上海市2021年高二数学第二学期期末模拟考试卷(一)
2021年高二数学上学期期末复习模拟六(选择性必修一、选择性必修第二册数列)
高二期末模拟试题六高二数学期末模拟六范围(选择性必修一+数列)一、单选题1．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，，B ．(22)-，C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，2．已知等差数列{}n a 的公差为正数，且3712a a ⋅=-，464a a +=-，则20S 为（）A ．90-B ．180-C ．90D ．1803．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）．A ．14B ．12C ．34D ．14．已知(123)A -，，、(211)B -，，两点，则直线AB 与空间直角坐标系中的yOz 平面的交点坐标为（）A ．(000)，，B ．(057)-，，C ．51(0)33，D ．71(0)44，5．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（）A ．12B．2C ．34D ．327．已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（）A ．432n -B ．212n -C ．212n +D ．42n8．已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（）A．83+B．)41-C．83+D．)22-二、多选题9．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（）A ．1058b b =B ．{}n b 是等比数列C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++10．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在实数H ，使得对任意的n ∈N +，都有n S <H ，则称数列{a n }为“和有界数列”.下列说法正确的是（）A ．若{a n }是等差数列，且公差d =0，则{a n }是“和有界数列”B ．若{a n }是等差数列，且{a n }是“和有界数列”，则公差d =0C ．若{a n }是等比数列，且公比q <l ，则{a n }是“和有界数列”D ．若{a n }是等比数列，且{a n }是“和有界数列”，则{a n }的公比q <l11．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A ．()()a b a bλλ⊗=⊗B ．a b b a⊗=⊗ C ．()()()a b c a c b c+⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y = ，则122a b x y x y⊗=-12．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．||PQ 的最小值为第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．一条光线从点()2,1-射出，经x 轴反射后与圆()()22341x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为________.15．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．16．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，n *∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，对任意的n *∈N ，n k T >恒成立，则k 的取值范围是______.四、解答题17．已知直线:3260l x y --=.（1）若直线1l 过点()1,2M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线，且直线2l 与直线l2l 的方程.18．已知圆221:2610C x y x y +---=和222:1012450.C x y x y +--+=(1)求证：圆1C 和圆2C 相交；(2)求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长．19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．20．设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和，已知12a +，22a ，31a +成等差数列，且3241S a =-，1q >．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若4(2)n n T n S -=+成立，求n ．21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在线段AB上．（1）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（2）若二面角1D EC D --的大小为45 ，求点B 到平面1D EC 的距离．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆C的右顶点到直线0x y -=的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点）．参考答案1．C 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=.由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，又32m k m +=--，∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交，∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选：C.2．D解：由等差数列{}n a 的公差为正数可得等差数列{}n a 为递增数列，464a a +=- ，374a a ∴=-+，与3712a a ⋅=-联立，由于公差为正数，∴解方程组可得376,2a a =-=，73273a a d -∴==-，13262210a a d =-=--⨯=-，()20120192019202010218022S a d ⨯⨯∴=+=⨯-+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列基本量的计算及前n 项和的计算，是基础题.3．C 【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =，而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+，()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD=+=+=+-=+()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=.故选：C.4．B解：设直线AB 与平面yOz 的交点为11(0)P y z ，，，（方法一）∵A 、B 、1P 三点共线，则1//APAB，∵(123)A -，，、(211)B -，，，∴111(1,2),3AP y z +-=- ，(1,3,4)AB =- ，则11231134y z +--==-，解得1157y z =-⎧⎨=⎩，则(057)P -，，，（方法二）∵A 、B 、1P 三点共线，则1(1)OPOA OB λλ=⋅+-⋅ ，则11(0,)(1,2,3)(1)(2,1,1),y z λλ=⋅-+-⋅-，则11022221133141y z λλλλλλλλλ=+-=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪=-+=-⎩，解得11257y z λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则(057)P -，，，故选：B ．5．B 【详解】圆心在0x y +＝上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ；验证：A 中圆心(11)-，到两直线0x y -=的距离是=；圆心(11)-，到直线40x y --==≠A 错误．故选：B ．6．B 【解析】过点1F 倾斜角为030的直线方程为：)3y x c =+，即0x c +=，则圆心()0,0到直线的距离：2c d ==，由弦长公式可得：=，整理可得：2222222,,2b c a c c a c =∴-==则：212,22e e ==.本题选择B 选项.7．B【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=，即14n n a a +=，且12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=，故选：B.8．A【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11||||BF AF =所以8)m =+，解得：83123m -=，所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=83121632(4)8162833m -++=+⨯=+故选：A 9．BD【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =，由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，116129(1)29n n a a n d +∴=+-=，2n a n b =Q ，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠ ，()553105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误；3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=，所以，357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD 10．BC【详解】{}n a 是等差数列，公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+，A ．0d =，则1n S na =，若10a ≠，则n →+∞时，n S →+∞，{a n }不是“和有界数列”，A 错；B ．若{a n }是“和有界数列”，则由21(22n d d S n a n H =+-<知10,022d da =-=，即10a d ==，B 正确；C ．{a n }是等比数列，公比是q ，则1(1)1-=-nn a q S q，若1q <，则n →+∞时，11n a S q →-，根据极限的定义，一定存在0H >，使得n S H <，对于任意*n N ∈成立，C 正确；D．若1q =-，10a ≠，则1,21,(*)0,2n a n k S k N n k=-⎧=∈⎨=⎩，∴12n S a <，{a n }是“和有界数列”，D 错．故选：BC．11．BD解：对于A ：()()sin ,a b a b a bλλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a b λλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅ ，=sin ,b a b a b a ⊗⋅ ，故a b b a ⊗=⊗ 恒成立；对于C ，若λa b = ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin ,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b +=⋅，sin ,a b =即有a b a b a ⊗=⋅⋅==1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立.故选：BD.12．BC 【详解】由2216x y +=可知，2226,1,5a bc ===，则焦距2c =，离心率6c e a ===；设(),P x y ，圆心()1,0D -，半径为55r =，则PD ===>，故圆D 在C的内部；当PD时，||PQ的最小值为5-=，综上所述，选项BC 正确，故选：BC 13．480x y +-=【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-.在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=.即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <，AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=.14．43或34【详解】点()2,1-关于x 轴的对称点为()2,1--，则反射光线过点()2,1--，设反射光线所在直线为()12y k x +=+，即210kx y k -+-=，∴圆心到直线距离1d ==，解得：43k =或34k =，∴反射光线所在直线的斜率为43或34.故答案为：43或34.15．13【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =- ，()10,1,2= DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z = 满足n AC ⊥ ，1⊥ n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min23DA n PQn⋅== .故答案为：23.16．13k ≥【详解】因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得:22112n n n n n a a a a a --=+--，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a >知，10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则121111111 (36611221)n n n n T b b b n n +=+++=-+-++-+++11311213n n +=<++-所以13k ≥.故答案为：13k ≥.17．【详解】（1）因为直线l 的方程为3260x y --=，所以直线l 的斜率为32.因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为23-.因为直线1l 过点()1,2M -，所以直线1l 的方程为()2213y x +=--，即2340x y ++=.（2）因为直线2l 与直线l，所以可设直线2l 的方程为320x y m -+=，=7m =或19m =-.