第六章线性系统的校正方法
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第6章线性系统校正方法
,可得超前校正传递函数
1 aTs Gc (s) 1 Ts
6）校验指标。
当系统仍不满足要求时，则增大ε值，从2）算起。
k 例: 设单位负反馈系统开环传函： G0 (s) s(s 1)
要使系统
（1）稳态速度误差系数Kv=12 （2）相位裕量 400，试设计一个校正装置。
解： (1)根据稳态误差要求，确定开环增益K
Kv
lim
s0
sG
0
(s)
lim s
s0
k s(s 1)
12
k
12
原系统频率特性
G0 (jω)
12 jω(jω 1)
L( ) dB
20 -20dB/dec
-40dB/dec
画出原系统bode图
0
3.5
( )
90
求出原系统性能
0
剪切频率ωc0 ＝3.5 rad /s 相角裕量 0 =150
RC超前网络
G(s) E0 (s) R2
R1Cs 1
E1 (s)
R1 R2
R2 R1 R2
R1Cs 1
常用如下形式：
Gc
(s)
1 aTs（a 1 Ts
1）
PD超前校正作用大于带惯性环节的PD 但后者在提高系统抗高频干扰能力方面优于前者
最大补偿相角c ()和m
为了准确复现输入信号，要求系统具有较大带宽；而要抑 制噪声，则不想系统带宽过大。
因此，合理选择控制系统的带宽，在系统设计中是一个很 重要的问题。
系统带宽的确定
如输入信号带宽为 1 ~ n ，噪声信号集中起作 用的频带为 0 ~ M ，则控制系统的带宽频率
第六章 线性系统的校正方法
G2 ( s)
C (s )
(a)
G r (s ) R (s )
按输入补偿
C (s )
E (s )
G1 ( s )
G2 ( s)
(b)
四、基本控制规律
1.比例(P)控制规律
r (t )
e( t )
输入-输出关系：
Kp
m( t )
c( t )
m(t ) K p e(t )
具有比例控制规律的控制器，称为P控制器，如图所示。
穿越频率ωc附近的区段为中频段。它反 映了系统动态响应指标的平稳性和快速性。
（1）截止频率ωc与动态性能的关系 设系统中频段斜率为-20dB/dec且中频 段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲 线是一条斜率为-20dB/dec的直线。
中频段对数幅频特性曲线
开环传递函数：过点（1,20lgK）L(ω)/dB
3.比例-积分(PI)控制规律
R( s )
E ( s)
1 K p (1 ) Ti s
M ( s)
C ( s)
输入-输出关系： m ( t ) K p e ( t ) Kp--可调比例系数
Kp Ti
t
0
e ( t )dt
Ti--可调积分时间常数
串联校正时，使系统增加一个开环负零点，同时增加 一个位于原点的开环极点。开环负零点减小系统的阻尼程 度，改善稳定性及动态性。位于原点的开环极点可以提高 系统的型别，改善系统的稳态性能。
c
K0 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1) 2 , 1 M r 1.8
3、 系统带宽b 的确定
为使系统能够准确复现输入信号，要求系统具有较大的 带宽；然而从抑制噪声角度来看，又不希望系统的带宽过大。 此外，为了使系统具有较高的稳定裕度，希望系统开环对 数幅频特性在截止频率 c 处的斜率为 20dB dec ，但从要求系 统具有较强的从噪声中辨识信号的能力来考虑，却又希望 c 处的斜率小于40dB dec 。由于不同的开环系统截止频率 c 对 应于不同的闭环系统带宽频率b ，因此在系统设计时，必须 选择切合实际的系统带宽。
《自动控制理论》第六章 线性系统的校正方法
第6章线性系统的校正方法。
重点与难点一、基本概念1.理想的频率特性系统开环频率特性与系统时域指标之间有一定的关系。
