高一数学必修一专项练习：函数的奇偶性与单调性
高一函数单调性奇偶性经典练习题
函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法：121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩+⇒⎧-⎧⎪⇒-⇒⎨⎨-⎩⎪-⇒⎩即单调增函数定义法（重点）：在其定义域内有任意，且即单调增函数复合函数快速判断：“同增异减”增为减函数基本初等函数加减（设为增函数，为减函数）：增为增函数减互为反.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩函数的两个函数具有相同的单调性例1 证明函数23()4x f x x +=-在区间(4)+∞，上为减函数（定义法）解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较）”进行.解：设12(4)x x ∈+∞，，且12x x <，1221121212232311()()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x ++--=-=---- 214x x >>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21()3x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）练习2证明函数2()f x x =2()3-∞，上为增函数（定义法、快速判断法）练习3 求函数3()2x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)练习4求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习） （二） 函数单调性的应用⎧⎪⎨⎪⎩单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域 例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2(2)(3)f x x f a +>+恒成立，数a 的围。
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f （x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.答案1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|【答案】B【解析】∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对；y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，故C不对；D中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，只有B对.2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数【答案】D3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数【答案】C【解析】因为f（－x）＝－3x＋＝－（3x－）＝－f（x），又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数.4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数【答案】A【解析】因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）为偶函数，且在[1,2]上是增函数，所以f（x）在[－1,0]上是增函数.5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数【答案】C【解析】A错误.设f（x）＝x，是增函数，但f（x）＋f（－x）＝x－x＝0是常数函数；同理B错误；C正确.设g（x）＝f（x）－f（－x），则g（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－g（x），函数g（x）是奇函数.任取x1，x2∈R，且x1<x2，则－x1>－x2,g（x1）＝f（x1）－f（－x1）,g（x2）＝f（x2）－f（－x2），因为f（x）是定义在R上的增函数，所以f（x1）<f（x2），f（－x1）>f（－x2），即－f（－x1）<－f（－x2）.所以f（x1）－f（－x1）<f（x2）－f（－x2），即g（x1）<g（x2）.所以函数g（x）＝f（x）－f（－x）是增函数；D错误.故选C.6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）【答案】D【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x＋1是增函数，∴f（1）<f（2），又∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），f（2）＝f（－2），7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）【答案】B【解析】∵对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，∴函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，∴f（－2）>f>f（－1）.又∵f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f（2）.∴f（－1）<f<f（2）.8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f （x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式（）①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④【答案】C【解析】因为函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，所以函数g（x）在[0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上是减函数.a>b>0，f（a）>f（b），g（a）>g（b），所以f（a）＋g（a）>f（b）＋g（b）;对于①：f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b），即f（b）＋f（a）>g（a）－g（b）.正确；则②错误；对于③：f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a），即f（a）＋f（b）>g（b）－g（a）.正确；则④错误.9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）【答案】C【解析】由（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＞0，得f（x）在x∈（－∞，0]上为增函数.又f（x）为偶函数，∴f（x）在x∈[0，＋∞）上为减函数.