2.3等差数列的前n项和(第二课时)
4 33
a1 ) 0 n
37 4
33 4 .
n 9.
33
a1 ) 0， n >
练习1、已知一个等差数列中满足 3 a 4 7 a 7 , 且 a1 0
n 项 和 ， 求 n为 何 值 时 S n 取 最 大 值
S n 是 数 列 { a n }的 前
,n 1 0 （1）an （2）an = 4n 5 2n 1, n 2
2、
1、
探究： 一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其 中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列 吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？ 判断以下命题是否为真命题，若为假命题请修缮一下 分析：∵当n>1时， an=Sn-Sn-1 条件，使之成为真命题. 2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =pn =2pn-p+q 1. 若数列{an}的前n项和为关于n的二次函数，则该数 当n=1时，a1=S1=p+q+r 列为等差数列. 又∵当n=1时，a1=2p-p+q=p+q 2.若数列{an}为等差数列，则该数列的前n项和为关于n ∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q 的二次函数. 故只有当r=0时该数列才是等差数列， 此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)
数列{an}为等差数列 S n A n 2 B n , ( A , B 为 常 数 )
←
等差数列前n项和性质1： 等差数列前项和的最值问题：
等差数列前n项和公式的函数特征：
d S n n a1 n n 1 d n a1 n 2 2 2 1 d
.
2.等差数列前n 项和Sn =
2
=
na1
n( n 1) 2
d
.
二、新课讲授 例1. 已知数列{an}的前n项和为
1 Sn n n 2
2
，求该
数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是， 由此可知，数列{an}是一个首项为1.5，公差为2的 等差数列 它的首项和公差分别是什么？ 解：∵Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)
解： 方法二 3 a 4 7 a 7 d
S n n a1
2 33
4 33
a1 0
4 33 a1 )
n ( n 1) 2
a1 n
2
(
35 33
a1 n ,
对称轴n
35 4）
例题1: 在等差数列中{an}，若a1=25，且 S9=S17，求数列前多少项和为最大？
2.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，首 项a1=13，且S3=S11，则n=_____时,Sn取得最 7 大值。
例 2．在等差数列中， a 6 0 ， a1 7 1 2 ， （1）该数列第几项开始为正？ （2）前多少项和最小，并求其最小值？ （3）求 a n 前 n 项和 Sn？ （4）求 a n 前 n 项和 Tn？
P46 A组 4 B组 1 立体设计P34 变式2
变 式 1： 等 差 数 列 a n 中 ， a 2 0, S 4 S 8 , 求 使 得 S n 0 成 立 的 最 大 自 然 数 n.
变 式 2： 等 差 数 列 a n 中 ， a 3 a 8 0, S 9 0.n为 何 值 时 S n 最 小 ？
1
对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用 a n : 当 a >0，d<0，前n项和有最大值
1
n
王新敞
奎屯
新疆
（可由 a ≥0，且 a n 1 ≤0，求得n的值） 当 a 1 <0，d>0，前n项和有最小值
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
（可由 a n ≤0，且 a n 1 ≥0，求得n的值 ）
2
设A
d 2
, B a1
d 2
, 则 S n A n B n A, B是 常 数
2
特征：
当 A 0 即 d 0 时 , S n 是 关 于 n的 二 次 函 数 式 , 即 S n A n B n的 图 象 是 抛 物 线
2
y A x B x上 的 一 群 孤 立 的 点 .
1
结论1 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的 n=1 通项公式为 an= S1， Sn- Sn-1，n≥2 注意：(1)这种做法适用于所有数列； (2)用这种方法求通项需检验a1是否满足an. 若是，则an = Sn- Sn-1 练习： （1）若Sn=n2-1，求an；（2）若Sn=2n2-3n，求an.