故直线2l 的方程为3270x y -+=或32190x y --=.18．【详解】(1)圆1C 的圆心()113C ，，半径1r =，圆2C 的圆心()256C ，，半径24r =，两圆圆心距121212d 544C C r r r r ==+=-=-，，所以1212d r r r r -<<+，圆1C 和2C 相交；(2)圆1C 和圆2C 的方程相减，得43230x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为43230x y +-=，圆心()256C ，到直线43230x y +-=的距离为：d 3==，故公共弦长为=19．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ．由()19955992a a S a a +===-得：50a =，5324d a a ∴=-=-，解得：2d =-，()()33423210n a a n d n n ∴=+-=--=-+；（2）由（1）知：50a =，即140a d +=，14a d ∴=-，又10a >，0d ∴<，()()()11415n a a n d d n d n d ∴=+-=-+-=-，()()1922n n n a a n n S d +-∴==，由n n S a ≥得：()()952n n d n d -≥-，由0d <得：211100n n -+≤，解得：110n ≤≤，又n *∈N ，n ∴的取值范围为{}110,n n n N *≤≤∈.20．【详解】因为12a +，22a ，31a +成等差数列，所以213134213a a a a a =+++=++，即211143a q a a q =++，①由3241S a =-可得2111141a a q a q a q ++=-，即2111310a a q a q -++=，②联立①②及1q >解得11a =，2q =，所以12n n a -=．(2)由(1)知12n n n n a -=，所以01211232222n n n T -=++++ ，121112122222n n n n n T --=++++ ，两式相减得012111111222222n n n n T -=++++- 所以111222122212n n n n n n T -+=-=--，所以1242n n n T -+=-．又因为122112nn n S -==--，所以4(2)n n T n S -=+可化为11212nn -=-，即()12211n n -⋅-=，可变形为()22220nn --=，整理得()()22210n n-+=，解得1n =．21．【详解】分别以DA 、DB 、1DD 为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，（1）由()11,0,1A ，得()11,0,1DA =，设()1,,0E a ，又()10,0,1D ，则()11,,1D E a =-，111010DA D E ⋅=+-= ，11DA D E ∴⊥，则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90 ；（2）平面DEC 的一个法向量为()0,0,1m = ，设平面1CED 的一个法向量为(),,n x y z = ，设点()1,,0E a ，其中02a ≤≤，则()0,2,0C ，()10,2,1CD =- ，()1,2,0CE a =- ，由()12020n CD y z n CE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，则2x a =-，2z =，()2,1,2n a ∴=- ，cos ,2m n m n m n ⋅<>===⋅ ，02a≤≤ ，解得2a =-，所以，平面1D EC 的一个法向量为)2n = ，又()1,0,0CB = ，所以，点B 到平面1D EC的距离64CB n d n⋅=== ．22．【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点(,0)a ，所以右顶点到直线0x y -=的距离为3d ==，0a >可得：a=由离心率2c e a ===，可得c =，所以222862b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22182x y +=；（2）由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线l 与椭圆的方程可得：222{182x my x y =++=，整理可得：22(4)440m y my ++-=，12244m y y m -+=+，12244y y m -=+所以122114··2·224OAB S OP y y m =-=+，设2t =，取等号时，0m =，即斜率不存在，这时24AOB S == ，当0m ≠，2t >，则2222t m =-，所以2442422AOB t S t t t ==++- 令2()f t t t =+，2t >，则22222()10t f t t t-=-+=>'恒成立，所以()f t 在2t >单调递增，无最小值，也无最大值，所以2442422AOB t S t t t ==++- 无最大值，综上所述当且仅当2t =，即0m =时，所以OAB 面积的最大值为2．。
上海市第三女子中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷含解析 (1)
2020-2021学年上海市第三女子中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若，则n＝2．半径为1的球的表面积是．3．在的二项展开式中，常数项是．4．有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有种．（用数值表示）5．面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为．6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为．7．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有不同的报名方法．8．已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为．9．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是10．已知空间中两条不同的直线m、n和平面α，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α．请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若，则．（填写相应序号）11．在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC 的距离是，则B、C两点的球面距离是．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．1615．下列四个命题中真命题是（）A．空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B．经过空间中的三个点有且只有一个平面C．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种三、解答题17．从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值．18．已知n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1．（1）求n；（2）求a0+a1+a2+⋯+a n的值．19．如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB＝4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小．20．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．21．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝BC＝2．（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABC﹣A1B1C1的体积．参考答案一、填空题1．若，则n＝10解：若，则n＝6+4＝10．故答案为：10．2．半径为1的球的表面积是4π．解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12＝4π．故答案为4π．3．在的二项展开式中，常数项是20．解：由．由6﹣2r＝0，得r＝3．∴常数项是．故答案为：20．4．有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有240种．（用数值表示）解：因为甲、乙两人相邻，所以先将甲、乙两人进行捆绑，方法共有种，再将甲、乙两人看成整体进行排序共有种排法，所以共有种，故答案为：240．5．面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为8π．解：面积为4的正方形边长为2，正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得几何体是底面半径为2，母线长为2的圆柱，所以该圆柱的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×2×2＝8π．故答案为：8π．6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为60°．解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR＝2πr，∴R＝2r，∴母线与底面所成角的余弦值＝＝，∴母线与底面所成角是60°．故答案为：60°．7．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有36不同的报名方法．解：四个运动员分为3组共有种情况，将分好的3组分到三个比赛项目，共有种情况，有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有种情况．故答案为：36．8．已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为48．解：设长方体的长宽高分别为m，2m，3m（m＞0），由题意可得：，∴m2＝4，m＝2，长方体的体积：V＝m×2m×3m＝6m3＝48．故答案为：48．9．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是0.8解：设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，∴该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是：p＝1﹣（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.8．故答案为：0.8．10．已知空间中两条不同的直线m、n和平面α，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α．请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若②③，则①．（填写相应序号）解：由m⊥n，n∥α，得m∥α或m⊂α或m与α相交，相交也不一定垂直，故由①②不能得到③；由m⊥n，m⊥α，得n∥α或n⊂α，故由①③不能得到②；由m⊥α，得m必垂直于平面α内的任意一条直线，又n∥α，所以m⊥n，故由②③可得①．故答案为：②③，①．11．在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC 的距离是，则B、C两点的球面距离是π．解：根据题意，∠ABC＝90°，AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点，|O′C|＝＝，AC＝3，则BC＝OB＝OC＝3，则∠BOC＝，故B、C两点的球面距离l＝×3＝π；故答案为：π．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为．解：正方体有12条棱，从中取两条的方法数式，其中异面直线的方法数：12×4÷2＝24，所以所在的直线是异面直线的概率为：＝＝，故答案为：．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：①若m∥β，m为α内的一条直线，则α∥β或α与β相交，∴充分性不成立，②若α∥β，m为α内的一条直线，根据面面平行得性质可得m∥β，∴必要性成立，∴m∥β是α∥β的必要不充分条件，故选：B．14．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16解：由题意可知，以AA1为底面矩形的一边，则矩形可以为矩形AA1B1B，矩形AA1D1D，故阳马可以为：C1﹣AA1B1B，C1﹣AA1D1D，D1﹣AA1B1B，D1﹣AA1D1D，C﹣AA1B1B，C﹣AA1D1D，D﹣AA1B1B，D﹣AA1D1D，所以阳马的个数是8个．故选：B．15．下列四个命题中真命题是（）A．空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B．经过空间中的三个点有且只有一个平面C．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条解：空间中垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A错误；经过空间中不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，故B错误；过球的一个直径的两个端点的大圆有无数个，故C错误；过空间任一点作两条异面直线的平行线，则所作的两条直线确定一个平面，过该点与所确定的平面垂直的直线有且只有一条，故过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故D正确．故选：D．16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×＝6种情形；第三类：五局为止，共有2×＝12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12＝20种情形故选：C．三、解答题17．从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值．解：将数据从小到大排序得155，159，161，162，163，166，167，168，169，170．故其平均值为＝164，其中位数为＝164.5，身高大于165cm的概率估计值为＝．18．已知n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1．（1）求n；（2）求a0+a1+a2+⋯+a n的值．解：（1）∵n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1，∴•（﹣2）n﹣2＝﹣3•（﹣2）n﹣1，解得n＝13．