对于二阶系统而言，相位裕量/、截止频率必与时域指标（超调量。
％、调节时间4）有确定性关系。
对高阶系统而言，/,纭都可以粗略估计高阶系统的响应特性。
相位裕量越大，系统阶跃响应的超调量和调节时间4就越小；?也近似与4成反比关系。
因此，理想的频率特性应该有较大的相位裕量；希望响应快的系统就应该有大一点的。
闭环系统（单位反应）的频率特性有如下关系：|。
| （| a \< 1）（当有积分环节时。
=1）= ,（通常称为低频段）（6.1）201g|G（j7w） | co »（通常称为高频段）式中G（./7y）为开环频率特性。
因此，假设希望系统有较强的抗高频干扰能力，”应该小, 而且201g|G（八y）|要衰减快。
如果频率特性用渐近线方法描述，理想的频率特性应该在也.处以-20dB/dec斜率穿越OdB 线，才能获得较大的相位裕量。
综合上所述，理想的频率特性应有积分环节且开环增益大，以满足稳态误差的要求; 在截止频率0c的频域（通常称为中频段），应以一20dB/dec的斜率穿越OdB线，并占有足够宽的频带，以保证系统具备较大的相位裕量；在。
>〉9•的高频段，频率特性应该尽快衰减，以消减噪声影响。
2.系统的校正当系统频率特性不满足理想的频率特性指标（通常的指标体系为：闭环谐振峰值M,.、谐振频率/，、带宽频率口〃或开环频率特性的相位裕量/、截止频率0,、开环增益K、幅值裕量等）时，需要引入校正网络，使新系统的频率特性满足要求。
设计校正网络参数通常用频率校正方法。
当希望系统的闭环极点到达要求时，需要加入某一校正网络以改变闭环极点。
通常采用根轨迹校正方法。
3.校正方式通常，在电口］区间内，假设对数幅频、相频特性是单调的，那么0G（幼RT80。
假设g>%,那么8G（例）<—1800。
自动控制原理第六章线性系统的校正方法
对数幅频特性曲线如下图
16
10 3) 预选Gc(s)=τs+1，则 Gk ( s ) = (τs + 1) s ( s + 1)
′ 要求τ使系统满足 γ ′′ 和 ω c′ 的要求。 ′ 选择 ω c′=4.4dB/dec，求τ，则：
" L( wc ) = 20 lg 10 − 20 lg 4.4 − 20 lg 4.4 + 20 lg 4.4τ
1 / 2T 则 Gk ( s ) = s (Ts + 1)
其相频特性为： ϕ (ω ) = −90o − arctan Tω
1 = 63.5o γ (ωc ) = 180 + ϕ (ωc ) = 180 − 90 − arctan T ⋅ 2T
o o o
h=∞
21
∴由 ξ = 0.707 得性能指标为：
2
N R E
串联 校正 控制器 对象
已知被控对象数学模型 G p (s)，即根据生产要求而 得到的系统数学模型，称为 固有部分数学模型，在工程 实际中是不能改变的。
C
反馈 校正
根据固有数学模型和性能要求进行分析，若现有闭环情况 下没有满足的性能指标或部分没有满足要求的性能指标，则人 为的在固有数学模型基础上，另加一些环节，使系统全面满足 性能指标要求，这个方法或过程称为校正，也称为系统设计。 所附加的环节被称为控制器，其物理装置称为校正装置。 通常记为Gc(s)
2 2 典型二阶系统可表示为： ωn ωn Φ(s) = 2 Gk ( s) = 2 s ( s + 2ξω n ) s + 2ξω n s + ω n
ξ
19
2 ωn C ( jω ) Φ ( jω ) = = =1 2 2 R ( jω ) ( jω ) + 2ξωn ⋅ jω + ωn 2 ωn
第六章 线性系统的校正方法
Байду номын сангаас
（2）、高阶系统频域指标与时域指标的关系
1 谐振峰值M r sin 超调量 0.16 0.4( M r 1) 调节时间t s K 0 (1 M r 1.8)
c
