22
24
m x
=
所以22
2
m x
=
则m也为偶数
所以m和n有公因数2，与
n
m
为最简分数矛盾
试一试：
1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。
3．求证：直线与圆最多只有两个交点。
4．求证：等腰三角形的底角必为锐角。
参考答案：
1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°
则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°
这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。
故三角形中至少有一个角不大于60°
2．已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线，垂足为A，斜足为B
求证：m和n必相交。
证明：假设m和n不相交则m∥n
∵m⊥l
∴n⊥l
这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。
故m和n必相交。
3．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，
M、N分别是弦AB、BC的中点。
∵OA＝OB＝OC
∴在等腰△OAB和△OBC中OM⊥AB，ON⊥BC
从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。
因此直线与圆最多只有两个交点。
4．已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠B、∠C必为锐角。
证明：假设∠B、∠C不是锐角，则可能有两种情况：
(1)∠B＝∠C＝90°
(2)∠B＝∠C＞90°
若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾。
若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾。
所以假设不能成立。
故∠B、∠C必为锐角。