压轴题分类解析汇编专题 概率统计问题
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。
2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。
本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。
尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。
对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。
对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。
对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。
对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
压轴题07 统计与概率压轴题压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)
压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：计数原理与概率题型/考向二：随机变量及其分布列题型/考向三：统计与成对数据的统计分析一、计数原理与概率热点一排列与组合解决排列、组合问题的一般步骤(1)认真审题弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．热点二二项式定理1．求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，2，…，n)．2．求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．3．求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法．4．求解系数和问题应用赋值法．热点三概率1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P (A )＞0，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )＞0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一计数原理与概率一、单选题1．现将甲乙丙丁四个人全部安排到A 市､B 市､C 市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到A 市工作的安排种数为（）A ．12B ．14C ．18D ．22【答案】D【详解】若甲乙两人中的1人到A 市工作，有12C 种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有2232C A 安排种数，故有12223212C C A =种；若甲乙两人中的1人到A 市工作，有12C 种选择，丙丁中一人到A 市工作，有12C 种选择，其余2人到另外两个地方工作，有22A 种选择，故安排种数有112222C C A 8=种；若安排甲乙2人都到A 市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有22A 2=种，故总共有12+8+2=22种.故选：D2．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．253．在2x x y -+的展开式中，项7x y 的系数为（）A ．60B ．30C ．20D ．60-【答案】D【详解】由()()6622x x y x x y ⎡⎤-+=-+⎣⎦，可得其二项展开式()61216C ,0,1,2,3,4,5,6rrr r T x x y r -+=-=，若先满足项7x y 中y 的次数，则1r =，可得()()55112226C 6T x x y x x y =-=-，其中()52x x -展开式的通项为()()()52210155C 1C ,0,1,2,3,4,5rrrr r rr T x x x r --+=-=-=，令107r -=，得3r =，可得()32377451C 10T x x =-=-，故项7x y 的系数为()61060⨯-=-.故选：D.4．在)7311⎛⋅ ⎝的展开式中，含1x 的项的系数为（）A ．21B ．35C ．48D ．56择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59至少有一个白球”，事件:B “3个球中至少有一个红球”，事件:C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（）A ．事件A 与事件B 不为互斥事件B ．事件A 与事件C 不是相互独立事件C ．()3031P C A =D ．()()P AC P AB >的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A ．14B ．15C ．16D ．183月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为（）A ．12B ．1115C ．713D ．27【答案】C【详解】记“随机选取4人”为事件Ω，“代表队中既有党员又有民主党派人士”为事件A ，“党二、多选题9．在9x ⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第6项和第7项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为256C ．常数项为84D ．有理项有2项10．已知01239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，则下列结论成立的是（）A ．20911a a a a ++++=LB ．3672a =C ．9012393a a a a a -+-+-= D ．123912398=++++ a a a a 【答案】ABD【详解】()()()()()9929012925122222x x a a x a x a x --+-=+⎣=-+-++-⎡⎤⎦，展开式的通项为()()()()99199C 125C 125r rrrrr rr T x x --+=--=-⋅⋅-⎡⎤⎣⎦，对选项A ：令3x =，可得()901292351a a a a ++++=⨯-= ，正确；对选项B ：()33498C 2T x =-，所以3398C 672a ==，正确；对选项C ：令1x =，可得901293a a a a -+--=- ，错误；对选项D ：()()()()()923901239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，两边同时求导，得()()()()82812391825223292x a a x a x a x -=+-+-++- ，令3x =，123912398=++++ a a a a ，正确．故选：ABD11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．()25P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（）A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为9 16C．表演成功的环节个数的期望为3D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为3 4热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n 则(1)p i≥0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n.(4)D (X )＝∑ni ＝1[x i －E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n .E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }，E (X )＝n ·M N .热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x ＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.○热○点○题○型二随机变量及其分布列一、单选题1．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已(140)0.2P X >=，则[100,140]X ∈的学生人数为（）A ．5B ．10C ．20D ．30【答案】D【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，所以期末考试数学成绩关于120μ=对称，则(140)(100)0.2P X P X >=<=，所以(100140)0.6P X ≤≤=，所以[100,140]X ∈的学生人数为：0.65030⨯=人.故选：D.2．在某个独立重复实验中，事件A ，B 相互独立，且在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1p -，其中()0,1p ∈．若进行n 次实验，记事件A 发生的次数为X ，事件B 发生的次数为Y ，事件AB 发生的次数为Z ，则下列说法正确的是（）A ．()()()1pE X p E Y =-B ．()()()1p D X pD Y -=C ．()()E ZD Y =D ．()()()2D Z D X D Y=⋅⎡⎤⎣⎦【答案】C【详解】由已知，(),X B n p ，∴()E X np =，()()1D X np p =-，(),1Y B n p ~-，∴()()1E Y n p =-，()()()()1111D Y n p p np p ⎡⎤=---=-⎣⎦，∵事件A ，B 相互独立，∴一次实验中，A ，B 同时发生的概率()()()()1P AB P A P B p p ==-，∴()(),1Z B n p p ~-，∴()()1E Z np p =-，()()()()()211111D Z np p p p np p p p ⎡⎤=---=--+⎣⎦，对于A ，()2pE X np =，()()()211p E Y n p -=-，()()()1pE X p E Y =-不一定成立，故选项A 说法不正确；对于B ，()()()211p D X np p -=-，()()21pD Y np p =-，()()()1p D X pD Y -=，不一定成立，故选项B 说法不正确；对于C ，()()1E Z np p =-，()()1D Y np p =-，()()E Z D Y =成立，故选项C 说法正确；对于D ，()()()22222211D Z n p p p p ⎡⎤=--+⎣⎦，()()()2221D X D Y n p p ⋅=-，()()()2D Z D X D Y =⋅⎡⎤⎣⎦不一定成立，故选项D 说法不正确.故选：C.3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A 型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km ）情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量2(13,)N ξσ ，若()12140.7P ξ<<=，则样本中耗电量不小于14kW h /100km ⋅的汽车大约有（）A ．180辆B ．360辆C ．600辆D ．840辆4．设1122，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥B ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤C ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥D ．()()21P X P X σσ≤≤≤．．A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设()21N ξσ~，，且(0)0.2P ξ<=，则(12)0.2P ξ<<=C ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+一定经过样本点的中心()，x y D ．随机变量()B n p ξ~，，若()()3020E D ξξ==，，则90n =从正态分布()272,8N ，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．A ．455B ．2718C ．6346D ．95457．某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A ．0.9B ．0.7C ．0.3D ．0.1面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X ，若()2~,X N μσ，则买一个面包的质量大于900g 的概率为（）（附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827μσημσ-≤≤+=，(22)0.9545P μσημσ-≤≤+=，(33)0.9973P μσημσ-≤≤+=；）A ．0.84135B ．0.97225C ．0.97725D ．0.99865二、多选题9．已知随机变量X 服从二项分布29,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，随机变量21Y X =+，则下列说法正确的是（）A ．随机变量X 的数学期望()6E X =B ．512(2)93P X ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭C ．随机变量X 的方差()2D X =D ．随机变量Y 的方差()4D Y =10．随机变量且20.5P X ≤=，随机变量3,Y B p ，若E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D x σ=C ．23p =D ．()36D Y =坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则（）A ．P (X ＞32)＞P (Y ＞32)B ．P (X ≤36)＝P (Y ≤36)C ．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D ．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【答案】BCD【详解】A.由条件可知()230,6X N ，()234,2Y N ~，根据对称性可知()()320.532P Y P X >>>>，故A 错误；B.