二元函数连续性的概念有界闭域上连续函数的性质
二元函数连续性
lim
P→ P0
f (P) =
f ( P0 )
（ P 0 ∈定义区域）
例４ 求极限
lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2
( x, y)→(0,0)
解：函数f (x, y) = (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2是二元初等函数， 定义域是R2 ,并且它在点（0,0）(∈ R2 )处连续,
=.
x→0 y→0
xy + 1 + 1
2
三、在有界闭区域上连续函数的性质
性质1 （有界性与最大值最小值定理）
如果函数f在有界闭区域D上连续，则f在 D上有界，且能取得最大值和最小值。
说明：性质1是说，若f(P)在有界闭区域D 上连续，则必定存在大于0的常数M，使得 对一切属于D的点P，有
f (P) ≤ M ,且存在P1、P2 ∈ D,使得 f (P1) = max{ f (P) P ∈ D}, f (P2 ) = min{ f (P) P ∈ D}.
它是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数
经过有限次四则运算和复合运算得到的。
如 = f ( x, y)
lnsin( xy) +
x x2
− +
y y2
等等
3、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区 域．
注：在多元初等函数定义区域内的连续点处求 极限可用“代入法”。
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0 (x0 , y0)的全增量 ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0),则
高等数学第16章第3节二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。
3 二元函数的连续性
数,即
1, 当 (x, y) D时, f (x, y) = 无定义, 当(x, y) D时.
lim f ( x , y ) 1 f ( x0 , y0 )
x
1 o
可知, (x0, y0) D
x x0 y y0
但曲面 z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
xy 1 1 . 例 6 求 lim x 0 xy y 0
xy 1 1 xy 1 1 解 lim lim x 0 xy ( x 0 xy xy 1 1) y 0 y 0
1 1 . lim x 0 xy 1 1 2 y 0
例 7 设 D x , y x , y Q R 2 . z f x , y 定义 在 D 上, 且在 D 上恒等于 1, 在别的点上无定义的函
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 2
x2 y2 时
f ( x , y ) f (0,0) 0 连续.
由定义知：
则 P 0 是 f 关于 D 的连续点. 若 P 0 是 D 的孤立点，
若 P 0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P 0 连续等价于
lim f P f P 0 .
若 lim f P f P 0 , 则 P 0 是 f 的不连续点.
§3 二元函数的连续性
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
二元函数的连续性
f
(Qn )
0
由于D为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk
Pn
，并设lim k
Pnk
P0 D
再在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子列 Qnk ，
则因
0 (Pnk , Qnk )
1 nk
0， k
得到
而有lim k
Qnk
lim
k
Pnk
P0，最后，由f在P0连续，
lim
证明 由f在点Q0连续可知：任给正数 ，存在相应正数 ， 使得当u u0 , v v0 时，有 f (u,v) f (u0 ,v0 ) 又由、在点P0连续可知：对上述正数，总存在正数，使得当x x0 ,
y y0 时，都有 u u0 (x, y) (x0 , y0 ) v v0 (x, y) (x0 , y0 )
从而P0 D 由于f在D上连续，当然在点 P0也连续，因此有
lim
k
f (Pnk )
f (P0 )
这与不等式 (3)相矛盾，所以 f是D上的有界函数。
下面证明f在D上能取到最大、最小值 。设 m inf f (D), M sup f (D)
可证必有一点 Q D，使f (Q) M。否则对任意 P D，都有M f (P) 0
例如 函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
m, 1 m2
(x, y) (x, y) | y mx, x 0
(x, y) (0,0)
其中m为固定实数，即函数 f只定义在直线 y mx上。
由于
lim f (x, y) m f (0,0)
( x, y)(0,0)
1 m2
ymx
因此f在原点沿着直线 y mx是连续的。
二元函数连续性
性质2 （介值定理） 有界闭区域D上的多元连续函数一定能取得 介于最大值和最小值之间的任何值。
说明：性质2告诉我们， 设f在有界闭区域D上连续，记m, M为f在D上的 最小值和最大值，则对于任意满足不等式
m C M
的实数C,必存在点P0 D, 使得 f (P0) C.