K 0 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1) 2
(1 M r 1.8)
Ts 2 (Ts 1) i 系统的型次由原来的Ⅰ型提高到Ⅱ型→稳态误差ess↓. G(s) K 0 K p (Ts 1) i
r(t) 例：对单位斜坡（速度）输入， t,
1 1 加校正前： ess K v K0
加校正后： e 1 1 0 ss
Kv
K v lim sG(s)H(s)
N
对象
图 前馈校正
N（S）
C
Gn (S )
R(s)
Gr (S )
+
E（S）
-
G1 ( S )
+
C(s)
G2 ( S )
E（S）
R(s) -
) S ((1S ) G1 G
+
C(s)
G2 ( S )
(a)按扰动补偿的复合校正
(b)按输入补偿的复合校正
串联校正设计和反馈校正在实际控制系统中用得较多，串联校 正比反馈校正简单。在性能指标要求较高的控制系统设计中， 常常把串联校正与反馈校正结合起来使用。
4. 控制系统基本规律 按反馈原理构成的控制系统，主要是利用偏差信号e(t)来对系 统起控制作用。为了提高系统的控制性能，可以改造信号e(t)，使 e(t)按照某种函数关系加以变换，形成所需要的控制规律。 m(t)=f[e(t)] 所谓PID控制规律，就是一种对偏差信号e(t)进行比例、积分、 微分变换的控制规律，即：
（2）、高阶系统频域指标与时域指标的关系
1 谐振峰值M r sin 超调量 0.16 0.4( M r 1) 调节时间t s K 0 (1 M r 1.8)
c
K 0 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1) 2
(1 M r 1.8)
Ts 2 (Ts 1) i 系统的型次由原来的Ⅰ型提高到Ⅱ型→稳态误差ess↓. G(s) K 0 K p (Ts 1) i
r(t) 例：对单位斜坡（速度）输入， t,
1 1 加校正前： ess K v K0
加校正后： e 1 1 0 ss
Kv
K v lim sG(s)H(s)
N
对象
图 前馈校正
N（S）
C
Gn (S )
R(s)
Gr (S )
+
E（S）
-
G1 ( S )
+
C(s)
G2 ( S )
E（S）
R(s) -
) S ((1S ) G1 G
+
C(s)
G2 ( S )
(a)按扰动补偿的复合校正
(b)按输入补偿的复合校正
串联校正设计和反馈校正在实际控制系统中用得较多，串联校 正比反馈校正简单。在性能指标要求较高的控制系统设计中， 常常把串联校正与反馈校正结合起来使用。
4. 控制系统基本规律 按反馈原理构成的控制系统，主要是利用偏差信号e(t)来对系 统起控制作用。为了提高系统的控制性能，可以改造信号e(t)，使 e(t)按照某种函数关系加以变换，形成所需要的控制规律。 m(t)=f[e(t)] 所谓PID控制规律，就是一种对偏差信号e(t)进行比例、积分、 微分变换的控制规律，即：
第六章 线性系统的校正方法
L(ω)
60 40 20 0.01 0.24 0.1 0.27 1 2.7 10
L(ω)
-900
460
-1800
{
由 得 c ' =12rad / s,因 算 图 ω 而 得
γ = 900 arctg(0.1 c ' ) arctg(0.2ωc ' ) = 27.60 ω
说明未校正系统不稳定，此系统即为截止频率处 相角迅速减小的情况，不宜采用超前校正。
γ "= m + γ (ωc ")
若不满足要求，重选ω 增大， 若不满足要求，重选ωm=ωc”，使ωc”增大， 重复(3)(4) (3)(4)， 0， 重复(3)(4)，若算出 a >> 0，则超前校正已 无能为力，需另选它法。 无能为力，需另选它法。
