2020-2021长沙市长沙市第一中学高一数学下期中第一次模拟试卷含答案
y
4 3
(x 1) ，即
4x 3y 4 0 ，选 D.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线 a 垂直的直线 b 的平行线， 与直线 c 平行线的夹角.
【详解】
在直线 a 上任取一点 O ，过 O 做 c / /c ，则 a, c 确定一平面 ，
过 O 点做直线 b 的平行线 b ，所有平行线 b 在过 O 与直线 a 垂直的平面 内， 若存在平行线 b1 不在 内，则 b1 与 b 相交又确定不同于 的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以 b 都在平面 内， 且 , l ，在直线 c 上任取不同于 O 的一点 P ， 做 PP l 于 P ，则 PP ， POP 为是 c 与 所成的角为 60 ， 若 b l ，则 b ,b c ，若 b 不垂直 l 且不与 l 重合， 过 P 做 PA b ，垂足为 A ，连 PA ，则 b 平面 PPA，
11．已知实数 x, y 满足 2x y 5 0 ，那么 x2 y2 的最小值为（ ）
A． 5
B． 10
C． 2 5
D． 2 10
12．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则
该多面体的体积为（ ）
A．64
B． 64 3
C．16
D． 16 3
二、填空题
13．给出下面四个命题：
由平面几何知识知，为使由点 (a, b) 向圆所作的切线长的最小，只需圆心 C(1, 2) 与直线
x y 3 0 上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为 ( 1 2 3 )2 2 4 ， 2
故选 B . 考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.
7．D
解析：D 【解析】
【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为 0 和在两坐标轴上的截距不为 0 时，求出对应 a 的值，即可得到答案．
（1）求证： A1C //面 AB1D ； （2）设 M 是棱 CC1 上的点，且满足 BM B1D .求证：面 AB1D 面 ABM .
25．如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2，0)，AB 边所在直线的方程为 x－3y－6 ＝0，点 T(－1，1)在 AD 边所在直线上．求：
C． 4 3
D．12
9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 4 的正方形，两条虚线互相垂直
且相等，则该几何体的体积是（ ）
A． 176 3
B． 160 3
C． 128 3
D．32
10．若 a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc
B．logca＜logcb
C．ac＜bc
D．ca＞cb
①“直线 l 平面 内所有直线”的充要条件是“ l 平面 ”；
②“直线 a / / 直线 b ”的充要条件是“ a 平行于 b 所在的平面”；
③“直线 a ， b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a ， b 不相交”；
④“平面 / / 平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线三点到 的距离相等”.
命题正确的是（ ）
A．若 m ，则 m
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m ，则 m / /
D．若 m ， n m ，则 n
6．若圆 C: x2 y2 2x 4 y 3 0 关于直线 2ax by 6 0 对称，则由点 (a, b) 向圆所
C． 3x 4y 4 0
D． 4x 3y 4 0
4．已知 a ， b 是两条异面直线，且 a b ，直线 c 与直线 a 成 30 角，则 c 与 b 所成的角的
大小范围是( )
A． 60, 90
B． 30, 90
C． 30, 60
D． 45, 90
5．已知 m ， n 是空间中两条不同的直线， ， 为空间中两个互相垂直的平面，则下列
【详解】
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，连接 BC1 ，
根据线面角的定义可知 AC1B 30 ， 因为 AB 2 ，所以 BC1 2 3 ，从而求得 CC1 2 2 ， 所以该长方体的体积为V 2 2 2 2 8 2 ，故选 C.
【点睛】 该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为 长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得 尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
【详解】
由题意，当 2 a 0 ，即 a 2 时，直线 ax y 2 a 0化为 2x y 0 ，
此时直线在两坐标轴上的截距都为 0，满足题意；
当
2
a
0 ，即 a
2 时，直线 ax
y
2a
0 化为
2
x
a
y
a
1，
a
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得 2 a 2 a ，解得 a 1； a
的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确
定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．
3．D
解析：D
【解析】
设直线 l0
的倾斜角为
，则斜率 k0
tan
1 2
，所以直线 l
的倾斜角为 2
，斜率
k
tan 2
2 tan 1 tan2
4 3
，又经过点（1,0），所以直线方程为
（1）求证： OM / / 平面 ABD ； （2）若 AB BC 2 ，求三棱锥 M ABD 的体积. 22．已知两直线 l1 ： x 2 y 4 0 和 l2 ： x y 2 0 的交点为 P. （1）直线 l 过点 P 且与直线 5x 3y 6 0 垂直，求直线 l 的方程；
所以 b PA，即 OA PA, cos AOP OA OP 1 ， OP OP 2
AOP 60 ，综上 b 与 c 所成角的范围为[60,90] ，
所以直线 b 与 c 所成角的范围为60,90 .
故选：A.
【点睛】 本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大 小，属于中档题.
其中正确命题的序号是____________________
14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形，则此圆柱的体积为 .
15．已知三棱锥 P ABC 中，侧面 PAC 底面 ABC ， BAC 90， AB AC 4 ，
PA PC 2 3 ，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为______.
(1) AD 边所在直线的方程； (2) DC 边所在直线的方程．
26．如图所示的等腰梯形 ABCD 中， AB / /CD ， AB AD BC 1 CD a ，E 为 CD 2
中点．若沿 AE 将三角形 DAE 折起，并连接 DB，DC，得到如图所示的几何体 D-ABCE， 在图中解答以下问题：
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求出球心 O 到底面距离的最大值，从而可求顶点 D 到底面的距离的最大值，利用该最大
值可求体积的最大值. 【详解】
设外接球的球心为 O ，半径为 R ，则 4 R2 128 ，故 R 4 2 . 设球心 O 在底面上的投影为 E ，因为 OA OC OB ，故 E 为 ABC 的外心. 因为 AB BC 4 ， AC 4 2 ，所以 AC2 AB2 BC2 ，故 ABC 为直角三角形，
作的切线长的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．3
D．6
7．已知直线 ax y 2 a 0 在两坐标轴上的截距相等，则实数 a ( )
A．1
B． 1
C． 2 或 1
D．2 或 1
8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接
球表面积为 （ ）
A． 3
B． 2 3
16．过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l ，使 l 与棱 AB 、 AD 、 AA1 所成的角 都相等，这样的直线 l 可以作_________条.