2.3 等差数列的前n项和
——性质及其应用
(第二课时)
知识回顾：
1. {an}为等差数列 an+1- an=d 2an+1=an+2+an . an=an+b a、b为常数， an= a1+(n-1)d ， 更一般的，an= am+(n-m)d ，d=
n(a1 a n )
an am nm
练习 练习1、已知一个等差数列中满足3 a 4 7 a 7 , 且 a1 0
S n 是 数 列 { a n }的 前 n 项 和 ， 求 n 为 何 值 时 S n 取 最 大 值 .
解：方法一 3 a 7 a d 4 7
4 33
a1 0
a n a1 ( n 1)(
王新敞
奎屯 新疆
（2） 利用 S n ：由 S n
d 2
n
2
(a 1
王新敞
奎屯 新疆
d 2
)n
二次函数
配方法求得最值时n的值
练习1、已知一个等差数列中满足3 a 4 7 a 7 , 且 a1 0
S n 是 数 列 { a n }的 前 n 项 和 ， 求 n 为 何 值 时 S n 取 最 大 值 .
∴当n>1时，
an Sn Sn1 n n [( n 1) ( n 1)] 2 2 1 2n ① 2 1 3 2 a 当n=1时， 1 S1 1 1 2 2 ∴ a1也满足①式 1 所以数列{an}的通项公式为: an 2n
2 2
1
高中数学：2.3等差数列的前n项和公式(2)
2.3 等差数列的前n 项和公式(2) 课前预习 ● 温故知新 学前温习1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{n a }的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系 新课感知1.在等差数列{n a }中，若1a ＞0，d ＜0，则Sn 是否存在最大值？若存在，如何求？2. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：12186126,,S S S S S --也成等差数列。
由此推广，你能得到什么结论？ 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲1.等差数列的前n 项和有如下的性质．(1)若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也为等差数列．(2)等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列．(3)等差数列{a n }中，若S m ＝S p (m≠p)，则S m ＋p ＝0. (4)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝n(a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1. (5)若数列{n a }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则a n b n ＝n n --2121S T.2.求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： (1)利用二次函数的最值特征求解．S n ＝n 1a ＋nn －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2－d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2.由二次函数的对称性及n∈N *知，当n 取最接近12－a 1d 的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)，值得注意的是最接近12－a 1d 的正整数有时有1个，有时有2个． (2)根据项的正负来定．若1a >0，d<0，则数列前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 若1a <0，d>0，则数列前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 课堂点拨1、在等差数列{ a n }中， 125a =，179s s =，求n s 的最大值．解析：方法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ， 解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：先求出d ＝－2(同方法一)， ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0a n ＋1＝25－2n<0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312n>1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三：先求出d ＝－2(同方法一)，1,..S S a a a a a a a a a a a a a d a a a ⋯<>∴><1791011171017111612151314131413140020000Q ，由＝得＋＋＋＝， 而＋＝＋＝＋＝ ＋故＋＝＝－，，，故n ＝13时，Sn 有最大值169.方法四：先求出d ＝－2(同方法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象对称轴n ＝9＋172＝13， ∴当n ＝13时，取得最大值169.【点拨】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和Sn=An 2+Bn （A 、B 为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.2、已知数列{n a }为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．