2011-2012数学物理方程-A卷

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北京理工大学2011-2012学年第二学期数学物理方程与特殊函数期末试题(A卷)

课程编号： 07000125 北京理工大学2011-2012学年第二学期2010级数学物理方程与特殊函数期末试题（A 卷）班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________一、简答下列各题（直接写出结果，无需推导求解，每题5分，共计15分）1.设正方形薄板上下两面绝热，板的两边(0x =,x a =)始终保持零度,另外两边(0y =,y a =)的温度分别为()f x 和()g x ,请写出板内稳恒状态下的温度分布所满足的定解问题。

2. 长为1的均匀细杆侧表面绝热，0x =端有恒定热流q 进入，1x =端绝热，杆的初始温度为()f x , 试写出杆内温度分布的定解问题。

3．长度为2的均匀细弦两端固定，作自由振动，初位移如图所示，初速度为零，请写出该振动的定解问题。

hx1 2二、（15分）用分离变量法求解如下定解问题：220101, 01, 0,0, 1,.x x t u ux t t x u u u x ===⎧∂∂=-<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩三、（15分）用特征线法解下列定解问题：0020, , 0,|sin , |0.tt xt xx t t t u u u x t u x u ==+-=-∞<<+∞>⎧⎨==⎩四、（15分）用积分变换法求解如下定解问题：001,0,0,|1,| 1.xy x y u x y u y u ===>>⎧⎪=+⎨⎪=⎩附：常用的拉普拉斯变换五、（15分）求拉普拉斯方程第一边值问题在半空间1y >-内的格林函数，并求解定解问题：01,(1)().xx yy zz u u u y u x z f x z x z ++=>-⎧⎨-=-∞<<+∞⎩，，，，，，六、（15分）设(1,2,)i i α= 是一阶贝塞尔函数1()J x 的正零点，将函数3()(01)f x x x =≤≤ 展开成贝塞尔函数1()i J x α的级数。

《数学物理方程》习题参考答案(A)

