二元函数连续性的概念有界闭域上连续函数的性质
Pnk
P0 . 所 以P0
是D 的聚点, 再因
D 是 闭 集， 知 P0 D. 由于 f 在 D 上连续， 当然在点P0 也连续， 因此
有 lim k
f ( Pnk )
f (P0 ).
这与不等式 ⑶ 相矛盾， 所以 f 在 D 上有界.
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定理16.9（一致连续性定理）若函数 f 在有界闭域D R2上连续，则f 在 D 上
u ( x, y) 和 v ( x, y) 在 xy 平面上点
P0 ( x0 , y0 ) 的 某 邻 域 内 有 定 义, 并 在 P0 点 连 续; 函 数 f (u, v) 在 uv 平 面 上 点Q0 (u0 , v0 ) 的 邻 域 内 有 定 义, 并 在 Q0 点 连 续,其 中
u0 ( x0 , y0 ), v ( x0 , y0 ). 则 复 合 函 数 g( x, y) f [ ( x, y),( x, y)] 在 点 P0 也 连 续.
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二、有界闭域上连续函数的性质
定理16.8（有界性与最大、最小值定理） 若函数 f 在有界闭域D R2 上连续，则f 在 D 上有界， 且 能 取 得 最 大 值 与 最 小值.
其中 L 为常数，则此函数在 G 内连续。
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证 因 为 f ( x, y0 ) 对 变量 x 连 续， 所 以
0, 1 0, 使 得 当| x x0 | 1 时，
| f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
取
min{
L
, 1},
但 二 元 函 数 f 在 ( x0 , y0 ) 不 一 定 连 续.
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1, xy 0 设 f ( x, y) 0, xy 0
显然 f 在原点处不连续.
但 lim f ( x,0) lim0 0 f (0,0)
x0
x0
所以 f ( x, 0 ) 在 x =0 连续.
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设P0 ( x0 , y0 )，P( x, y) D, x x x0 , y y y0 , 则 称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 )
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 为 函 数 f 在 点 P0 的 全 增 量.
一致连续.（即 0, 0，使得 P,Q D，只要(P,Q) ，就有 | f (P) - f (Q) | .)
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定理16.10（介值性定理）设函数 f 在区域
D R2上 连 续 ， 若P1，P2为 D 中 任 意 两点 ， 且 f (P1 ) f (P2 ),则对任何满足不等式
若 lim z 0, 则称 (x,y )(0,0)
f
关于 D 在点 P0
连 续.
( x, y )D
称 x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) y f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
lim f (0, y) lim0 0 f (0,0)
y0
y0
f ( 0, y ) 在 y =0 连续.
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与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点连续， 那么在这一点也有局部有界性、局部保号性、有理 运算的各个法则以及复合函数的连续性.
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定 理 16.7 (复 合 函 数 的 连 续 性) 设 函 数
当| x x0 | ,| y y0 | 时,
| f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
| f ( x, y) f ( x, y0 ) | | f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
L | y y0 | L 2
0,
则 f ( x0 , y) 在 y0 连续.
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若 f 在 ( x0 , y0 ) 连续, 则 f ( x, y0 ) 在 x0 连续，
f ( x0 , y) 在 y0 连续.
但 反 过 来 不 一 定 成 立， 若 f ( x, y0 ) 在 x0 连 续， f ( x0 , y) 在 y0 连 续，
为 函 数 f 在 点 P0 的 偏 增 量.
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若
lim
x 0
x
f
( x0 ,
y0 )
0,
即 lim[ x 0
f ( x0
x,
y0 )
f
( x0 ,
y0 )]
0
这 说 明 f ( x, y0 ) 在 x0 连 续.
同理若
lim
y0
y
f
(
x0
,
y0
)
若 f 在 P0 不连续，则称 P0 是 f 的不连续点,
或间断点.
若 lim P P0
f (P) 存 在, 但 lim P P0
f (P)
f (P0 )
PD
PD
则 称 P0 是 f 的 可 去 间 断 点.
若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续，则称
f 为 D 上的连续函数.