17．将一张坐标纸折叠一次，使点 (10,0) 与点 (6,8) 重合，则与点 (4, 2) 重合的点是______.
18．函数 y x2 9 x2 10x 41 的最小值为_________.
（2）圆 C 过点 3,1 且与 l1 相切于点 P，求圆 C 的方程. 23．已知圆 C 的圆心坐标 1,1 ，直线 l ： x y 1被圆 C 截得弦长为 2 .
（1）求圆 C 的方程；
（2）从圆 C 外一点 P2,3 向圆引切线，求切线方程.
24．在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是 BC 的中点.
（1）设 G 为 AD 中点，求证： DC / / 平面 GBE； （2）若平面 DAE 平面 ABCE，且 F 为 AB 中点，求证： DF AC ． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】
首先画出长方体 ABCD A1B1C1D1 ，利用题中条件，得到 AC1B 30 ，根据 AB 2 ， 求得 BC1 2 3 ，可以确定 CC1 2 2 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
以棱长为 2 的正方体的外接球相同，由此可得结论
【详解】
由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，
底面是斜边上的高为 2 的等腰直角三角形， 与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为 2 ，高为 2 ，
故 E 为 AC 的中点，所以 OE OA2 AE2 2 6 ， 设 D 到底面 ABC 的距离为 h ，则 h OE R 2 6 4 2 ，
2020-2021长沙市高三数学下期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021长沙市高三数学下期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD2．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD3．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4015．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．856．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．107．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．8．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）AB．5CD9．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或710．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．311．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值3112．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14± D ．14二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．14．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；15．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________. 16．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.17．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 18．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 19．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 20．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m -≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题21．若0,0a b >>,且11a b+=（1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 22．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为4，其外接圆的半径为3，求ABC ∆的周长.23．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一12月月考数学试题 答案和解析
由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线 ，则直线与函数的图象至多有一个交点，
根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；
对于C图，当x=0时，有两个y值对应；
对于D中图象能表示y是x的函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的概念及其构成要素，明确函数的定义是关键，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
【详解】
∵ ；则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在y轴右侧；
值域为：[1，+∞）即函数图象只出现在y＝1上方；
在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的直线．
分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．
故选C．
【点睛】
本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题．
10．
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】
对于①，由 ，可得 面 ，故可得出 ，此命题正确；
对于②，由正方体 的两个底面平行， 在平面 内，故 与平面 无公共点，故有 平面 ，此命题正确；
对于③， 为定值， 到 距离为定值，所以三角形 的面积是定值，又因为 点到面 距离是定值，故可得三棱锥 的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当 与 重合时，此时 与上底面中心为 重合，则两异面直线所成的角是 ，当 与 重合时，此时点 与 重合，则两异面直线所成的角是 ，此二角不相等，故异面直线 所成的角不为定值，此命题错误．
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．12．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√64．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．25．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣27．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b → B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ）A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．10910．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或1611．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ ．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 ．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z 1z 2，求z 的共轭复数z ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ．22．在①2a cos C+c＝2b，②cos2B−C2−cosBcosC=34，③（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．1【解答】解：∵复数z =i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i 21−i 2=1+i 2=12+12i ，∴|z |=√(12)2+(12)2=√22．故选：A ．2．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）【解答】解：向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（5，7）． 故选：D ．3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√6【解答】解：∵B ＝30°，C ＝105°， ∴A ＝45°， 由正弦定理可得：4sin45°=b sin30°，解得b =4×12√22=2√2．故选：A ．4．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．2【解答】解：∵BA →⋅BC →=|BA →||BC →|cosB ，CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cosC ，|BC →|=|CB →|=2，∴BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|=2cosB +2cosC ，∵cosA =12，A +B +C =π，A 为△ABC 的内角， ∴sinA =√32，A =π3，∴2cos B +2cos C ＝2cos B ﹣2cos （A +B ）＝cos B +√3sinB =2sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3， ∴0＜sin(B +π6)≤1， ∴0＜2siin(B +π6)≤2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值为2．