《数学物理方程》习题参考答案(A)习题一1.判断方程的类型，并将其化成标准形式：0212222=∂∂+∂∂+∂∂y uyu y x u . 解：⎪⎩⎪⎨⎧==><<>-=-≡∆.0,0. ,00,.0,02211212时，抛物型当椭圆型时当时，双曲型当y y y y a a a①当0<y 时，所给方程为双曲型，其特征方程为,0)()(22=+dx y dy 即 ,0])([)(22=--dx y dy就是 0))((=---+dx y dy dx y dy .积分之，得 c y x =-±2，此即两族相异的实特征线.作可逆自变量代换⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=,2,2y x y x ηξ则.1 ,1 ,1 ,1yy yy x x -=∂∂--=∂∂=∂∂=∂∂ηξηξ,2 ,2222222ηηξξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u u x u u u y u x u x u ),(1ηξ∂∂+∂∂--=∂∂u u yyu ).1)(2()(121 ]1)1( 1)1([1)()(12122222222222322y u u u u u y y yu yu yuy u y u u y y u -∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂---=-∂∂+--∂∂∂++-∂∂∂---∂∂--+∂∂+∂∂--=∂∂ηηξξηξηξηηξξηξ将这些偏导数代入原方程，得附注：若令⎩⎨⎧=-⇒-==0 ,2,ηηξξηξu u y x 碰巧（双曲型的另一标准形），这是巧合.②当0>y 时，所给方程为椭圆型，其特征方程为0)()(22=+dx y dy即 .0))((=-+dx y i dy dx y i dy 其特征线为 )2 ( 2c ix y c y i x =±=±或.作可逆自变量代换 ⎩⎨⎧==,2,y x ηξ则, 1 , 0 , 0 ,1y y y x x =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂ηξηξ, 1 , ηξ∂∂=∂∂∂∂=∂∂u y y u u x u . 1121 , 22222222ηηξ∂∂+∂∂-=∂∂∂∂=∂∂u y u y y yu u x u 将这些偏导数代入原方程，得, 021212222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ηηηξuy u u y u , 0 2222=∂∂+∂∂∴ηξu u 此即（0>y 时）所求之标准形. ③0=y 时，原方程变为 , 02122=∂∂+∂∂y uxu 已是标准形了（不必再化）.2.化标准形：. 0222222222222=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂t z ut x u z x u y x u zu x u解： u Lu )2222(434131212321δδδδδδδδδδ+++++≡.这是 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t z y x4321δδδδδ 的二次型，于是 , u A Lu Tδδ=其中 010*********1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 为实对称矩阵.则∃可逆矩阵M ，使 TMAM B = 为对角形. 令 , 'δδT M = 其中 , '4'3'2'1'''''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂=δδδδδt z y x 则 u B u MAM Lu T T T '''')()(δδδδ==.M 的找法很多，可配方，可从矩阵入手等.取 ,11000110001100011-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=N M , 1000110011101111)(1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-TT M N . , 1''''''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-t zy x M MX X N t z y x X N T δδ则.)( )( 2222'2'2'2'2'''tu z uy u x u u B uMAM u A Lu TT T T ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂====δδδδδδ这是超双曲型方程的标准形式.习题二1.决定任意函数法：(1).求解第一问题(0))(0) ( ).(),( , 002ψϕψϕ=⎪⎩⎪⎨⎧======-x ux u u a u at x at x xx tt .解：所给方程为双曲型，其特征线为 c at x =±. 令⎩⎨⎧-=+=,,at x at x ηξ 则可将方程化为 0=ξηu .其一般解为)()(),(21at x f at x f t x u -++= （其中21,f f 为二次连续可微函数）. 由定解条件有)0()0()0()0( ).()2()0(),()0()2(212121ψϕψϕ==+⇒⎩⎨⎧=+=+f f x x f f x f x f . 则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧-=-=).0()2()(),0()2()( ),0()()2(),0()()2(12211221f Y Y f f X X f f x x f f x x f ψϕψϕ 故 )()(),(21at x f at x f t x u -++=).0()2()2()]0()0([)2()2(21ϕψϕψϕ--++=+--++=at x at x f f atx at x (2).求解第二问题 ))0()0( ( ).(),( ,101002ϕϕϕϕ=⎪⎩⎪⎨⎧=====x u x u u a u t at x xx tt解：泛定方程的一般解为)()(),(21at x f at x f t x u -++=由定解条件有 (0))(0)(0)( ).()()(),()0()2(021121021ϕϕϕ=+⎩⎨⎧=+=+f f x x f x f x f x f 则 ),0()2()(201f xx f -=ϕ).0()2()()()()(201112f x x x f x x f +-=-=ϕϕϕ故 )()(),(21at x f at x f t x u -++= ).()2()2(100at x atx at x -+--+=ϕϕϕ (3).证明方程22222)1(])1[(tu h x a x u h x x ∂∂-=∂∂-∂∂ 的解可以写成)]()([1),(21at x f at x f xh t x u -++-=. 由此求该方程满足Cauchy 条件 ⎩⎨⎧====)(),(00x u x u t t t ψϕ 的解.解：令 ),,()(),(t x u x h t x v -= 则 ),(t x v 满足方程 xx tt v a v 2=.)()(),( 21at x f at x f t x v -++=∴.故 )]()([1),(21at x f at x f xh t x u -++-=. 因),(t x v 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≡-=≡-====),()()(),()()( ,10002x x x h vx x x h v v a v t t t xx tt ψϕϕϕ由D'Alembert 公式，得⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x v ααψϕϕ)(21)]()([21),( )]())(()())([(2100at x at x h at x at x h ---+++-=ϕϕ+ααϕαd h a atx at x ⎰+--)()(211 故 ),(1),(t x v xh t x u -=[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+---+++--=⎰+-atx atx d h a at x at x h at x at x h x h ααϕαϕϕ)()(21)())(()())((211100 即为所求之解.2.Poisson 公式及应用：(1).