又f（－n）＝f（n）且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f（n＋1）＜f（n）＜f（n－1），即f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）.10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）【答案】A【解析】因为函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，所以可画出符合条件的奇函数f（x）的图象，如图所示.因为x·f（x）＜0，所以或结合图象，得到答案为A.11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）【答案】C【解析】g（x）＝f（x－2）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）＝f（0），f（－4）＝g （－2）＝－g（2）＝0，f（－2）＝g（0）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（－2,0）对称，所以当x ≤－4或x≥－2时xf（x）≤0成立.12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）【答案】C【解析】因为函数f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）内也是减函数，且f（2）＝0.则不等式x·f（x）<0可化为或解得x<－2或x>2.13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f（x）＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为（－∞，0].14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.【答案】③【解析】将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.【答案】m≥n【解析】因为a2＋2a＋＝（a＋1）2＋≥，又f（x）在[0，＋∞）上是减函数，所以f≤f＝f.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.【答案】（－∞，0]【解析】∵f（x）为偶函数，∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f（x）＝－x2＋3，其单调递增区间为（－∞，0].17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.设x<0，则－x>0，因为x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.于是有f（x）＝（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式. 【答案】∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；（①－②）÷2，得g（x）＝2x.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.【答案】（1）显然f（x）的定义域是R.设任意x∈R，因为f（－x）＝－（－x）3＋3（－x）＝－（－x3＋3x）＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数.（2）在区间（－1,1）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝－（x2－x1）（＋x2x1＋）＋3（x2－x1）＝（x2－x1）（3－－x2x1－）.因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，（3－－x2x1－）＞0，所以f（x2）＞f（x1）.所以函数f（x）＝－x3＋3x在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.又∵f（1）＝，f（2）＝，∴∴a＝2，b＝.综上，a＝2，b＝，c＝0.（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.函数f（x）在区间上为减函数.证明如下：任取0<x1<x2<，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－＝（x1－x2）＝（x1－x2）.∵0<x1<x2<，∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.∴f（x）在上为减函数.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.【答案】（1）如图.单调增区间：[－1,0]，[1，＋∞），单调减区间（－∞，－1]，[0,1].（2）在同一坐标系中同时作出y＝f（x），y＝－2a的图象，由图可知f（x）＋2a＝0有两个解，须－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－.（3）当x<0时，－x>0，所以g（－x）＝（－x）2－（－2x）＋1＝x2＋2x＋1，因为g（x）为奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝－x2－2x－1，且g（0）＝0，所以g（x）＝22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当a＝0时，f（x）＝，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1），1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数.（2）任取x1＞x2≥3，f（x1）－f（x2）＝ax1＋－ax2－＝a（x1－x2）＋＝（x1－x2）（a－）. ∵x1－x2＞0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，∴a＞，即a＞＋在[3，＋∞）上恒成立.∵x1＞x2≥3，＋＜＋＝，∴a≥.。
高中数学：函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案