故选：D ．5．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i【解答】解：设z ＝a +bi ，因为|z |﹣z ＝1+i ，所以√a 2+b 2−(a +bi)=1+i ，即√a 2+b 2−a −bi =1+i ，所以{√a 2+b 2−a =1−b =1，解得a ＝0，b ＝﹣1，所以z ＝﹣i ． 故选：B ．6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣2【解答】解：z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）＝3a +2ai ﹣9i ﹣6i 2＝3a +6+（2a ﹣9）i ， 所以复数z 的实部与虚部分别为3a +6，2a ﹣9， 则3a +6+2a ﹣9＝7，得a ＝2． 故选：C ．7．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b →B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →【解答】解：设c →=x a →+y b →，即（5，4）＝x （1，2）+y （﹣2，1），则{x −2y =52x +y =4，得x =135，y =−65，即c →=135a →−65b →，故选：A ．8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ） A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154【解答】解：最大角是A ，根据余弦定理：cosA =b 2+c 2−a 22bc =9+4−162×3×2=−14，且A ∈（0，π），∴sinA =√1−cos 2A =√1−116=√154． 故选：D ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．109【解答】解：因为（1+i ）2＝1+2i ﹣1＝2i ，（1﹣i ）2＝1﹣2i ﹣1＝﹣2i ， 又（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ， 所以(1+i)n=[(1+i)2]n2=(2i)n2，(1−i)n=[(1−i)2]n2=(−2i)n2，故(2i)n2=(−2i)n 2，即2n 2⋅(i)n2=(−1)n 2⋅2n 2⋅(i)n 2，故当n2为偶数时，（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ．故选：AC ．10．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或16 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），若a →∥b →，则3m ＝﹣8，则m =−83，A 错误； 对于B ，若m ＝0，则a →=（0，2），则|a →|＝2，|b →|＝5，a →•b →=6，则cos ＜a →，b →＞=610=35，则sin ＜a →，b →＞=45，B 正确，对于C ，若a →⊥b →，则a →•b →=−4m +6＝0，解可得m =32，C 错误，对于D ，a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），则a →+b →=（m ﹣4，5），若|a →+b →|＝13，即（m ﹣4）2+25＝169，解可得m ＝﹣8或16，D 正确， 故选：BD ．11．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限 【解答】解：对于A ，|z |＝0，则z ＝0，故A 正确；对于B ，设z 1＝a 1+b 1i （a 1，b 1∈R ），z 2＝a 2+b 2i （a 2，b 2∈R ）．由|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，得|z 1+z 2|2＝（a 1+a 2）2+（b 1+b 2）2＝|z 1﹣z 2|2＝（a 1﹣a 2）2+（b 1﹣b 2）2，则a 1a 2+b 1b 2＝0，而z 1•z 2＝（a 1+b 1i ）（a 2+b 2i ）＝a 1a 2﹣b 1b 2＝2a 1a 2不一定等于0，故B 错误；对于C ，z ＝a +ai （a ∈R ），若a ＝0，则z 为实数，若a ≠0，则z 为虚数，z 不可能为纯虚数，故C 错误；对于D ，设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由z 2＝3+4i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ，∴{a 2−b 2=32ab =4，解得{a =2b =1，或{a =−2b =−1． ∴z 对应的点在第一象限或第三象限，故D 正确． 故选：AD ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3【解答】解：对于A ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得8＝9+b 2﹣2×3×b ×23，即b 2﹣6b +1＝0，解得b ＝3±2√2，可得△ABC 有两个解，故错误；对于B ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得16＝9+b 2﹣2×3×b ×13，即b 2﹣2b ﹣7＝0，解得b ＝1+2√2，（负值舍去），可得△ABC 有一个解，故正确； 对于C ，由a ＜b ，sin B =23，可得cos B ＝±√53，可得角B 不唯一，故错误； 对于D ，由sin π3=√32＞13，且B ＜2π3，故B 为锐角且有唯一解，可得△ABC 有一个解，故正确； 故选：BD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= i ．【解答】解：−1+4i 4+i=(−1+4i)(4−i)(4+i)(4−i)=−4+i+16i−4i 242+12=−4+17i+417=17i 17=i ．故答案为：i ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ √7 ． 【解答】解：∵|a →|=|b →|=1，|a →−b →|=1， ∴(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=2−2a →⋅b →=1， ∴2a →⋅b →=1，∴|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+2+1=√7．故答案为：√7．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ 6 ．【解答】解：在△ABC 中，a =2√7，b =2，A =60°， 根据正弦定理，2√7sin60°=2sinB，∴sinB =√2114， ∴cosB =5√714，根据余弦定理，5√714=22⋅2√7⋅c，解得c ＝4或6，据题意知，B ＜60°，C ＞60°， ∴c ＞2√7， ∴c ＝6． 故答案为：6．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 √5 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 −3π4． 【解答】解：a →⋅b →=2sin x +cos x =√5sin （x +φ），其中tan φ=12， ∵x ∈R ，∴a →⋅b →的最大值为√5． ∵a →∥b →，∴2sin x cos x ＝1，即sin2x ＝1， ∴2x =π2+2k π，即x =π4+k π，k ∈Z ， ∵x ∈（﹣π，0），∴取k ＝﹣1，x =−3π4． 故答案为：√5；−3π4．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z1z 2，求z 的共轭复数z ．【解答】解：（1）复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，所以z 1+az 2＝（1﹣2i ）+a （3+4i ）＝（1+3a ）+（4a ﹣2）i ； 由该复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以{1+3a ＞04a −2＜0，解得−13＜a ＜12，所以实数a 的取值范围是（−13，12）；（2）化简z =z 1z 2=1−2i 3+4i =(1−2i)(3−4i)32−(4i)2=−5−10i 25=−15−25i ，z 的共轭复数z =−15+25i ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2），a →∥b →， ∴2cosθ1=sinθ−2，∴tan θ＝﹣4， ∴3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ−22tanθ+1=3×(−4)−22×(−4)+1=2．（2）∵θ＝45°，∴a →=（√2，√22）， ∴2a →−t b →=（2√2−t ，√2+2t ），√2a →+b →=（3，﹣1）， ∵2a →−t b →与√2a →+b →垂直，∴（2a →−t b →）•（√2a →+b →）＝（2√2−t ）×3+（√2+2t ）×（﹣1）＝0， 解得t =√2．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值． 【解答】解：（1）由已知可得，a 2+b 2﹣2a +2bi ＝7+4i ，∴{a 2+b 2−2a =72b =4， 解之得{a =3b =2，或{a =−1b =2，∴z ＝3+2i 或z ＝﹣1+2i（2）由复数相等的性质，可知a =1−3+5−7+9−11+⋯−2019+2021=1+2+2+⋯+2︸505个=1011，b =2−4+6−8+10−12+⋯+2018−2020=−(2+2+⋯+2)︸505个=−1010．