若),,,(t z y x u u =是初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=>++===)()( , )()(),0( )(002z y uy g x f u t u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ的解，试求解的表达式.解：IIIIIIu u u u ++=（线性叠加原理），其中IIIIII,,u u u 分别满足如下的初值问题：.0 ),(),0( )(:002I ⎪⎩⎪⎨⎧==>++===t t t zz yy xx tt ux f u t u u u a u u).( ),(),0( )(:002II ⎪⎩⎪⎨⎧==>++===y uy g u t u u u a u u t t t zz yy xx tt ϕ).( ,0),0( )(:002III ⎪⎩⎪⎨⎧==>++===z uu t u u u a u u t t t zz yy xx tt ψ由Poisson 公式，可得⎰⎰∂∂=MatS dS f t a t u ])( 41[2I ξπ)].()([21])(21[at x f at x f d f a t atx atx -++=∂∂=⎰+-ξξ.)(21)( 41.)(21)]()([21 ])( 41[)( 412III22II ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-==+-++=∂∂+=Mat M atMat S atz at z aty aty S S d a d t a ud aat y g at y g dS g t a t dS t a u ζζψζζψπηηϕηπηϕπ故IIIII I ),,,(u u u t z y x u ++=.)(21)(2a1)]()([21)]()([21 ⎰⎰+-+-++-+++-++=atz at z aty aty d a d at y g at y g at x f at x f ζζψηηϕ(2).求解初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+==>-+++=== . ,00),(t )(2)(2002yz x u u z y u u u a u t t t zz yy xx tt解： IIIu u u +=，其中I u ： ⎪⎩⎪⎨⎧+==>++=== . ,00),(t )(2002yz x u u u u u a u t t t zz yy xx ttII u ： ⎪⎩⎪⎨⎧==>-+++===.0 ,00),(t )(2)(002t t t zz yy xx tt uu z y u u u a u由poisson 公式，得32222I 31)()( 41t a t yz x dS t a u Mat S ++=+=⎰⎰ηζξπ. 由Duhamel 原理，得.)( ])(2)( 41[);,,,(2020II)(t z y d dS t a d t z y x w u M t a S tt-=--==⎰⎰⎰⎰-τζητπτττ故 2322)(31)(),,,(t z y t a t yz x t z y x u -+++= 即为所求. 3.降维法：⎪⎩⎪⎨⎧==>++===.0 ,00),(t ),,()(002t t t yy xx tt uu t y x f u u a u 解：把所给初值问题的解),,(t y x u 看作),,,(t z y x 空间中的函数，即与y x ,平面垂直的直线上的函数值都相等：),,(),,,(*t y x u t z y x u =，则 ),,,(*t z y x u 应形式的满足⎪⎩⎪⎨⎧==>+++=== .0 ,00),(t ),,()(0*0****2*t t t zz yy xx tt u u t y x f u u u a u 由推迟势可得dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,( 41),,,(2*ηξπττηξτπτττηξπττd dS f t a d dS t f a tS tS M t a M t a ]),,([141]),,([ 410202)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=-=τηξτηξττηξτπτd y x t a d d t a f t a ty x M t a ])()()( )(),,(2[141222202),()9------∑-=⎰⎰⎰-τηξτηξτηξπτd y x t a d d f a tx M t a ])()()( ),,([ 212222),()(⎰⎰⎰∑-----=-.此即所求初值问题解的积分表达式.习题三1.求解特征值问题 ⎩⎨⎧=+=<<=+ . 0)()( ,0)0(),(0 0)()("''l X l X X l x x X x X λ 解：该特征值问题要有解0≥⇔λ.0>λ时，记2ωλ=，则 x B x A x X ωωsin cos )(+=.x B x A x X ωωωωcos sin )('+-=. 1(*) 由 0)0('=X ，有 0=B .从而 x A x X A ωcos )(,0=≠. 由 0sin cos ,0)()('=-=+l A l A l X l X ωωω有. ωω=l cot . 此即确定 ω（从而确定λ）的超越方程.由图解法，曲线 ωω==y l y cot 和有无穷个交点，其横坐标<<<<<n ωωω210，从而 ),2,1( 2==n nn ωλ 便是非0特征值，相应的特征函数为2(*) ,2,1 , cos )( ==n x A x X n n n ω.)( , )( 0'A x XB Ax x X =+==时，λ由0)0('=X ，有0=A .由0)()('=+l X l X ，有 0=B .此时只有平凡解 0)(≡x X . 综上，所求特征值问题的解),2,1( , cos )( ==n x A x X n n n ω.其中n ω为超越方程 ωω=l cot 的正根.附注：下证特征函数系{}∞=1cos n n x ω是],0[l 上的正交系：事实上，设x x X n n ωcos )(=和x x X m m ωcos )(=分别是相应于不同特征值2n n ωλ=和2m m ωλ=的特征函数，即)(x X n 和)(x X m 分别满足).()(,0)0(,0)()(:)(''"⎩⎨⎧+==+l X l X X x X x X x X n n nn n n n λ (1) ⎩⎨⎧=+==+.0)()(,0)0(,0)()(:)(''"l X l X X x X x X x X m m m m m m m λ (2) 则[]0 )()2()()1(0=⋅-⋅⎰dx x X x Xln m,即 []⎰-+-=lm n m n n m m n dx x X x X x X x X x X x X"" )()()())()()()((0λλdx x X x X lm n m n ⎰-=0)()()(λλ若,m n λλ≠则 ),2,1,( 0)()(0==⎰m n dx x X x X lm n .即在],0[l 上，不同特征值所对应的特征函数彼此正交. 2.用分离变量法求波动方程混合问题⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==>==><<+=== ),0( , ),0( ),( ,),0(),0 ,0( 20022l x x ux u t t t l u t t u t l x g u a u t t t x xx tt的形式解，其中g 为常数.解：(1).边界条件齐次化：令 ),,(),(),(t x Q t x v t x u +=使⎪⎩⎪⎨⎧====,,20t Q t Q l x x x （这不是定解问题），则取 2)(),(t t l x t x Q +-=即可. 这时),(t x v 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--==>==><<-+===).0( )( , 0),( 0),( ,0),0(),0 ,0( 2200t 2l x l x x vx v t t l v t v t l x g v a v t t x xx tt(2).“拆”——由线性叠加原理：IIIv v v +=，其中⎪⎩⎪⎨⎧+-====><<=== ., ,0),(),0(),0,0( :2002I l x x vx v t l v t v t l x v a v v t t t x xx tt ⎪⎩⎪⎨⎧====><<-+=== .0,0 ,0),(),0(),0,0( 2:002IIt t t x xx tt vv t l v t v t l x g v a v v (3).