高中数学：函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（）A.f（－5）>f（3）B.f（－5）<f（3）C.f（－3）>f（－5）D.f（－3）<f（－5）2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（）A.f（－x1）>f（－x2）B.f（－x1）＝f（－x2）C.f（－x1）<f（－x2）D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（）A.10B.－6C.8D.94.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f （x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是（）A.1B.2C.3D.45.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________. （2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.6.设定义在（－1,1）上的奇函数f（x）在[0,1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.8.定义在R上的函数y＝f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）f（b）.（1）求证：f（0）＝1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；（3）求证：f（x）是R上的增函数.9.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f（）＝f（x）－f（y）.（1）求f（1）的值；（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0. （1）求f（1）的值；（2）求证f＝f（m）－f（n）；（3）求证f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（4）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2；（5）比较f的大小.11.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立.（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若f（8）＝4，求f（－）的值.12.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）. （1）求f（0），f（1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论.13.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，又f（1）＝－2.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在区间[－3,3]上的值域；（4）若对任意x∈R，不等式f（ax2）－2f（x）<f（x）＋4恒成立，求a的取值范围.14.设f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）<f（x－）；（3）如果g（x）＝f（x－c）和h（x）＝f（x－c2）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围.15.已知函数f（x）是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]有>0. （1）判断函数的单调性（不要求证明）；（2）解不等式f<f（1－x）；（3）若f（x）≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围.16.已知函数f（x）＝x－.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围.17.已知函数f（x）＝x2＋2.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（3）求函数f（x）在区间（－1,2]上的最大值和最小值.18.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b均为实数），x∈R，F（x）＝（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于零，并说明理由.19.已知函数f（x）＝－（常数a>0）.（1）设m·n>0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0<m<n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值.20.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，①求a的取值范围；②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围.21.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[－1,1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.22.已知f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立. （1）判断f（x）在[－1,1]上的单调性；（2）解不等式f（x＋）<f（）；（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.答案1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（）A.f（－5）>f（3）B.f（－5）<f（3）C.f（－3）>f（－5）D.f（－3）<f（－5）【答案】C【解析】设0<x1<x2，则x1－x2<0，由>0，得f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴f（x）在（－∞，0）上也是增函数，∴由－3>－5，可得f（－3）>f（－5）.2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（）A.f（－x1）>f（－x2）B.f（－x1）＝f（－x2）C.f（－x1）<f（－x2）D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定【答案】A【解析】∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴f（x2）<f（－x1），∵f（x）是偶函数，∴f（－x2）＝f（x2）<f（－x1）.3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（）A.10B.－6C.8D.9【答案】C【解析】∵奇函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，∴f（2x2－4x）＝－f（y）＝f（－y），∴2x2－4x＝－y，∴4x＋y＝4x－2x2＋4x＝－2（x－2）2＋8≤8，故选C.4.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f （x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】∵方程f（x）＝x无实根，∴f（x）－x>0或f（x）－x<0.∵a>0，∴f（x）－x>0对一切x∈R成立，∴f（x）>x，用f（x）代替x，∴f（f（x））>f（x）>x，∴说法①正确；同理若a<0，则有f（f（x））<x，∴说法②错误；说法③正确；∵a＋b＋c＝0，∴f（1）－1<0，∴必然归为a<0，有f（f（x））<x，∴说法④正确.故选C.填空5.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________. （2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.