()()36P X P X μσ≤=≤+,()()36P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()3636P X P Y ≤=≤，故B 正确；C.()340.5P X ≤>=()34P Y ≤，所以()()3434P X P Y ≤>≤，故C 正确；D.()()()40422P X P X P X μσ≤<<=<+，()()403P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()4040P X P Y ≤<≤，故D 正确.故选：BCD12．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，随机变量x 服从正态密度函数()2200(1000)x x ϕ--=，其中x ∈R ，则（）附：随机变量2(,)N ξμσ-，则()0.683P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=．A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()2~1000,100x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的三、解答题13．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到．(1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率；(2)用X 表示选中的候选人中来自甲班的人数，求()3P X ≥；(3)求（2）中X 的分布列及数学期望．()012344954954954954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．14．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ，估计X 的数学期望()E X ；(3)从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差()1D ξ与()2D ξ的大小．（结论不要求证明）高科技体验．现有A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分捡，归类，处理，每个步骤完成后进入下一步骤．若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为20分，若归类步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为30分，若处理步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为50分．若各步骤完成但效能没有达到95%，则该步骤得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．现已知A款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为45，35，13，B款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为12，每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95%及以上都相互独立．(1)求B款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率；(2)若准备在A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人，从最后总得分的期望角度来分析，你会选择哪一种型号？则()416226802030507575257575E X =⨯+⨯+⨯+⨯+14380015270801002525753⨯+⨯+⨯==．设B 款机器人完成所有工作总得分为Y ，则Y 的可能取值为0,20,30,50,70,80,100，所以()()3110,20,30,70,80,10028P Y ξξ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，()31150224P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以Y 的分布列为：Y02030507080100P18181814181818则()11111020305088848E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+11400708010050,888⨯+⨯+⨯==因为152503>，所以()()E X E Y >，所以从最后总得分的期望角度来分析，应该选择A 种型号的机器人．三、统计与成对数据的统计分析热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑n i ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点三独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型三统计与成对数据的统计分析一、单选题1．已知一组数据1231,31,,31n x x x --- 的方差为1，则数据12,,,n x x x 的方差为（）A ．3B ．1C ．13D ．19抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A ．90B ．96C ．102D ．120【答案】D绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150【答案】D【详解】由()10237621a a a a a ⨯++++=可得0.005a =，故A 错误；前三个矩形的面积和为()102370.6a aa ⨯++=，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B 错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101000150a ⨯⨯=，故D 正确.故选：D4．如图，一组数据123910,,,,,x x x xx ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（）A ．若2a =，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B ．若4a =，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C ．若5a =，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D ．若6a =，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x 和2212,s s ，且已知12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X -+= ，则2μ=D ．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=1，2，…，10A ．数据141x +，241x +，…，1041x +的平均数为9B ．10120i i x ==∑C ．数据13x ，23x ，…，103x 的方差为D ．102170i i x ==∑1制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()130,108.5，()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．数据5，7，8，11，10，15，20的中位数为11B ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为18.5C ．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成直角三角形三边长的概率为0.1D ．设随机事件A 和B ，已知0.8)PA =（，0.6|PB A =（），(|)0.1P B A =，则()0.5P B =故选：BCD.10．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间[]60,100内，将其分成5组：[)60,68，[)68,76，[)76,84，[)84,92，[]92,100，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则（）A ．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%B ．该校学生测试成绩的中位数估计值为80C ．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数D ．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.16到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则（）A ．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%B ．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%C ．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半D ．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多【答案】ABC【详解】设2022年到该地旅游的游客总人数为a ，由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a ，0.35a ，0.45a ，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a ，0.0875a ，0.135a ，所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为0.350.450.8a a a +=，所以A 正确；因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数0.040.08750.1350.2625a a a a ++=，所以B 正确；因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为0.2625a ，其中青年人的人数为0.135a ，所以C 正确；因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为0.135a ，而到该地旅游的老年人的人数为0.2a ，所以D 错误．故选：ABC.12．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【详解】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3% 5.0%8.5% 3.5% 1.0% 1.0% 1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .三、解答题13．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05a =的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ．试验后统计数据显示，当X =99时，P （X ）取最大值，求参加人体接种试验的人数n ．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024零假设为0根据列联表中数据，得220.05200(502020110) 4.945 3.8411604070130x x ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，根据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A ，B ，C 发生的概率分别为(),(),()P A P B P C ，则160()0.8200P A ==，20(|)0.540P B A ==，()1()1()(|)10.20.50.9P C P AB P A P B A =-=-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9p =，（ii ）由题意，知随机变量~(,0.9)X B n ，()C 0.90.1(0,1,2,)k k n kn P X k k n -==⨯⨯= ，因为(99)P X =最大，所以999999989898999999100100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n nn ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得1109110,9n ≤≤n Q 是整数，所以109n =或110n =，∴接受接种试验的人数为109或110．14．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号i12345678910平均值根部横截面积0.040.060.040.080.080.05a b c 0.070.06ix 材积量i y 0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39其中a ，b ，c 为等差数列，并计算得：610.146i i i xy ==∑0.044≈，0.303≈．(1)求b的值；(2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程（若0.250.75r ≤≤，则认为两个变量的线性相关性一般；若0.75r>，则认为两个变量的线性相关性很强）；附：相关系数n i i x y nx yr -=∑回归直线y bx a =+$$$中，1221n i i i n ii x y nx y b xnx ==-=-∑∑ ，a y bx =-$$．(3)根据回归直线方程估计a ，c 的值（精确到0.01）．。
专题15 概率统计问题(压轴题)
