线代知识点

线性代数知识点总结
第一章 行列式
1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
2奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数
3定理2 阶行列式也可定义为 其中 t 为行标排列p1p2…pn 的逆序数
4推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
5性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.
6推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
7性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
8性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.
9性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上 去，行列式不变．
10 叫做元素aij 的代数余子式。

11引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除a(ij)外都为零，那么这个行列式等于a(ij)与它的代数余子式的乘积，即D=a(ij)*A(ij) ． 12定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
13推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
14关于代数余子式的重要性质
15克拉默法则 重要定理
定理1 如果线性方程组 1 的系数行列式 D ≠0 则 1 一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.
定理3 如果齐次线性方程组 的系数行列式D ≠0 则齐次线性方程组 没有非零解.
定理4 如果齐次线性方程有非零解,则它的系数行列式必为零.既D=0
第二章 矩阵
1矩阵加法的运算规律 2、数乘矩阵的运算规律 3矩阵与矩阵相乘 并把此乘积记作 4矩阵乘法的运算规律 ()n p p p t n a a a D 21211∑-=()，记ij j i ij M A +-=1in
in i i i i A a A a A a D +++= 2211in in i i i i A a A a A a D ++
+= 2211()n i ,,2,1 =.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ ⎩⎨⎧≠===∑
=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠==.
,0,1j i j i ij 当，当其中δ();1A B B A +=+()()().
2C B A C B A ++=++()()();1A A μλλμ=()();2A A A μλμλ+=+()().
3B A B A λλλ+=+∑==+++=s k kj
ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 12211 (),
,,2,1;,2,1n j m i ==.
AB C =()()();1BC A C AB =()(),2AC AB C B A +=+();CA BA A C B +=+
5若A 是n 阶矩阵，则k A 为A 的k 次幂，即
个k k A A A A =并且,k m k m A A A +=()mk k m A A =（m,k 为正整数）。

矩阵的其他运算
定义 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 T A
转置矩阵的运算性质 2、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作 /A/或derA
3、对称阵与伴随矩阵
定义 设A 为n 阶方阵，如果满足()n j i a a ji ij ,,2,1, ==，那么A 称为对称阵.
定义 行列式/A/的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵
称为矩阵A 的伴随矩阵。

性质
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵B, 使得E BA AB == 则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵
B 称为 A 的逆矩阵 定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 /A/ ≠ 0 ，且,11*-=A A
A
推论 ()1,-===A B E BA E AB 则或若 逆矩阵的运算性质
第三章 矩阵的初等变换
矩阵的秩 初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
矩阵的秩的性质
（1） （2） A B B 1-1-A ()=-1()()()()B A B A AB λλλ==3（其中 为常数 λ();4A EA AE ==()();1A A T T =()();2T T T B A B A +=+()();3T T A A λλ=()().
4T T T A B AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111.E A A A AA ==**.
1-A A 的逆矩阵记作.的伴随矩阵为矩阵其中A A *()().
,,111
1A A A A =---且亦可逆则可逆若() ,,0,2且可逆则数可逆若A A λλ≠().111--=A A λλ()且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3AB B A ).
()(A R A R T =显有()().
,~1 B R A R B A =则若定理};
,m in{)(0n m A R n m ≤≤⨯);()(A R A R T =
（3） （4） （5） (6)
(7) (8)
一、线性方程组有解的判定条件
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；
定理3：矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B).
定理4： 初等矩阵
定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.
定理2 方阵A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵.,,,,2121l l P P P A P P P =使
推论1：
第三章 N 维向量
定理1
推论1
线性相关
);()(,~B R A R B A =则若);()(A R PAQ
R Q P =可逆，则、若.1)(),()(),()(),()}(),(max{+≤≤=+≤≤A R b A R A R b B B R A R B A R B R A R 为列向量时，有特别地，当).()()(B R A R B A R +≤+)}.(),(min{B R A R AB R ≤）（.)()(,n B R A R o B A l n n m ≤+=⨯
⨯则若().01n A R x A n n m <=⨯矩阵的秩的充分必要条件是系数有非零解元齐次线性方程组定理().,2的秩阵的秩等于增广矩矩阵的充分必要条件是系数有解元非齐次线性方程组定理b A B A b x A n n m ==⨯)}.(),(m in{)(,B R A R C R C AB ≤=则设
E
A A ~可逆的充要条件是方阵()().,,(,,211--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛A E E A E A A E E A E A 对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分即为右边后化为单位矩阵将施行初等行变换对 .),,(),( 2121的秩，，的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量b B A A b m m αααααα ==).,()(),,,,,(),(),,,(,,,:,,,:211212121B A R A R b b a a B A a a a A a a a A b b b B l m m m l ===即的秩，秩等于矩阵的矩阵线性表示的充要条件是能由向量组向量组定理 .).,()()(,,,:,,,:2121所构成的矩阵和是向量组和其中等价的充要条件是与向量组向量组B A B A B A R B R A R b b b B a a a A l m == ,,,,,,,: 2121m m k k k A ααα 使全为零的数如果存在不给定向量组。