【答案】（1）小－M（2）小－M＋4【解析】（1）设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]，∴f（－x）≤M且存在x0∈[a，b]，使f（x0）＝M.∵f（x）为奇函数，∴－f（x）≤M，f（x）≥－M，且存在－x0∈[－b，－a]，使f（－x0）＝－M.∴f（x）在[－b，－a]上有最小值－M.（2）由（1）知，f（x）在[a，b]上有最大值M－2时，f（x）在[－b，－a]上有最小值－M＋2.∴f（x）＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.解答6.设定义在（－1，1）上的奇函数f（x）在[0，1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.【答案】由于函数f（x）的定义域为（－1，1），则有解得0＜m＜.又f（1－m）＋f＜0，所以f（1－m）＜－f.而函数f（x）为奇函数，则有f（1－m）＜f.因为函数f（x）是奇函数，且在[0，1）上单调递增，所以函数f（x）在定义域（－1，1）上单调递增，则有1－m＜2m－，解得m＞，故实数m的取值范围为.7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】（1）设x<0，则－x>0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.于是当x<0时f（x）＝x2＋2x，又因为f（x）为奇函数，所以f（0）＝0，所以f（x）＝（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，结合f（x）的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是（1，3].8.定义在R上的函数y＝f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）f（b）.（1）求证：f（0）＝1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；（3）求证：f（x）是R上的增函数.【答案】（1）令a＝b＝0，则f（0）＝[f（0）]2，∵f（0）≠0，∴f（0）＝1.（2）令a＝x，b＝－x，则f（0）＝f（x）f（－x），∴f（－x）＝.由已知当x>0时，f（x）>1>0，则当x<0时，－x>0，f（－x）>0，∴f（－x）＝>0，又当x＝0时，f（0）＝1>0，∴对任意x∈R，f（x）>0.（3）任取x2>x1，则f（x2）>0，f（x1）>0，x2－x1>0，∴＝（（x 2）·f（－x1）＝f（x2－x1）>1，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）在R上是增函数.9.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f（）＝f（x）－f（y）.（1）求f（1）的值；（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.【答案】（1）在f（）＝f（x）－f（y）中，令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）－f（1），∴f（1）＝0.（2）∵f（6）＝1，∴f（x＋3）－f（）<2＝f（6）＋f（6），∴f（3x＋9）－f（6）<f（6）.即f（）<f（6）.∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，∴解得－3<x<9，即不等式的解集为（－3，9）.10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0. （1）求f（1）的值；（2）求证f＝f（m）－f（n）；（3）求证f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（4）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2；（5）比较f与的大小.【答案】（1）令m＝n＝1，由条件得f（1）＝f（1）＋f（1），∴f（1）＝0.（2）f（m）＝f（·n）＝f（）＋f（n），即f（）＝f（m）－f（n）.（3）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1<x2，则>1.由（2）得f（x2）－f（x1）＝f（）>0，即f（x2）>f（x1）.∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.（4）由于f（2）＝1，∴2＝f（2）＋f（2）＝f（4），∴f（x＋2）－f（2x）>2⇒f（x＋2）>f（2x）＋f（4）⇒f（x＋2）>f（8x）.又f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴解得0<x<.故不等式f（x＋2）－f（2x）>2的解集为{x|0<x<}.（5）∵f（mn）＝f（m）＋f（n），∴＝f（mn），f（）＝[f（）＋f（）]＝f[（）2]，∵（）2－mn＝（）2≥0，∴（）2≥mn（当且仅当m＝n时取等号），又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，∴f[（）2]≥f（mn）.∴f（）≥11.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立.（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若f（8）＝4，求f（－）的值.【答案】（1）在f（x＋y）＝f（x）＋f（y）中，令x＝y＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0），∴f（0）＝0.再令y＝－x，得f（x－x）＝f（x）＋f（－x），即f（x）＋f（－x）＝0，∴f（－x）＝－f（x），故f （x）为奇函数.（2）令y＝x，由条件f（x＋y）＝f（x）＋f（y），得f（2x）＝2f（x）.由此可得f（8）＝2·f（4）＝2·2f（2）＝2·2·2f（1）＝24·f＝4，∴f＝，∴f＝－f＝－.12.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）. （1）求f（0），f（1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论.【答案】（1）∵f（x·y）＝xf（y）＋yf（x），令x＝y＝0，得f（0）＝0＋0＝0，即f（0）＝0.令x＝y＝1，得f（1）＝1·f（1）＋1·f（1），∴f（1）＝0.（2）∵f（1）＝f[（－1）·（－1）]＝（－1）f（－1）＋（－1）f（－1）＝0，∴f（－1）＝0.对任意的x∈R，f（－x）＝f[（－1）·x]＝（－1）f（x）＋xf（－1）＝－f（x），∴f（x）是奇函数.13.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，又f（1）＝－2.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在区间[－3，3]上的值域；（4）若对任意x∈R，不等式f（ax2）－2f（x）<f（x）＋4恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）取x＝y＝0，则f（0＋0）＝2f（0），∴f（0）＝0.