例6-3.如下系统 要求ess≤0.1(在单位斜坡输入下 如下系统,要求 在单位斜坡输入下), 如下系统 要求 在单位斜坡输入下 开环截止频率ω ”≥4.4rad/s,相角裕度 开环截止频率ωc”≥4.4rad/s,相角裕度 γ”≥450,幅值裕度 幅值裕度h”≥10dB,试设计超前网络 试设计超前网络. 幅值裕度 试设计超前网络
要点：利用超前环节的相位超前特性,使交接频率 要点：利用超前环节的相位超前特性 使交接频率 1/aT 和 1/T 位于穿越频率的两旁，用 m 来补偿系统 位于穿越频率的两旁， 的相位裕量。 的相位裕量。 步骤： 步骤： (1)根据稳态误差要求，确定开环增益 K。 根据稳态误差要求， 。 根据稳态误差要求 (2)计算未校正系统的相角裕度。 计算未校正系统的相角裕度。 计算未校正系统的相角裕度 (3)根据 或设定试探 ωc”的要求，计算超前网络 根据(或设定试探 的要求， 根据 或设定试探) 的要求 的参数a和 。 的参数 和T。 ωc”的选定，一方面要根据系统响应速度来确定， 的选定， 的选定 一方面要根据系统响应速度来确定， 也要根据相角裕度等综合考虑。 也要根据相角裕度等综合考虑。
第六章 线性系统的校正方法
三、校正方式
串联校正、反馈校正 前馈校正、复合校正 串联校正与反馈校正
N(s) 对象
R(s)
E (s)
- B(s)
串联 校正
控制器 -
C(s)
反馈 校正
串联校正和反馈校正是控制系统设计中常用的校正方式。
前馈校正(顺馈校正) 按给定输入进行的前馈校正： R(s) 前馈 校正 控制器 N(s) C(s) 对象
例6-1:比例-微分控制系统如图，分析PD控制器对系统性 能的影响。
R( s )
E( s)
K p (1 s )
1 Js 2
C ( s)
解： 1.无PD时
D( s ) Js 2 1 0
阻尼比为零，输出为等幅振荡，闭环系统临界稳定。 2.有PD时
D( s ) Js 2 K p s K p 0
第六章 线性系统的校正方法
6.1 系统的设计与校正问题 6.2 常用校正装置及其特性
6.3 串联校正
6.4 反馈校正
6.5 复合校正
6.1 系统的设计与校正问题
一、性能指标 1.稳态指标--稳态误差ess 常用稳态误差系数 Kp、Kv 、Ka来表示。
2.动态指标
(1)时域指标 调节时间ts 、峰值时间 tp 、超调量s% (2)频域指标 相角裕度 、幅值裕度h、谐振峰值Mr 截止频率c、带宽频率b 、谐振频率r (3)复域指标 阻尼系数 z、无阻尼自然振荡频率 n
二、有源校正装置
同相输入超前(微分)有源网络
等效电路
1 T1s G0 ( s ) K 1 T2 s
R1 R2 R3 K R1
其中： T1 ( R1 R2 R4 ) R3 ( R1 R2 ) R4 C R1 R2 R3
线性系统的校正方法《自动控制原理》
(1) 反向端输入的有源调节器
反向端输入有源调节器的电路如下图:
图中:
是输入阻容网络的等效阻抗,
是反馈阻容网络的等效
阻抗, 传递函数为:
用不同的阻容网络构成
﹑
就可得到不同的调节规律. 可见教材
P.233表6-2典型的有源调节器. (2) 同向端输入的有源调节器 同向端输入有源调节器的电路 如右图:
设
产生一个小偏差
, 则
变为
, 其相对增量为:
, 采用位置反馈后, 变化前的传递系数为
变化后的增量
, 其相对增量为:
2. 复合控制 工程实际中的系统往往受各种干扰的影响, 当控制系统对在 干扰影响的动静态性能提出很高要求时, 单纯用反馈控制一般难 以满足要求, 此时可考虑采用复合控制的手段. 下面简要介绍针 对干扰作用下的复合控制的方法和特点.
4
特性法设计系统, 都是通过闭环系统的开环特性进行的, 用对数
5
频率特性法设计系统, 就需通过闭环系统的开环对数频率特性进
6
行设计. 下面还是通过具体例子加以说明.
7
6-3 串联校正
例1 设单位负反馈系统的开环传递函数为:
若要求系统的速度误差系数KV =20, 相角裕量
,幅
值裕量
, 试设计串联超前校正装置.