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+⋯+a n＝（1﹣2）13＝﹣1．19．如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB＝4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小．解：（1）连接PO，则，∴圆锥的体积为：；∵F是PA的中点，且AB＝4，∴圆柱的底面直径为2，∴圆柱的侧棱长为，∴圆柱的体积为：；则圆柱与圆锥的体积的比值为＝；（2）由题可知，OC，OB，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，﹣2，0），P（0，0，），F（0，﹣1，），C（2，0，0），则，所以cos＜＞＝，∴异面直线OF和PC所成的角的大小为arccos．20．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．【解答】（1）从1、3、5、7中任取2个数字为，从2、4、6、8中任取2个数字为，组成无重复数字的四位数；（2）从1、3、5、7中任取2个数字为，必选0，所以从2、4、6、8中任取1个数字为，0不排首位，先给0选个位置，剩余数字全排为；故含有数字0的元素的个数为＝432；（3）能被5整除分情况讨论：①选5不选0：＝108，②选0不选5：＝72，③0，5都选：＝120，所以能被5整除得方法数：108+72+120＝300，所以能被5整除的概率．21．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝BC＝2．（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABC﹣A1B1C1的体积．解：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以，，设平面A1B1C1的法向量为，则，即，令y＝1，则z＝2，，故，所以点A到平面A1B1C1的距离为＝；（2）由（1）可知，平面A1B1C1的法向量为，又平面ABC的一个法向量为，所以，又平面ABC与平面A1B1C1所成的角为锐二面角，所以平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小为；（3）过点B1作B1E∥AB交AA1于点E，过点B1作B1F∥BC交CC1于点F，取AB的中点P，连结BP，则BP⊥AC，因为AA1⊥平面ABC，且BP⊂平面ABC，则BP⊥AA1，又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C1C，所以BP⊥平面AA1C1C，＝＝＝，故多面体ABC﹣A1B1C1的体积为．。
2021年高二数学上学期期末复习模拟一(选择性必修一、选择性必修第二册数列)
x1 x2
y1 y2
z1 z2
C． cos a,b
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D．若
x1
y1
z1
1 ，则
a
为单位向量
10．设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 y x称为高斯函数，也叫取 整函数，如： 1.5 1 ，1.3 2 ，则下列结论正确的是（ ）
绝密★启用前
期末复习模拟一
一、单选题
范围：选择性必修一 + 数列
第 I 卷（选择题）
1．若圆 x a2 y b2 1a R, b R 关于直线 y x 1对称的圆的方程是 x 12 y 32 1, 则 a b等于（ ）
A．4
B．2
C．6
D．8
2．在等比数列 an 中，若 a4 ， a8 是方程 x2 4x 3 0 的两根，则 a6 的值是（ ）
A． 3
B． 3
C． 3
D． 3
3．平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
中，M
为
AC
与
BD
的交点，若
AB
a
， AD
b
，
AA1 c ，则下列式子中与 D1M 相等的是（ ）
A．
1
a
1
b
c
22
C．
1
a
1
b
c
22
4．抛物线 y2 x 的准线方程为（ ）
B．
1
a
1
b
c
22
D．
A． C1C// 平面 OMN
B．平面 A1CD / / 平面 OMN
期中考试模拟卷01(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2021-2022学年度高二第一学期数学期中考试模拟卷01测试范围：第1章—第2章第I 卷（选择题）一、单选题1．已知两平面的法向量分别为)0(()10011m n ==，，，，，，则两平面所成的二面角为（）A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°2．若直线1l ，2l 的方向向量分别为(2,1,1)m =--，(1,1,1)n = ，则这两条直线（）A ．平行B ．垂直C ．异面垂直D ．垂直相交3．已知直线21:20l x y t ++=和直线2:24230l x y t ++-=，则当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为（）A ．1B ．12C ．13D ．24．方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->表示的曲线关于直线0x y +=成轴对称图形，则（）A ．0D E +=B ．0D F +=C ．0E F +=D ．0D E F ++=5．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．112223a b c+- D ．221332a b c+- 6．已知()2,4A --，()1,5B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为（）A ．3-B ．3-或3C ．1-D ．1-或17．圆()()22:236C x y -+-=截直线():110l a x y a +--+=的最短弦长为（）A ．2B ．C ．4D ．88．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，若G 是EF 的中点，1AF =，2AC BG ⋅=-，则三棱锥C ABG -的外接球的表面积是（）A ．6πB ．10πC ．8πD ．12π二、多选题9．（多选题）下列说法中，正确的是（）A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．一条直线的倾斜角为30-C ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α D ．任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A ．若向量,a b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b；B ．若非零向量,,a b c 满足,a b b c ⊥⊥ ，则有//a c ；C ．若OA ，OB ，OC是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++ ，则,,,A B C D 四点共面；D ．若,,a b c是空间的一组基底，则向量,,a b b c c a +++ 也是空间一组基底；11．下列说法错误的是（）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=C ．过()11,x y 、()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x x y y x x --=--D ．若两直线()1:3454l a x y a ++=-与()2:259l x a y ++=平行，则7a =-12．已知实数x 、y 满足方程222410x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A ．22x y +的最大值为2B ．()()2221x y +++的最大值为22+C ．x y +的最大值为3+D ．43x y -的最大值为8第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知m ，n 满足1m n +=，则点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为_______．14．直线()2110a y +++=的倾斜角的取值范围是___________.15．已知点A ､B ､C ､D 的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(,5,3)x ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则x =___________.16．圆心在230x y --=上，过() 5,2和()3,2-的圆的标准方程___________.四、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a = ，AD b = ，c AP =.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM；（2）求BM 的长.18．ABC 的三个顶点5,01,3(),()0)2,(A B C --，，边,AC BC 的中点分别是,E F .（1）求边AB 的中位线EF 所在的直线方程;（2）求边AB 的高线所在的直线方程.19．已知圆22:30C x y Dx Ey ++++=，圆心在直线10x y +-=上，且圆心在第二象限，半径，求（1）圆C 的一般方程（2）圆C 关于线0x y -=的对称圆方程.20．已知圆22:4440C x y x y +--+=.（1）若过点(1,0)P 的直线l 与圆C 相交所得的弦长为l 的方程;（2）若Q 是直线:3460l x y '++=上的动点，,QA QB 是圆C 的两条切线，,A B 是切点，求四边形QACB 面积的最小值.21．如图，//AD BC 且22AD BC ==，AD CD ⊥，平面ADGE ⊥平面ABCD ，四边形ADGE 为矩形，//CD FG 且22CD FG ==．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；（2）若CF 与平面ABCD 所成角的正切值为2，求直线AD 到平面EBC 的距离．22．长方体OABC O A B C ''''-中，AB BC a ==，BB b '=，,E F 分别为棱,AB BC 上的动点，且AE BF x ==(0)x a ≤≤，（1）当a b =时，求证：直线O B '⊥平面B AC '；（2）当2a b ==，且BEF 的面积取得是大值时，求点B 到平面B EF '的距离；（3）当2,1a b ==时，求从E 点经此长方体表面到达O '点最短距离．参考答案1．C 【分析】直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可．【详解】cos ,2m n m n m n ⋅=⋅〈〉，即45m n =︒ 〈,〉.∴两平面所成二面角为45︒或18045135︒︒=︒－.故选：C.2．B 【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.【详解】因为()()2111110m n ⋅=⨯+-⨯+-⨯= ，所以m n ⊥ ，所以1l ⊥2l .故选：B.3．B 【分析】利用平行线之间的距离公式可求出d 关于t 的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】解：∵直线2:24230l x y t ++-=即为直线23202t x y -++=，∴直线1//l 直线2l ．∴1l 与2l间的距离21524t d ⎛⎫-+ ⎪==12t =时取等号．∴当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为12．故答案选：B 4．A 【分析】依题意可知，方程表示的圆的圆心在直线0x y +=上，即可解出．【详解】因为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以该方程表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的圆，而该方程表示的曲线关于直线0x y +=成轴对称图形，所以圆心,22D E ⎛⎫-- ⎝⎭在直线0x y +=上，即有0D E +=．故选：A ．5．B 【分析】首先连接ON ，再利用向量加减法的几何意义求解即可.【详解】连接ON ，如图所示：因为2OM MA =，N 为BC 中点，所以121222311322M A a N ON OM OB O b c C O -=-=+=+-+ .故选：B 6．B 【分析】解法一：当A ，B 在直线l 的同一侧时，直线l 与直线AB 平行，利用平行线的斜率相等求得a 的值；当A ，B 在直线l 的两侧时，转化为直线l 经过线段AB 的中点求得，利用中点公式求得线段AB 的中点坐标，代入直线方程求得a 的值.解法二：直接由点到直线的距离公式列出方程求解即得.【详解】（1）()2,4A --，()1,5B 两点位于直线:10l ax y ++=同一侧，即直线AB 平行于直线:10l ax y ++=，所以45321a ---==--，即3a =-；（2）()2,4A --，()1,5B 两点位于直线:10l ax y ++=的两侧，所以直线l 过线段AB 的中点，线段AB 的中点坐标为2145,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴111022a -++=,解得3a =.综上实数a 的值为3a =±.222415111a a a a --+++=++即236,a a +=+亦即()236a a +=±+,解得3a =±.故选：B.7．C 【分析】求出直线l 过定点P ，P 在圆内，则当CP l ⊥时，弦长最短，由勾股定理得弦长．【详解】由已知(2,3)C ，半径为6r =直线l 方程整理得(1)10x a x y -+-+=，由1010x x y -=⎧⎨-+=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,2)P ，又22(12)(23)26-+-=<，因此P 在圆内，当CP l ⊥时，弦长最短．P 为弦中点．CP =4==．故选：C ．8．C 【分析】利用已知结合数量积的运算求解AB ，可得AGC 为直角三角形，再由ABC 为直角三角形，可知AC 为三棱锥C ABG -的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案．【详解】解： AC AB AD =+ ，1122BG BE BA AF AB =+=-，∴1()()2AC BG AB AD AF AB ⋅=+⋅-，又AB Q 、AF 、AD 两两相互垂直，∴2122AC BG AB ⋅=-=-，即2AB =，2222AG AF FG ∴=+=，22226GC BC BE EG =++=，2228AC AB BC =+=，则AGC 为直角三角形，又ABC 为直角三角形，AC ∴为三棱锥C ABG -的外接球的直径，则三棱锥C ABG -的外接球的表面积24()82AC S ππ=⨯=．