用分离变量法求得l x n l at n b l at n a t x v n n n 2 )12(cos 2 )12(sin 2 )12(cos ),(1Iπππ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=∑∞=. 其中⎰⎰--=ll n d ln d ln a 022)12(cos2)12(cos 1ξπξξξπξ，ξπξξξξπξπd ln l d l n l a n b lln 2)12(cos )(2)12(cos 2 )12(122-+---=⎰⎰..,2,1 =n (n n b a ,都可算出来).(4).由Duhamel 原理： ττd t x w t x v t⎰=0II),,(),(,其中),,(τt x w 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧-====><<=== . 2 , 0 ,0),( ,0),0( ),,(0 2g ww t l w t w t l x w a w t t t x xx tt τττ用分离变量法求得∑∞=---=12 )12(cos 2)( )12(sin),,(n n l xn l t a n c t x w πτπτ.其中 ξπξξπξπd ln g d l n l a n c lln 2)12(cos)2(2)12(cos 2 )12(12----=⎰⎰. ,3,2,1 =n (n c 可算出).综上： ),(),(),(),(),(),(III t x Q t x v t x v t x Q t x v t x u ++=+=.习题四1.用分离变量法求热方程混合问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<-== )( ,0),(),0(),0,0( 022x u t l u t u t l x u b u a u t xx t ϕ 的形式解.解：这是齐次方程、齐次边界条件情形，直接分离变量：令 )()(),(t T x X t x u =，代入泛定方程，得),( )(22'"λ-=+=a bTa T X X 从而 0)()()( , 0)()(2'"=++=+t T b a t T x X x X λλ. 由边界条件，得 ,0)()0(==l X X 于是，特征值问题为⎩⎨⎧==<<=+0.)((0))(0 , 0)()("l X X l x x X x X λ 特征值 2)(l n n πλ=，特征函数为 x ln x X n πsin )(=，),2,1( =n . 而 )1,2,(n )(])[(22 ==+-t b lan n n eA t T π.取 11])[((*) . sin),(22x ln eA t x u n t b lan n ππ∑∞=+-=利用 ]0[ sinl x ln ，在⎭⎬⎫⎩⎨⎧π上的正交性，可定出 ⎰==ln n d ln l A 0),2,1( sin)(2 ξπξξϕ. 2(*) 1(*),2(*)给出所求混合问题的形式解.附注：若令 ),( ),,(),(2t x v t x v e t x u t b 则-=满足⎪⎩⎪⎨⎧===><<==== ).( ,0),0,0( 002x v v v t l x v a v t l x x xx t ϕ用分离变量法求得lxn eA t x v t lan n n sin),(2)(1ππ-∞=∑=. 而n A 同2(*)，这恰与上面结果一致.习题五用Fourier 变换法求初值问题⎩⎨⎧=>++== .0),0( ),(202t xx t u t t x f tu u a u 的形式解.解：方程和初始条件两端关于x 做Fourier 变换(视t 为参数),并记),(~)],([ , ),(~)],([t f t x f F t u t x u F ξξ==.则原问题化为常微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=>++-=)( .0)0,(~),0( ),(~~ 2~~22为参数ξξξξu t t f u t u a dtu d 其解为 ττξξτξτξd e f e e e t u a tt a t 2222220),(~),(~⋅⋅⋅=⎰--. 故 )],(~[),(1t uF t x u ξ-= ττξττξττξτξττξτξτξd e f F ee d ef e F e d e f e e e F ta t t a tt t t a t a t t ⎰⎰⎰-----------⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅=01)(0101]),(~[]),(~[),(~)(22222222222222ττπτττd et a F x f F F e e tt a x t]])(21[)],([[0)(412222⎰-----⋅⋅=ττπτττd et a x f F F e e tt a x t]])(21*),([[0)(412222⎰-----⋅=τξττξπτξτd d et f e a ett a x t ]1),([20)(4)(2222⎰⎰---∞∞---=即为所求.习题六1.求边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≤≤==<≤≤<≤=++=== )(0 )( ),0( 0),20 ,0( 01102αθθρπαθρρρραθθθθρρρf u l u u l u u u l 的形式解.解：用分离变量法：令 )()(θρΘ=R u ，代入泛定方程可得)( "'"2λρρ=ΘΘ-=+RR R ，因而 0)()("=Θ+Θθλθ，0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R （Euler 方程）.由边界条件 00====αθθu u，得 0)()0(=Θ=Θα.于是特征值问题为,0)()0(),0( 0)()("⎩⎨⎧=Θ=Θ<<=Θ+Θααθθλθ 特征值 2)(απλn n =，特征函数为 )1,2,( sin)( ==Θn n n θαπθ.而 Euler 方程 0'"2=-+R R R λρρ 的解 απαπρρρn n D C R -+=)(.为保证有界性应取 0=D ，从而 ),2,1( )( ==n C R n n n απρρ.取 ∑∑∞=∞==Θ=11sin)()(),(n n n n n n n C R u απθρθρθραπ. 1(*)由边界条件 )(θρf ul ==，应有 ∑∞==1sin )(n n n n lC f απθθαπ.由 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧απθn sin在 ],0[α上的正交性，可得),2,1( sin)( 2==⎰n d n f l C n n ϕαπϕϕαααπ. 2(*)1(*) ,2(*)给出所求问题的形式解.2.用Green 函数法求解上半平面Dirichlet 问题⎪⎩⎪⎨⎧∞→+=>=+=. ),( ),0( 0220有界时，u y x x f u y u u y yy xx 解：根据二维Poisson 方程Dirichlet 问题⎩⎨⎧=∈-=+∂ ),(D.),( ),,(2y x f u y x y x u u Dyy xx πρ 解的积分表达式P PDDdl n M P G P f dxdy M M G M y x u M u ∂∂-==⎰⎰⎰∂),()(21),()(),()(00000πρ（其中0M 是D 内任一点，P n是边界D ∂上点P 的外法线方向）. 其中满足而 ),( ),,(1ln),(0000M M g M M g r M M G MM -=⎪⎩⎪⎨⎧∂∈=∈=∆).( 1ln ),g(),( 0),(000D P r M P D M M M g PM M),(0M M G 称为Green 函数，找),(0M M G 的问题归结为“特定装置下”找感应电荷所产生的电势),(0M M g -.对上半平面0>y 而言，若在0M 处放置单位正电荷，它在M 处产生的电势为01lnMM r ，则感应电荷应放在0M 关于0=y 的对称点'0M 处，电量为 -1，它于M 处产生的电势为'1lnMM r -，从而Green 函数为'1ln1ln),(0MM MM r r M M G -=20202020)()(ln )()(ln y y x x y y x x ++-+-+--=.故所求解为⎰⎰⎰⎰∞∞-=∞∞-=∞∞-=∞∞-+-=∂∂=-∂∂-=∂∂-=.)()()(21 )()(21)(21),(22000000dx yx x x f y dx yG x f dxy G x f dx n G x f y x u y y y ππππ。