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▪二元函数连续性的 概念
▪有界闭域上连续函 数的性质
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一、二元函数的连续性概念
定 义 设 f 为 定 义 在 点 集D R2 上 的 二 元 函 数 ， P0 D（ 或 者 是 D 的 聚 点， 或 者 是 D 的 孤 立 点）,
0， 0， 当P U（P0；） D时 ，
f (P1 ) u f (P2 ) 的实数u，必存在点P0 D，使得 f (P0 ) u.
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P.105 习题6
6. 若 f (x, y) 在某一区域 G 内对变量 x 为连续，对
变量 y 满足李普希兹条件，即对任何
(x, y) G, (x, y) G
有 | f (x, y) f (x, y) | L | y y |
有
| f (P) f (P0 ) |
则 称 f 关 于 集 合D 在 点 P0 连 续.
若 P0 是 D 的孤立点,则 P0 必定是 f 关于 D 的连续点.
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若 P0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
PD
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证 先证 f 在 D 上有界. 假设 f 在 D 上无界,
则对每个正整数 n, 必存在互不相同的 Pn D, 使得
| f (Pn ) | n, n 1,2,
⑶
于是得一个有界无限点列 {Pn } D
由聚点定理的推论, {Pn } 存在收敛子列{Pnk },
设
lim
k
二元函数连续性
lim
P→ P0
f (P) =
f ( P0 )
（ P 0 ∈定义区域）
例４ 求极限
lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2
( x, y)→(0,0)
解：函数f (x, y) = (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2是二元初等函数， 定义域是R2 ,并且它在点（0,0）(∈ R2 )处连续,
=.
x→0 y→0
xy + 1 + 1
2
三、在有界闭区域上连续函数的性质
性质1 （有界性与最大值最小值定理）
如果函数f在有界闭区域D上连续，则f在 D上有界，且能取得最大值和最小值。
说明：性质1是说，若f(P)在有界闭区域D 上连续，则必定存在大于0的常数M，使得 对一切属于D的点P，有
f (P) ≤ M ,且存在P1、P2 ∈ D,使得 f (P1) = max{ f (P) P ∈ D}, f (P2 ) = min{ f (P) P ∈ D}.
它是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数
经过有限次四则运算和复合运算得到的。
如 = f ( x, y)
lnsin( xy) +
x x2
− +
y y2
等等
3、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区 域．
注：在多元初等函数定义区域内的连续点处求 极限可用“代入法”。
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0 (x0 , y0)的全增量 ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0),则
高等数学第16章第3节二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。
3 二元函数的连续性
数,即
1, 当 (x, y) D时, f (x, y) = 无定义, 当(x, y) D时.
lim f ( x , y ) 1 f ( x0 , y0 )
x
1 o
可知, (x0, y0) D
x x0 y y0
但曲面 z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
xy 1 1 . 例 6 求 lim x 0 xy y 0
xy 1 1 xy 1 1 解 lim lim x 0 xy ( x 0 xy xy 1 1) y 0 y 0
1 1 . lim x 0 xy 1 1 2 y 0
例 7 设 D x , y x , y Q R 2 . z f x , y 定义 在 D 上, 且在 D 上恒等于 1, 在别的点上无定义的函
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 2
x2 y2 时
f ( x , y ) f (0,0) 0 连续.
由定义知：
则 P 0 是 f 关于 D 的连续点. 若 P 0 是 D 的孤立点，
若 P 0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P 0 连续等价于
lim f P f P 0 .
若 lim f P f P 0 , 则 P 0 是 f 的不连续点.