取y＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x），∴f（－x）＝－f（x）对任意x∈R恒成立，∴f（x）为奇函数.（2）任取x1，x2∈（－∞，＋∞），且x1<x2，则x2－x1>0，f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1）<0，∴f（x2）<－f（－x1）.又f（x）为奇函数，∴f（x1）>f（x2），∴f（x）是R上的减函数.（3）由（2）知f（x）在R上为减函数，∴对任意x∈[－3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（－3），∵f（3）＝f（2）＋f（1）＝f（1）＋f（1）＋f（1）＝－2×3＝－6，∴f（－3）＝－f（3）＝6，f（x）在[－3，3]上的值域为[－6，6].（4）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）＋f（－2x）<f（x）＋f（－2），则f（ax2－2x）<f（x－2），∵f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数，∴ax2－2x>x－2，当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a>0时，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>；当a<0时，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意.综上所述，a的取值范围为（，＋∞）.14.设f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，都有>0.（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）<f（x－）；（3）如果g（x）＝f（x－c）和h（x）＝f（x－c2）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围. 【答案】（1）任取－1≤x 1<x2≤1，则f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝·（x2－x1）>0，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）在[－1，1]上是增函数.∵a，b∈[－1，1]，且a>b，∴f（a）>f（b）.（2）∵f（x）是[－1，1]上的增函数，∴由不等式f（x－）<f（x－）得解得∴－≤x≤，∴原不等式的解集是{x|－≤x≤}.（3）设函数g（x），h（x）的定义域分别是P和Q，则P＝{x|－1≤x－c≤1}＝{x|c－1≤x≤c＋1}，Q＝{x|－1≤x－c2≤1}＝{x|c2－1≤x≤c2＋1}于是P∩Q＝∅的条件是c－1＞c2＋1（无解），或c＋1＜c2－1，即c2－c－2＞0，解得c＞2或c＜－1.故c的取值范围是{c|c＞2或c＜－1}.15.已知函数f（x）是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[－1，1]有>0. （1）判断函数的单调性（不要求证明）；（2）解不等式f<f（1－x）；（3）若f（x）≤－2at＋2对于任意的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数.（2）由（1）知函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数，由f<f（1－x），得解得0≤x<.所以不等式f<f（1－x）的解集为.（3）因为函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数，且f（1）＝1，要使得对于任意的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]都有f（x）≤－2at＋2恒成立，只需对任意的a∈[－1，1]，－2at＋2≥1恒成立.令y＝－2at＋1，此时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1，1]时，y≥0恒成立.因此只需解得－≤t≤，所以实数t的取值范围为.16.已知函数f（x）＝x－.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围. 【答案】（1）函数f（x）＝x－是奇函数，∵函数f（x）＝x－的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在x轴上关于原点对称，且f（－x）＝－x－＝－（x－）＝－f（x），∴函数f（x）＝x－是奇函数.（2）证明设任意实数x1，x2∈[1，＋∞），且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－）－（x2－）＝，∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，x1x2＋1>0，∴<0，∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数.（3）∵[2，a]⊆[1，＋∞），∴函数f（x）在区间[2，a]上也为增函数.∴f（x）max＝f（a）＝a－，f（x）min＝f（2）＝，若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，则a－＋≥－，∴a≥4，∴a的取值范围是[4，＋∞）.17.已知函数f（x）＝x2＋2.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（3）求函数f（x）在区间（－1，2]上的最大值和最小值.【答案】（1）定义域为R，值域为{y|y≥2}.（2）因为f（x）定义域关于原点对称，且f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；在区间（0，＋∞）上单调递增，在区间（－∞，0]上单调递减.（3）f（x）的对称轴为x＝0，f（x）min＝f（0）＝2，f（－1）＝3，f（2）＝6，所以f（x）max＝6.18.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b均为实数），x∈R，F（x）＝（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[－2，2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于零，并说明理由. 【答案】（1）∵若f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，①又∵函数f（x）的值域为[0，＋∞），∴a≠0.由y＝a（x＋）2＋，知＝0，即4a－b2＝0.②解①②，得a＝1，b＝2.∴f（x）＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2.∴F（x）＝（2）由（1）得g（x）＝f（x）－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋（2－k）x＋1＝（x＋）2＋1－. 又∵当x∈[－2，2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数.