解析：方法一：由等差数列的性质可知奇数项a 1，a 3，a 5，…，a 11与偶数项a 2，a 4，a 6，…，a 12仍然成等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 S 偶＝a 2×6＋6×52×2d＝6a 1＋36d ， S 奇＝a 1×6＋6×52×2d＝6a 1＋30d ， ⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1＋30d ＝3227，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝5.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.方法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＋S 奇＝354，S 偶S 奇＝3227，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162，∴d＝192－1626＝5， 又∵S 奇＝a 1＋a 11×62＝3(2a 1＋10d)＝162， ∴a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.【点拨】等差数列{n a }中，a 1，a 3，a 5，…是首项为a 1，公差为2d 的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是首项为a 2，公差为2d 的等差数列．当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，方法2中运用到了这些，利用等差数列前n 项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．3、两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，求a n b n . 解析： 方法一：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1＋(n －1)e. 取n ＝1，则a 1b 1＝S 1T 1＝12，所以b 1＝2a 1.所以S n T n ＝na 1＋n n －12d nb 1＋n n －12e ＝a 1＋n －12d b 1＋n －12e ＝a 1＋n 2d －d22a 1＋n 2e －e 2＝2n3n ＋1，故en 2＋(4a 1－e)n ＝32dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1－32d ＋d 2n ＋a 1－d 2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d2＝0，4a 1－e ＝3a 1－d ，e ＝32d.即⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1，e ＝3a 1.所以a n b n ＝2n －13n －1.方法二：设S n ＝an 2＋bn ，T n ＝pn 2＋qn(a ，b ，p ，q 为常数)， 则S n T n ＝an ＋b pn ＋q ＝2n3n ＋1，所以3an 2＋(3b ＋a)n ＋b ＝2pn 2＋2qn ，从而⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2p ，3b ＋a ＝2q ，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ，b ＝0，p ＝3q ，所以S n ＝2qn 2，T n ＝3qn 2＋qn.当n ＝1时，a 1b 1＝S 1T 1＝12；当n≥2时，a n b n ＝S n －S n －1T n －T n －1＝2n －13n －1方法三：1212112121()22()22n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T ----+===+2(21)21=.3(21)131n n n n --=-+- 【点拨】由S n T n ＝7n ＋2n ＋3，设S n 与T n 时，如果设成S n ＝(7n ＋2)k ，T n ＝(n ＋3)k 则错误．从此 的性质方向讲是正确的．但要考虑到等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数，所以应设为S n ＝(7n ＋2)kn ，T n ＝(n ＋3)kn. , 当堂达标1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ， 则99963a a a a ++++Λ的值为 （ ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 1823. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）914. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．1005.等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( )A ．－11B ． 11C ．10D 。
等差数列的前n项和 -PPT课件
课堂小结
知识上： 1，已知 Sn ，求 an ； 2，求 Sn 的最值问题 思想方法上：
运用了函数的思想方法
当堂检测
1，
an
3 2n
n 1
n2
2，当 n 7时，Sn 取得最大值，Sn 77
作业Байду номын сангаас
课本第45页2,3题
∵ 当n=11时，a11 0
∴ 当n=10或者n=11时 取的最小值
由公式 解得
Sn
na1
nn 1d
2
S10 S11 110
探究展示二
已知数列 an 的前n项和为 Sn ，
Sn n2 2 ,求这个数列的通项公
式。 第一组展示
第八组点评
解：由题意可知 Sn n2 2
∴ Sn1 n 12 2 n 2
Sn1 n2 2n 3 n 2
an Sn Sn1 n 2
an n2 2 n2 2n 3 n 2
an 2n 1 n 2
当 n 1 时 S1 a1 3 不符合上式
∴数列 an 的通项公式为
a 3 n 1
n
2n 1 n 2
归纳提升
等差数列前n项和的最值问题有两种方法
谢 谢 大 家！
(2)问题1缺少n≥2,关系式没写出来 (3)问题2的第3问存在问题比较多，
探究展示一
已知等差数列 an ，a1 20, d 2
求当n为何值时 S n 取得最小值,并求
出最小值为多少.