§3 二元函数的连续性
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
二元函数的连续性
f
(Qn )
0
由于D为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk
Pn
，并设lim k
Pnk
P0 D
再在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子列 Qnk ，
则因
0 (Pnk , Qnk )
1 nk
0， k
得到
而有lim k
Qnk
lim
k
Pnk
P0，最后，由f在P0连续，
lim
证明 由f在点Q0连续可知：任给正数 ，存在相应正数 ， 使得当u u0 , v v0 时，有 f (u,v) f (u0 ,v0 ) 又由、在点P0连续可知：对上述正数，总存在正数，使得当x x0 ,
y y0 时，都有 u u0 (x, y) (x0 , y0 ) v v0 (x, y) (x0 , y0 )
从而P0 D 由于f在D上连续，当然在点 P0也连续，因此有
lim
k
f (Pnk )
f (P0 )
这与不等式 (3)相矛盾，所以 f是D上的有界函数。
下面证明f在D上能取到最大、最小值 。设 m inf f (D), M sup f (D)
可证必有一点 Q D，使f (Q) M。否则对任意 P D，都有M f (P) 0
例如 函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
m, 1 m2
(x, y) (x, y) | y mx, x 0
(x, y) (0,0)
其中m为固定实数，即函数 f只定义在直线 y mx上。
由于
lim f (x, y) m f (0,0)
( x, y)(0,0)
1 m2
ymx
因此f在原点沿着直线 y mx是连续的。
二元函数连续性
性质2 （介值定理） 有界闭区域D上的多元连续函数一定能取得 介于最大值和最小值之间的任何值。
说明：性质2告诉我们， 设f在有界闭区域D上连续，记m, M为f在D上的 最小值和最大值，则对于任意满足不等式
m C M
的实数C,必存在点P0 D, 使得 f (P0) C.
1、连续性的定义（两种形式）。 2、多元初等函数的连续性。 3、有界闭区域上多元连续函数 的性质。
解：取 y kx
lim xy x0 x2 y2
y0
lim
x0
x
2
y kx
kx2 k2x2
k 1 k2
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
所以函数在(0,0)处不连续．
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0(x0 , y0 )的全增量 z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ),则
1、 若 f ( P ) 在 D 上 任 何 点 都 连 续 ， 则称f (P)是D上的连续函数。 2、二元函数连续性概念，可类似地
推广到n元函数f (P)上去。 3、二元函数函数f (x, y)在点P0连续 必须满足三个条件：1）在P0点有定义； 2）在P0点极限存在；3）极限值和函数 值相等。
f (x, y)在P0(x0 , y0)连续
lim z 0
(x,y )(0,0)
即，二元函数在某点连续的充要条件是它 在该点的全增量极限为零。
3. 二元连续函数的几何意义
二元函数f (x, y)在区域D上连续，表示它的图形是 区域D上一片无“洞”，无“裂缝”的连续曲面。
二、多元连续函数的运算性质
公共数学教研室 戴明清
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
连续的定义
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练习
0 讨论函数 f ( x, y ) y
解：因为
( x , y )( x0 , y0 ) x有理数集
x 为有理数 的连续性. x 为无理数
lim
f ( x, y) 0而
( x , y )( x0 , y0 ) x无理数集
y=x2
f=0 f=0 k y=kx
当 k 0时，取 | k | , | x | 时
| f ( x , kx ) f (0,0) | 0
因此函数 f ( x , y )在点( 0 , 0 ) 沿任何方向都连续.
但函数 f ( x , y )在点 ( 0 , 0 ) 极限不存在，所以不连续.
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特别 lim f P 存在但不等于 f P 0 时, P 0 是 f 的
PP 0 P D
可去间断点. 注意 二元函数可能在某些点处间断，也可能在 曲线上的所有点处均间断. xy , x 0, y 0, 2 2 例如， f ( x , y ) x y (0, 0) 是间断点. 0, x 0, y 0.
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4. 连续函数的局部性质
若 f x , y 在某点连续，则可证明它在这一点
近旁具有局部有界性、局部保号性.