故选：C ．9．CD 【分析】根据题意，依次分析选项即可.【详解】对于A ，直线的倾斜角为α，当90α=︒时，斜率不存在，A 错误；对于B ，直线的倾斜角的范围为[0，)π，B 错误；对于C ，直线的倾斜角的范围为[0，)π，则有sin 0α ，C 正确；对于D ，任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α，D 正确；故选：CD.10．ACD【分析】结合空间向量基本定理逐项分析判断即可求出结果.【详解】A 选项由空间向量基底的概念可知A 正确；B 选项如图，非零向量,,a b c 满足,a b b c ⊥⊥ ，但a c ⊥，故B 错误；C 选项由于111333OD OA OB OC =++ ，所以()()1133OD OA OB OA OC OA -=-+-，因此1133AD AB AC =+，因此,,,A B C D 四点共面，故C 正确；D 选项假设向量,,a b b c c a +++ 也是空间一组基底，则空间中的任何一个向量d，存在唯一实数组(),,x y z ，使得()()()d x a b y b c z c a =+++++ ，即()()()d x z a x y b y z c =+++++，则,,a b c也是空间的一组基底，故D 正确，故选：ACD.11．ABC 【分析】利用集合的包含关系可判断A 选项的正误；利用直线的截距式方程可判断B 选项的正误；利用直线的两点式方程可判断C 选项的正误；利用两直线平行求实数a 的值，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则20a a +=，解得0a =或1a =-.因为{}1- {}1,0-，所以，“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件，A 错；对于B 选项，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =，B 错；对于C 选项，当12x x =或12y y =，方程112121y y x x y y x x --=--无意义，C 错；对于D 选项，若直线()1:3454l a x y a ++=-与()2:259l x a y ++=平行，则()()358a a ++=，整理可得2870a a ++=，解得1a =-或7a =-.当1a =-时，1:2490l x y +-=，2:2490l x y +-=，两直线重合，不合乎题意；当7a =-时，1:44330l x y -+=，2:2290l x y --=，两直线平行，合乎题意，D 对.故选：ABC.12．BCD 【分析】利用圆上的点到圆外一点距离的最值可判断AB 选项的正误，利用直线与圆有公共点求出参数的取值范围，可判断CD 选项的正误.【详解】方程222410x y x y +--+=可变形为()()22124x y -+-=，方程222410x y x y +--+=表示的图形是以点()1,2C 为圆心，以2为半径的圆，如下图所示：对于A 选项，代数式22x y +表示圆C 上的点(),P x y 到原点O 的距离的平方，当点P 为直线OC 与圆C 的交点，且C 在线段OP 上时，OP 取得最大值，即max 22OP OC =+=()(222max29x y ∴+=+=+，A 错；对于B 选项，代数式()()2221x y +++表示圆C 上的点(),Q x y 到点()2,1A --的距离的平方，当点Q 为直线AC 与圆C 的交点，且点C 在线段AQ 上时，AQ 取得最大值，即max 222AQ AC =+==，所以，()()()222max21222x y ⎡⎤+++=+=+⎣⎦，B 对；对于C 选项，设x y k +=，则直线0x y k +-=与圆C 有公共点，2≤，解得33k -≤+所以，x y +的最大值为3+C 对；对于D 选项，设43x y t -=，则直线430x y t --=与圆C 有公共点，225t +=≤，解得128t -≤≤，所以，43x y -的最大值为8，D 对.故选：BCD.13【分析】首先判断直线20mx y n -+=恒过定点()2,2，再将距离的最大值转化为两点间的距离.【详解】1m n += ，∴直线20mx y n -+=恒过定点()2,2，所以点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为点()1,1和()2,2两点间的距离d =.14．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【分析】首先求直线的斜率，分0a =和0a ≠两种情况，结合基本不等式，求斜率的取值范围，可得倾斜角的取值范围.【详解】直线的斜率为21k a =-+，①当0a =时，0k =；②当0a ≠时，1k a a =+可得k ≤≤0k≠．由①②，有k ≤≤可得直线的倾斜角的取值范围是20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U ．15．3【分析】转化A ，B ，C ，D 四点共面为,R λμ∃∈，使得AB AC AD λμ=+，用坐标表示，解方程组，即得解【详解】由题意，A ，B ，C ，D 四点共面故,R λμ∃∈，使得AB AC AD λμ=+又(1,1,1),(1,2,1),(,4,1)AB AC AD x ==-=故12411x λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩解得113,,22x λμ==-=故答案为：316．()()222110x y -+-=【分析】已知圆上两点，这两点连接的线段的垂直平分线必过圆心，只需把两条直线联立方程组解出圆心，再求出半径写出圆的方程.【详解】因为圆过A ，B 两点，所以圆心一定在AB 的垂直平分线上，线段AB 的垂直平分线方程为1(4)2y x =--，则1(4)2230y x x y ⎧=--⎪⎨⎪--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩.即圆心为(2,1)，r所以圆的标准方程为22(2)(1)10x y -+-=.故答案为：22(2)(1)10x y -+-=17．（1）111222a b c -++ ；（2）2.【分析】（1）利用向量的加、减法即可求解.（2）利用向量的数量积以及向量模的坐标表示即可求解.【详解】（1）M 是PC 的中点，1()2BM BC BP ∴=+ .AD BC = ，BP AP AB =-uur uuu r uuu r，1()]2BM AD AP AB ∴=+-，结合AB a = ，AD b = ，c AP = ，得1111[()]2222BM b c a a b c =+-=-++.（2）1AB AD == ，2PA =，||||1a b ∴==，||2c = .AB AD ⊥ ，60PAB PAD ∠=∠=︒，0a b ∴⋅=r r，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒= .由（1）知111222BM a b c =-++ ，()2222211112222224BM a b c a b c a b a c b c⎛⎫∴=-++=++-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭13(114022)42=⨯++--+=，||BM ∴ BM18．（1）2410x y ++=；（2）220x y -+=.【分析】（1）求出中点,E F 坐标，得出直线斜率，写出直线方程并整理即得；（2）由垂直得直线斜率，由点斜式得直线方程，整理可得．【详解】（1）由题意511,1,,222E F ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1311225162222EFk +===----∴15:122EF l y x ⎛⎫∴-=-+ ⎪⎝⎭即边AB 的中位线EF 所在的直线方程为:2410x y ++=.（2）解:设高线为CD ，AB CD l l ⊥ ，·1CD AB k k ∴=-，解得2CD k =，:22CD l y x ∴=+，即边AB 的高线所在的直线方程为:220x y -+=.19．（1）222430x y x y ++-+=；（2）22(2)(1)2x y -++=．【分析】（1）由一般方程配方得出圆心和半径，列方程组求得,D E ，注意0,0D E ><即可；（2）求出圆心关于直线0x y -=的对称点的坐标，圆半径不变，由此可得结论．【详解】（1）圆的标准方程为2222(()3224D E D E x y ++++=-，圆心为(,)22D E--，半径为r =所以1022D E⎧---=⎪=，解得42D E =-⎧⎨=⎩或24D E =⎧⎨=-⎩，又圆心在第二象限，所以24D E =⎧⎨=-⎩，圆的一般方程为222430x y x y ++-+=；（2）由（1）圆心为(1,2)C -，设它关于直线0x y -=的对称点为(,)C m n '，则12022211m n n m -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得2,1m n =⎧⎨=-⎩．所以对称圆方程为22(2)(1)2x y -++=．20．（1）3430x y --=或1x =；（2）【分析】（1）求出圆心坐标和半径，讨论斜率不存在时直线满足题意，然后设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示出弦长求得参数得直线方程；（2）面积最小，则切线长最小，从而圆心到直线的距离最小，因此只要QC l '⊥时，四边形QACB 面积取得最小值，由此求得切线长，得最小面积．【详解】圆C 的方程化为标准式为:22(2)(2)4x y -+-=（1）当斜率不存在时，1x =代入圆方程得2y =，弦长为;当斜率存在时，设:(1)l y k x =-，即kx y k 0--=，圆心到直线l的距离1d ==解得:34k =，3(1)4y x ∴=-，所以直线l 方程为3430x y --=或1x =，（2）当QC l '⊥时，四边形QACB面积取得最小值，4min QC =，min QA ∴=1222QACB min min S QA AC QA =⋅⋅⋅=⋅=.21．（1）证明见解析；（22【分析】(1)由给定条件证得DA ，DC ，DG 两两垂直，建立空间直角坐标系，借助空间向量证明MN 与平面CDE 平行；(2)结合(1)中信息，求出DG 长，证明//AD 平面EBC ，借助空间向量求出点D 到平面CDE 距离即可.【详解】（1）四边形ADGE 为矩形，即AD GD ⊥，而平面ADGE ⊥平面ABCD ，平面ADGE 平面ABCD AD =，则DG ⊥平面ABCD ，又AD CD ⊥，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，设DG t =，则(2,0,)E t ，(0,1,)F t ，(0,0,)G t ，3,)2,2(0M t，(1,0,)N t ，设()0000,,n x y z = 为平面CDE 的法向量，则000002020n DC y n DE x tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨令02z =-，可得0(,0,2)n t =-，又3(1,,)22tMN =- ，则有00MN n t t ⋅=-= ，即0MN n ⊥ ，而直线MN ⊄平面CDE ，所以//MN 平面CDE ；（2）因为//AD BC ，AD ⊄平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，则//AD 平面EBC ，从而有直线AD 到平面EBC 的距离等于点D 到平面EBC 的距离，由(1)知DG ⊥平面ABCD ，即(0,0,)DG t =是平面ABCD 的法向量，因CF 与平面ABCD 所成角θ的正切值为2，则CF 与平面ABCD 所成角θ，又(0,1,)CF t =-，2||sin |cos ,|||||DG CF DG CF DG CF θ⋅=〈〉===⋅解得2t =，则点(2,0,2)E ，(1,0,0),(1,2,2)BC BE =-=-，设()111,,n x y z = 为平面EBC 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨令11z =，可得(0,1,1)n = ，而(0,2,0)DC =，则点D 到平面EBC的距离||||n DC h n ⋅== 所以直线AD 到平面EBC22．（1）证明见解析；（2）23；（3）当01x ≤<时，E 点经此长方体表面到达O '点最短距离12x ≤≤时，E 点经此长方体表面到达O '【分析】（1）以O 为原点，建立空间直角坐标系，证得0O B AC '⋅=uuu r uuu r ，0O B B A ''⋅=uuu r uuu r，利用线面垂直的判定定理可证得；（2）利用基本不等式可求得BEF 的面积取得是大值时，,E F 分别为棱,AB BC 的中点，再利用等体积法可求得距离.（3）分类讨论沿O C ''将长方体展开，O E '(02)x ≤≤；沿O O '将长方体展开，E O ='(02)x ≤≤，进而求得距离最小值.【详解】（1）如图，以O 为原点，直线,,OA OC OO '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,0,)O b '，(,,0)B a a ，(,,)B a a b '，(,0,0)A a ，(0,,0)C a 则(,,)O B a a b '=-uuu r ，(,,0)AC a a =-，(0,,)B A a b '=--uuu r ，a b =220O B AC a a '⋅=-+=uuu r uuu r Q ，O B AC'∴⊥uuu r uuu r220O B B A a b ''⋅=-+=uuu r uuu r Q ，O B B A''∴⊥uuu r uuu r 又B A AC A '=I ，所以直线O B '⊥平面B AC'（2）由AE BF x ==，知EB a x =-，则2211()2228BEF x a x a S x a x +-⎛⎫=-≤=⎪⎝⎭V ，当且仅当x a x =-，即2ax =时等号成立，此时,E F 分别为棱,AB BC 的中点，在B EF ' 中，5B E B F ''==，2EF =，()2212325222B EF S '⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭V ，利用等体积法知B B EF B BEF V V ''--=，设点B 到平面B EF '的距离为h ，则1133B EF BEF S h S BB ''⋅=⋅，即131********h ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得23h =所以点B 到平面B EF '的距离为23（3）沿O C ''将长方体展开，如图，22239O E x x =+=+'(02)x ≤≤沿O O '将长方体展开，如图，()2222145E x x x O =++=++'(02)x ≤≤当01x ≤<22459x x x ++≤+，此时()22min 215E O x ='++=当12x ≤≤22459x x x ++≥+，此时2min 910E x O =+='综上，当01x ≤<时，从E 点经此长方体表面到达O '5当12x ≤≤时，从E 点经此长方体表面到达O '10。