∴a ﹣b ＝2021．另解：z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020① ∴zi ＝1i +2i 2+3i 3+4i 4+5i 5+…+2020i 2020+2021i 2021②∴①﹣②得：z （1﹣i ）＝1+i +i 2+i 3+i 4+…+i 2020﹣2021i 2021＝1﹣2020i ∴z =1−2021i 1−i =(1−2021i)(1+i)(1−i)(1+i)=2022−2020i2=1011−1010i ， ∴a ＝1011，b ＝﹣1010， ∴a ﹣b ＝2021．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得c sinC=2R ，所以b 2−a 2a+c=c ，整理可得：c 2+a 2﹣b 2＝﹣ac ，所以cos B =a 2+c 2−b 22ac =−ac 2ac =−12， 因为B ∈（0，π）， 可得B =2π3． （2）因为B =2π3，b =√7，c ＝2， 所以由正弦定理b sinB=c sinC，可得sin C =c⋅sinB b=√217， 因为c ＜b ，C 为锐角，可得cos C =√1−sin 2C =2√77，所以sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =√32×2√77+（−12）×√217=√2114． 21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ． 【解答】解：由sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A •sin B sin C 得，b 2+c 2﹣a 2＝2√33bc sin A ＝2bc cos A ， 故√33sinA =cosA ，即tan A =√3， 由A 为三角形内角得A =π3，因为b =√3c ，△ABC 的面积为S ＝3=12bc ×√32=√34×√3c 2，故c ＝2，b ＝2√3； （2）因为A =π3， 故sin B +sin C ＝sin C +sin （2π3−C ）=32sinC +√32cosC =√62， 即√32sinC +12cosC =√22， 所以sin （C +π6）=√22，由C 为三角形内角得，C =π12． 22．在①2a cos C +c ＝2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 _____． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（1）选①，由正弦定理得2sin A cos C +sin C ＝2sin B ， 所以2sin A cos C +sin C ＝2sin （A +C ）＝2（sin A cos C +cos A sin C ），即sin C （2cos A ﹣1）＝0，又C ∈（0，π），所以sin C ＞0，所以cosA =12， 又A ∈（0，π），从而得A =π3． 选②，因为cos 2B−C2−cosBcosC =1+cos(B−C)2−cosBcosC =1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈（0，π），所以A =π3． 选③因为（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C ， 所以sin 2B +sin 2C +2sin B sin C ＝sin 2A +3sin B sin C ， 即sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C ， 所以由正弦定理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，因为A∈（0，π），所以A=π3．（2）由（1）得A=π3，又a＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣ab≥2bc﹣bc＝bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取得等号，S¡÷ABC=12bcsinA≤12×4×√32=√3，所以ABC面积的最大值为√3．。
【全国百强名校】长沙市一中高一第1次阶段性考试试卷-数学(附答案)
数学试题一中版第!" 页共"页
长沙市第一中学学年度高一第一学期第一次阶段性检测
数学参考答案
一选择题
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二填空题
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数学试题一中版第!+ 页共"页
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测含解析
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测英语长沙市一中高一英语备课组组稿第二部分阅读(共两节，满分50分)第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
APOETRY CHALLENGEWrite a poem about how courage, determination and strength have helped you face challenges in your life.Prizes3 Grand Prizes: Trip to Washigton.D. c. for each of three winners, a parent and one other person of thewinner's choice. Trip includes round-trap air tickets, hotel stay for two nights, and tours of the National Airand Space Museum and the office of National Geographic World.6 First Prizes: The book Sky Pioneer: A Photobiography of Amelia Earhart signed by author CorinneSzabo and pilot Linda Finch.50 Honorable Mentions: Judges will choose up to 50 honorable mention winners, who will each receive aT-shirt in memory of Earhart's final flight.RulesFollow all rules carefully to prevent disqualification(丧失资格).Write a poem using 100 words or fewer. Your poem can be any format, anynumber of lines.⏹Write by hand or type on a single sheet of paper. You may use both thefront and back of the paper.⏹On the same sheet of paper, write or type your name, address,telephone number, and birth date.⏹Mail your entry to us by October 31 this year.21. How many people can each grand prize winner take on the free trip?A. TwoB. ThreeC. FourD. Six22 What will each of the honorable mention winners get?A. A plane ticket.B. A book by Corinne Szabo.C. A special T-shirt.D. A photo of Amelia Earhart.Which of the following will result in disqualification?A. Typing your poem out.B. Writing a poem of 120 words.C. Using both sides of the paper.D. Mailing your entry on October 30.【答案】21. A 22. C 23. B【解析】这是一篇应用文。
湖南省长沙市一中2020-2021学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题 答案和解析
对于A选项，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.对于B选项，函数为偶函数，当 时， 为增函数，故B选项正确.对于C选项，函数图像没有对称性，故为非奇非偶函数.对于D选项， 在 上有增有减.综上所述，本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题.
6．A
【分析】
根据三视图，还原原图，再根据几何体求体积
湖南省长沙市一中【最新】高一下学期第一次阶段性检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式 ， 的解集为（）
A． B． C． D．
2． （）
A． B． C． D．
3．直线 的倾斜角是（）
A． B． C． D．
8．C
【分析】
将 展开，利用向量的数量积公式求解.
【详解】
解得
∵两向量夹角的范围为[0°，180°]，∴ 的夹角为60°．
故选C
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的夹角，在解题时要注意两向量夹角的范围是 .
9．A
【解析】
试题分析：由已知得 ,
,故选A.
考点：两角和的正弦公式
10．B
【解析】
14． ____________
15．点 在直线 上，且点 始终落在圆 的内部或圆上，那么 的取值范围是______________．
16．已知函数 若存在互不相等实数 有 则 的取值范围是______.
三、解答题
17．计算与化简
（I）计算： ;
（II）化简： .