两个连续函数的和、差、积、商（若分母不
为0)仍是连续函数. 复合函数的连续 返回 结束 铃
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二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一、 二元函数的连续性概念由一元函数连续概念引入 .1. )(P f 关于集合D 在0P 连续的定义定义 P100设),()(y x f P f =是定义在2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，或者是孤立点. 若,);(),(,0,00D P U y x P δδε∈∀>∃>∀有ε<-)()(0P f P f ，则称)(P f 关于集合D 在0P 连续，简称)(P f 在0P 连续.D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，)(P f 在0P 连续)()(lim 00P f P f P P =⇔→ 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .“D P U y x P );(),(0δ∈∀”用方邻域叙述用圆邻域叙述函数的增量: 全增量、 偏增量 .用增量的语言叙述)(P f 在0P 连续. （用增量定义连续性） .2. )(P f 在集合D 连续.如果f 在集合D 内每一点连续，则称f 在D 连续，或称f 是D 上的连续函数. 函数在区域上的连续性 .3. )(P f 在0P 不连续.间断点例 （P101）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例 （P95例4 ）⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但点) 0 , 0 (并不连续.补例 求函数)(22y x tg z +=的不连续点。
（讨论函数的连续性）4. 二元连续和单元连续定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系 （P101） 例 （P101）⎩⎨⎧=≠=. 0 , 0, 0 , 1),(xy xy y x f 函数),(y x f 在原点处不连续 但在原点处f 对x 和对y 分别都连续.5. 二元连续函数的性质局部保号性 若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f . 局部有界性运算性质 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数. 定理16.7（复合函数连续性）P102设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。
二元函数的极限与连续性
f
( x,
y)
0，
其余部分.
如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 f ( x, y) 都趋于 0, 但这并不表明此函数在
( x, y) (0, 0) 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线
y kx2(0 k 1) 趋于点 O 时, f ( x, y)将趋于1. 所
以极限 lim f ( x, y) 不存在. ( x, y) (0,0)
例5 讨论 f ( x, y) x y 在 ( x, y) (0, 0) 时不 x y
存在极限． 解 利用定理 5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二路径而使 ( x, y) (0, 0) 时, 得到两个相异 的极限．
定理 5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 P P0 PD
任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有 lim f (P) A .
P P0 PE
推论1
若
E1 D, P0
是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
不存在, 则 lim f (P) 也不存在． P P0 P D
时，由于
f (x,
y)
m f (x, mx) 1 m2
,
因此有
m
( x,
lim
y) (0, 0)
f
( x,
y)
lim
x0
f
( x,
mx)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2
.
y mx
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
数学分析16.3二元函数的连续性
第十六章 多元函数的极限与连续3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义1：设f 为定义在点集D ⊂R 2上的二元函数，P 0∈D(聚点或孤立点).对于任给正数ε，总存在相应的正数δ，只要P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，就有 |f(P)-f(P 0)|<ε，则称f 关于集合D 在点P 0连续. 在不致误解的情况下，也称f 在点P 0连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.注：若P 0是D 的孤立点，则必为f 关于D 的连续点；若P 0是D 的聚点，则f 关于D 在P 0连续等价于DP P P 0lim ∈→f(P)=f(P 0)， 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠f(P 0)，则聚点P 0是f 的不连续点(或称间断点). 若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ≠f(P 0)，则P 0是f 的可去间断点.