《中考压轴题》 专题15：概率统计问题一、选择题1. 已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是A. a ＜13，b=13B. a ＜13，b ＜13C. a ＞13，b ＜13D. a ＞13，b=13 2. 如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.953. 我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差4. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-2、1、4.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程2x px q 0++=有实数根的概率是A.41 B.31 C.21 D.325. 五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一．．众数是7，则他们投中次数的总和可能是 A 、20 B 、28 C 、30 D 、316．学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如下表：成绩（分） 9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90 人数235431则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是A. 9.70，9.60B. 9.60，9.60C. 60，9.70D. 9.65，9.607. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P （C）的大小关系正确的是A．P（C）＜P（A）=P（B）B．P（C）＜P（A）＜P（B）C．P（C）＜P（B）＜P（A）D．P（A）＜P（B）＜P（C）8. 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为A. 12B.14C.34D.19. 在一个不透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（）A．12B．13C．14D．110．下列事件是必然事件的为（）A．明天太阳从西方升起B．掷一枚硬币，正面朝上C．打开电视机，正在播放“河池新闻”D．任意一个三角形，它的内角和等于180°11.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（）A．15B．25C．35D．4512．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n的值为（）A．3B．5C．8D．1013．在一个不透明的盒子中装有a 个除颜色外完全相同的球，这a 个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值约为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21 14．下列事件发生的概率为0的是（ ） A ．射击运动员只射击1次，就命中靶心 B ．任取一个实数x ，都有0xC ．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm ，6cm ，2cmD ．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为615．如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a ，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b ，关于a 、b 大小的正确判断是（ ）A ．a ＞bB ．a =bC ．a ＜bD ．不能判断16．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ） A ．112 B ．512 C ．16 D ．1217．小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．2318．如图，随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个，则灯泡发光的概率是（ ） A ．43 B ．32 C ．31 D ．2119．在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ） A ．12 B ．14 C ．38D ．58 20．在盒子里放有三张分别写有整式a +1，a +2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（ ） A ．13 B ．23 C ．16 D ．3421．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a 和b ，那么点（a ，b ）在函数12y x图象上的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1622．从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．5123．如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A ．256B ．51C ．254 D ．257 24．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（ ） A ．12 B ．23 C ．25D ．35二、填空题1. 某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调查了70名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学生在此次读书活动中共读书 本．2. 小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．3. 已知a 、b 可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a ≠b ），则直线y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率是 ．4.统计学规定：某次测量得到n 个结果x 1，x 2，…，x n ．当函数()()()22212n y x x x x x x =-+-+⋯+-取最小值时，对应x 的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为 ．5.色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：抽取的体检表数n50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数m3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 （结果精确到0.01）6．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是 ．7．写一个你喜欢的实数m 的值 ，使得事件“对于二次函数21(1)32y x m x =--+，当3x <-时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件．8．有9张卡片，分别写有1~9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组43(1)122x x x x a ≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩有解的概率为____．9．从﹣3，﹣2，﹣1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a ，a 的值既是不等式组2343111x x +<⎧⎨->-⎩的解，又在函数2122y x x=+的自变量取值范围内的概率是 ． 10．从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a ，则使关于x 的不等式组21162212x x a-⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩有解，且使关于x 的一元一次方程32123x a x a-++=的解为负数的概率为 ． 11．如图，直线24y x =+与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，以OB 为边在y 轴右侧作等边三角形OBC ，将点C 向左平移，使其对应点C ′恰好落在直线AB 上，则点C ′的坐标为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （3，0），连接AB ，将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A ′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，则直线BC 的解析式为 ．三、解答题1. 某花店计划下个月每天购进80只玫瑰花进行销售，若下个月按30天计算，每售出1只玫瑰花获利润5元，未售出的玫瑰花每只亏损3元．以x（0＜x≤80）表示下个月内每天售出的只数，y（单位：元）表示下个月每天销售玫瑰花的利润．根据历史资料，得到同期下个月内市场销售量的频率分布直方图（每个组距包含左边的数，但不包含右边的数）如下图：（1）求y关于x的函数关系式；（2）根据频率分布直方图，计算下个月内销售利润少于320元的天数；（3）根据历史资料，在70≤x＜80这个组内的销售情况如下表：销售量/只70 72 74 75 77 79 天数 1 2 3 4 3 2计算该组内平均每天销售玫瑰花的只数．2．八（1）班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分。
高考数学压轴专题专题备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编附答案解析
《计数原理与概率统计》考试知识点一、选择题1．336 ax⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11adxx=⎰（）A．2ln2B．ln2C．2D．1【答案】A【解析】【分析】首先根据二项式定理求出a，把a的值带入11adxx⎰即可求出结果.【详解】解题分析根据二项式336ax⎛⎫-⎪⎪⎝⎭的展开式的通项公式得2212133()4aT C ax x+⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭.Q第三项的系数为1，1,44aa∴=∴=，则4411111d d ln2ln2ax x xx x===⎰⎰.故选：A【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk nT a b-+=.属于中等题.2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A．2 B．3 C．10 D．15【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种【答案】C 【解析】 【分析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅；第2社区3个，第3社区安排1个，共1141C C ⋅；故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）A ．314B ．27C ．928D ．1928【答案】A【解析】【分析】列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.【详解】根据题意一共有：乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；离艮、离兑；艮兑，28种情况.满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.故632814 p==.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A．112B．115C．118D．114【答案】D【解析】【分析】先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，随机选取两个不同的数，共有2828C=种，其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种，所以概率为212814 P==.故选：D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有233()27C =种不同结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有22133218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计算公式可得所求概率为182273=. 故选：D 【点睛】不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180【答案】B 【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =，没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C 【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（）A．18B．35C．58D．78【答案】C【解析】【分析】设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果.【详解】设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤10且0≤y≤20}，这是一个长方形区域，面积为S＝10×20＝200A表示某生等车时间不超过5分钟，所构成的区域为a＝{（x，y）|0≤x≤5或0≤y≤5}，即图中的阴影部分，面积为S′＝125，代入几何概型概率公式，可得P（A）'12552008 SS===故选C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．10．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ-1 1 3P2(1)p - 2(1)p p -2p则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，()221331321222228D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.