18．如图，在四边形 中， 是边长为6的正三角形，设 ．
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高一下期中考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高一下期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数z 满足z+2i 3+i=−4+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣3iB ．﹣3C ．3iD ．32．已知sin(π3−α)=−34，则cos(2021π3−2α)=（ ） A ．18B ．−18C ．3√78D ．−3√783．对于空间中的两条不同直线m ，n 和一个平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C ．若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥αD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n4．已知非零向量a →，b →满足|a →|=2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π35．已知圆锥SO 的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．2πB ．√3πC ．πD ．√33π6．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为72πcm 3的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =√10．△ABC 的周长为5+√10，（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．54B ．5√32C ．5√34D ．15√348．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（ ）A ．1sinαB ．1cosαC ．√22sinαD ．√22cosα二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +nB ．当z 1，z 2∈C 时，若z 12+z 22＝0，则z 1＝0且z 2＝0C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2＝|z |2＝z •zD ．z 1＝z 2的充要条件是|z 1|＝|z 2| 10．下列说法错误的有（ ）A ．如果非零向量a →与b →的方向相同或相反，那么a →+b →的方向必与a →或b →的方向相同 B ．在△ABC 中，必有AB →+BC →+CA →=0→C ．若AB →+BC →+CA →=0→，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点 D ．若a →，b →均为非零向量，则|a →+b →|＝|a →|+|b →|11．某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12√6nmile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8√3nmile ．货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是（ ） A ．A 处与D 处之间的距离是24nmile B ．灯塔C 与D 处之间的距离是16nmile C ．灯塔C 在D 处的西偏南60° D ．D 在灯塔B 的北偏西30°12．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，AP ，AB ，AC 两两互相垂直，AP ＝5cm ，AB ＝4cm ，AC ＝3cm ，点O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心，点D 为△ABC 的外接圆的圆心，下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥P ﹣ABC 的体积为10cm 3B ．直线BC 与平面P AC 所成角的正切值为43C ．球O 的表面积为50πcm 2D ．OD ⊥P A三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正四棱柱底面边长为2√2，体积为32，则此四棱柱的表面积为 ． 14．在△ABC 中，∠A ＝45°，M 是AB 的中点，若|AB |＝|BC |＝2，D 在线段AC 上运动，则DB →⋅DM →的最小值是 ．15．若a ∈R ，i 为虚数单位，|2+ai |＝4，则a ＝ ．16．锐角三角形ABC 的面积为S ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2S ＝（b 2+c 2﹣a 2）sin2A ，则A ＝ ．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分）17．i 为虚数单位，z ＝a +bi （a ，b ∈R ）是虚数，ω＝z +1z 是实数，且﹣1＜ω＜2，u =1−z1+z ． （1）求|z |及a 的取值范围； （2）求ω﹣u 2的最小值．18．已知OP →=（2，1），OA →=（1，7），OB →=（5，1），设C 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点）（1）求使CA →⋅CB →取到最小值时的OC →； （2）根据（1）中求出的点C ，求cos ∠ACB ．19．在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）AE∥平面BCD；（Ⅱ）平面BDE⊥平面CDE．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=√3，点E，F分别在边BC，CD上，∠F AE=π3，∠EAB＝θ（0＜θ＜π6）．（1）求AE，AF；（用θ表示）（2）求△EAF的面积S的最小值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E是棱PC的中点，平面ABE 与棱PD交于点F（1）求证：点F是棱PD的中点；（2）若P A＝AD，且平面P AD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．22．已知向量m →=（√3sin x4，1），n →=（cos x 4，cos 2x4）．若f （x ）=m →•n →（1）求f （x ）递增区间；（2）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，求f （A ）的取值范围．2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高一下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数z 满足z+2i 3+i=−4+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣3i B ．﹣3C ．3iD ．3【解答】解：由z+2i 3+i =−4+i 得z ＝（﹣4+i ）（3+i ）﹣2i ＝﹣13﹣3i ，则z 的虚部为﹣3． 故选：B ．2．已知sin(π3−α)=−34，则cos(2021π3−2α)=（ ） A ．18B ．−18C ．3√78D ．−3√78【解答】解：cos(2021π3−2α)=cos(673π+2π3−2α) =cos(π+2π3−2α) =−cos(2π3−2α) =−cos[2(π3−α)] ＝﹣（1−2sin 2(π3−α)）代入sin(π3−α)=−34，得原式=18， 故选：A ．3．对于空间中的两条不同直线m ，n 和一个平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C ．若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥αD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【解答】解：对于A ，若m ∥α，n ∥α，可得m ，n 平行、相交或异面，故A 错误； 对于B ，若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α或n ⊂α，故B 错误； 对于C ，若m ∥n ，n ⊂α，且m ⊄α，则m ∥α，故C 错误；对于D ，若m ⊥α，n ⊥α，由同垂直于题意平面的两直线平行，可得m ∥n ，故D 正确． 故选：D ．4．已知非零向量a →，b →满足|a →|=2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ）A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【解答】解：非零向量a →，b →满足|a →|=2|b →|， 且(a →−b →)⊥b →，则（a →−b →）•b →=0， 即a →•b →=b →2=|b →|2；所以cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=|b →|22|b →|×|b →|=12，又θ∈[0，π]，所以a →与b →的夹角为θ=π3． 故选：A ．5．已知圆锥SO 的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．2πB ．√3πC ．πD ．√33π 【解答】解：如图所示，圆锥SO 中，底面圆半径为r ＝OA ＝1， 高为h =√22−12=√3； 所以圆锥SO 的体积为： V 圆锥=13πr 2h =13π•12•√3=√33π． 故选：D ．6．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为72πcm 3的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm【解答】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h ， 则沙堆的体积为V =13Sℎ=13π×62×ℎ=72π， 解得h ＝6． 