如：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2和f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，， 在原点连续；函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012在原点不连续；函数f(x,y)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+)0,0()y x,(m 1m }0 x mx,y |)y x,{()y x,(y x xy 222，，，m 为固定实数，即f 只定义在直线y=mx 上，∵mx y )0,0()y ,x (lim =→f(x,y)=2m1m +=f(0,0)， ∴f 在原点沿着直线y=mx 连续.例1：讨论函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x x 22α，，, (α>0)在点(0,0)的连续性. 解：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.当(x,y)≠(0,0)时，22αy x x +=2ααr φcos r →⎪⎩⎪⎨⎧<<∞=>2α02α，2α0，，不存在,(r →0)； ∴当α>2时，f 在点(0,0)连续；当0<α≤2时，f 在点(0,0)间断.定义2：设P 0(x 0,y 0), P(x,y)∈D, △x=x-x 0, △y=y-y 0, 则称△z=△f(x 0,y 0)=f(x,y)-f(x 0,y 0)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)为函数f 在点P 0的全增量. 当D )y ,x ()y ,x ()y ,x (00lim ∈→∆∆△z=0时，f 在点P 0连续.若在全增量中取△x=0或△y=0，则相应的函数增量称为偏增量，记作： △f(x 0,y 0)=(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0)，△f(x 0,y 0)=(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0).注：一般函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.0x lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示固定y=y 0时，f(x,y 0)作为x 的一元函数在x 0连续.同理，0y lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示f(x 0,y)在y 0连续. 但二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.例：f(x,y)=⎩⎨⎧=≠0xy 00xy 1，， 在原点处不连续，但f(0,y)=f(x,0)=0，即 在原点处f 对x 和对y 都连续.定理16.7：(复合函数的连续性)设函数u=φ(x,y)和v=ψ(x,y)在xy 平面上点P 0(x 0,y 0)的某邻域内有定义，并在点P 0连续；函数f(u,v)在uv 平面上点Q 0(u 0,v 0)的某邻域内有定义，并在点Q 0连续，其中u 0=φ(x 0,y 0), v 0=ψ(x 0,y 0)，则复合函数g(x,y)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续. 证：由f 在点Q 0连续知，∀ε>0，∃η>0，使得当|u-u 0|<η, |v-v 0|<η时， 有|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε. 又由φ,ψ在点P 0连续知，对上述正数η，∃δ>0， 使得当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，都有|u-u 0|=|φ(x,y)-φ(x 0,y 0)|<η， |v-v 0|=|ψ(x,y)-ψ(x 0,y 0)|<η，即当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，就有 |g(x,y)-g(x 0,y 0)|=|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε，∴复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续.二 、有界闭域上连续函数的性质定理16.8：(有界性与最大、最小值定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.证：若f 在D 上无界，则对每个正整数n ，必存在点P n ∈D ，使得 |f(P n )|>n, n=1,2,…. 于是得到一个有界点列{P n }⊂D ，且总能使 {P n }中有无穷多个不同的点，由定理16.3知，{P n }存在收敛子列{P k n },记∞→k lim P k n =P 0，∵D 是闭域，∴P 0∈D ，又f 在D 上连续， ∴∞→k lim f(P k n )=f(P 0)，与|f(P n )|>n, n=1,2,…矛盾，∴f 在D 上有界. 设m=inff(D)，M=supf(D). 若对任意P ∈D, 有M-f(P)>0，记F(P)=f(P)-M 1 , 则函数F(P)连续，恒有F(P)>0，F 在D 上有界， 由设f 不能在D 上达到上确界M ，∴存在收敛点列{P n }⊂D ，使得∞→n lim f(P n )=M ，于是有∞→n lim F(P n )=+∞，与F 在D 上有界矛盾， ∴f 在D 上有最大值M ；同理可证，f 在D 上有最小值m.定理16.9：(一致连续性定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上一致连续，即对任给的ε>0，总存在只依赖于ε的正数δ， 使得对一切点P ,Q ∈D ，只要ρ(P ,Q)<δ，就有|f(P)-f(Q)|<ε.