∴≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6，故实数k的取值范围为（－∞，－2]∪[6，＋∞）.（3）大于零，理由如下：∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝ax2＋1，∴F（x）＝不妨设m>n，则n<0.由m＋n>0，得m>－n>0，∴|m|>|－n|，又a>0，∴F（m）＋F（n）＝f（m）－f（n）＝（am2＋1）－（an2＋1）＝a（m2－n2）>0，∴F（m）＋F（n）大于零.19.已知函数f（x）＝－（常数a>0）.（1）设m·n>0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0<m<n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值.【答案】（1）证略；（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）＝m，f（n）＝n，即m，n是方程f（x）＝x的两个根，即方程－＝x有两个正根.整理得a2x2－（2a2＋a）x＋1＝0，所以n－m＝＝，令＝t（t>0），n－m＝＝，所以当t＝时，n－m最大值为.20.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，①求a的取值范围；②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）当x<0时，－x>0，又∵f（x）为奇函数，且a＝－2，∴当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝x2－2x，∴f（x）＝（2）①当a≤0时，对称轴x＝≤0，∴f（x）＝－x2＋ax在[0，＋∞）上单调递减，由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，∴f（x）在（－∞，0）上单调递减，又在（－∞，0）上f（x）>0，在（0，＋∞）上f（x）<0，∴当a≤0时，f（x）为R上的单调减函数.当a>0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，不合题意.∴函数f（x）为单调减函数时，a的取值范围为a≤0.②∵f（m－1）＋f（m2＋t）<0，∴f（m－1）<－f（m2＋t），又∵f（x）是奇函数，∴f（m－1）<f（－t－m2），又∵f（x）为R上的单调减函数，∴m－1>－t－m2恒成立，∴t>－m2－m＋1＝－2＋对任意实数m恒成立，∴t>.即t的取值范围是.21.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围. 【答案】（1）由已知，得函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1，可设f（x）＝a（x－1）2＋1，由f（0）＝3，得a＝2，故f（x）＝2x2－4x＋3.（2）要使函数f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，则3a<1<a＋1，解得0<a<.（3）由已知y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1恒成立，化简得x2－3x＋1－m>0恒成立，其中－1≤x≤1.设g（x）＝x2－3x＋1－m，则只要g（x）min>0即可，而g（x）min ＝g（1）＝－1－m，由－1－m>0，得m<－1.22.已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有>0成立.（1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性；（2）解不等式f（x＋）<f（）；（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1].∵f（x）为奇函数，∴f（x 1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝·（x1－x2）.由已知得>0，又x1－x2<0，∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴f（x）在[－1，1]上单调递增.（2）∵f（x）在[－1，1]上单调递增，∴结合不等式的性质及二次函数的图象，得－≤x＜－1.故原不等式的解集为{x|－≤x＜－1}.（3）∵f（1）＝1，且f（x）在[－1，1]上单调递增，∴在[－1，1]上，f（x）≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1，1]成立.设g（a）＝－2m·a＋m2，①若m＝0，则g（a）＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.②若m≠0，则g（a）为关于a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[－1，1]恒成立，必须有g（－1）≥0，且g（1）≥0，即结合相应各函数图象，得m≤－2或m≥2.综上所述，实数m的取值范围是（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）.。
函数的奇偶性和单调性综合训练
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则 称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数， 有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则 称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训 练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正 负来判断。如果导数大于0，则为 增函数；如果导数小于0，则为减 函数。
人教B版高中数学必修一高一同步测试(7)—函数的单调性、奇偶性.doc
高一数学同步测试（7）—函数的单调性、奇偶性一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。
1．设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-2．设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f a a -+D ．与a 的取值无关3．若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥35．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()111x g x x x +=--，()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则 ()()(),,f x g x h x 的奇偶性依次为 （ ）A ．奇函数，偶函数，奇函数B ．奇函数，奇函数，偶函数C ．奇函数，奇函数，奇函数D ．奇函数，非奇非偶函数，奇函数6．已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或D ．不能确定7．已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数8．函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ）A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114 C ．1 D ．114- 10．函数()y f x =与()y g x =的定义域相同，且对定义域中任何x 有()()0f x f x -+=，()()1g x g x -=，若()1g x =的解集是{}0，则函数()()()()21f x F x f xg x =+-是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数二、填空题：请把答案填在题中横线上。