故选：B ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =√10．△ABC 的周长为5+√10，（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．54B ．5√32C ．5√34D ．15√34【解答】解：由题意可得：a =√10．△ABC 的周长为5+√10，可得b +c ＝5， 因为（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ，由正弦定理可得：b 2+c 2﹣a 2＝bc ＝2bc cos A ，A ∈（0，π）所以cos A =12，A =π3，a 2＝（b +c ）2﹣2bc ﹣2bc cos A ，所以10＝25﹣2bc ﹣bc ，所以bc ＝5， 所以S △ABC =12bcsinA =12×5×√32=5√34， 故选：C ．8．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（ ）A ．1sinαB ．1cosαC ．√22sinαD ．√22cosα【解答】解：正四棱锥的底面为正方形，设其外接圆的半径为R ，则底面正方形的边长为√2R ，因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，设侧棱长为l ，则有l sinα=√2Rsin(π−2α)=√2R 2sinαcosα，解得l =√2R2cosα，故侧棱长与底面外接圆的半径的比为lR=√22cosα． 故选：D ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +nB ．当z 1，z 2∈C 时，若z 12+z 22＝0，则z 1＝0且z 2＝0C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2＝|z |2＝z •zD ．z 1＝z 2的充要条件是|z 1|＝|z 2|【解答】解：根据复数的运算法则，当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +n ，故选项A 正确； 设z 1＝i ，z 2＝1，则有z 12+z 22＝﹣1+1＝0，但此时z 1≠0且z 2≠0，故选项B 错误； 设z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，所以|z|2=a 2+b 2，|z|=a 2+b 2，z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2，所以|z |2＝|z |2＝z •z ，故选项C 正确；由z 1＝z 2能推出|z 1|＝|z 2|，但是|z 1|＝|z 2|不能推出z 1＝z 2，所以z 1＝z 2的必要不充分条件是|z 1|＝|z 2|，故选项D 错误． 故选：AC ．10．下列说法错误的有（ ）A ．如果非零向量a →与b →的方向相同或相反，那么a →+b →的方向必与a →或b →的方向相同 B ．在△ABC 中，必有AB →+BC →+CA →=0→C ．若AB →+BC →+CA →=0→，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点 D ．若a →，b →均为非零向量，则|a →+b →|＝|a →|+|b →|【解答】解：对于A ：非零向量a →与b →的方向相同或相反，那么a →+b →的方向必与a →或b →的方向相同或为零向量，故A 错误；对于B ：在△ABC 中，必有AB →+BC →+CA →=0→，故B 正确；对于C ：若AB →+BC →+CA →=0→，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点， 或A 、B 、C 三点共线时，也成立，故C 错误；对于D ：a →，b →均为非零向量，则|a →+b →|≤|a →|+|b →|，故D 错误； 故选：ACD ．11．某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12√6nmile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8√3nmile ．货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是（ ） A ．A 处与D 处之间的距离是24nmile B ．灯塔C 与D 处之间的距离是16nmile C ．灯塔C 在D 处的西偏南60° D ．D 在灯塔B 的北偏西30° 【解答】解：如图，在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝12√6，由正弦定理得AD =ABsin∠Bsin∠ADB =12√6×√22√32=24， ∴A 处与D 处的距离为24 n mile ，故A 正确； 在△ADC 中，由余弦定理得：CD 2＝AD 2+AC 2﹣2AD •AC •cos 30°=242+(8√3)2−2×24×8√3×√32， 解得：CD ＝8√3，∴灯塔C 与D 处的距离为8√3n mile ，故B 错误；由AC ＝CD ，可得∠CAD ＝∠CDA ＝30°，则灯塔C 在D 处的西偏南60°，故C 正确； 由图可知，D 在灯塔B 的北偏西60°，故D 错误． 故选：AC ．12．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，AP ，AB ，AC 两两互相垂直，AP ＝5cm ，AB ＝4cm ，AC ＝3cm ，点O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心，点D 为△ABC 的外接圆的圆心，下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥P ﹣ABC 的体积为10cm 3B ．直线BC 与平面P AC 所成角的正切值为43C ．球O 的表面积为50πcm 2D ．OD ⊥P A【解答】解：对于A ，∵P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，∴P A ⊥平面ABC ， ∴V P ﹣ABC =13S △ABC •P A =13×12×3×4×5=10cm 3，故A 正确； 对于B ，∵P A ⊥AB ，AB ⊥AC ，AP ∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面P AC ， ∴∠BCA 为BC 与平面P AC 所成角，而tan ∠BCA =ABAC =43，故B 正确；对于C ，由于AP ，AB ，AC 两两垂直，故三棱锥P ﹣ABC 的外接球也是棱长分别为3，4，5的长方体的外接球，设外接球半径为R ，则2R =√32+42+52=5√2，∴R =5√22， ∴外接球的表面积为4πR 2＝50πcm 2，故C 正确；对于D ，若点D 为△ABC 的外接圆的圆心，则OD ⊥平面ABC ，又P A ⊥平面ABC ， ∴OD ∥P A ，故D 错误． 故选：ABC ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正四棱柱底面边长为2√2，体积为32，则此四棱柱的表面积为 16+32√2 ． 【解答】解：设正四棱柱的高为h ，由底面边长为a ＝2√2，体积为V ＝32， 则V ＝a 2h ，即h =32(2√2)2=4；所以此四棱柱的表面积为： S ＝S 侧面积+2S 底面积＝4×4×2√2+2×2√2×2√2＝32√2+16． 故答案为：16+32√2．14．在△ABC 中，∠A ＝45°，M 是AB 的中点，若|AB |＝|BC |＝2，D 在线段AC 上运动，则DB →⋅DM →的最小值是78．【解答】解：在△ABC 中，∠A ＝45°，|AB |＝|BC |＝2，∴∠C ＝45°，∠B ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形，|AC |＝2√2，如右图所示，以AC 所在的直线为x 轴，以AC 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A （−√2，0），B （0，√2），M （−√22，√22）， 设D （t ，0），t ∈[−√2，√2]，则DB →=（﹣t ，√2），DM →=（−√22−t ，√22）， ∴DB →⋅DM →=−t （−√22−t ）+√2×√22=（t +√24）2+78，t ∈[−√2，√2]， ∴当t =−√24时，DB →⋅DM →取最小值78，故答案为：78．15．若a ∈R ，i 为虚数单位，|2+ai |＝4，则a ＝ ±2√3 ．【解答】解：因为|2+ai |=|2+aii 2|=|2−ai|=4， 所以√22+(−a)2=4，解得a =±2√3． 故答案为：±2√3．16．锐角三角形ABC 的面积为S ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2S ＝（b 2+c 2﹣a 2）sin2A ，则A ＝π3．【解答】解：因为b 2+c 2﹣a 2＝2bc cos A ，2S ＝（b 2+c 2﹣a 2）sin2A ， 所以2×12bcsinA =2bc cos A ×2sin A cos A ，因为sin A ＞0， 所以cos 2A =14，因为A 为锐角，cos A ＞0， 所以cos A =12， 故A =π3． 故答案为：π3．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分）17．i 为虚数单位，z ＝a +bi （a ，b ∈R ）是虚数，ω＝z +1z 是实数，且﹣1＜ω＜2，u =1−z1+z ． （1）求|z |及a 的取值范围； （2）求ω﹣u 2的最小值． 【解答】解：（1）ω=z +1z =a +a a 2+b 2+(b −ba 2+b 2)i ， 因为ω是实数，所以b −b a 2+b2=0，又b ≠0，所以a 2+b 2＝1， 所以|z |＝1；因为ω=z +1z =2a ，且﹣1＜ω＜2， 所以−12＜a ＜1；（2）由题意知u =1−a−bi 1+a+bi =−bi1+a ， 所以ω−u 2=2a +b2(1+a)2=2a +1−a 2(1+a)2=2a +1−a 1+a =2(a +1+1a+1)−3≥1，当且仅当a ＝0时，等号成立， 所以ω﹣u 2的最小值为1．18．