证：若f 在D 上连续而不一致连续，则存在某ε0>0，对任意小的δ>0， 如取δ=n 1, n=1,2,…，总有相应的P n ,Q n ∈D ，虽然ρ(P n ,Q n )<n1，但是 |f(P n )-f(Q n )|≥ε0. ∵D 为有界闭域，∴存在收敛子列{P k n }⊂{P n }， 记∞→k lim P k n =P 0∈D ，并在{Q n }中取出与P k n 下标相同的子列{Q k n }，则 ∵0≤ρ(P k n ,Q k n )<kn 1→0, k →∞，∴∞→k lim Q k n =∞→k lim P k n =P 0，又 由f 在P 0连续，∴∞→k lim |f(P k n )-f(Q k n )|=|f(P 0)-f(P 0)|=0，与|f(P k n )-f(Q kn )|≥ε0>0矛盾！∴f 在D 上一致连续.定理16.10：(介值性定理)设函数f 在区域D ⊂R 2上连续，若P 1,P 2为D 中任意两点，f(P 1)<f(P 2)，则对任何满足不等式f(P 1)<μ<f(P 2)的实数μ，必存在点P 0∈D ，使得f(P 0)=μ.证：记F(P)=f(P)-μ, P ∈D ，则F(P)在D 上连续，且F(P 1)<0<F(P 2). 不妨设P 1,P 2为D 的内点，∵D 为区域，∴D 中有限折线可联结P 1,P 2， 若某一联结点P 0’, 有F(P 0’)=0，则f(P 0’)=μ，得证；否则， 必存在某联结线段Q 1Q 2两端的函数值异号，设Q 1Q 2所在直线方程为： ⎩⎨⎧+=+=)y -t(y y y )x -t(x x x 121121, 0≤t ≤1，其中Q 1(x 1,y 1)和Q 2(x 2,y 2)为线段两端点； 则在此线段上，F 表示为关于t 的复合函数：G(t)=F(x 1+t(x 2-x 1),y 1+t(y 2-y 1)), 0≤t ≤1，在[0,1]一元连续，且 F(Q 1)=G(0)<0<G(1)=F(Q 2). 由一元函数根的存在定理知，在(0,1)内存在一点t 0, 使得G(t 0)=0. 记x 0=x 1+t 0(x 2-x 1), y 0=y 1+t 0(y 2-y 1)， 则有P 0(x 0,y 0)∈D ，使得F(P 0)=G(t 0)=0，即f(P 0)=μ.注：定理16.8与定理16.9的有界闭域D 可改变有界闭集；为了保证连通性，定理16.10只适合区域，且由介值性定理可知，区f 在区域D 上连续，则f(D)必定是一个区间(有限或无限).习题1、讨论下列函数的连续性：(1)f(x,y)=tan(x 2+y 2)；(2)f(x,y)=[x+y]；(3)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0y 00y y x y sin ，，； (4)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy sin 222222，，；(5)f(x,y)=⎩⎨⎧为有理数为无理数x y x 0，，；(6)f(x,y)=⎩⎨⎧=+≠++0y x 00y x )y x ln(y 2222222，，；(7)f(x,y)=x siny sin 1；(8)f(x,y)=y x-e . 解：(1)记D={(x,y)|0≤x 2+y 2<2π∪{(x,y)|21-2k π<x 2+y 2<212k +π, k ∈N}}， 当(x 0,y 0)∈D 时，由tanu 在u 0=x 02+y 02连续知，)y ,x ()y ,x (00lim →tan(x 2+y 2)=0u u lim →tanu= tanu 0=tan(x 02+y 02)， ∴f(x,y)在(x 0,y 0)连续，即f(x,y)在D 上连续，又f 在R 2-D 上无定义，∴f 在R 2-D 上处处间断.(2)记D={(x,y)|k<x+y<k+1,k ∈Z}，且P 0(x 0,y 0)∈D ，则存在k ∈Z,使 k<x 0+y 0<k+1，于是当δ>0充分小时，对任意的(x,y)∈U(P 0;δ)，就有 k<x+y<k+1，从而f(x,y)≡k ≡f(x 0,y 0)，∴)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，∴f 在D 上连续，在R 2-D(即x+y=k)处处不连续.(3)∵yxy sin ≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又当y ≠0时，f(x,y)是初等函数且在{(x,y)|y ≠0}有定义，∴f(x,y)在D={(x,y)|y ≠0}∪{(0,0)}上连续. 又在任一点(x 0,0)≠(0,0)处， ∵f(x 0,0)=0而)0,x ()y ,x (0lim →f(x,y)≠0，∴f 在(x 0,0)间断，即f 仅在D 上连续.(4)当x 2+y 2≠0时，22y x xysin +≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)， ∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又f(x,y)在R 2-(0,0)上有定义且为初等函数， ∴f(x,y)在R 2上连续.(5)设(x 0,y 0)∈R 2，则当x 0为有理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)-y 0|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y -y |x |y |00，，；当x 0为无理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y |x 0，，； ∴当且仅当y 0=0时，)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，即f 仅在D={(x,y)|y=0}上连续.(6)在x 2+y 2≠0的点处，f 是初等函数且有定义，又|y 2ln(x 2+y 2)|≤|(x 2+y 2)ln(x 2+y 2)|→0, (x,y)→(0,0)，即)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在R 2上连续. (7)直线x=m π及y=n π, (m,n=0,±1,±2,…)上的点均为f 的不连续点. 而在D={(x,y)x ≠n π或y ≠n π, n ∈N}上f 有定义且为初等函数， ∴f 仅在D 上连续，即除直线x=m π及y=n π以外的点，f 都连续.(8)∵u=-yx 在其定义域D={y|y ≠0}上连续，又f=e u 关于u 连续， 由复合函数的连续性知f 在其定义域D 上连续.2、叙述并证明二元连续函数的局部保号性.