【详解】由题意可知：()()221210p p p p -+-+= ，且()2011p <-<，()0211p p <-<，201p <<解得：01p <<，()()()2211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，()()()()()()22222141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦288p p =-+，设()411,3E p t ξ=-=∈-，221113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪⎝⎭ ()21122t =--+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2880,2D p p t ξ=-+=∈，21822p t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，21228t p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当102p <<时，12p =，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，当112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.11．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若5x =，则预测y 的值可能为（ ） A ．5e B ．112eC ．7eD ．152e【答案】D 【解析】 【分析】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到$ 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结果. 【详解】由$0.5bx y e -=，得$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，则0.5z bx =-.12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， ∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =⨯-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5x y e -=，当5x =时，$151.650.52y e e ⨯-==，故选D. 【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.12．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66C ．72D ．126【答案】A 【解析】【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.13．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有 A ．6种 B ．9种C ．12种D ．18种【答案】C 【解析】由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C14．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.15．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个【答案】C 【解析】由题意得，0a ≠，a 的选择一共有14C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。
压轴题08 概率与统计的综合运用(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题08概率与统计的综合运用概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．考向一：概率与其它知识的交汇问题考向二：递推概率考向三：与体育比赛规则有关的概率问题考向四：决策型问题考向五：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式（一）涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为称1122()n n E X x p x p x p =+++ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称()21()()ni i i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值()E XX 的标准差．（1）离散型随机变量的分布列的性质①0(1,2,,)i p i n = ；②121n p p p +++= ．（2）均值与方差的性质若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且2()();()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=（3）分布列的求法①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型①二项分布；②超儿何分布．2、常见的连续型概率分布模型正态分布．（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取N 个，这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55.若45K =，试以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为（）A ．45B ．53C ．54D ．90【答案】B【解析】由已知可得，()()5.35 5.55 5.400.05 5.4030.05P P ξξ<<=-<<+⨯()3P X μσμσ=-<<+.又()()()3332P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+-<<+=0.68270.99730.842+≈=，所以，(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅.设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，则()()45454414545451C 0.840.16C 0.840.16x x x x f x f x -+-+⋅⋅=⋅⋅()()()1!44!45!10.160.161!4445!45!x x x x x x +-+=⋅=⋅>--，所以，110452.521x <=，所以()()5352f f >.()()4545454545461C 0.840.161C 0.840.16x x x x f x f x ---⋅⋅=-⋅⋅()()()!45!45!0.160.1611!4546!45!x x x x x x -=⋅=⋅<---，所以，37545377x >=+，所以()()5354f f >.所以，以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为53.故选：B.2．（2023·贵州·统考模拟预测）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且()()01,2,,i P X i p i n ==>=⋅⋅⋅，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵()21log ni i i H X p p ==-∑，若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ⋅⋅⋅，且()()211,2,,j m j P Y j p p j m +-==+=⋅⋅⋅，则（）A ．()()H X H Y ≥B ．()()H X H Y ≤C ．()()H X H Y <D ．()()H X H Y >【答案】D【解析】依题意知，()121m P Y p p ==+，()2212m P Y p p -==+，()3223m P Y p p -==+，…，()1m m P Y m p p +==+，∴()H Y =()()()()()()122122212221121log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p --++-++++++⋅⋅⋅+++⎡⎤⎣⎦，又()()1212222222log log log log m m m m H X p p p p p p p p =-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+，∴()()2121222221222112log log log m m m m m p p p H Y H X p p p p p p p p p --=++⋅⋅⋅++++，又1121mp p p <+，22211m p p p -<+，…，2121m mp p p <+，∴()()0H Y H X -<，∴()()H X H Y >.故选：D.3．（2023·云南·高三校联考阶段练习）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A 表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B 表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C 表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D 表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（）A ．C 与D 相互独立B ．A 与D 相互独立C ．B 与D 相互独立D ．A 与C 相互独立【答案】D【解析】由题意知()()()()11615,,6636636P A P B P C P D ====，()()()0P CD P C P D =≠，所以C 与D 不相互独立，()()()0P AD P A P D =≠，所以A 与D 不相互独立，()()()136P BD P B P D =≠，所以B 与D 不相互独立，()()()136P AC P A P C ==，所以A 与C 相互独立，故选：D二、多选题4．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1i a =或2i a =的概率均为()11,2,3,2i =⋅⋅⋅．设n S 能被3整除的概率为n P ，则（）A ．21P =B ．314P =C ．113411024P =D ．当25n ≥时，13n P <【答案】BC【解析】由题意可知：11a =或22a =，则11S =或12S =，即13S ≠，故10P =；∵*n S ∈N ，则n S 被3整除的余数为0，1，2，若n S 被3整除的余数为0，由11n a +=或12n a +=，可得1n S +不能被3整除；若n S 被3整除的余数为1，则取12n a +=，可得1n S +被3整除；若n S 被3整除的余数为2，则取11n a +=，可得1n S +被3整除；综上所述：()1112n n P P +=-，可得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且110133P =-≠-，故数列13n P ⎧⎫-⎨⎩⎭是以首项11133P -=-，公比12q =-的等比数列，则1111332n n P -⎛⎫⎛⎫-=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.可得2111113322P ⎛⎫=-⨯-=≠ ⎪⎝⎭，2311113324P ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭，11103411113321024P ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭=，A 错误，B 、C 正确；当n 为偶数时，则1n -为奇数，可得1102n -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故111113323n n P -⎛⎫=-⨯-> ⎪⎝⎭；当n 为奇数时，则1n -为偶数，可得1102n -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故111113323n n P -⎛⎫=-⨯-< ⎪⎝⎭；可得当25n ≥时，13n P <不成立，故D 错误.故选：BC.5．（2023·福建泉州·统考三模）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为27，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记玩家第n 次抽盲盒，抽中奖品的概率为n P ，则（）A ．21942P =B ．数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列C ．1942n P ≤D ．当2n ≥时，n 越大，n P 越小【答案】ABC【解析】记玩家第()N i i *∈次抽盲盒并抽中奖品为事件i A ，依题意，127P =，()113n n P A A -=，()112n n P A A -=，()n n P P A =，对于A 选项，()()()()()221211212121191737242P P A P A P A A P A P A A ⎛⎫==+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以，()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以，1313767n n P P -⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，又因为127P =，则131077P -=-≠，所以，数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为17-，公比为16-的等比数列，B 对；对于C 选项，由B 选项可知，1311776n n P -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，则1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，131319776742n n P -=-<<⋅，当n 为偶数时，131776n n P -=+⋅，则n P 随着n 的增大而减小，所以，21942nP P ≤=.综上所述，对任意的n *∈N ，1942n P ≤，C 对；对于D 选项，因为1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则数列{}n P 为摆动数列，D 错.故选：ABC.6．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ，则下列说法正确的是（）A ．259P =B ．12133n n P P +=+C ．