已知OP →=（2，1），OA →=（1，7），OB →=（5，1），设C 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点）（1）求使CA →⋅CB →取到最小值时的OC →； （2）根据（1）中求出的点C ，求cos ∠ACB ．【解答】解：（1）∵OP →=(2，1)，则直线OP 的方程为y =12x ，∵C 是直线OP 上的一点，则设点C(x ，12x)，∴CA →=OA →−OC →=(1−x ，7−12x)，CB →=OB →−OC →=(5−x ，1−12x)， ∴CA →⋅CB →=（1﹣x ）（5﹣x ）+（7−12x ）（1−12x ） =54x 2−10x +12 =54(x −4)2−8，∴当x ＝4时，CA →⋅CB →取到最小值，此时C （4，2）， ∴OC →=(4，2)；（2）由（1）可知，C （4，2）， ∴CA →=(−3，5)，CB →=(1，−1)， ∴cos∠ACB =CA →⋅CB→|CA →|⋅|CB →|=√(−3)2+52√12+(−1)2=−4√1717， 故cos ∠ACB =−4√1717．19．在如图所示的几何体中，△ABC 是边长为2的正三角形，AE ＝1，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD ＝CD ，且BD ⊥CD ． （Ⅰ）AE ∥平面BCD ； （Ⅱ）平面BDE ⊥平面CDE ．【解答】证明：（Ⅰ） 取BC 的中点M ，连接DM 、AM ，由已知可得DM ＝1，DM ⊥BC ，AM ⊥BC ．又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以DM ⊥平面ABC ．…（2分） 因为AE ⊥平面ABC ，所以，AE ∥DM ．…（4分）又因为AE ⊄平面BCD ，DM ⊂平面BCD ，所以AE ∥平面BCD ．…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知AE ∥DM ，又AE ＝1，DM ＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM．因为AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．…（8分）又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．由已知BD⊥CD，则CD⊥平面BDE．…（10分）因为CD⊂平面CDE，所以，平面BDE⊥平面CDE．…（12分）20．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=√3，点E，F分别在边BC，CD上，∠F AE=π3，∠EAB＝θ（0＜θ＜π6）．（1）求AE，AF；（用θ表示）（2）求△EAF的面积S的最小值．【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∵AB＝1，∴AE=1 cosθ．在Rt△ADF中，∵AD=√3，∴AF=√3cos(π6−θ)(0＜θ＜π6)．（2）S=12AE⋅AFsinπ3=34cosθcos(π6−θ)=√3+2cos(2θ−π6)，∵0＜θ＜π6，∴−π6＜2θ−π6＜π6，∴√3＜2cos(2θ−π6)≤2，∴当θ=π12时，S min=3(2−√3)．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E是棱PC的中点，平面ABE 与棱PD交于点F（1）求证：点F是棱PD的中点；（2）若P A＝AD，且平面P AD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．【解答】证明：（1）∵底面ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ， ∵AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD ＝EF ， ∴AB ∥EF ，∵E 是棱PC 的中点，∴点F 是棱PD 中点． （2）在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，∵AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ， 由（1）知点F 是棱PD 中点， 在△P AD 中，P A ＝AD ，∴AF ⊥PD ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ．22．已知向量m →=（√3sin x4，1），n →=（cos x 4，cos 2x4）．若f （x ）=m →•n →（1）求f （x ）递增区间；（2）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，求f （A ）的取值范围．【解答】解：（1）f （x ）=m →•n →=√3sin x 4cos x 4+cos 2x 4=√32sin x 2+1+cos x22=sin(x 2+π6)+12，…（3分）由2kπ−π2≤x 2+π6≤2kπ+π2，k ∈Z 得：4kπ−4π3≤x ≤4kπ+2π3，k ∈Z ， ∴f （x ）的递增区间为[4kπ−4π3，4kπ+2π3]，k ∈Z ⋯（6分） （2）∵（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，由正弦定理得（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ﹣sin C cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin （B +C ）， ∵A +B +C ＝π，∴sin （B +C ）＝sin A ≠0，∴cosB =12⋯（8分） ∵0＜B ＜π，∴B =π3，∴0＜A ＜2π3， ∴π6＜A 2+π6＜π2，sin(A 2+π6)∈(12，1)，又∵f(x)=sin(x2+π6)+12，∴f(A)=sin(A 2+π6)+12， 故函数f （A ）的取值范围是(1，32)⋯（12分）。
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测含解析
长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测含解析长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测英语长沙市一中高一英语备课组组稿第二部分阅读(共两节，满分50分)第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
APOETRY CHALLENGEWrite a poem about how courage, determination and strength have helped you face challenges in your life.Prizes3 Grand Prizes: Trip to Washigton.D. c. for each of three winners, a parent and one other person of thewinner's choice. Trip includes round-trap air tickets, hotel stay for two nights, and tours of the National Airand Space Museum and the office of National Geographic World.6 First Prizes: The book Sky Pioneer: A Photobiography of Amelia Earhart signed by author CorinneSzabo and pilot Linda Finch.50 Honorable Mentions: Judges will choose up to 50 honorable mention winners, who will each receive aT-shirt in memory of Earhart's final flight.RulesFollow all rules carefully to prevent disqualification(丧失资格).Write a poem using 100 words or fewer. Your poem can be any format, anynumber of lines.Write by hand or type on a single sheet of paper. You may use both thefront and back of the paper.On the same sheet of paper, write or type your name, address, telephone number, and birth date.Mail your entry to us by October 31 this year.21. How many people can each grand prize winner take on the free trip?A. TwoB. ThreeC. FourD. Six22 What will each of the honorable mention winners get?A. A plane ticket.B. A book by Corinne Szabo.C. A special T-shirt.D. A photo of Amelia Earhart.Which of the following will result in disqualification?A. Typing your poem out.B. Writing a poem of 120 words.C. Using both sides of the paper.D. Mailing your entry on October 30.【答案】21. A 22. C 23. B【解析】这是一篇应用文。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题 答案和解析
解得 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，属于容易题.
2．B
【分析】
根据三角函数的周期性可分别求出周期，由奇偶性定义判断奇偶性即可.