高一数学函数的单调性与奇偶性课后作业(基础题)
高一数学函数的单调性与奇偶性1函数单调性(一) (一) 选择题31.函数f(x) —在下列区间上不是 减函数的是( )X3. 设函数y = (2a — 1)x 在R 上是减函数，则有111A . aB . aC . a —2 224.若函数f(x)在区间［1, 3)上是增函数，在区间［3, 5］上也是增函数，则函数 f(x)在区间［1 , 5］上()A .必是增函数B .不一定是增函数C .必是减函数D .是增函数或减函数(二) 填空题5. 函数f(x)= 2x 2— mx + 3在［—2, +^ )上为增函数，在(一^，― 2)上为减函数，则 ma6.若函数f(x)—在(1 ,+^ )上为增函数，则实数a 的取值范围是 _______ .x7. ____________________________________________ 函数f(x)= 1—| 2 — x |的单调递减区间是 ________________________________________________ ，单调递增区间是 ______ .3&函数f(x)在(0,+^ )上为减函数，那么f(a 2— a + 1)与f(—)的大小关系是 _______________4*9 .若函数f(x) =| x — a | + 2在x € ［0,+^ )上为增函数，则实数 a 的取值范围是(三) 解答题10 .函数f(x), x € (a , b)U (b , c)的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出 如下的判断：甲说f(x)在定义域上是增函数；乙说f(x)在定义域上不是增函数，但有增区间，丙说f(x)的增区间有两个，分别为(a , b)和(b , c) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。
111 .已知函数f(x) — 2.x(1)求f(x)的定义域；⑵证明函数f(x)在(0,+^ )上为减函数.A . (0,+^ )B .(―汽 0)C .(―汽 0)U (0,+s )D . (1 ,+^ )2.下列函数中，在区间 (1 , +m )上为增函数的是(A . y =— 3x + 1C . y = X 2— 4x + 5D . y =| x — 1 |+ 2Virh A Jir a h A 1 11J!i]* /I■0 / t J :-°: / b\ f c\x! / \ / 1 ! * / i/pl■J I ■14■f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)12 .已知函数f (x) —. (1)用分段函数的形式写出|x|的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间及单调性.函数单调性(二) (一)选择题1 . 一次函数f(x)的图象过点A(0, 3)和B(4, 1)，则f(x)的单调性为(A .增函数B .减函数2.已知函数y = f(x)在 R 上是增函数， A . ( — a, 5)B . (5 ,+a )3.函数f(x)在区间(—2, 3)上是增函数, A . (3, 8)B . (— 2, 3)) C .先减后增 D .先增后减且f(2m + 1) > f(3m — 4),贝U m 的取值范围是( C . (f, ) D .(点)55则下列- -定是 y = f(x) + 5的递增区间的是( C . (— 3,— 2)4. 已知函数f(x)在其定义域D 上是单调函数， ① 若x o € D ，则有唯一的 f(x o ) € M② 若f(x o ) € M ,则有唯一的x o € ③ 对任意实数 ④ 对任意实数 错误的个数是 A . 1个 (二)填空题 5. 已知函数 其值域为D . (0, 5) 则下列说法中6.函数y *7 .已知函数 a , a , ( 至少存在一个 至多存在一个 )B . 2个 Dx °€ D , x 0 €D , 使得 使得 f(x 0) = af(x 0) = a f(x) = 3x + b 在区间[—1, 2]上的函数值恒为正，贝U b 的取值范围是 1 2x — (x [1,2])的值域是 __________ . xf(x)的定义域为R ,且对任意两个不相等的实数 x,y ，都有丄^勺一宜 成立，则f(x)在R 上的单调性为 b&若函数y = ax 和y —在区间(0, +8 )上都是减函数，贝函数yx(填增函数或减函数或非单调函数).(填增函数或减函数或非单调函数 ). —x 1 在(—8, a + 8 )上的单调性是9.若函数f (X )x 21 ax 1 (X (X 1)在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是1) (三)解答题 10 .某同学在求函数 f (x) •、X,X [1,4]的值域时，计算出 f(1) = 2, f(4) = 6，就 直接得值域为[2, 6].他的答案对吗，他这么做的理由是什么? 111 .用max{a , b}表示实数a , b 中较大的一个， 对于函数f(x)= 2x , g(x) ，记F(x) x =max{ f(x), g(x)}，试画出函数F(x)的图象，并根据图象写出函数 F(x)的单调区间. *12 .已知函数f(x)在其定义域内是单调函数，证明：方程 f(x)= 0至多有一个实数根.函数的奇偶性(一) 选择题1.下列函数中：1①y= X2(X€ [ —1, 1])；② y=| x|; ③ f(x) x -; ④ y= x3(x€ R)X奇函数的个数是()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2•对于定义域为R的任意奇函数f(x)—定有()A .f(x)—f( —X)> 0C .f(x) • f( —x)v 0X 1(X0)3 .函数f (X)X 1(X0)B . f(x) —f( —X) < 0D . f(x) • f( —A•是奇函数不是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数4. 下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是A . 1 B. 2(二) 填空题5. 下列命题中，B .是偶函数不是奇函数D.既是奇函数又是偶函数( )f(x) = 0(x€ R)C . 3D . 41①函数y 丄是奇函数，且在其定义域内为减函数；X②函数y= 3X(X— 1)0是奇函数，且在其定义域内为增函数；③函数y= X2是偶函数，且在(一3, 0)上为减函数；④函数y= ax2+ c(ac丰0)是偶函数，且在(0, 2)上为增函数;真命题是_______ .6.