2011-2012(必修一,必修二)高一数学期末试卷及答案,新人教A版

2011-2012高一(必修一，二)数学期末试卷（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题、解答题）两部分共150分）（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（每小题只有唯一正确答案，请将答案填在答卷纸的表格中，每小题5 分，共60分）1．已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若M ∩N=N ，则( ) A 、u u C M C N ⊇ B 、u MC N⊆ C 、u u C MC N⊆ D 、u MC N⊇2、过直线0121=--y x l ：和0442=++y x l ：的交点，且平行于直线01=+-y x 的直线方程为（）。

Ａ、x-y+２=0 Ｂ、x －y －２=0 Ｃ、2x-2y+3=0 Ｄ、2x －2y －3=03、向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( ).4、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( ).A 、1B 、2C 、3D 、4 5、若1,0,022<<>>b a b a ，则（）A 、10<<<b aB 、10<<<a bC 、1>>a bD 、1>>b a 6、方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是（）A 、2≤mB 、m ＜ 2C 、 m ＜21 D 、21≤m7、木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（）倍.Ａ、60Ｂ、120 Ｃ、3060 Ｄ、301208、函数y=11+-x x In是（）A 、是奇函数但不是偶函数B 、是偶函数但不是奇函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 9、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是( ) A 、11A C AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11A C 与1B C 成60角10若圆022=++b y x 与圆08622=+-+y x y x 没有公共点，则b 的取值范围是（）.A 、b<－5B 、b<－25C 、 b<－10D 、b<－100 11、函数(]2,1,322-∈--=x x x y 的值域：（）A 、[-3，0）B 、[-4,0)C 、(-3,0]D 、(-4,0]12、已知圆Ｃ方程为：9)1()2(22=-+-y x ，直线a 的方程为3x －4y －12=0,在圆Ｃ上到直线a 的距离为１的点有（）个。