点Q 移动4次后恰好位于点1C 的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为10111()232+【答案】ACD【解析】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q 在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为23，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为13，所以222115+=33339P =⨯⨯，故A 正确，12111(1)=3333n n n n P P P P +=+-+，故B 错误，点Q 由点A 移动到点1C 处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点1C ，故C 正确，由于1111111()33232n n n n P P P P ++=+⇒-=-且11211326P P =⇒-=，所以1111111()=(263232n n n n P P --=⨯⇒+，所以1010111=()232P +，故D 正确.故选：ACD.7．（2023·山东烟台·高二统考阶段练习）甲､乙两人进行()*2N n n ∈局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为12.规定：比赛结束时获胜局数多的人贏得比赛.记甲贏得比赛的概率为()P n ，假设每局比赛互不影响，则（）A ．()114P =B ．()11316P =C ．()221C 122n nnP n +=-D ．()P n 单调递增【答案】ACD【解析】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢1n +局，()()21222221CC C 2nn n n nn n P n ++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭L ．∵011122222222C C C C C C 2n n n n nn n n n n n -++++++++=L L ，又011122122222222C C C C C C C n n n n nn n n n n n n -++-+++=++++L L ，∴201112212222222222C C C CCCCC 2n nn n n n n nn n nnnnn-++--+++=++++=L L ，∴()2222212C C 112222n n n nn n n P n +-=⋅=-，故C 正确；∴()123C 111224P =-=，故A 正确；()367C 11132232P =-=，故B 错误；∵()22212C C 1112222n n n n n n P n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭＋，∴()12222C 11122n n n P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又∵()()()()()()()()2222112222222!C 441214C !!2122!C C 22212121!1!n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++⋅++====>++++++，∴1222222C C 22n n n n n n +++>，∴()()1P n P n <+，即P (n )单调递增，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题8．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．若c =，2b =，π3C =，AD 是BC 边上的高线，点D 为垂足．点E 为线段BD 上一点，点B 关于直线AE 的对称点为点M ．从四边形BACM 中任取一点，该点来自ABC 的概率记为()P A ，则()P A 的最小值为______．【答案】12/0.5【解析】由余弦定理知：2222cos a b ab C c +-=，即24212a a +-=，解得：4a =，222b c a ∴+=，ABC ∴ 为直角三角形，AB AC ⊥，设BM AE F = ，作MG BC ⊥于点G，bcAD a==，1CD ∴==，13BD a =-=，要使得()P A 最小，则BMC △面积最大，即点M 到BC 的距离MG 最大．设DEA θ∠=，则FEB θ∠=，AD = ，3BD =，DE ∴=，3BE =cos 3cos tan EF BE θθθ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭，MGB ∽EFB △，MG MBEF BE∴=，22sin 23cos sin 3sin 2cos tan MG EF θθθθθθ⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪⎝⎭π3sin 2226θθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭则当ππ262θ-=，即π3θ=时，sin 26πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，max MG ∴=，此时MBC ABC S S =△△，()min 12ABC ABC MBC S P A S S ∴==+ .故答案为：12.9．（2023·山东枣庄·统考二模）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数．当()P X k =最大时，()E X k +=____________．【答案】17.8/4175【解析】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布()P X k ==22406022100C C 012...22C k k k -=，，，，()P X k =最大时，即224060C C k k-最大，超几何分布最大项问题，利用比值求最大项设()C C C s m s k n ks mn a P X s --===则111C C C C C C s m s ms k n kn ms m s s n k n ka a +--+---=⋅()()()()()()()()()!!1!1!1!1!!!!!!!n k k s k s m s n k m s k n k s k s m s n k m s -+------++=⋅-----+()()()()11k s m s s n k m s --=+--++令()()()()111k s m s s n k m s -->+--++()()()()11k s m s s n k m s ⇒-->+--++()()2221s k m s km s n k m s n k m ⇒-++>++--++--()()21km n s n m k ⇒>+++--()()()1211km m k n s n ⇒+++>++++()()1112k m s n ++⇒<-+故当()()112k m s n ++≤+时，()P X s =严格增加，当()()1112k m s n ++≥-+时，()P X s =严格下降，即9k =时取最大值，此题中1002240n m k s k ====，，，，根据超几何分布的期望公式可得()40228.8100⨯⨯===k m E X n ，()8.8917.8+=+=E X k故答案为：17.810．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.【答案】330【解析】当m 为偶数时，令2m n =，则总共有22C n 场比赛.不妨设有x 个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队()1,2,,2i A i n = 在比赛中赢了i k 场，则2221C ni n i k ==∑，且以i A 为组长的非友好组有2C ik 个（补充定义：)2201C C 0==，于是所有非友好组的个数为221C i nk i =∑.下求221C i nk i =∑最小值.若在122,,,n k k k 中，有2j i k k -≥.则令**1,1i i j j k k k k =+=-，其余*(12j i k k l n =≤≤且,)l i j ≠，**2222222211C 1C C C C C C C i j i j i j ijk k k k k k i j k k k k +-+-=+-=-+--≤-，故调整后221C i nk i =∑的总和变小.重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.不妨设有y 个,2a n y -个1a +，则有()()()222121,n ya n y a C n n +-+==-整理有()1122y a n n -=--.由于121y n ≤≤-，故()0,12yn∈.由等式两边对应相等可知，1,a n y n =-=，即调整后有n 个1,n n -个n .此时的值221C i nk i =∑为2(1)n n -，则()()32211(1)3C n n n n x n n -+≤--=，故友好组个数的最大值为()()113n n n -+，即()()2224m m m -+.下面为取到最大值的例子：设在122,,,n A A A .共2n 支球队中，当1i n ≤≤时，队i A 胜12,,i i i n A A A +++ ；当12n i n +≤≤时，队i A 胜121,,,i i i n A A A +++- ，下标均是在模2n 的意义下.综上所述，当m 为偶数时，友好组个数的最大值为()()2224m m m -+.故如果20支球队参加单循环比赛，友好组个数的最大值为330.故答案为：33011．（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）已知正三角形ABC ，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子.规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点.②棋子移动的方向由掷骰子（点数为16-）决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动；若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子n 次时，棋子移动到,,A B C 处的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C .例如：掷骰子一次时，棋子移动到,,A B C 处的概率分别为1()0P A =，11((1))2P B P C ==.当掷骰子7次时，棋子移动到A 处的概率7()P A 值为___________.【答案】2164【解析】设()n n P A a =，()n n P B b =，()n n P C c =，则1112b c ==，由于棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动；若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动，即顺时针与逆时针移动是等可能的，所以n n b c =，掷骰子n 次时，棋子共有移动到,,A B C 三种情况，故1n n n a b c ++=；∵n n b c =，即11,(2)n n b c n --=≥，又由题意可知111()2n n n b a c --=+，∴2n ≥时111111,()()22n n n n n b a c a b ----=+=+，又∵1111n n n a b c ---++=，即1112n n a b --=-，可得121n n b b -+=，即11122n n b b -=-+，故11111111()322323n n n b b b ---=-+-=--，可得数列1{}3n b -是首项为11136b -=，公比为12-的等比数列，所以1111()362n n b --=⋅-，即1111()362n n b -=+-，所以11111111212[.()][1()]36232n n n n a b --=-=-+-=--，故6711211()3264a ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦，即721()64P A =，故答案为：216412．（2023·天津·统考一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是__________，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到红球”为事件B ，则()|P B A =__________.【答案】3535【解析】恰有一个白球的概率12243635C C P C ==；由题可知A =“第一次取到红球”，B =“第二次取到红球”，则()23P A =，()432655P AB ⨯==⨯，所以()()()3|5P AB P B A P A ==.故答案为：35，35.13．（2023·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷骰子n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n n +，则算过第n 关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为__________，若直接挑战第4关，则过关的概率为__________.【答案】712351296【解析】第一空，直接挑战第二关过关需两次点数之和大于222=6+，两次点数满足要求的有如下几种情况：（1，6），（2，5），（2，6），（3，4）……（6，5），（6，6），则概率为：12345676612+++++=⨯；第二空，直接挑战第四关过关需四次点数之和大于424=20+，四次点数满足要求的有如下几种情况：（5，5，5，6）四种，（4，5，6，6）十二种，（5，5，6，6）六种，（3，6，6，6）四种，（4，6，6，6，）四种，（5，6，6，6）四种，（6，6，6，6）一种，合计35种，故概率为：4353561296=.故答案为：712，35129614．（2023·山东潍坊·统考一模）乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，每局比赛都是相互独立的.①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.附：当01q <<时，lim 0n n q →+∞=，lim 0n n n q →+∞⋅=.【答案】27128/0.2109375165【解析】①需比赛五局才结束，则说明前四局双方为2:2，概率为22243127C 44128⎛⎫⎛⎫⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.