第三组展示
第六组点评
解：由题意可知 a1 20, d 2 得等差数列 an
为递增数列
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)达标检测(
等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n ＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A ．30B ．31C ．32D ．33解析：中间项为a n ＋1.S 奇＝（a 1＋a 2n ＋1）2·(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1＝512. S 偶＝a 2＋a 2n 2·n ＝n ·a n ＋1＝480. 所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案：C2．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，则下列结论正确的是()A ．d <0B ．a 9＝0C ．S 11>S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值解析：由S 7<S 8得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7<a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，即a 8>0，又因为S 8＝S 9，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9，所以a 9＝0，故B 项正确．同理由S 9>S 10，得a 10<0，因为d ＝a 10－a 9<0，故A 项正确．对C ，S 11>S 7，即a 8＋a 9＋a 10＋a 11>0，可得2(a 9＋a 10)>0，由结论a 9＝0，a 10<0，显然C 项是错误的．因为S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，所以S 8与S 9均为S n 的最大值，故D 项正确．答案：ABD3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为()A.310B.13C.18D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，令S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于()A ．15B ．35C ．66D ．100解析：易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，所以n ≥3.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.所以a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152. 又n 为正整数，所以当S n 取最小值时，n ＝7.答案：C二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)．因为S 3＝9，S 6－S 3＝27，所以S 9－S 6＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.答案：457．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________． 答案：48．若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________． 解析：S 3S 5＝3（a 1＋a 3）5（a 1＋a 5）＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的X 围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， 所以－247＜d ＜－3. (2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0， 所以a 6＞0.又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10，② ①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100. 所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110×1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10， 因为S 10＝100，代入上式得d ′＝－22， 所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120， 所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－11100，b ＝11110， 所以S n ＝－11100n 2＋11110n ， 所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. B 级 能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 答案：A2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003· a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知 a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006. 答案：4 0063．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 因为S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ， 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13(110－3n －110)＝n 10（10－3n ）.。