物理11级高等数学第一学期期末试题答案(A)

第 1 页共 2 页陇东学院2011——2012学年第一学期物电学院非物理学专业高等数学课程期末试题答案(A)一、选择题（每小题2分，共20分）.1．若函数()y f x =在点0x 处连续，则0lim ()x x f x →（ B ）A .不存在；B .等于0()f x ；C .存在但不等于0()f x ；D .不确定.2. 1lim (1)xx x→∞-=（ D ）A .１；B .e ；C .∞；D ．1e.3. =∞→xx x sin lim（ B ）A .1；B .0；C .∞；D .不存在但不为∞.4．下列说法正确的是（ C ）A .有界数列必收敛；B .单调数列必收敛；C .收敛数列必有界；D .发散数列必无界.5. 若函数()sin f x x =，则()f x 在点0x =处（ A ）A .连续但不可导；B .连续且可导；C .可导但不连续；D .不连续也不可导.6．若函数()f x 在区间[],a b 上连续,在区间(,)a b 内可导,则在区间(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得()f ξ'= ( C )A ．0；B ．1；C .()()f b f a b a--； D .()()f b f a -7. 下列各式正确的是( A )A .()()f x dx f x C '=+⎰； B .22()()x a df x dx f x dx=⎰； C .()()x ad f x dx f x dx'=⎰； D .()()bad f x dx f x dx=⎰8.121arctan 1x dx x-=+⎰( D ）A .2π； B .4π； C . 2； D . 0 .9．若0()0f x '=，0()0f x ''>，则0x 为函数()f x 的 ( A )A . 极小值点；B .极大值点；C .非极值点；D . 不一定是极值点.10．若广义积分1padx x+∞⎰收敛，则（ B ）A .1p ≤；B .1p >；C .0p ≤；D .01p <<．二、填空题（每小题３分，共1５分）.11．420sin xdx π=⎰316π；12．设2ln(1)y x =+, 则微分dy =221x dx x+；13．曲线22tx t y e⎧=⎨=⎩在1t =相应的点处的切线方程y ex e =+； 14. 函数xy e =的n 阶麦克劳林公式为231()1!2!3!!nxnx xxxe o x n =+++++；15．微分方程2dy xy dx=的通解2xy Ce=．三、计算题（每小题5分，共４０分）.16．解：32322111323363limlimlim6221321x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===---+--；或3232211132(1)(2)23limlimlim121(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-++===+--+-+17．解：22cos limlim cos 1x x x t dt x x→→==⎰；试卷密封装订线院系班级姓名学号第 2 页共 2 页18．解：两端取对数 ln sin ln y x x =，再求导1cos ln sin y x x x yx'=+，得 sin sin (cos ln )x x y x x x x'=+19．解：两端求导 0y e y y xy ''++=，从而yy y x e'=-+20．解：21143()(2)(3)3256x x dx dx dx x x x x x x ++==------+⎰⎰⎰=434ln(3)3ln(2)32dxdxx x x x -=-----⎰⎰21．解：22ln ln (sin cos )sin cos x x x x dx dx x xdx xx+=+⎰⎰⎰22311ln (ln )sin (sin )ln sin 23xd x xd x x x C =+=++⎰⎰22．解：11111000222222ttt tt te dt tee dt e e=-=-=⎰⎰⎰23．解：2111arctan lim arctan arctan 12441x dx x x xπππ+∞+∞→+∞==-=-=+⎰四、应用题(共２0分)24．讨论函数1y x x=+的性态，描绘函数图象.（８分）解：(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，函数是奇函数 221x y x-'=， 32y x''=，令0,0y y '''==，得1x =±1lim lim ()x x y x x→→=+=∞ ∴有铅直渐近线0x =又21limlim (1)1x x y k xx→→==+= ，1lim ()lim ()0x x b y kx x x x→∞→∞=-=+-=∴有斜渐近线y x =25．求抛物线2y x =与直线1x =所围平面图形的面积A 以及此图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积V ．（６分）解：13124433A x ===⎰，11222V xdx xπππ===⎰26．求二阶常系数齐次微分方程230y y y '''--=的通解．（６分）解：特征方程2230r r --=，特征根121,3r r ==，通解为2312x xy C e C e =+五、证明题(５分)选做一题27．证明当0x >时，ln(1)x x >+证：令()ln(1)f x x x =-+，则当0x >时，1()1011x f x xx'=-=>++故()f x 在[)0,x 上单调增加，因此当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =-+>= 即当0x >时，ln(1)x x >+28．证明方程510x x +-=只有一个正根．证：令5()1f x x x =+-，则()f x 在(,)-∞+∞内连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>，由零点定理知，()f x 在(0,1)内至少有一个零点．又4()510f x x '=+>，所以5()1f x x x =+-只有一个零点，在(0,1)内，故方程510x x +-=只有一个正根．。