解：局部保号性：若函数f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)连续，且f(x 0,y 0)≠0， 则函数f(x,y)在点P 0的某一邻域U(P 0;δ)内与f(x 0,y 0)同号，并存在某正数r(|f(x 0,y 0)|>r)，使得对任意(x,y)∈U(P 0;δ)，有|f(x,y)|≥r>0.证明如下： 设f(x 0,y 0)>0，则存在r ，使f(x 0,y 0)>r>0，取ε=f(x 0,y 0)-r>0， 由f 在 (x 0,y 0)连续知，∃δ>0，使得当(x,y)∈U(P 0;δ)时，有|f(x,y)-f(x 0,y 0)|<ε=f(x 0,y 0)-r ，即当(x,y)∈U(P 0;δ)时，f(x,y)≥f(x 0,y 0)-ε=r>0. 当f(x 0,y 0)<0时，任取0<r<-f(x 0,y 0)，由上可知存在U(P 0;δ)，使得 在其上-f(x,y)≥r>0，即f(x,y)≤-r<0.∴f 在U(P 0;δ)上与f(x 0,y 0)同号，且|f(x,y)|≥r>0.3、设f(x,y)=()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x x 2222p 22，，, p>0，讨论它在点(0,0)处的连续性. 解：当x 2+y 2≠0时，()p 22y x |x |+≤|x 1-2p |→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞=<<21p ，21p ，121p 00，, (x,y)→(0,0)； ∴当0<p<21时，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，f 在(0,0)连续； 当p ≥21时，f 在(0,0)不连续.4、设f(x,y)定义在闭矩形域S=[a,b]×[c,d]上. 若f 对y 在[c,d]上处处连续，对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续，证明f 在S 上处处连续. 证：设(x 0,y 0)∈S ，对固定的x 0, f 为y 的连续函数，即∀ε>0，∃δ1>0， 当|y-y 0|<δ1，且(x 0,y)∈S 时，有|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<2ε，又由f 对x 关于y 为一致连续，∴对上述的ε>0，∃δ2>0，对满足 |y-y 0|<δ2的任何y ，只要|x-x 0|<δ2，且(x,y)∈S ，便有|f(x,y)-f(x 0,y)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则只要|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ，且(x,y)∈S ，总有 |f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x 0,y)|+|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在S 上连续.5、证明：若D ⊂R 2是有界闭域，f 为D 上的连续函数，且f 不是常数函数，则f(D)不仅有界，而且是闭区间.证：若f 在D 上恒为常数，则f(D)为单点集，从而有界.若f在D上不恒为常数，由定理16.8知：f在D上有界且能取得最大值、最小值，分别设为M,m，则m<M且m≤f(P)≤M,(P∈D)，即f(D)⊂[m,M]. 下证f(D)⊃[m,M].任给μ∈[m,M]，由介值定理知，必存在P0∈D使f(P0)=μ，∴μ∈f(D)，∴f(D)⊃[m,M]，∴f(D)=[m,M]为闭区间.6、设f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续，又有函数列{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，且c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…. 试证{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.证：∵f(x,y)在D=[a,b]×[c,d]上连续，∴对任意(x0,y0)∈D, ∀ε>0，∃δ>0，使得当|x-x0|<δ,|y-y0|<δ，且(x,y)∈D时，有|f(x,y)-f(x0,y0)|<ε.∵{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，∴对上述δ，∃N, 使得当n,m>N时，对一切x∈[a,b]，有|φn(x)-φm(x)|<δ.由c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…知，φn(x),φm(x)∈[c,d].又f(x,y)在(x,φm(x))∈D连续，对(x,φn(x))∈D及上述ε, δ, N，有x∈[a,b]，|x-x|=0<δ, |φn(x)-φm(x)|<δ，∴|f(x,φn(x))-f(x,φm(x))|=|F n(x)-F m(x)|<ε.∴{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.7、设f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，对y满足利普希茨条件：|f(x,y’)-f(x,y”)|≤L|y’-y”|, 其中(x,y’),(x,y”)∈G，L为常数. 试证明：f在G上处处连续.证：∵f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，∴任取P0(x0,y0)∈G，固定y0，∀ε>0，∃δ1>0，使得对(x,y 0)∈G ，当|x-x 0|<δ1时，有|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε； 又f 对y 满足利普希茨条件，对上述ε，取δ2=L 2ε，则当|y-y 0|<δ2时， 有|f(x,y)-f(x,y 0)|≤L|y-y 0|<L δ2=2ε；取δ=min{δ1,δ2}，当|x-x 0|<δ,|y-y 0|<δ，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x,y 0)|+|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε+2ε= ε.