解: (1)确定系统的开环放大倍数.并画开环对数幅频特性曲线
2.串联超前校正
分析当K=20时, 原系统是否满足动态要求.
由于超前网络的放大倍数为
态误差系数降低, 故需再串接一放大倍数为
由上计算可知, 原系统当K=20时, 闭环虽稳定, 但相角裕量仅为 18度, 将会有较大的超调, 不满足相角裕量大于等于50度的动态 要求, 可采用串联超前网络给以校正. 设计网络参数超前网络的传递函数为:
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2012 秋 许燕斌
自动控制理论 比 复阻例抗+微为分电调阻节时器，：得当到输比入A例复+阻微抗分为调电节阻器和如电图容。并联，输出
L
L(dB)
o
o
20
C
R2
20 log k p
R1
u1 R0
kp
Td
( )
u2
90
0
Gc
(s)
Z2(s) Z1(s)
R2 R1
R2 R1
( R1Cs
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
Lo o
组合超调量和上升时间的要求，可以得到闭环主导极
点在 s 复平面上应位于的区域如下左图所示。组合超
调量和调节时间的要求，可以得到闭环主导极点在 s
复平面上应位于的区域如下右图所示。
e 1 2
j [s]
d d
tp
cos
1
下左图)，它的传递函数等于负的输出复阻抗与输入复阻抗之 比。当输入、输出阻抗都取为电阻时(如下右图)，就得到比
例环节。比例调节器的频率特性和比例环节的频率特性相同。
Z2
R2
Z1
R1
u1
u1
u2
u2
R0
R0
Gc (s)
Z2(s) Z1(s)
Gc (s)
R2 R1
kp
2012 秋 许燕斌
自动控制理论 出复积阻分抗调取为节电器：容时当，输得入A复到积阻分抗调取节为器电，阻如，下输
零点， z1 1 (R1C1) ， z2 1 (R2C2 ) 。 从右边的频率特性曲线中可以看出，低频段提供滞后
的相频特性，高频段提供超前的相频特性。
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
PID控制器设计
原理
GC
(s)
K
P
(1
1 Ti s
Td
s)
Lo o
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
人们追求的是稳定性强，稳态精度高，动态 响应快。
不同领域中的性能指标的形式又各不相同。
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
一、性能指标
时域指标
Overshoot: σ % Settling time: ts Raising time: tr
Steady state error: ess
Open-loop gain: K
率特性和积分环节的频率特性相同。
20
1
Ti
( )
0
90
2012 秋 许燕斌
比自例+积动分控调节制器：理当输论入A复阻抗为电阻，输出复阻抗为
Lo o
电阻和电容串联时，得到比例+积分调节器(如下图)。 L(dB)
R2 C
20
20 lg k p
R1
1
u1
R0Βιβλιοθήκη u2 ( ) k pTi
0
1
90
Gc (s)
Z2(s) Z1(s)
R2 Cs R1
( R2 R1
1 )
R1Cs
(k p
1 )
Ti s
式中 k p R2 R1 为比例项的比例系数， Ti R1C 为积分
项的积分时间常数。 右图是比例+积分调节器的频率特性曲线，提供滞后的
相频特性，且在低频时提供高的增益。
1 α
α Ts 1
Ts 1
T R1R 2 C
R1 R2 1
(a)
R1 R2
R2
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
Lo o
如果对无源超前网络传递函数的衰减由放大器增益所补偿，
则
Gc
(s)
Ts 1
Ts 1
上式称为超前校正装置的传递函数
无源超前校正网络 的对数频率特性
b
H(s)
串联校正 串联补偿器
R(s)
C(s)
G(s)
Gc (s)
H (s)
反馈校正 反馈补偿器
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
二、常用的几种校正方法
Lo o
RR(s) Gc (s)
R(s) Gp (s)
CC(s)
GG(s)
输入补偿器
H((s)
Gc (s )
C(s)
G(s)
复合补偿器
H ( s)
tr
0
j
[s]
e 1 2
0
3.5 ts