2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则另外两个都是女孩的概率为（ ） A ．37B ．38C ．12D ．34【答案】A【分析】利用列举法确定基本事件的总数，再得出另外两个都是女孩所包含的基本事件，最后利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】解：由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是男孩，基本事件有：（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），（男男男），共有7个，其中另外两个都是女孩包含的基本事件有： （男女女），（女男女），（女女男），共有3个， 则至少有两个孩子是女孩的概率是37P =. 故选：A.2．下列式子错误的（ ） A ．11C C 1m mn n m n ++=+ B ．11P P m m n n n --=C ．12111P P P m m m n n n n +-+--= D ．1C (1)C C m m m n n n n m m +=++【答案】A【分析】根据排列数及组合数的运算性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，因为()()()()11!1!11C C 11!1!!1!m m n n n m n m m n n m n m m n m +++++⨯==≠++-+-+，故A 错误； 对于B ，因为()()()11!P P 1!=!!m mn nn n n n n m n m ---=⨯=--，故B 正确；对于C ，因为()()()()11!P 1!!!P !!m mn nn n n n n m n m n m ++--+⋅==---， 且()()()21211!!!!P m n n n n n n n m n m ---⋅=⨯=--，故C 正确；对于D ，因为()()()()1!!11!1!!!(1)C C m mn n n n m mm n m m m n m m +++=+++---()()()()()()()!!!!!!1!1!!!!!!!!n m n n n m n n n m n m m n m n m m n m m n m m -⋅⋅=+=+=-------且()!C !!mn n n n m n m ⋅=-，故D 正确.故选:A.3．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，a<0，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >. 综上所述，2ab a >成立. 故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.4．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则错误的是（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =【答案】B【分析】求出过AB 的直线方程，再求出圆心到直线AB 的距离，得到圆上的点P 到直线AB 的距离范围，判断选项A 与B ；画出图形，由图可知，当过B 的直线与圆相切时，满足PBA ∠最小或最大，求出圆心与B 点间的距离，再由勾股定理求得PB 判断选项C 与D ． 【详解】圆22(5)(5)16x y -+-=的圆心为(5,5)C ，半径为4， 直线AB 的方程为142x y +=，即240x y +-=， 圆心C 到直线AB 的距离为22|5254|1111545512+⨯-==>+， 则点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<， 所以点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故选项A 正确，B 错误；如图所示，当ABP ∠最大或最小时，PB 与圆相切，(P 点位于1P 时PBA ∠最小，位于2P 时PBA ∠最大），连接CP ，BC ，可知PC PB ⊥，22||(05)(25)34BC -+-||4CP =，由勾股定理可得||BP CD 正确． 故选：B ．二、填空题5．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为___________． 【答案】23【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1021053=+ 故答案为：236．已知抛物线21:2C y x =与抛物线2C 关于直线y x =-对称，则2C 的准线方程是______． 【答案】18x##0.125x = 【分析】先求出抛物线21:2C y x =的准线方程，根据对称性即可求解2C 的准线方程.【详解】抛物线21:2C y x =准线方程为18y =-因为抛物线21:2C y x =与抛物线2C 关于直线y x =-对称则抛物线21:2C y x =准线方程18y =-与抛物线2C 的准线方程也关于直线y x =-对称所以抛物线2C 的准线方程为18x 故答案为：18x.7．已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a 2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.8．在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =.故答案为：160.9．已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 值为_____．【答案】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m . 【详解】由圆22:4C x y +=的圆心(0,0)到直线:l y kx m =+的距离为d =则弦长为:若要弦长最小，则0k =所以2=，解得m =故答案为：10．设B 是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的上项点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围_______【答案】【分析】利用距离公式将||PB 表示，配方后，分32b b c ->-和32b b c-≤-两种情况讨论即得. 【详解】设(,)P x y ，则||2PB b ，因为[,]y b b ∈-，当32b b c->-即222a c <时，max ||PA 2b ，所以422224b a b b c++≤， 化简得：4224440a a c c -+≤222(2)0a c ∴-≤，显然该不等式不成立，当32b b c-≤-，即222a c ≥时，max ||PA 2b ，恒成立，由222a c ≥，得2212c a ≤，所以0e <≤综上，离心率的范围为.故答案为： 11．函数()212ln f x x x =--的最小值为______. 【答案】1【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >．若过1F 的直线和圆2221()2x c y c -+=相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是_______．． 【分析】写出P 点坐标，求得直线1PF 斜率，得直线方程，由圆心到直线的距离等于半径可求得,,a b c 的关系，从而可求得斜率22b ac．【详解】由题意2(,)bP c a，1(,0)F c -，122()2PF b b a k c c ac==--， 直线1PF 的方程为2()2b y x c ac=+，即2220b x acy b c -+=， 圆2221()2x c y c -+=的圆心为1(,0)2C c ，半径为c ，直线1PFc =，整理得422544b ac =， 所以422445b a c =，1PF k=22b ac =，． 13．曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 【答案】520x y -+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上． 求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=． 故答案为：520x y -+=．14．已知a 、R b ∈，0ab >，函数2()()f x ax b x R =+∈．若()f s t -、()f s 、()f s t +成等比数列，则平面上点(,)s t 的轨迹是______． 【答案】双曲线和直线【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】解：由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦，对其进行整理变形：()()()22222222as at ast b as at ast b as b +-++++=+，()()222222(2)0as at b ast as b++--+=，()2222222240asat b at a s t ++-=，()22222220a sa t ab t -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a -=为双曲线，0=t 为直线.故答案为：双曲线和直线.15．曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数 a 2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F PF 的面积不大于a ．其中，所有正确结论的序号是 _________ ． 【答案】②③ 【详解】试题分析：设，依题意，则，化简可得：，由，则曲线C 不过坐标原点，①错误；把曲线方程中的，原方程不变，所以曲线C 关于坐标原点对称正确；又方程原型则，，令，可得或，可知当时，取得最大值44a ，此时2||2a y =，△F 1PF 2的面积不大于22112222a a ⋅⋅=【解析】1.直接法求轨迹方程；2.对称的判断方法；3.面积的最大值；三、双空题16．袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________.【答案】 189【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得,m n 的值，再根据随机变量ξ的分布列即可求出()E ξ．【详解】2244224461(2)366m n m n m n C P C C C ξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=． 由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=．故答案为：1；89．四、解答题17．已知双曲线1C ：2214yx -=.（1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程.（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A ，B 两点.当3OA OB ⋅=时，求实数m 的值. 【答案】（1）2214x y -=（2）m =【分析】(1)先求双曲线1C 的焦点坐标，然后结合条件计算出双曲线2C 的标准方程(2)设()11,2A x x ，()22,2B x x -构造新曲线方程，联立直线方程与曲线方程，求出两根之积，代入向量的表达式求出结果【详解】（1）双曲线1C的焦点坐标为)，()，设双曲线2C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则222251631a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎨=⎩ ∴双曲线2C 的标准方程为2214x y -=.（2）双曲线1C 的渐近线方程为2y x =，2y x =-. 设()11,2A x x ，()22,2B x x -.由2204y x y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得22320x mx m --=， 由()()222243160m m m ∆=--⨯⨯-=>，得0m ≠.∵2123m x x =-，()()121212223OA OB x x x x x x ⋅=+⋅-=-，∴23m =，即m =【点睛】本题考查了求双曲线标准方程以及结合向量求参数的值，题目较为基础，需要掌握解题方法18．（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？【答案】（1）若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数 （2）156个【分析】（1）分数字重复和不重复讨论，根据排列组合计算即可.（2）偶数先确定个位数字为0或2或4，再分三类讨论，最后根据加法计数原理可得结果.【详解】解：（1）①若组成的四位数的数字不能重复，则可组成的四位数有：4544C A 5432120⋅=⨯⨯⨯=（个）②若组成的四位数的数字能重复，则可组成的四位数有：45625=（个）综上所述，结论是：若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可组成625个四位数.（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是0或2或4，①个位是0的，即需要从1，2，3，4，5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，有111543C C C 54360⋅⋅=⨯⨯=个；②个位是2的，千位需要从1，3，4，5这4个数中选出1个有4种选法，从剩下的4个数字中选出2个分别放在百位、十位，有1143C C 4312⋅=⨯=个，所以个位是2的偶数有 41248⨯=个；③个位是4的，也有48个；综上所述，用0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数有604848156++=个. 19．已知()112110121132x a a x a x a x -=++++．求：(1)1211a a a +++；(2)1211a a a +++；(3)1211211a a a +++．【答案】(1)1113- (2)111153- (3)22-【分析】（1）利用赋值法即可得解；（2）先由二项式定理判断系数的正负情况，再由赋值法求得奇数项与偶数项系数之差，从而得解； （3）利用导数及赋值法即可得解. 【详解】（1）因为()112110121132x a a x a x a x -=++++，所以令0x =，得()1121101211320000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯，即1103a =，令1x =，得()11012113211a a a a ++=++-⨯=，所以11121113a a a +=+-+.