∴f 在P 0(x 0,y 0)连续，由P 0的任意性知，f 在G 上处处连续.8、若一元函数φ(x)在[a,b]上连续，令f(x,y)=φ(x), (x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞).试讨论f 在D 上是否连续，是否一致连续？解：(1)任取(x 0,y 0)∈D ，∵φ(x)在[a,b]上连续，从而φ(x)对x 0连续， ∀ε>0，∃δ>0，使当x ∈[a,b]且|x-x 0|<δ时，有|φ(x)-φ(x 0)|<ε， ∴当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ且(x,y)∈D 时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|φ(x)-φ(x 0)|<ε， 即f(x,y)在(x 0,y 0)连续，从而在D 上连续.(2)∵φ(x)在[a,b]上连续，从而一致连续. ∀ε>0，∃δ>0，使当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，从而当(x ’,y ’),(x ”,y ”)∈D 且|x ’-x ”|<δ, |y ’-y ”|<δ时，有x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ，从而 |f(x ’,y ’)-f(x ”,y ”)|=|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，∴f 在D 上一致连续.9、设f(x,y)=x y 11-, (x,y)∈D=[0,1)×[0,1)， 证明：f 在D 上连续，但不一致连续.证：∵f 是在D 上有定义的初等函数，∵f 是在D 上连续.取ε0=21，无论正数δ取得多么小，当P 1=(1n n +,1n n +),P 2=(n 1-n ,n1-n )取到某个n 时, 总能使|P 1-P 2|<δ, 且P 1,P 2∈D ， 但|f(P 1)-f(P 2)|=221)(n n 11+-- 22n 1)-(n 11-=1n 2)1n (2++-1n 2n 2-=22n 1-4n 1-2>21=ε0， ∴f 在D 上不一致连续.10、设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，并且每当固定x 时，f 对y 是单调的，证明：f 在R 2上二元连续.证：∵f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，∴任取(x 0,y 0)∈R 2，由f(x,y)关于y 连续知，f(x 0,y)在y 0连续，即 ∀ε>0，∃δ1>0，使当|△y |<δ1时，有|f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<2ε； 对于点(x 0, y 0±δ1)，由f(x,y)关于x 连续知，f(x,y 0±δ1)在x 0连续，即 对上述ε，∃δ2>0，当|△x|<δ2时，有|f(x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则当|△x|<δ, |△y|<δ时，由f(x,y)关于y 单调知， |f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|≤max{|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|}.又 |f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|≤|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|+|f(x 0, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|<2ε+2ε=ε. ∴当|△x|<δ, |△y|<δ时，就有|f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在点(x 0,y 0)处连续，由点(x 0,y 0)的任意性可知，f 在R 2上二元连续.。
二元函数的极限与连续5页word文档
§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当（即）时，都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。
必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。
只要P与充分接近, 就能使与A 接近到预先任意指定的程度。
注意：点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。
这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。
例4 求。
解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求（a≠0)。
解。
例6求。
解由于且,所以根据夹逼定理知. 例7 研究函数在点处极限是否存在。
解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有,。
很显然，对于不同的k值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。
注意：的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数。
它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等（证明略）。
推论若存在但不相等,则二重极限不存在。
定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。