1、连续性的定义（两种形式）。 2、多元初等函数的连续性。 3、有界闭区域上多元连续函数 的性质。
解：取 y kx
lim xy x0 x2 y2
y0
lim
x0
x
2
y kx
kx2 k2x2
k 1 k2
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
所以函数在(0,0)处不连续．
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0(x0 , y0 )的全增量 z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ),则
1、 若 f ( P ) 在 D 上 任 何 点 都 连 续 ， 则称f (P)是D上的连续函数。 2、二元函数连续性概念，可类似地
推广到n元函数f (P)上去。 3、二元函数函数f (x, y)在点P0连续 必须满足三个条件：1）在P0点有定义； 2）在P0点极限存在；3）极限值和函数 值相等。
f (x, y)在P0(x0 , y0)连续
lim z 0
(x,y )(0,0)
即，二元函数在某点连续的充要条件是它 在该点的全增量极限为零。
3. 二元连续函数的几何意义
二元函数f (x, y)在区域D上连续，表示它的图形是 区域D上一片无“洞”，无“裂缝”的连续曲面。
二、多元连续函数的运算性质
公共数学教研室 戴明清
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
连续的定义
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练习
0 讨论函数 f ( x, y ) y
解：因为
( x , y )( x0 , y0 ) x有理数集
x 为有理数 的连续性. x 为无理数
lim
f ( x, y) 0而
( x , y )( x0 , y0 ) x无理数集
y=x2
f=0 f=0 k y=kx
当 k 0时，取 | k | , | x | 时
| f ( x , kx ) f (0,0) | 0
因此函数 f ( x , y )在点( 0 , 0 ) 沿任何方向都连续.
但函数 f ( x , y )在点 ( 0 , 0 ) 极限不存在，所以不连续.
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特别 lim f P 存在但不等于 f P 0 时, P 0 是 f 的
PP 0 P D
可去间断点. 注意 二元函数可能在某些点处间断，也可能在 曲线上的所有点处均间断. xy , x 0, y 0, 2 2 例如， f ( x , y ) x y (0, 0) 是间断点. 0, x 0, y 0.
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4. 连续函数的局部性质
若 f x , y 在某点连续，则可证明它在这一点
近旁具有局部有界性、局部保号性.
两个连续函数的和、差、积、商（若分母不
为0)仍是连续函数. 复合函数的连续 返回 结束 铃
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二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一、 二元函数的连续性概念由一元函数连续概念引入 .1. )(P f 关于集合D 在0P 连续的定义定义 P100设),()(y x f P f =是定义在2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，或者是孤立点. 若,);(),(,0,00D P U y x P δδε∈∀>∃>∀有ε<-)()(0P f P f ，则称)(P f 关于集合D 在0P 连续，简称)(P f 在0P 连续.D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，)(P f 在0P 连续)()(lim 00P f P f P P =⇔→ 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .“D P U y x P );(),(0δ∈∀”用方邻域叙述用圆邻域叙述函数的增量: 全增量、 偏增量 .用增量的语言叙述)(P f 在0P 连续. （用增量定义连续性） .2. )(P f 在集合D 连续.如果f 在集合D 内每一点连续，则称f 在D 连续，或称f 是D 上的连续函数. 函数在区域上的连续性 .3. )(P f 在0P 不连续.间断点例 （P101）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例 （P95例4 ）⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但点) 0 , 0 (并不连续.补例 求函数)(22y x tg z +=的不连续点。
（讨论函数的连续性）4. 二元连续和单元连续定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系 （P101） 例 （P101）⎩⎨⎧=≠=. 0 , 0, 0 , 1),(xy xy y x f 函数),(y x f 在原点处不连续 但在原点处f 对x 和对y 分别都连续.5. 二元连续函数的性质局部保号性 若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f . 局部有界性运算性质 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数. 定理16.7（复合函数连续性）P102设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。
二元函数的极限与连续性
f
( x,
y)
0，
其余部分.
如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 f ( x, y) 都趋于 0, 但这并不表明此函数在
( x, y) (0, 0) 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线
y kx2(0 k 1) 趋于点 O 时, f ( x, y)将趋于1. 所
以极限 lim f ( x, y) 不存在. ( x, y) (0,0)
例5 讨论 f ( x, y) x y 在 ( x, y) (0, 0) 时不 x y
存在极限． 解 利用定理 5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二路径而使 ( x, y) (0, 0) 时, 得到两个相异 的极限．
定理 5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 P P0 PD
任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有 lim f (P) A .
P P0 PE
推论1
若
E1 D, P0
是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
不存在, 则 lim f (P) 也不存在． P P0 P D
时，由于
f (x,
y)
m f (x, mx) 1 m2
,
因此有
m
( x,
lim
y) (0, 0)
f
( x,
y)
lim
x0
f
( x,
mx)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2
.
y mx
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
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Pnk
P0 . 所 以P0
是D 的聚点, 再因
D 是 闭 集， 知 P0 D. 由于 f 在 D 上连续， 当然在点P0 也连续， 因此
有 lim k
f ( Pnk )
f (P0 ).
这与不等式 ⑶ 相矛盾， 所以 f 在 D 上有界.