②假设比赛局数为随机变量X ，由已知，需比赛局数为偶数，则X 可取2,4,6,,2,n L L()*n ∈N .则()2222223152C C 448P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，双方前22n -局战为平局，且任意前2m （11m n ≤≤-，且*m ∈N ）局双方均战为平局，则()121211122313311532C C 44444488n n n P X n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然1n =，满足该式.设()153288n n a P X n -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，则有115338885388nn n n a a +-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，所以，{}n a 是以158a =为首项，38q =为公比的等比数列.设2n n b na =，则15348n n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.设{}n b 的前n 项和为n S ，则2112353331234888n n n S b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L ，2335333323848888nn S n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，作差可得，213533331848888n nn n S S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⋅⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L311855335322344884818n n nnn n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=⨯-⋅=-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，整理可得，16163345588n nn S n ⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由题意可得，163lim 058n n →∞⎡⎤⎛⎫⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，3lim 408n n n →∞⎡⎤⎛⎫⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.则()()()()()222222232322E X P X P X P X n P X n =⋅=+⨯⋅=⨯+⨯⋅=⨯++⋅=+L L161633lim lim 45588n nn n n S n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-⋅-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦16163316lim lim lim 455885n n n n n n →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故答案为：27128；165.四、解答题15．（2023·江西·校联考模拟预测）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由()21k k *-∈N 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为()01p p <<，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为k p （例如：2p 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；3p 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若23p =，当2k =时，求控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列和数学期望，并求3p ；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为14，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y （单位：元）.（i ）请用k p 表示()E Y ；（ii ）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.【解析】（1）因为2k =，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为23p =，所以23,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()03032110C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132121C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21232142C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()30332183C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为X123P1272949827控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为()2323E X =⨯=，324153453555212121C C C 333333P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8080321926424324324324381=++==；（2）（i ）升级改造后单位时间内产量的分布列为产量4a 0设备运行概率kp 1kp -所以升级改造后单位时间内产量的期望为4k ap ；所以产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）kap 3kap 利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为235k k k ap ap ap +=，即()5k E Y ap =；（ii ）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有1k +个元件正常工作，其概率为()()1211C 1k k kk k p p p p --=--；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为()()()()()121122212C 111C 12k k k kk k k k p p p p p p p --+--⎡⎤=-⋅--=--⎣⎦；第三类：原系统中有1k -个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为()()()1121121213C 1C 1kkk k k k k k p pp p p p ---+--=-⋅=-；所以()()()()111111212121C 1C 12C 1k k kk k k k k k k k k k k p p p p pp p p p --+-++---=--+--+-()()21C 121kk kk k p p p p -=+--，则()()121C 121kk k k k k p p p p p +--=--，所以当12p >时，10k k p p +->，k p 单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当12p ≤时，10k k p p +-≤，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为()5k E Y ap =，所以当12p >时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当12p ≤时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．16．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X -，1t X -，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()1211,,,t t t t t t P X X X X P X X +--+⋅⋅⋅=．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为()*N ,A A A B ∈<，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n 元（0n B ≤≤，N n ∈）时，最终输光的概率为．．．．．．．．()P n ，请回答下列问题：(1)请直接写出()0P 与()P B 的数值．(2)证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ．(3)当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →∞时，()P A 的统计含义．【解析】（1）当0n =时，赌徒已经输光了，因此()01P =.当n B =时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率()0P B =.（2）记M ：赌徒有n 元最后输光的事件，N ：赌徒有n 元上一场赢的事件,()()(|)()(|)P M P N P M N P N P M N =+,即11()(1)(1)22P n P n n =-++，所以()()()()11P n P n P n P n --=+-，所以(){}P n 是一个等差数列，设()()1P n P n d --=，则()()()()1210P n P n d P P d ---=-=，, ，累加得()(0)P n n P d -=，故()(0)P B P Bd -=，得1d B=-，（3）100A =，由()()0P n P nd -=得()()0P A P Ad -=,即()1A P A B=-,当200B =时，()50%P A =，当1000B =时，()90%P A =，当B →∞时，()1P A →，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光．17．（2023·吉林·统考三模）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：球队输球球队赢球总计甲参加23032甲未参加81018总计104050(1)根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；(2)从该球队中任选一人，A 表示事件“选中的球员参赛”，B 表示事件“球队输球”．()()||P B A P B A 与()()||P B A P B A 的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R ．①证明：()()()()||||P A B P A B R P A B P A B =⋅；②利用球员甲数据统计，给出()|P A B ，()|P A B 的估计值，并求出R 的估计值．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．参考数据：a 0.050.010.0050.001ax 3.8416.6357.87910.828【解析】（1）零假设为0H ：该球队胜利与甲球员参赛无关．()2250210308302510.50310403218288χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为27.879χ>，所以依据0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，所以认为该球队胜利与甲球员参赛有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．（2）①证明：()()()()()()()()()()()()()()()()||||P AB P AB P B A P A P AB P B A P A P AB R P B A P AB P AB P B A P AB P AB P A P A =⋅=⋅=⋅()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()||||P AB P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P A B P AB P AB P A B P AB P AB P A B P B P B P B P B =⋅=⋅=⋅②()1|5P A B =，()3|4P A B =，()()()()()()()()11|1|||154431|12|||54P A B P A B P A B P A B R P A B P A B P A B P A B ⨯-=⋅=⋅==-⨯．18．（2023·全国·模拟预测）2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练.(1)若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率；(2)若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为X ，求X 的分布列及数学期望.【解析】（1）第一次训练的是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为1131111C 43312P =⨯⨯⨯=，第一次训练的不是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为112321111=C C 4336P ⨯⨯⨯⨯=，所以第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为121111264P P P =+=+=.（2）由题意知“1000米跑”最多训练2次，所以X 的所有可能取值为1，2.①1X =说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次，从除“1000米跑”外的3项中选一项训练2次有13C 种方法，不妨设训练了2次“排球对墙垫球”，可分为以下两类：第一类，第二次训练的是“排球对墙垫球”，则第四次或第五次也训练了“排球对墙垫球”，有1222C A 种方法；第二类，第三次训练的是“排球对墙垫球”，则第五次也训练了“排球对墙垫球”，有22A 种方法，因此共有()12122322C 1C A A 8+=种方法.