等差数列前n项和(第二课时)
a3 13, a10 1 求 Sn 何时取到最小值，并求出Sn 最小值.
类型一：等差数列前n项和 Sn 的最值
例2 设等差数列{an } 满足 a1
n(n 1) 解：由Sn na1 d 得 2 17(17 1) 9(9 1差数列前n项和 Sn 最值的方法
（1）求 Sn，利用二次函数性质求最值，
注意n取正整数
（2）求 an ，利用项的特点求最值
2、已知数列 Sn 求 an 的方法
n 1 S1 , an Sn - Sn-1，n 2
25, S17 S9 求 Sn 何时取到最大值，并求出Sn 最大值.
得d 2
类型二：已知 Sn 求 an
例3 设数列{an }前n项和
Sn n 3n,
2
求数列的通项公式 an . 练：设数列{an } 前n项和
Sn n 3n 1,
2
求数列的通项公式 an .
课堂小结
当n 5时，Sn取最大值，最大值为S5 25
11 解法2：令a n 0即-2n+11 0得n 2 a1 a2 a5 0 a6 a7 5(a1 +a 5 ) 当n=5时，Sn 最大，最大值为S5 =25 2
类型一：等差数列前n项和 Sn 的最值
解： a3 5, a10 9 (1)
号n的值
a1 2d 5 a1 9 得 a1 9d 9 d 2 an 9 (n 1) 2) 2n 11 (
n(n 1) (2)由S n na1 d 得 2 n(n 1) 2 S n 9n (2) n 10n 2 由二次函数图象开口向下，对称轴为n 5得
高中数学新人教A版必修5学案2.3等差数列的前n项和(第2课时)
2.3等差数列的前n 和 ( 第 2)学目一步熟掌握等差数列的通公式和前n 和公式 , 认识等差数列的一些性, 并会用它解决一些有关, 提升意图 .合作学一、 , 情境复引入1.通公式 :2.乞降公式 :3. 两个公式中含有五个量, 分是, 把公式当作方程, 能解决几个量 ?4.S n是对于 n 的二次函数 , 二次函数存在最, 怎样求最 ?5.S n与 a n的关系 :S n=a1+a2 +a3+⋯+a n-1 +a n, 怎样求数列 {a n} 的通公式 ?二、信息沟通 , 揭露律6. 两个公式中含有五个量, 分是S n,a n,n,d,a1,两个公式两个方程, 所以已知此中的三个量 , 就能够求其余的两个量, 即“知三求二”.a n=a1+(n-1)d,S n==na1+d.7.S n是对于 n 的二次函数 , 二次函数能够求最, 求二次函数的最, 不要注意自量n 是正整数 ; 能够从研究数列的性及的正而研究前n 和 S n的最 , 方法更拥有一般性.S=,有最大;有最小.n8.S n与 a n的关系 :S n=a1+a2 +a3+⋯+a n-1 +a n怎样求数列 {a n } 的通公式 ?S n-1 =a1+a2+a3+⋯+a n-1 (n ≥2)只需两式相减就会获得a n=S n-S n-1 (n ≥2), 只不个表达式中不含有a1, 需要独考a1能否切合a n=S n-S n-1 .似于分段函数.a n=, 最后能否能够用一个式子来表示.三、运用律 , 解决9. 已知一个等差数列{a n} 的前 10 的和是 310, 前 20 的和是 1220, 由此能够确立求其前n 和的公式?10.已知等差数列 5,4,3, ⋯的前 n 和 S n , 求使得 S n最大的序号 n 的 .2n n. 个数列能否是等差数11. 已知数列 {a } 的前 n 和S =n +n, 求个数列的通公式列 ?四、式 , 深入提升12. 已知 {a n} 是一个等差数列, 且 a2=1,a 5=-5.(1)求 {a n} 的通项公式 a n;(2)求 {a n} 前 n 项和 S n的最大值 .2n n13. 已知数列 {a} 的前 n 项和为 S =n +n+1,求这个数列的通项公式, 这个数列能否是等差数列 ?五、反省小结 , 看法提炼参照答案一、设计问题 , 创建情境1.a n=a1+(n-1)d2.S n==na1+d3.S n,a n,n,d,a1二、信息沟通 , 揭露规律7.n 2+n=8.a n=三、运用规律 , 解决问题9.剖析 : 将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后 , 可获得两个对于 a1与 d 的二元一次方程 , 而后确立a1与 d, 进而获得所求前n 项和的公式 .解: 由题意知 S10 =310,S 20=1220,将它们代入公式S n=na1+d, 获得解这个对于a1与 d 的方程组 , 获得 a1=4,d=6,所以 S n=4n+×6=3n 2+n这就是说 , 已知 S10与 S20能够确立这个数列的前n 项和的公式 ,这个公式是S n=3n2+n.10.解: 方法一 : 令公差为 d, 则d=a2-a 1=a3-a 2=3-4=-,所以 S n==-.*又 n∈ N , 所以当 n=7 或许 n=8 时 ,S n取最大值 .方法二 :d=a 2-a 1 =a3-a 2=3-4=-,其通项公式为a n=5+(n- 1) ×=-n+.由于 a1=5>0,d=-<0,所以数列{a n}的前n项和有最大值.即有解得即7≤n≤8, 又 n∈ N* ,所以当 n=7 或许 n=8 时 ,S n取最大值 .211n11. 解: 由题意知 , 当 n=1 时 ,a=S =, 当 n≥2时,S =n +n,①S n-1 =(n-1) 2+(n-1),②由① - ②得 a n=S n-S n-1 =2n-,又当 n=1 时,2 ×1-=a 1, 所以当 n=1 时 ,a 1也知足 a n=2n-,则数列 {a n} 的通项公式为a n=2n- (n ≥1,n ∈ N).这个数列是等差数列,a n-a n-1 ==2( 这是一个与n 没关的常数 ).四、变式训练 , 深入提升12. 解:(1)设{a n}的公差为d, 由已知条件 , 解出 a1=3,d=-2,所以 a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)S n=na1+d=-n 2+4n=4-(n-2)2,所以当 n=2 时 ,S n取到最大值 4.13. 解: 由题意知 , 当 n=1 时 ,a 1=S1=,当 n≥2时 ,S2①S2②=n +n+1,=(n-1) +(n-1)+1,n n-1由① - ②得 a n=S n-S n-1 =2n-,又当 n=1 ,2 ×1- ≠a1, 所以当 n=1 ,a 1不足 a n=2n-,数列 {a n} 的通公式a n=个数列不是等差数列,a 2-a 1≠a3-a 2=a4-a 3=⋯=2.五、反省小 , 点提略。