2011-2012数学物理方程-B卷-答案

u ( x0 , y 0 ) = −
1 ∂ 1 1 ∂u u ln − ln ds ， ∫ 2π Γ ∂n r r ∂n r
其中 ( x0 , y 0 ) 为平面有界区域 Ω 内任一点，Γ 是区域 Ω 的边界曲线，且光滑，n 为 Γ 的外法向量， ds 是弧微分；（2）证明格林函数的性质：
∂G( M , M 0 ) ds M = −1 。 ∫∫ ∂ n Γ
1 ∂ 1 1 ∂u u ln − ln ds ， ∫ 2π Γ ∂n r r ∂n r
证：（1）证明： = −
其中 ( x 0 , y 0 ) 为平面有界区域 Ω 内任一点，Γ 是区域 Ω 的边界曲线，且光滑，n 为 Γ 的外法向量， ds 是弧微分；证：记 M 0 ( x 0 , y 0 ) ， K ε ：以 M 0 为中心半径为 ε 的圆且包含在 Ω 内，
u tt = a 2 u xx , 0 < x < π , t > 0, t ≥ 0, ； u (0, t ) = u x (π , t ) = 0, 3 u ( x,0 ) = x , u t ( x,0 ) = 0, 0 ≤ x ≤ π .
解：分析知,其形式解
u ( x, t ) = ∑ sin
sin
nπ x l
再由初始值得
f ( x) − u 0 = ∑ An sin
n =1
l
∞
nπ x l
5分
故
2 nπ An = ∫ [ f ( x) − u 0 ] sin xdx l 0 l u ( x, t ) = u 0 + v( x, t )e − βt
∞ l
因此

兰州大学11-12物理类高数(上)期末试题及答案A

兰州大学2011～2012学年第一学期考试试卷（卷）课程名称：高等数学（物理类）任课教师：学院：专业：年级：姓名：校园卡号：一计算题（共50分）：1. 计算极限60lim 2xx x e →+=3/（1）。

（5分）2．计算极限sin tan 000limtan sin 1x xx tdttdt →+=⎰⎰。

（5分）3．计算极限11lim cos sin xx e x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

（5分）4．计算导数cos ()(sin )x f x x =。

（5分）2cos cos ()(sin )sin ln sin sin x x f x x x x x ⎛⎫'=-⋅+/ ⎪⎝⎭5．设y x x y =，计算导数(ln )(ln )dy y x y y dx x y x x -=-。

（6分）6．设2221cos 1cos cos 2t x ty t t udu u ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰，计算导数dy t dx =。

（6分） 7．计算积分cos 2sin xdx x C x=+⎰。

（6分） 8．计算积分2arccos arccos 1xdx x x x C =--+⎰。

（6分）9．计算积分325311sin cos cos cos 53x xdx x x C =-+⎰。

（6分）二（10分）试证变量代换cos (0)x t t π=<<可将微分方程222(1)0d y dyx xy dx dx--+= 化简为220d yy dt+=。

222223221sin 1cos sin sin 0dy dydy dx dt dt dx t dt d y d y t dyd dy dx dt dx dt dx t dt t dt d yy dt==-⎛⎫==- ⎪⎝⎭+= 三（10分）求心脏线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。

222013((1cos ))22S a dx a πθπ=+=⎰ 四（10分）一几何体以椭圆面22221105x y +≤为底，且垂直于x 轴的截面都为等边三角形，试计算该几何体的体积。

北京理工大学2011-2012学年第二学期数学物理方程与特殊函数期末试题(A卷)

2. 长为1的均匀细杆侧表面绝热，0x =端有恒定热流q 进入，1x =端绝热，杆的初始温度为()f x , 试写出杆内温度分布的定解问题。

3．长度为2的均匀细弦两端固定，作自由振动，初位移如图所示，初速度为零，请写出该振动的定解问题。

2011级中国传媒大学数学物理方程A卷

中国传媒大学2011-2012学年第二学期期末考试试卷(A 卷)考试科目：数学物理方程课程编号： 123023考试班级： 2011级工科各班考试方式：闭卷一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共10个空, 每空2分, 共20分）1、在一维波动方程、一维热传导方程、二维拉普拉斯方程中，______________________是椭圆型，________________是双曲型，_________________是抛物型。