②2X =说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，故有1333C A 18=种方法.所以()181118182P X ===+，()181218182P X ===+.所以X 的分布列为：X12P1212所以()11312222E X =⨯+⨯=.19．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方差2119s =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270s =．(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．【解析】（1）根据题意，得121821833628.812185x y z +⨯+⨯===+，因为()()()()()121212222111212i i i i i i x x x z x x x x x z x z ===-+-=-+--+-∑∑∑()()()()()12121222221112121212i i i i i i x x x z x x x z x x x z ===⎛=-+--+-=-+- ⎝⎭∑∑∑，同理()()()18182221112i i i i y y y z y y y z ==-+-=-+-∑∑，所以()()121822211130i i i i S x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()12182211130i i i i x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()12182222111121230i i i i x x x z y y y z ==⎡⎤=-++-+-⎢⎥⎣⎦∑∑22221211212()1818(30S x z S y z ⎡⎤=+-++-⎣⎦()22112191210.81870187.230=⨯⨯+⨯+⨯+⨯127.36 =，所以总样本的平均数为28.8z =，方差2127.36S =.（2）依题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，设“第i 场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件i A ，“第i 场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件, 1,2,3i B i =，则()()31,52i i P A P B ==，所以()21234(0)1525P X P A A ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，()()()1231231231233133316(1)1152555225P X P A B A A A B P A B A P A B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15(2)1(0)(1)25P X P X P X ==-=-==，所以461536()01225252525E X =⨯+⨯+⨯=.20．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：淘汰赛比赛结果淘汰赛比赛结果1/8决赛荷兰3:1美国1/4决赛克罗地亚4112（）:（）巴西阿根廷2:1澳大利亚荷兰3224（）:（）阿根廷法国3:1波兰摩洛哥10:葡萄牙英格兰30:塞内加尔英格兰1:2法国日本1113（）:（）克罗地亚半决赛阿根廷30:克罗地亚巴西4:1韩国法国20:摩洛哥摩洛哥3000（）:（）西班牙季军赛克罗地亚2:1摩洛哥葡萄牙61:瑞士决赛阿根廷4332（）:（）法国注：“阿根廷4332（）:（）法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为33:，在点球大战中阿根廷42:战胜法国．(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．(2)根据题意填写下面的22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．欧洲球队其他球队合计闯入8强未闯入8强合计。
高考数学压轴专题专题备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编含答案解析
【最新】数学《计数原理与概率统计》复习知识点一、选择题1．2020(1)(1)i i +--的值为（ ）A ．0B ．1024C ．1024-D ．10241-【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式=11223319192011223319192020202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =1133551919202020202()C i C i C i C i ++++L=1133555331132020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =113355553312020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70C ．256xD ．256x -【答案】B 【解析】由题意可得26n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44445881()70T C x C x===，故选B.3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D 【解析】 【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
【详解】由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，所以向量p u r 与q r 共线的概率为313612P ==，故选D 。
专题03 概率与统计(解析版)2025高考数学冲刺压轴大题
专题03概率与统计【题型简介】概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等.回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题.【命题方向】命题方向一、求概率及随机变量的分布列与期望命题方向二、两点分布、超几何分布与二项分布命题方向三、概率与其它知识（数列、导数、几何等）的交汇问题命题方向四、期望与方差的实际应用（决策问题）命题方向五、正态分布命题方向六、统计图表命题方向七、回归分析命题方向八、独立性检验命题方向九、条件概率、贝叶斯公式与全概率公式【典型例题】命题方向一、求概率及随机变量的分布列与期望例1．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球．(1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；(2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解析】（1）记“乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的3个小球中仅1个红球”；“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的3个球中仅1个红球”，分别记为事件1A，2A，且1A与2A互斥，则11224411348C C C 3()C C 14P A =⨯=又12135221348C C C 15(),C C 56P A =⨯=所以1231527()()()145656P A P A P A =+=+=.则从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率为2756.（2）白球个数ξ的可能值为0，1，2，3.3131324213134848C C 105(0)C C 224112C C P C C ξ==⨯+⨯==，21112135244213134848C C C C C C 7839(1)C C C C 224112P ξ==⨯+⨯==，12112135244213134848C C C C C C 10827(2)C C C C 22456P ξ==⨯+⨯==，3131524213134848C C C C 287(3).C C C C 22456P ξ==⨯+⨯==则ξ的分布列为ξ0123P5112391122756756所以，()53954141890123.112112112112112E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）变式提升1．（2023·全国·模拟预测）2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练.(1)若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率；(2)若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为X ，求X 的分布列及数学期望.【解析】（1）第一次训练的是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为1131111C 43312P =⨯⨯⨯=，第一次训练的不是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为112321111=C C 4336P ⨯⨯⨯⨯=，所以第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为121111264P P P =+=+=.（2）由题意知“1000米跑”最多训练2次，所以X 的所有可能取值为1，2.①1X =说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次，从除“1000米跑”外的3项中选一项训练2次有13C 种方法，不妨设训练了2次“排球对墙垫球”，可分为以下两类：第一类，第二次训练的是“排球对墙垫球”，则第四次或第五次也训练了“排球对墙垫球”，有1222C A 种方法；第二类，第三次训练的是“排球对墙垫球”，则第五次也训练了“排球对墙垫球”，有22A 种方法，因此共有()12122322C 1C A A 8+=种方法.②2X =说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，故有1333C A 18=种方法.所以()181118182P X ===+，()181218182P X ===+.所以X 的分布列为：X12P1212所以()11312222E X =⨯+⨯=.1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为35，乙在一次发球中，得1分的概率为12，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．(1)甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；(2)求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．【解析】（1）甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，∴随机变量X 的分布列为：X 0123P11072025320∴()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,,A B C ，所以甲学校获得冠军的概率为()()()()P P ABC P ABC P ABC P ABC =+++0.50.40.80.50.40.80.50.60.80.50.40.2=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.160.160.240.040.6=+++=．（2）依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30，所以，()00.50.40.80.16P X ==⨯⨯=,()100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()300.50.60.20.06P X ==⨯⨯=.即X 的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望()00.16100.44200.34300.0613E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.命题方向二、两点分布、超几何分布与二项分布例2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）某平台为了解某地区不同年龄用户在该平台观看文娱新闻等的同时是否从平台上推荐的购物车购物的情况，在该地区随机抽取了200人进行调查，调查结果整理如下：年龄段20以下[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,7070以上购物人数20302628680未曾购物人数105141224125(1)从被抽取的年龄在[)30,60的购物人群中，随机抽取3人进一步了解情况，求这3人年龄都在[)50,60的概率；(2)视频率为概率，用随机抽样的方法从该地区抽取40名市民进行调查，其中年龄在[)30,60的人数为X ，试问当k 取何值时，()()0,1,2,3,,40P X k k == 最大？【解析】（1）由题知，被抽取的年龄在[)30,60的购物人数共有2628660++=人，年龄在[)50,60的购物人数有6人，所以，从被抽取的年龄在[)30,60的购物人群中，随机抽取3人，这3人年龄都在[)50,60的概率为36360C 201C 1059581711P ===⨯⨯（2）由题知抽取的200人中，年龄在[)30,60的人数共有26142812246110+++++=，所以，根据频率估计概率，该地区市民中，年龄在[)30,60的之间的占比1101120020=，所以，从该地区抽取40名市民进行调查，其中年龄在[)30,60的人数为X 满足1140,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以()()4040119C ,0,1,2,3,,402020kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由当X k =时，()P X k =取得最大值，则()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即40139140404014114040119119C C20202020119119C C 20202020k kk kk k kkk kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，所以()()()()()()4094011!40!201!39!204011409!40!201!41!20k k k kk k k k⎧⋅≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪---⎩，即91140111941k k k k ⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩，解得21.5522.55k ≤≤，因为0,1,2,3,,40k = ，所以，当22=k 时，()()0,1,2,3,,40P X k k == 取得最大值.超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。