若f(x)是偶函数，贝U f(1血)f(^^) ________________1 V27.设f(x)是R上的奇函数，且当x€ [0,+^ )时，f(x) = X(1 + X3),那么当x€ ( —^,0]时，f(x) = ______ .& 已知f(x)= X5+ ax3+ bx—8，且f(—2)= 10,则f(2) = __________ .9. _______________ 设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(一3 0)上是增函数，则f(—2)与f(a2—2a + 3)(a € R)的大小关系是.(三) 解答题10 .判断下列函数的奇偶性：(1) f (X) 3X4⑵ f (x)⑶ f(x) x 1 、1 x ⑷ f (x) . x21 1 x211 •函数f(x), g(x)都不是常值函数，并且定义域都是R.①证明：如果f(x), g(x)同是奇函数或同是偶函数，那么f(x) • g(x)是偶函数；②“如果f(x) • g(x)是偶函数，那么f(x), g(x)同是奇函数或同是偶函数”的说法是否成立，为什么？*12.已知定义在［—2, 2］上的奇函数f(x)是增函数，求使f(2a—1) + f(1 —a)>0成立的实数a的取值范围.答案1函数单调性(一)I. C 2. D 3. D 4. B 5.— 8 6. a v 07. [2,+^ ), (―® 2]3 & f(a 2— a + 1) f( —)9. a € ( — 3 0]410. 甲错，乙和丙都对II. (1)解：f(x)的定义域是{x € R | X M 0}; (2)证明：设X 1, X 2是(0,+8 )上的两个任意实数，且 X 1 v X 2,则 X = X 1 — X 2 v 0,因为 X 2 — X 1=— x >0, X 1X 2>0，所以 y >0.1因此f(x) —2是(0,+3 )上的减函数. X1 -(X 0) X 1-(x 0) X⑵图象如图所示，在区间(一3, 0)上是增函数，在区间 2 函数单调性(二) 1. B 2. A 3. B 4. A 5. (3,+s )6. ［1, 7］7.减函数& 增函数 9. (0, 3］210 .他的答案是正确的，因为函数y = x 和y x 在［1, 4］上都是增函数，所以f(x) x x,x ［1,4］，也是增函数，而且，这个函数的图象是连续不断的，因此求出最大值和最小值就可以得到值域了.11.解：图象如图所示，单调区间为:,一f ］和(0,子］上都是单调递减区间; ,0)和【畔,)上都是单调递增区间.12 .证明：假设方程f(x) = 0有两个不相等的根 f(X 1) = f(X 2) = 0…(*)若函数f(x)在其定义域内是增函数， 则应该有f(X 1)V f(X 2)；若函数f(x)在其定义域内是减 函数，则应该有f(x1)> f(X 2),无论如何，都与(*)式矛盾，故假设错误，所以，方程 f(x)= 0至多有一个实数根.3函数的奇偶性1. B2. D3. C(提示：易知f( — 0)M — f(0)，所以f( — x) = — f(x)并不能对定义域内的 任意y f (X 1)f (X 2)1 X11 2 (— 2) X 1X 2 X 1 X-|X 2(0,+m )上是减函数。
高中数学必修一：单调性与奇偶性典型例题(教师版)
必修一：函数的单调性与奇偶性总结一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
例1、讨论函数0)(>+=a xax x f ，的单调性。
解：由)(x f 为奇函数，令0>x 任取021>>x x ，()()21212121)()(x x a x x x x x f x f --=-，令a x a x >⇒>2单调递增区间为：()+∞,a ，()a --，∞ 单调递减区间为：(]a ，0，[)0,-a小结：（1）要证明函数的单调性，只能用定义的方法，但它也可用来求函数的单调性；（2）使用定义法判断单调性时，要注意格式，设元、作差、变形、定号、下结论，其中最难的一步为变形，需将作差式整理为多项连乘，方便定号；（4）判断a x x -21的符号时，可令x x x ==11，即a x -2；（5）当多个同增或同减区间不在一起时，单调区间之间不能用“或”字连接，只能用“逗号”。
当多个同增或同减区间连在一起时，要注意判断其单调区间是否能合并；（6）单调性是研究函数图像在某段区间内的变化情况，在某点处研究单调性无意义，故单调区间端点处一般可开可闭，均正确。
但若端点处不在定义域内，则必须为开；（7）对于复杂题型，先通过奇偶性得图像对称性，从而只需讨论一半的范围，会降低解题难度；（8）当已知函数值为正时，还可以通过作商实现比大小；（9）的图像。
其中x b ax x g +=)(与xbax x h -=)(，0,0>>b a 时，记住两个特殊函数图像轮廓相同。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的奇偶性与单调性
函数的奇偶性
一．判断下列函数的奇偶性
())10(1
)1(y 1≠>+-=a a a a x x x ， ()212y 2x x x +-= ()a -x a x y 3++= （4）⎩
⎨⎧=为无理数，为有理数，x x ,1,0y ()2-x lg y 5= ()()
x -2x 22-x y 6+=
2．若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x·(1－x)，则函数f(x)的解析式为
3.若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，则m 的取
值范围为
4．已知f （x ）,.10)2(832=-+++=f bx ax x 且则f (2)=
5. 已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域为[a －1，2a ]，则 a= b=
6．若函数()log (a f x x =是奇函数，则a= .
7．已知q
x px x f ++=32)(2是奇函数，且q p f ⋅=则,1)1(= .
8.已知()a
1
-21x f x +=为奇函数，则a 的值为 9.已知奇函数()x f 的定义域为[]，，5-5-(]5,0x ∈上的图像
如下，则()0x xf ≥的解集为
函数的单调性
1．证明x x f -=)(在定义域上是减函数
2．证明函数 f （x ）=-2x +x 在（
21，+∞）上为减函数
3．证明函数x
x x f 1)(+
=在（0，1）上是减函数
4．若函数f （x ）=2x +2（a-1）x+2在区间（-∞，4）上为增函数，则实数a 的
取值范围是
5．函数y=1
1+x 的单调减区间为 6．定义域为R 的函数f （x ）在区间（ —∞，5）上单调递减，对注意实数t 都有
)5()5(t f t f -=+，那么f （—1），f （9），f （13）的大小关系是
7．若f （x ）是定义在[]1,1-上的减函数，f （x-1）＜f （2
x -1），则x 的取值范围为 8．函数y=-x
2+1在[1，3]上的最大值为 最小值为 9．已知函数f(x)是R 上的增函数，且f(x 2+x) ＞ f(a-x)对一切x ∈R 都成立，
求实数a 的取值范围为
10．已知二次函数c bx x x f ++=2
)((b 、c 为常数)满足条件：f(0)=10，且对任意实数x ，
都有f(3+x)=f(3-x)。
（1）求f(x)的解析式；
（2）若当f(x)的定义域为[m ，8]时，函数y=f(x)的值域恰为[2m ，n]，求m 、n 的值。