人教新课标版数学高二必修五2.3.2等差数列的前n项和(二)
等差数列的前n 项和(二)等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n 项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多.【性质1】 已知等差数列{a n }，m 、p 、q ∈N *，若存在实数λ使λλ++=1qp m (λ≠-1), 则λλ++=1q p m a a a .证明：由等差数列{a n }的通项公式a n =dn +a 1-d 的几何意义：点(p,a p )、(m,a m )、(q,a q )共线，由斜率公式得mq a a pm a a m q p m --=--，因为λλ++=1qp m ，所以λ=--q m m p . 所以λ(a m -a q )=a p -a m .所以(1+λ)a m =a p +λa q ，即λλ++=1q p m a a a .评析：特别地,当λ=1时，2a m =a p +a q ，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式.【性质2】 等差数列{a n }，n i ，m i ∈N *，i=1,2,3,…,k,若∑∑===ki ik i i mn 11.则∑∑===ki m ki ma a11.证明：设等差数列{a n }的公差为d .根据a n i =a mi +(n i -m i )d ，i=1,2,3,…,k,则∑∑∑∑∑======-+=k i mi k i k i k i i i mi ki nia d m n a a11111)(.所以∑∑===ki mi k i ni a a 11推论：等差数列{a n }，n i ，m ∈N *，i=1,2,3,…,k,若∑==k i i n km 1.则∑==ki n m i a ka 1.评析：本性质实质上是等差中项性质的推广.【性质3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .n ，m ∈N *, 则d n m n S m S n m )(21-=-.证明:因为mn mS nS n S m S nm n m -=- =mnd n n na m d m m ma n ]2)1([]2)1([11-+--+=mndn mn mna d m mn mna 2)1(2)1(11----+=d mn mnmn mn n m 222+--=d mnmn n m 222- =d mn n m mn 2)(-=d n m )(21- 所以d n m n S m S n m )(21-=-.评析：实质上数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是公差为2d 的等差数列.【性质4】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .n ，m ∈N *,则S m+n =S m +S n +mnd . 证明：因为S m+n =S n +(a n +1+a n +2+…+a n +m ) =S n +(a 1+nd )+(a 2+nd )+…+(a m +nd ) =S n +(a 1+a 2+…+a m )+m nd=S m +S n +m nd ， 所以S m+n =S m +S n +mnd .【性质5】 等差数列{a n }前n 项和为S n ，若m=p+q(m 、p 、q ∈N *且p≠q),则有qp S S m S qp m --=. 证明：设等差数列{a n }的公差为d . 因为S p -S q =p a 1+21p(p-1)d -q a 1-21 q(q-1)d =(p-q)［a 1+21(p+q-1)d ］，所以d q p a q p S S qp )1(211-++=--.又因为d m a m S m )1(211-+=且m=p+q ，所以有qp S S m S qp m --=. 推论：等差数列{a n }前n 项和为S n ，若m+t=p+q(m 、t 、p 、q ∈N *且m≠t,p≠q),则qp S S t m S S q p t m --=--.【性质6】 等差数列{a n }前n 项和为S n . (1)当n =2k(k ∈N *)时，S 2k =k(a k +a k+1); (2)当n =2k-1(k ∈N *)时，S 2k-1=k a k .。
等差数列前n项和(2)
a4 11 n 7
例3.等差数列 {an }的前 12项的和为 354 ，前 12项 中奇数项和与偶数项和 的比为 27 : 32，求公差 d.
d 5
知识应用：
例4. 已知等差数列 {an }， {bn }， 它 们 的 前 n项 的 Sn 2n 3 a9 37 和分别为 Sn，Tn， 若 ，求 . 50 Tn 3n 1 b9
§2.3 等差数列 的前n项和(2)
复习回顾： n 1. 已 知 数 列an 的 前n项 和S n 3 k，
求an 的通项公式 .
点评：数列{an}的前n项和Sn 与第n项an 的关系
S1 an S n S n 1
n 1 n 2
当a1 S1符 合an S n S n1时 ， 只 用 一 个 式 子 表示即可，当 a1 S1不 符 合 an S n Sn1时 ， 要写成分段函数形式 .