（2）因为()1132x -的二项式展开通项为()()11111111111C 3223C kkk kk k kk T x x ---+=-=-，所以0210,,,0a a a >，1311,,,0a a a <，故()()121121011314a a a a a a a a a ++++++++=-+，令=1x -，得()111101211325a a a a -++=-+=，即()()210111110435a a a a a a a +++++++=-，又因为1103a =，所以()()112112101111114353a a a a a a a a a +++=++++++=--.（3）令()()112110121132f x x a a x a x a x =-=++++，则()()()()1010221132322f x x x ⨯=---'=-，且()210122112311f x a a x a x a x '=++++，令1x =，则()()1021322221f '⨯-=-=-，且()1221112311f a a a a '=++++，所以121122112a a a ++=-+.20．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）B 类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=； ()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=； ()()800.610.80.12P Y ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．21．已知0a >且1a ≠，函数()()()()(),,a xs x s x x t x a f x t x ===． (1)若a 是不小于2的正整数，求函数()s x 的极值点； (2)当2a =时，求函数(),0y f x x =>的单调区间；(3)若曲线(),0y f x x =>与直线1y =有且仅有两个公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)()()1,e e,+∞【分析】（1）对()s x 求导，分类讨论a 是不小于2的奇数或偶数两种情况，结合导数与函数的极值点的关系即可得到结果；（2）对()f x 求导，利用导数与函数单调性的关系即可得解； （3）令()=1f x ，将其变形为ln ln x ax a=，构造()ln h x x tx =-，利用导数证得()h x 有两个零点时10e t <<，从而得到ln 1e0a a <<，再构造()ln x g x x =，利用导数研究()g x 的单调性，由ln aa 的范围求得a 的取值范围．【详解】（1）因为()as x x =，所以()1a s x ax-'=，令()0s x '=，得0x =， 因为a 是不小于2的正整数，所以当a 为不小于2的奇数时，1a -为不小于2的偶数，故10a x -≥，即()0s x '≥， 所以()s x 在R 上单调递增，没有极值点；当a 为不小于2的偶数时，1a -为不小于1的奇数， 则令()0s x '>，得0x >；令()0s x '<，得0x <； 所以()s x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 故()s x 在0x =处取得极小值，没有极大值； 综上：当a 为不小于2的奇数时，()s x 没有极值点；当a 为不小于2的偶数时，()s x 有极小值点0x =，没有极大值点.（2）当2a =时，()22x x f x =，则()()()2222ln2222ln242xx x x x x x x x f x '⋅-⋅-⋅==， 令()0f x '=，得2ln 2x =， 故当20ln 2x <<时，0f x ；当2ln 2x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在20,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；2,ln2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减. （3）由()()10ax x f x x a==>得x a a x =，即ln ln x a a x =，故ln ln x a x a =有两个解， 令()()ln 0h x x tx x =->，则()h x 在()0,∞+上有两个零点，()11txh x t x x-'=-=， 当0t <时，0tx ->，故()10txh x x-'=>，即()h x 在()0,∞+上单调递增，显然，顶多只有一个零点，舍去；当0t >时，令()0h x '>，得10x t <<；令()0h x '<，得1x t>；所以()h x 在10,t ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()h x 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h x 的极大值为1h t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()h x 在()0,∞+上有两个零点，所以必有10h t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1ln 10t ->，解得10e t <<，下面证明当10et <<时，()h x 在()0,∞+上有两个零点：当10x t <<时，易知1e 1t >>，()1ln10h t t >-=-<，故()110h h t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又因为()h x 在10,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()h x 在10,t ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点；当1x t>时，令()()2e 1x x x x ϕ=->，则()e 2x x x ϕ'=-，再令()()e 21x u x x x =->，则()1e 2e 20x u x '=->->，故()u x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 20u x u >=->，即()0x ϕ'>，故()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 10x ϕϕ>=->，因为1e 1t>>，所以10t ϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即211e 0t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即121e t t >，即12e 1t t >，故121e 0t t -<，又因为1211e tt t >>，故11111211e e ln e e e 0tt t t tt h t t t t ⎛⎫-=-=-=< ⎪⎝⎭，即11e 0t h h t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()h x 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h x 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一零点；综上：当10e t <<时，()h x 在()0,∞+上有两个零点，即ln 0x tx -=有两个解，故ln xt x=有两个解， 又因为ln ln x a x a =有两个解，所以ln a t a =，即ln 10e a a <<； 令()()ln 0x g x x x=>，则()21ln xg x x -'=，令()0g x '=，得e x =，故在()0,e 上()0g x '>，()g x 单调递增；在()e,+∞上()0g x '<，()g x 单调递减；所以()max 1()e e g x g ==，又()10g =，所以由ln 10ea a <<，得()()()10e g g a g =<<， 当e a <时，因为()g x 在()0,e 上单调递增，所以由()()()1e g g a g <<得1e a <<； 当e a >时，因为()g x 在()e,+∞上单调递减，且()ln 0xg x x=>，所以由()()0e g a g <<得e a >； 当e a =时，()()e g a g =，矛盾，不满足题意，舍去； 综上：1e a <<或e a >，故a 的取值范围是()()1,e e,+∞．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
上海市七宝 2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷
七宝中学2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷出卷人 卜照泽 审卷人 尹赵 本场考试时间120分钟，满分150分.一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第16题每题4分，712题每题5分）1. 在5(1的展开式中，2x 的系数为 .(用数字作答)2. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在在一起，则有 种不同的排法.(用数字作答)3. 某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为 .4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn= .5. 抗击疫情期间，小志参与了社区志愿者工作.现在要对服务时长排名前20％的志愿者进行表彰.该社区的志愿者服务时长（单位：小时）如下：186.0 102.0 22.0 64.0 36.0 68.0 106.0 126.0 110.0 210.0 124.0 226.0 154.0 230.0 58.0 162.0 70.0 162.0 166.0 16.0 根据以上数据，该社区志愿者服务时长的第80百分位数是 .（精确到0.1） 6．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则()1P X ≤＝ ．7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (单位：万千米)对应维修保养费用y (单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.58yx b =+，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是 .8. 新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为23，乙小组研发成功的概率为12.在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为 .9.小强对重力加速度做n 次实验，若以每次实验的平均值作为重力加速度的估值，已知估值的误差290,n N n ⎛⎫⎪⎝∆⎭～，为使误差n ∆在()0.5.0.5−内的概率不小于0.6827 ，小强至少需要做 次实验.（参考数据：若()2,X N μσ～，()0.6827P X μσμσ−≤≤+=） 10. 设随机变量X ，Y 满足：31Y X =−，()2,XB p ，若()519P X ≥=，则[]D Y = . 11. 设随机事件A 、B ，己知()0.4P A =，()0.3P B A =，()0.2P B A =，则()P B = . 12.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p 、2p 、3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘且在第二盘与甲、乙、丙比赛的概率分别为p 甲、p 乙、p 丙，则p 甲、p 乙、p 丙的大小关系为 .二、选择题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13. 在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为mn，当n 很大时，事件A 发生的概率()P A 与mn的关系是 ( )A ．()P A mn≈ B ．()m P A n < C ．()m P A n > D ．()m P A n =14．若二项式1()2n x −展开式中所有项的系数之和为n a ，所有项的系数绝对值之和为n b ，二项式系数之和为n c ，则下列结论不成立的是 （ ）A ．n n n a b c <<B ．103n n n n b a a b +≥C ．对任意,1N n n ∈≥均有n n n a b c +≤D ．存在,1N n n ∈≥使得n n n a b c +>15. 由于疫情各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为 （ ）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++.A ．130 16．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==−∑.命题1：若1(1,2,,)i p i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大；命题2：若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +−==+=，则()()H X H Y ≤.则以下结论正确的是 （ ） A ．命题1正确，命题2错误 B ．命题1错误，命题2正确 C ．两个命题都错误 D ．两个命题都正确 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 求满足下列方程组的正整数的解： (1)32228n n P P =；(2)112311n n n nn n n n C C C C +−−+++−=+.18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知()(31),,1N n f x x n n =−∈≥.(1)若()f x 的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中2x 的系数； (2)若2023n =，且()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =−=++++，求012023a a a +++.19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m 名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m 名学生的各项平均成绩(满分100分)，按照以下区间分为7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，并得到频率分布直方图(如)．已知测试平均成绩在区间[)30,60内的有20人．(1)求m 的值及中位数n ；(2)若该校学生测试平均成绩小于n ，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．设每场比赛双方获胜的概率都为12．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（Alpine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．（1）求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；（2）从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．。