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
Lo o
在频域中，动态性能指标的快速性用截止频率
（幅值穿越频率） c 来描述，稳定性主要由相角
裕度和幅值裕度来描述。调节器的形式和参数应使
得校正后系统的频率特性，在低频段有足够高的增
益和期望的斜率，以保证系统的控制精度；中频段
占据一定的频宽，以 20dB dec 的斜率穿越横轴，
截止频率和稳定裕度满足设计要求，以保证系统的
动态性能；高频段有快速的幅值衰减特性，以使系
统有一定抗干扰能力。
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
二、常用的几种校正方法
Lo o
R(s)
compensator
process C(s)
GC (s)
G(s)
Lo o
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
Lo o
1. 分析法。实际上是一种试探的方法，可归结为：
原系统频率特性+校正装置频率特性=希望频率特性
G0(jω)
Gc(jω)
G(jω)
从原有的系统频率特性出发，根据分析和经验，选取
合适的校正装置，使校正后的系统满足性能要求。
2. 综合法。这种方法的基本可归结为：
Lo o
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
频域指标
Cutoff frequency: c
Phase margin: Gain margin: h Peak value : M p
The resonant frequency: r bandwidth: B
Lo o
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
希望频率特性-原系统频率特性=校正装置频率特性
G(j)
G0(j)
Gc(j)
根据系统品质指标的要求，求出满足性能的系统开环
频率特性，即希望频率特性。再将希望频率特性与原系统
频率特性相比较，确定校正装置的频率特性。
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
6.2 串联校正
Lo o
串联校正的设计方法包括时域法和频域法
1)
(k p
Td
s)
R1Cs 1
式中 k p R2 R1 为比例项的比例系数， Td R2C 为微分项 的微分时间常数。
右图是比例+微分调节器的频率特性曲线，提供超前的
相频特性，且在高频时提供高的增益。
2012 秋 许燕斌
自比动例+积控分+制微分理环节论： A
有源比例+积分+微分调节器，如下图所示。
图所示。
C
R1
Lo o
L(dB)
u1 u2
R0
1
Gc (s)
Z2(s) Z1 ( s )
Cs R1
1 R1Cs
1
Ti s
式中 Ti R1C 为积分调节器的时间常数。积分 时间常数 Ti 的含义是，在单位阶跃输入电压作 用下，输出电压随时间线性地增加，经过 Ti 时 间后，得到单位的输出电压。积分调节器的频
Lo o
1． 无源超前校正网络及其特性
具有相位超前特性(即相频特性＞0)的校正装置叫超前校 正装置，有的地方又称为“微分校正装置”。
介绍一种无源超前网络（如下图）。
C
Gc (s)
C(s) R(s)
R2
R1
1 Cs
1
R2
R1
R1 Cs
R(s)
R2
C(s)
Gc(s)
C(s) R(s)
s
比例+微分控制（PD）： K(s 1) 比例+积分控制（PI）： K(s 1)
比例+积分+微分控制（PID）s ： K(1s 1)(2s 1)
s
无源校正装置：
超前校正，滞后校正，滞后超前校正
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
Lo o
比例调节器：反向输入负反馈连接的运算放大器电路(如
自动控制理论A
Lo o
第六章 线性系统的校正方法
1、正确理解串联超前、串联滞后、串联滞后-超前 三种校正的特性及对系统的影响。
2、掌握基本的校正网络及运算电路。
3、熟练掌握运用(低、中、高)三频段概念对系统校 正前、后性能进行定性分析、比较的方法。
4、熟练掌握串联校正(串联超前、串联滞后)的频率 域设计步骤和方法。了解串联校正的根轨迹设 计步骤和方法。
被控量能以满意的动态响应达到预期的稳 态值；
使给定的某种性能指标实现最优。
系统能有效地抑制外界噪声干扰； 系统的动、静态性能具有鲁棒性；
最重要：确保整个控制系统能稳定地工作。
2012 秋 许燕斌
自动控制理论A
Lo o
稳 定 性－－是系统工作的前提; 稳态特性－－反映了系统稳定后的精度; 动态特性－－反映了系统响应的快速性。