概率高考压轴梳理.pdf
概率高考压轴题梳理一、引言概率论作为数学的一个重要分支，在高考中占有重要地位。
概率高考压轴题通常涉及复杂的概率计算、随机变量的分布与数字特征、以及概率在实际问题中的应用等。
本文将系统梳理概率高考压轴题的类型、解题方法与技巧，以帮助考生更好地应对这类题目。
二、概率基本概念与公式1.古典概型：古典概型是概率论中最基础的概念之一，指的是在试验中每个基本事件发生的可能性相等。
对于古典概型，概率计算公式为：P(A)=事件A包含的基本事件数/基本事件的总数。
2.条件概率：条件概率指的是在已知某事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B)=P(AB)/P(B)。
3.全概率公式与贝叶斯公式：全概率公式用于计算某一事件发生的总概率，而贝叶斯公式则用于计算在已知某些信息后，某一事件发生的更新后的概率。
三、离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量的定义：离散型随机变量是指取值有限或可数的随机变量。
常见的离散型随机变量有0-1分布、二项分布、泊松分布等。
2.分布列与期望、方差：离散型随机变量的分布列描述了随机变量取各个值的概率。
期望反映了随机变量取值的平均水平，方差则反映了随机变量取值的离散程度。
四、连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量的定义：连续型随机变量是指取值充满一个区间的随机变量。
常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布、指数分布等。
2.概率密度函数与分布函数：连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量在某一点的取值概率，而分布函数则描述了随机变量在某个区间内取值的概率。
3.期望与方差：对于连续型随机变量，期望和方差的计算方式与离散型随机变量类似，但需要使用积分进行计算。
五、高考压轴题类型与解题技巧1.复杂概率计算：这类题目通常涉及多个事件或多个随机变量的概率计算，需要考生灵活运用条件概率、全概率公式和贝叶斯公式等工具进行计算。
2.随机变量的数字特征：这类题目要求考生计算随机变量的期望、方差等数字特征，需要考生掌握期望和方差的计算方法和性质。
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20XX年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编专题4：概率统计问题一、选择题1. （2012广东肇庆3分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是【】A．扇形甲的圆心角是72°B．学生的总人数是900人C．丙地区的人数比乙地区的人数多180人D．甲地区的人数比丙地区的人数少180人【答案】D。
【考点】扇形统计图，扇形圆心角的求法，频数、频率和总量的关系。
【分析】A．根据甲区的人数是总人数的212355=++，则扇形甲的圆心角是：15×360°=72°，故此选项正确，不符合题意；B．学生的总人数是：180÷15=900人，故此选项正确，不符合题意；C．丙地区的人数为：900×510=450，，乙地区的人数为：900×310=270，则丙地区的人数比乙地区的人数多450－270=180人，故此选项正确，不符合题意；D．甲地区的人数比丙地区的人数少270－180=90人，故此选项错误，符合题意。
故选D。
2. （2012江苏淮安3分）下列说法正确的是【】A、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定。
B、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生C、学校气象小组预报明天下雨的概率为0.8，则明天下雨的可能性较大D、为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，必须采用普查的方法【答案】C。
【考点】方差的意义，概率的意义，调查方法的选择。
【分析】根据方差的意义，概率的意义，调查方法的选择逐一作出判断：A、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较小的同学成绩更稳定，故本选项错误；B、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果不一定是一名男生和一名女生，故本选项错误；C、学校气象小组预报明天下雨的概率为0.8，则明天下雨的可能性较大，故本选项正确；D、为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，易采用抽样调查的方法，故本选项错误。
故选C。
3. （2012湖南郴州3分）为了解某校2000名师生对我市“三创”工作（创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市）的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是【】A．2000名师生对“三创”工作的知晓情况 B．从中抽取的100名师生C．从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况 D．100【答案】C。
【考点】样本。
【分析】样本是总体中抽取的所要考查的元素总称，样本中个体的多少叫样本容量。
因此，这项调查中的样本是：从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况。
故选C。
4. （2012贵州黔南4分）为做好“四帮四促”工作，黔南州某局机关积极倡导“挂帮一日捐”活动。
切实帮助贫困村民，在一日捐活动中，全局50名职工积极响应，同时将所捐款情况统计并制成统计图，根据图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是【】A．20，20B．30，20C．30，30D．20，30【答案】C。
【考点】众数，中位数。
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是30，故这组数据的众数为30。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。
由此将这组数据的中位数是第25和26名职工捐款金额的平均数，（30＋30）÷2=30。
故选C 。
5. （2012山东威海3分）向一个图案如下图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为【 】A.2319π-B. 16C. 3312π-D. 15【答案】A 。
【考点】正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形的计算，几何概率。
【分析】如图，设正六边形的边长为a ，则正六边形可由六个与△ABO 全等的等边三角形组成，△ABO 的边长也为a ，高BH=3a 2，面积为23a 4。
正六边形的面积为233a 2。
阴影区域的面积为六个扇形（半径为a ，圆心角为600）面积减去六个上述等边三角形面积，即22260a 33336a =a 36022ππ⎛⎫⋅⋅⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭。
∴飞镖插在阴影区域的概率为2233a 2223=1=193333a 2πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭--。
故选A 。
6. （2012广西玉林、防城港3分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1、1、2.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于的方程2x px q 0++=有实数根的概率是【 】A. 21 B. 31 C. 32 D. 65 【答案】A 。
【考点】画树状图法或列表法，概率，一元二次方程根的判别式。
【分析】画树状图：∵p、q 组成的一元二次方程共有6个：2x x 10-+=，2x x 20-+=，2x x 10+-=，2x x 20++=， 2x 2x 10+-=，2x 2x 10++=，其中，2x x 10-+=，2x x 20-+=，2x x 20++=的根的判别式小于0，方程无实数根，2x x 10+-=，2x 2x 10+-=的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根，2x 2x 10++=的根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根，即满足关于的方程2x px q 0++=有实数根的情况有3种，∴满足关于的方程2x px q 0++=有实数根的概率是31=62。
故选A 。
7. （2012黑龙江大庆3分）如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分别标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I 为感应区域，中心角为60°的扇形AOB 绕点0转动，在其半径OA 上装有带指示灯的感应装置，当扇形AOB 与区域I 有重叠（原点除外）的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB 任意转动时，指示灯发光的概率为【 】A ．61B 41 C. 125 D. 127 【答案】D 。
【考点】几何概率。
【分析】如图，∵当扇形AOB 落在区域I 时，指示灯会发光；当扇形AOB 落在区域Ⅱ的∠FOC（∠FOC=60°）内部时，指示灯会发光；当扇形AOB 落在区域Ⅳ的∠DOE（∠DOE=60°）内部时，指示灯会发光，∴指示灯发光的概率为：60+90+607=36012。
故选D 。
二、填空题1. （2012湖南郴州3分）元旦晚会上，九年级（1）班43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡，放进一个纸箱里充分摇匀后，小红从纸箱里任意摸出一张贺卡，恰好是老师写的贺卡的概率是▲ ．【答案】750。
【考点】概率。
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。
因为纸箱里共有43+7=50张贺卡，老师写的贺卡有7张，所以小红从纸箱里任意摸出一张贺卡，恰好是老师写的贺卡的概率是750。
2. （2012湖南怀化3分）某段时间，小明连续7天测得日最高温度如下表所示，那么这7天的最高温度的平均温度是▲C︒.【答案】26。
【考点】加权平均数。
【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可：这7天的最高温度的平均温度是：（26＋27×3＋25×3）÷7=26。
3. （2012四川广元3分）已知一次函数y kx b=+，其中k从1，-2中随机取一个值，b从-1，2，3中随机取一个值，则该一次函数的图象经过一，二，三象限的概率为▲【答案】13。
【考点】列表法或树状图法，概率，一次函数图象与系数的关系。
【分析】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，一次函数的图象经过一、二、三象限时k＞0，b＞0，有（1，2），（1，3）两点，温度（C︒) 26 27 25天数 1 3 3∴一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为：21=63。
4. （2012甘肃白银4分）在－1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点画双曲线k y x=，该双曲线位于第一、三象限的概率是 ▲ ． 【答案】13。
【考点】概率，反比例函数的性质。
【分析】画树状图：由树状图可知，在－1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，符合要求的点有（－1，1），（－1，2），（1，－1），（1，2），（2，－1），（2，1）6种情况，双曲线位于第一、三象限时，xy k =＞0，只有（1，2），（2，1）符合xy k =＞0。
∴该双曲线位于第一、三象限的概率是：2163=。
三、解答题1. （2012山东济宁8分）有四张形状、大小和质地相同的卡片A 、B 、C 、D ，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p 、q 表示这两种正多边形的个数，x 、y 表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p 、q 的值．【答案】解：（1）画树形图如下：所有出现的结果共有12种。
（2）∵两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情况有4种：AB，AD，BA，DA，∴P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）=41 123。
（3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，则有60p+90q=360，即2p+3q=12。
∵p、q是正整数，∴p=3，q=2。
当正三角形和六边形构成平面镶嵌时，则有60p+120q=360，即p+2q=6。
∵p、q是正整数，∴p=4，q=1或p=2，q=2。
【考点】列表法和树状图法，概率，多边形内角和定理，平面镶嵌（密铺）。
【分析】（1）列表或画树状图即可得到所有的可能情况。
（2）根据平面镶嵌的定义，能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形，正三角形与正六边形，然后根据概率公式列式计算即可得解。
（3）对两种平面镶嵌的情况，根据方程代入数据整理，再根据p、q都是整数解答。