2021年上海中学(东校)高二数学文下学期期末试卷含解析
2020-2021学年上海中学(东校)高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，若与垂直，则的值（）A . B. C. 0 D. 1参考答案：B2. 函数f(x)=lnx–的零点所在的大致区间是( )A．(1, 2) B．(2, 3) C．(1,)和(3, 4) D．(e, +∞)参考答案：B3. 下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案：B【考点】F6：演绎推理的基本方法；F7：进行简单的演绎推理．【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．【解答】解：A是演绎推理，C、D为类比推理．只有C，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．故选B4. 若关于x的不等式+bx+c>0的解集为(-2，3)，则不等式<0的解集为（） A． (-2，0)∪(3，+∞) B． ( -∞，-2)∪(0，3)C． (-2，0) ∪(0，3) D． (-∞，-2) ∪ (3，+∞)参考答案：A5. 已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ=m，β∩γ=n．那么（）A．若m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，则α∥βD．若α∥β，则m∥n参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】因为α∥β，而γ与α，β都相交，所以m∥n．【解答】解：∵α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，根据面面平行的性质，可得m∥n，即D正确．故选：D．6. 已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10参考答案：B【考点】等差数列；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1?a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．7. 设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为（）A．B．C．D．16参考答案：B略8. 椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得AMB的坐标，设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，运用直线的斜率公式，可得=2，由题设知y12=4（1﹣x12），y22=4（1﹣x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，由此可推导出k的值．【解答】解：由题意可得A（﹣1，0），B（1，0），设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，k1=，k2=，k1：k2=2：1，所以=2，平方，结合x12+=1，所以y12=4（1﹣x12），同理y22=4（1﹣x22），代入上式，计算得=4，即3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，解得k=3或k=，因为=2，x1，x2∈（﹣1，1），所以y1，y2异号，故舍去k=，所以k=3．故选：B．9. 已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为[1，2]上的增函数”是“为[4，5]上的减函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C10. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2+a5+a8=12，则S9等于（）A．18 B．36 C．72 D．无法确定参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质和已知可得a5的值，由求和公式可得S9=9a5，计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a2+a5+a8=3a5=12，解得a5=4，由求和公式可得S9===9a5=9×4=36故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 的二项展开式中，的系数是__________（用数字作答）．参考答案：1012. 棱长为的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，则的值为________。
2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市高桥中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________． 【答案】4π【分析】根据圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得到圆柱的高，底面半径， 1h =1r =则表面积. ()24S r r h ππ=+=故答案为：4π2．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、80100人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受12015情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________. 【答案】6【分析】根据分层抽样的性质即可求解. 【详解】应该从青年员工中抽取的人数为人.120156********⨯=++故答案为：63．袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，4212B B 、212W W 、从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____. 2Ω=【答案】（答案不唯一）121121{},,B B BW B W 【分析】先写出袋中任取个球，共有的情况，再写出一个不等可能的样本空间即可. 2【详解】从袋中任取个球，2共有如下情况.121112212212,,,,,B B BW BW B W B W WW 其中一个不等可能的样本空间为，121121Ω},,{B B BW B W =此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间. 故答案为：.(答案不唯一)121121Ω},,{B B BW B W =4．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为_____. 1cm 22cm π【答案】3π【解析】由圆锥的底面半径为和侧面积,求出圆锥的母线长,即可求得答案.1cm 22cm π【详解】设底面半径为,母线长为,底面中心为, r SA l O 如图:12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在中, SOA Rt ∆1cos 2OA SAO SA ∠==∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:.3π故答案为:.3π【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.5．某公司决定利用随机数表对今年新招聘的名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程800度，先将这名员工进行编号，最后一位编号为，从中抽取名进行调查，下图提供随机数80080080表的第行到第行：4632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则抽到的第名员工的编号是_____. 5636【答案】328【分析】根据随机数表的抽法及所给数表依次抽取即可.【详解】前名员工的编号是：，其中超过和与前面重复的去掉不算， 6253,313457,736,007,328,800故抽到的第名员工的编号是. 6328故答案为：3286．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学赛，他们取得的成绩（满分分）8100的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值8683x y +为________.【答案】10【分析】根据茎叶图可计算平均数和中位数即可求解.【详解】甲班平均分()18678798285868094968x =⨯++++++++解得，乙班中位数是第个数和第个数的平均数， 8x =45即，解得，所以. 8084832y ++=2y =10x y +=故答案为：107．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是______. 462【分析】由题可得圆台上下底面的半径分别为和，结合母线长可得圆台的高，后由圆台体积公23式可得答案.【详解】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l 长为， 2r =3R =2则圆台的高h ===故圆台的体积.()()222211223333V h r rR R =⋅++=+⨯+=ππ8．某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到369的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占36,36,37,37,40,43,43,44,44(),x s x s -+总人数的百分比是__________. （其中是平均数，为标准差，结果精确到） x s 1%【答案】56%【分析】先求得平均数和方程，根据题意求得正确答案. 【详解】因为，363637374043434444409x ++++++++==，即，2161699099161610099s ++++++++==103s =， 110130,33x s x s -=+=所以年龄在内的人数为， 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为. 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5100%56%9⨯≈故答案为：56%9．如图，在棱长为的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满31111ABCD A B C D -P ABCD足：直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为__________. 1D P 1CC π6DP【答案】3π4【分析】根据题意确定与直线所成角的大小为，从而得到，即可求解. 1D P 1DD π6DP =【详解】由题意得，要使直线与直线所成角的大小为， 11//DD CC 1D P 1CC π6只需与直线所成角的大小为， 1D P 1DDπ6所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 1D P 1DD π6，所以1π6tan DP DD=DP =点的轨迹是以 PD 所以在上扫过的面积为. DP ABCD 213ππ44⨯⨯=故答案为:. 3π410．从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________ 【答案】67【分析】求出基本事件的总数，考虑表面和对角面求出可以构成三角形的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】从正方体的八个顶点中随机选取3个点，共有，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯正方体有个面和个对角面都是正方形或矩形，每个图形中都有个直角三角形， 6634C 所以有个直角三角形， 3412C 48⨯=所以所求的概率为， 486567=故答案为：. 6711．现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h ）结果如下表所示： 寿命（h ） 100 120 140 160 180 200 220 240 个数 1032443424261218试估计这批电子元件的第60百分位数____________ 60P =【答案】170【分析】根据条件及百分位数的含义即得. 【详解】∵，1032443460200100+++=故这批电子元件的第60百分位数160. 160180601702P +==故答案为：170.12．甲、乙两位同学参加元旦抽奖活动，老师在不透明箱子内放入形状与质地相同的个球，其20中有个红球，个白球，每人每次只能抽取一个球.规定：①抽取后放回；②甲同学只能抽取一1010次，乙同学可以抽取两次；③红球抽取个数较多的同学可以获得奖品.则乙同学获得奖品概率是________. 【答案】##0.512【分析】列出乙同学红球抽取个数较多的所有情况，计算出概率之和.【详解】甲乙抽取一次抽到红球或者白球的概率都是，每次摸球相互独立，乙同学要获得奖品的12话，需要比甲同学抽取的红球多，可能的情况有：①甲红乙两红，概率为；111222⨯⨯②甲白乙先红后白，概率为；111222⨯⨯③甲白乙先白后红，概率为；111222⨯⨯④甲白乙两红，概率为，111222⨯⨯所以乙获胜的概率是.111142222⨯⨯⨯=故答案为：12二、单选题13．现要完成下列项抽样调查：2①从盒饼干中抽取盒进行食品卫生检查；4②某中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教3602805525职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本，较为合理的抽样方法是（ ） 72A ．①简单随机抽样，②分层抽样 B ．①简单随机抽样，②简单随机抽样 C ．①分层抽样，②分层抽样 D ．