问题探究：等差数列{an}的前n项和Sn性质
设数列 {an }是等差数列，公差为 d 当n 2k 1(k N* )时，数列 {an }的中间 问题2： 项是哪一项？当 n 2k ( k N* )时 ， 中 间 项 又
是什么？
Sn，S2n Sn，S3n S2n是否成等差数列？ 问题1：
n 2k 1时，a中 ak n 2k时，a中 ak 或a中 ak 1 问题3： 如何用数列 {an }的中间项来表示 Sn，所有 奇数项的和 S奇，所有偶数项的和 S偶 .
பைடு நூலகம்
知识应用： 例1.已知等差数列{an}的前10项的和是30， 前20项的和是100，求前30项的和. 210
2.3等差数列的前n项和(二)
2 数列{an}的通项公式为：an 2n 1 2 点评：
(n 1)
(n 1)
( n 1) S1 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n S n S n 1 ( n 1)
论 思 想
8
2 { a } ● 如果一个数列 n 的前n项和为 s n pn qn r 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
5 【解析】由题意知，等差数列的公差为 7
Sn 5n n(n 1) 5 5 15 1125 ( ) ( n ) 2 2 7 14 2 56
15 2
例 题 讲 解
于是，当n取与
最接近的整数即7或8时， S n 取最大值.
函数思想
还有其它 方法吗？
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例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5， 4 ，3 ，的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
11
1.等差数列的前n项和公式
n(n 1) Sn na1 d 2 ( n 1) S1 2. 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n
n(a1 an ) Sn 2
S n S n 1 ( n 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法：
4.本节基本思想：
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列. n ( n 1) d 2 d s n na1 d n ( a1 ) n 2 2 2
常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2
结论：数列是等差数列等价于
2.3等差数列前n项和公式(2课时)
等差数列的前 n 项和 Sn 的主要性质
①Sn=
n a1 an 2
=
n am an m 1 2
.
②项的个数的“奇偶”性质:等差数列{an}中,公差为d. （1）若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd; S偶∶S奇=an+1∶an. （2）若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1; S偶∶S奇=n∶(n+1). ③和的比值与项的比值间的性质:设Sn,Tn分别为等差数列{an}, {bn}的前n项和,则an∶bn=S2n-1∶T2n-1. ④“片断和”性质:等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.
两个等差数列的求和公式及通项公 式，一共涉及到4个量，知三求一。
练习:等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4, S3=9,则S4等于( A ) (A)14 (B)19 (C)28 (D)60
二、等差数列前n项和的最值问题
【思考】 1.等差数列{an}的前n项和公式一定是关于n的二次函 数吗?
2.3等差数列前n项和 (第一课时）
北师大平果附属学校
复习回顾
a 1.等差数列的定义：
* a d ( n N ) n 1 n
或 a n a n 1 d ( n N * 且 n 2 )
2.等差数列通项公式: an a1 (n 1)d 3.等差数列性质： （1） {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
2.3等差数列前n项和公式(2)
其中p、q、r为常数，且 p 0, 那么这个数列 an 一定是的等差数列吗？
解：根据上例解得 an
只有r 0时，数列an 才是等差数列 首项为： a1 p q, 公差为： d 2 p
( n 1) p q r 2 pn p q ( n1)
等差数列前n项和的性质一：
求使得 S n最大的序号 n的值。
解1：由已知可得， a1 5, d 可得S n 5n
n ( n 1) 5 ( ) 2 7
5 7 , 代入S n
na1
n ( n 1) 2
d
75n 5n 2 14
2 1125 5 即：S n 14 (n 15 ) 56 2
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an =15n-91≤0 令 an+1 =15(n+1) -91≥0
1 1 ，解得 5 n 6 15 15
∴当n=6时，Sn取最小值，此时
n(n 1) Sn na1 d 6 (76) 15 15 231 2
等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列。
如果a n 为等差数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 S k，公差为k d。
2
二、例题 例3.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项 变式.在等差数列 an 中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项 第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 . 和的公式吗？ 解：依题意知，S10=310，S20=1220 得