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定理16.9（一致连续性定理）若函数 f 在有界闭域D R2上连续，则f 在 D 上
u ( x, y) 和 v ( x, y) 在 xy 平面上点
P0 ( x0 , y0 ) 的 某 邻 域 内 有 定 义, 并 在 P0 点 连 续; 函 数 f (u, v) 在 uv 平 面 上 点Q0 (u0 , v0 ) 的 邻 域 内 有 定 义, 并 在 Q0 点 连 续,其 中
u0 ( x0 , y0 ), v ( x0 , y0 ). 则 复 合 函 数 g( x, y) f [ ( x, y),( x, y)] 在 点 P0 也 连 续.
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二、有界闭域上连续函数的性质
定理16.8（有界性与最大、最小值定理） 若函数 f 在有界闭域D R2 上连续，则f 在 D 上有界， 且 能 取 得 最 大 值 与 最 小值.
其中 L 为常数，则此函数在 G 内连续。
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证 因 为 f ( x, y0 ) 对 变量 x 连 续， 所 以
0, 1 0, 使 得 当| x x0 | 1 时，
| f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
取
min{
L
, 1},
但 二 元 函 数 f 在 ( x0 , y0 ) 不 一 定 连 续.
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1, xy 0 设 f ( x, y) 0, xy 0
显然 f 在原点处不连续.
但 lim f ( x,0) lim0 0 f (0,0)
x0
x0
所以 f ( x, 0 ) 在 x =0 连续.
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设P0 ( x0 , y0 )，P( x, y) D, x x x0 , y y y0 , 则 称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 )
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 为 函 数 f 在 点 P0 的 全 增 量.
一致连续.（即 0, 0，使得 P,Q D，只要(P,Q) ，就有 | f (P) - f (Q) | .)
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定理16.10（介值性定理）设函数 f 在区域
D R2上 连 续 ， 若P1，P2为 D 中 任 意 两点 ， 且 f (P1 ) f (P2 ),则对任何满足不等式
若 lim z 0, 则称 (x,y )(0,0)
f
关于 D 在点 P0
连 续.
( x, y )D
称 x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) y f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
lim f (0, y) lim0 0 f (0,0)
y0
y0
f ( 0, y ) 在 y =0 连续.
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与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点连续， 那么在这一点也有局部有界性、局部保号性、有理 运算的各个法则以及复合函数的连续性.
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定 理 16.7 (复 合 函 数 的 连 续 性) 设 函 数
当| x x0 | ,| y y0 | 时,
| f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
| f ( x, y) f ( x, y0 ) | | f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
L | y y0 | L 2
0,
则 f ( x0 , y) 在 y0 连续.
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若 f 在 ( x0 , y0 ) 连续, 则 f ( x, y0 ) 在 x0 连续，
f ( x0 , y) 在 y0 连续.
但 反 过 来 不 一 定 成 立， 若 f ( x, y0 ) 在 x0 连 续， f ( x0 , y) 在 y0 连 续，
为 函 数 f 在 点 P0 的 偏 增 量.
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若
lim
x 0
x
f
( x0 ,
y0 )
0,
即 lim[ x 0
f ( x0
x,
y0 )
f
( x0 ,
y0 )]
0
这 说 明 f ( x, y0 ) 在 x0 连 续.
同理若
lim
y0
y
f
(
x0
,
y0
)
若 f 在 P0 不连续，则称 P0 是 f 的不连续点,
或间断点.
若 lim P P0
f (P) 存 在, 但 lim P P0
f (P)
f (P0 )
PD
PD
则 称 P0 是 f 的 可 去 间 断 点.
若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续，则称
f 为 D 上的连续函数.
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▪二元函数连续性的 概念
▪有界闭域上连续函 数的性质
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一、二元函数的连续性概念
定 义 设 f 为 定 义 在 点 集D R2 上 的 二 元 函 数 ， P0 D（ 或 者 是 D 的 聚 点， 或 者 是 D 的 孤 立 点）,
0， 0， 当P U（P0；） D时 ，
f (P1 ) u f (P2 ) 的实数u，必存在点P0 D，使得 f (P0 ) u.
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P.105 习题6
6. 若 f (x, y) 在某一区域 G 内对变量 x 为连续，对
变量 y 满足李普希兹条件，即对任何
(x, y) G, (x, y) G
有 | f (x, y) f (x, y) | L | y y |
有
| f (P) f (P0 ) |
则 称 f 关 于 集 合D 在 点 P0 连 续.
若 P0 是 D 的孤立点,则 P0 必定是 f 关于 D 的连续点.
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若 P0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
PD
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证 先证 f 在 D 上有界. 假设 f 在 D 上无界,
则对每个正整数 n, 必存在互不相同的 Pn D, 使得
| f (Pn ) | n, n 1,2,
⑶
于是得一个有界无限点列 {Pn } D
由聚点定理的推论, {Pn } 存在收敛子列{Pnk },
设
lim
k