①分层抽样，②简单随机抽样 【答案】A【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特征判断抽样方法. 【详解】①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样； ②总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样． 故选：A.14．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为80%41（ ） A ．B ．C ．D ．5126252566251136251625【答案】A【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率1和互斥事件的概率求解.【详解】由题得最多人被感染的概率为. 1041344414256256512(()()555625625C C ++==故选：A【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.15．如图，已知正方体，M ，N 分别是，的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -1A D 1D BA ．直线与直线垂直，直线平面 1A D 1DB //MN ABCD B ．直线与直线平行，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD BC ．直线与直线相交，直线平面 1AD 1D B //MN ABCD D ．直线与直线异面，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD B 【答案】A【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得∥平面1AD ∥MN AB MN ，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而得.ABCD 1A D ⊥1ABD 11A D D B ⊥【详解】连接，在正方形中，由M 为的中点，可知，且M 为1AD 11ADD A 1A D 11AD A D M = 1A D 的中点，.11AD A D ⊥又∵N 为D ，B 的中点，∴. ∥MN AB ∵平面，平面， AB ⊂ABCD MN ⊄ABCD ∴∥平面.MN ABCD ∵平面，平面， AB ⊥11ADD A 1A D ⊂11ADD A ∴，1AB A D ⊥∵，平面，1AB AD A = 1,AB AD ⊂1ABD∴平面， 1A D ⊥1ABD ∵平面， 1D B ⊂1ABD ∴，故A 正确. 11A D D B ⊥故选：A16．如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与ABCD CDFE EFC ∆FC EC 所成角的取值范围是（ ）ACA ．B ．C ．D ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】可证得，故，，当沿着直线旋转一周，AF AC CF ==3ACF π∠=4ECF π∠=EFC ∆FC ，且，结合线线角的取值范围即得解.CEA ECF FCA ∠≤∠+∠CEF ACF ECF ∠≥∠-∠【详解】如下图所示，连接，因为正方形和，则，，又因为面AF ABCD CDFE AD CD ⊥FD CD ⊥AD DC DF ==面，面面，ABCD ⊥CDFE ABCD ⋂CDFE CD =则面， AD ⊥CDFE 因此.AD DF ⊥因此，，， 222AF AD DF =+222AC AD DC =+222CF CD DF =+则， AF AC CF ==因此 3ACF π∠=因为，4ECF π∠=则当沿着直线旋转一周， EFC ∆FC 712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠=，12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=当为锐角或直角时，直线和所成角的等于 CEF ∠EC AC CEF ∠当为钝角时，直线和所成的角等于的补角CEF ∠EC AC CEF ∠因此直线和所成的角的取值范围是EC AC ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO 是圆锥的高，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的体积；(2)求直线CD 与平面PAB 所成角的大小.【答案】(2)4π【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高2 r=OP==所以圆锥的体积为.2123π⨯⨯⨯=（2）连接，由于是的中点，所以，OD D PA122OD PA==由于是弧的中点，所以，C AB OC AB⊥根据圆锥的几何性质可知，,OC OP AB OP O⊥⋂=所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.OC⊥PAB ODC∠在中，，所以.Rt ODC,22COD OD OCπ∠===4ODCπ∠=即直线CD与平面PAB所成角的大小为.4π18．某学校对任课教师的年龄状况和接受教育程度（学历）做调研，其部分结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）若按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x 、y 的值.【答案】（1）（2）x ＝40，y ＝5 710【详解】试题分析：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人，由此利用列举法能求出从中任取2人，至少有l 人的学历为研究生的概率.（2）由题意得：，由此能求出10539N =N ，从而能求出x ，y 的值试题解析：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴，解得m ＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人， 分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.从中任取2人的所有基本事件共10个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3），（S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2），（B 1，B 2）， （B 2，B 3），（B 1，B 3）.其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3）， （S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2）.∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为（2）依题意得：，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.∴ ,解得x ＝40，y ＝5.∴x ＝40，y ＝5.【解析】古典概型及其概率计算公式19．在长方体中，，，，为棱的中点.1111ABCD A B C D -2AB =2BC =14CC =M 1CC（1）求证：平面；BM ⊥11A B M （2）求异面直线和所成的角的大小. BM 1B A【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由题中长度关系，可以证明,即，由平面22211BB BM B M =+1BM B M ⊥11A B ⊥11BCC B ，可以证明，即得证；11A B BM ⊥（2）取为中点，有，异面直线和所成的角的大小即为，利用余'M 1DD '//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠弦定理可得解【详解】（1）由题意，，，，为棱的中点. 2AB =2BC =14CC =M 1CC故114BM B M BB =====即：222111BB BM B M BM B M =+∴⊥又长方体，故平面 1111ABCD A B C D -11A B ⊥11BCC B 平面，BM ⊂11BCC B 11A B BM ∴⊥又1111A B B M B = 平面BM ∴⊥11A B M （2）取为中点，连接，故 'M 1DD 'MM '////MM CD AB 且'MM CD AB ==故四边形为平行四边形'ABMM 故，即异面直线和所成的角的大小即为'//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠连接，11B D11''B A AM B M======2221111''cos'2'AB AM B MB AMAB AM+-∠==⋅1'B AM∴∠=因此异面直线和所成的角的大小为BM1B A【点睛】本题考查了线面垂直的证明和异面直线的夹角的求解，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题20．如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事件是互相独立的，它们发生故障的概率如下表所示：元件1K2K1L2L3L概率0.6 0.5 0.4 0.5 0.7(1)求在时间T内，与同时发生故障的概率；1K2K(2)求在时间T内，由于或发生故障而使得电路不通的概率；1K2K(3)求在时间T 内，由于任意元件发生故障而使得电路不通的概率． 【答案】(1)0.3； (2)0.8； (3)0.94【分析】（1）利用独立事件概率公式即求；（2）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式即求；（3）设表示发生故障，由题可得，即得. i B (1,2,3)i L i =()()()32122P P P B P B P B =+【详解】（1）设表示发生故障， i A (1,2)i K i =则，()()120.6,0.5P A P A ==单位时间T 内，与同时发生故障的概率：1K 2K ．()()1120.60.50.3P P A P A ==⨯=（2）在时间T 内．由于或发生故障而影响电路的概率：1K 2K ． ()()()()()()2121212P P A P A P A P A P A P A =++0.60.50.40.50.60.50.8=⨯+⨯+⨯=（3）设表示发生故障，则i B (1,2,3)i L i =，()()()1230.4,0.5,0.7P B P B P B ===在时间T 内，任一元件发生故障而影响电路的概率：()()()32122P P P B P B P B =+0.80.40.50.7=+⨯⨯．0.94=21．前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，GDP 把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物.通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分如下表：分数[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数 2 3 11 14 11 9请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：（2）当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如下表： 空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200天数2 18 8 2用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）（相关知识参见附表）（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？ 附：空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200 200-300300 空气质量指数级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 空气质量指数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（1）见解析（2）指数为第Ⅱ级，属于良（3）相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费【分析】（1）由题可计算出频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，然后画图．（2）由题计算得该月空气质量指数平均值为，）指数为第Ⅱ级，属于良91.667100<（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，则可计算该月的药费，从而得到答案． 【详解】解：（1）由评分表可知，相应区间频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：（2）由题得，该月空气质量指数平均值为 .22518758125217591.66710030⨯+⨯+⨯+⨯≈<对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良. （3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天， 所以小李花费的药费为元. 8502100600⨯+⨯=又元，50006004400-=所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费. 【点睛】本题由图表计算即可，属于简单题．。
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上海市高二第二学期期末模拟考试卷（一）一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B 两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T 的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可；（2）求出斜高，在计算侧面积．•h==64．【解答】解：（1）V=S正方形ABCD∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD的中心O，AD的中点M，连结PO，OM，PM．则PO⊥平面ABCD，PM⊥AD，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5，===20．∴S△PAD=4S△PAD=80．∴S侧面积∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+=0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．。