2、0726522222=+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂u y u x u yu y x u x u的特征方程为_____________特征线的方程为____________________. 3、做变换=ξ__________ ，=η__________ ，则方程0222222=∂∂-∂∂∂+∂∂yu y x u x u可化为 0 2=∂∂∂ηξu4. n 阶贝塞尔方程的表示式为：________________________31=n 时，其通解为：_________________________________ 5.勒让德方程的表达式是：___________________________二、求解下列特征值问题(本题共10分)0)(',0)0(')0( , 0(x)(x)''⎩⎨⎧==<<=+l X X l x X X λ三、解答下列各题（本题共3小题，每小题20分，共60分） 1、求解下面定解问题（必须写出解题过程）0 , 00 , 0 , 00 , 0 , cos 0||0|222⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<=>=∂∂=∂∂><<+∂∂=∂∂===l x u t x u x ut l x l x t x u atu t l x x π2、求下列初值问题的解：, 1, cos 0 , , 0|0|22222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==x et u x u t x xu a t u t t3、计算下列积分（1）dx x J x )(25⎰（2）dx x P x )(52⎰，这里)(5x P 表示五次勒让德多项式。

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由此推出上述混合问题的唯一性与稳定性。
授课教师命题教师或院系负责人签字命题负责人签字 2011 2011 年 12 月日年月日
共 2 页第 2 页
姓名
授课教师
∫∫ fds = 0 物理意义；
（3）判定方程 u xx + xyu yy = 0 的类型；（4）将方程 u xx + 4u xy + 5u yy + u x + 2u y = 0 化为标准形式。三、计算题（计算题（20 分）
学号
utt − a 2u xx = 0,0 < x < l , t > 0, u x (0, t ) = u (l , t ) = 0, t ≥ 0, 的解；（1）计算震动方程 u ( x,0 ) = cos π x,0 ≤ x ≤ l , 2l 3π 5π x + cos x ,0 ≤ x ≤ l ; ut ( x,0 ) = cos 2l 2l
数学科学
中国海洋大学 2011 秋季学期秋季学期期末考试期末考试试卷考试试卷学院《数学物理方程》课程试题(A 卷) 共 2 页第 1 页文具，满分为：100 分。
考试说明：本课程为闭卷考试，可携带考试说明
座号
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得分
----------------装装----------------订订----------------线线----------------
（2）如果有一长度为 l 的均匀的细棒，其周围以及两端 x = 0, x = l 处均匀等到为绝热，初始温度分布为 u ( x,0) = f ( x ), 问以后时刻的温度分布如何？。
专业专业年年级
四、证明题（证明题（20 分） (1) 设 u ( x1 , x 2 , L , x n ) = f ( r )
外法向量， ds 是面积微元。六、证明题（证明题（8 分）
2 ∂u 2 ∂ u =a 若方程 + cu (c ≥ 0) 的解 u 在矩形 R 的侧边 x = α 及 x = β 上不超 ∂t ∂x 2
过 B，又在底边 t = 0 上不超过 M，证明此时 u 在矩形 R 内满足不等式：
u ( x, t ) ≤ max(Me ct , Be ct )
= 0 的函பைடு நூலகம்在
有界闭区域上的最大值不会超过它在境界上的最大值。证明题（五、证明题（20 分）证明三维调和函数的积分表达式为：
（若M 0 在Ω外） 0 ∂ 1 1 ∂u − ∫∫ u ∂n r − r ∂n dS = 2πu ( M 0 ) （若M 0 在Γ上）， Γ 4πu ( M ) （若M 在Ω内） 0 0 r 其中 M 0 为空间有界区域 Ω 内任一点， Γ 是区域 Ω 的边界曲线，且光滑， n 为 Γ 的
2 2 (r = x1 + L + xn ) 是 n 维调和函数，试证明
f (r ) = c1 +
c2 r
n−2
(n ≠ 2) 及 f (r ) = c1 + c 2 In
1 (n = 2) 其中 c1 , c 2 为常数； r
∂ 2u
（2）利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方程
∂x 2
+
∂ 2u ∂y 2
一、简答题（简答题（12 分）（1）在杆纵向振动时,假设（1）端点固定;(2) 端点自由;（3）端点固定在弹性支承上，写出这三种情况下对应的边界条件。（6 分）（2）定界问题中适定性指的是什么？（3 分）；（3）一维齐次弦振动方程的柯西中指出它的决定区域？（3 分）。二、解答题（解答题（20 分）（1）一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律： dQ = k1 (u − u1 )dsdt ，又假设杆的密度为 ρ ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程；（2）如果用拉普拉斯方程式表示平衡温度分布函数所满足的方程，试阐明牛曼内问题有解的条件