【详解】
的周期为 ；定义域为R,且 知函数为偶函数；
的周期为 ；定义域为R,且 知函数为奇函数；
的周期为 ；函数定义域 ，关于原点对称且 知函数为奇函数；
（Ⅱ）若 且 ，求 .
19．某同学用五点法画函数 在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
2
0
0
（1）求函数 的解析式，并求函数 的单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
20．某单位开展岗前培训期间，甲、乙2人参加了5次考试，成绩统计如下：
第直方图中a的值；
（Ⅱ）若要从身高在[ 120 , 130），[130，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，求从身高在[140，150]内的学生中应选取的人数；
（Ⅲ）这100名学生的平均身高约为多少厘米?
18．已知向量 ， ， .
（Ⅰ）若关于 的方程 有解，求实数 的取值范围；
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函数 ；函数 是偶函数 ；函数 是奇函数 ；函数 是偶函数 .
湖南省长沙市第一中学【最新】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值是（）
2020-2021长沙市高一数学下期末第一次模拟试题(附答案)
2020-2021长沙市高一数学下期末第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．已知向量()cos ,sin a θθ=v ，()1,2b =v ，若a v与b v 的夹角为6π，则a b +=v v （ ）A ．2B ．7C ．2D ．13．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.6 10.0 11.3 11.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．8π3- C ．83D ．7π3- 5．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A ．21+B ．31+C ．223+ D ．33+ 7．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3 B ．3(0,]4C ．3D ．3[,1)410．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．3411．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增12．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.15．已知2a b ==r r ，()()22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r的夹角为 .16．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________. 17．如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .18．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______19．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．20．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 .三、解答题21．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．22．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围. 23．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==. （1）当π6A =时，求a 的值； （2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．24．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程.25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log nn b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .26．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的最小正周期；(2)令()1π212g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若在[]0,x π∈内，方程()()212320a g x ag x ⎡⎤-+-=⎣⎦有且仅有两解，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】 【分析】先计算a r 与b r的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r r r r 即可计算求值.【详解】因为()cos ,sin a θθ=r，(2b =r ，所以||1a =r ，||3b =r又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r313372=++=，所以7a b +=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．4．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当AC BC ==时，取等号．∴12(1)122222S =⨯⨯+++⨯32+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．7．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．8．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列9．A解析：A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以03c <≤30c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．10．D解析：D 【解析】∵()sin cos 2(0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤故选D.11．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x 2sin ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈ ∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2sin 2x 2cos2x 444⎛⎫=-∴=--=- ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.12．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．14．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值 解析：3π【解析】 【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】 由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．15．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒【解析】 【分析】 【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-rrrr，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-rr r r ，1cos ,602θθ︒⇒==16．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】 【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】令2x t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->-若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->- ⎪⎝⎭，令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<， 解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-. 【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.17．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体 解析：【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为 .考点：旋转体的组合体.18．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答解析：13【解析】 【分析】 【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163=； 故答案为13． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．19．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式 3【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =）∴10721k ππθπ+=+∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质解析：⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得0m <<， 所以实数m的取值范围为2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【考点】 二次函数的性质．三、解答题21．（1）见解析（2（3【解析】 【分析】（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知CO ⊥BD ．在△AOC中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME中，11EM AB OE DC 122====，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD中，CA CD 2AD ===，ACD1S 22==V ，由AO ＝1，知2CDE 1S 22==V ，由此能求出点E 到平面ACD 的距离． 【详解】（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ， ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．在△AOC中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2， ∴AO 2+CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD ．（2）解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点， 知ME ∥AB ，OE ∥DC ，∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角． 在△OME中，111222EM AB OE DC ====， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴112OM AC ==，∴11142cos OEM +-∠==， ∴异面直线AB 与CD所成角大小的余弦为4（3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．E ACD A CDE V V --=Q ，1133ACD CDE h S AO S ∴=V V ．．．， 在△ACD中，2CA CD AD ===，，∴122ACDS ==V ，∵AO ＝1，213322CDE S=⨯⨯=V ， ∴3121277CDE ACDAO S h S ⨯⋅===V V ，∴点E 到平面ACD 的距离为217．【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题． 22．（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 54=，从而可得m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，f （x ）≥1， ∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，， 当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 12=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 32=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）9942=-+-154=； 当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 12=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max 54=， ∴m 的取值范围为（﹣∞，54]． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 23．（1）53a =（2）a c +=【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值． 试题解析: 解：（1）43cos ,sin 55B B =∴=Q . 由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==可得. 53a ∴=. （2）ABC ∆Q 的面积13sin ,sin 25S ac B B ==， 33,1010ac ac ∴==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得4=22228165a c ac a c +-=+- ,即2220a c +=. ∴()()22220,40a c ac a c +-=+=，∴a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 24．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）13n n a = （2）21nn -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和 26．(1) ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，最小正周期T π=；(2) 161217a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或 【解析】【试题分析】（1）借助题设提供的图形信息与数据信息可求出周期T π=，再借助T πω＝，求出2ω=，再借助点,16π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 图象上求出 6πϕ=；（2）先将原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=，分离参数2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，再换元sin t x =，将其转化为函数()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图问题来处理：解：(1)由图象可知：22362T πππ=-=，∴T π=，又T πω＝，∴2ω=. 又∵点,16π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 图象上，∴sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，∴26k πϕπ=+，k Z ∈，又∵2πϕ<，∴6πϕ=.∴()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期T π=. (2)∵()1sin 212g x f x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=，则0a ≠. ∵[]0,x π∈，[]sin 0,1x ∈，∴213sin 2sin 0x x +->，∴2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，令sin t x =，则[]0,1t ∈，作出()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图象， 当21a ≤2<或2178a =时，两图象在[]0,1内有且仅有一解， 即方程221732sin 84x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有两解， 此时a 的取值范围为161217a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 点睛：求出函数的解析式后，求解第二问时先将原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=，则0a ≠，然后借助[]0,x π∈，[]sin 0,1x ∈，得到213sin 2sin 0x x +->，进而分离参数2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，再换元sin t x =，则[]0,1t ∈，从而将问题化为函数()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图象的交点的个数问题，然后结合图像求出参数的取值范围。