因式分解法(十字相乘法)ppt课件
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十字相乘法分解因式_教学课件
1.一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm,面积是24 cm2, 求斜边的长.
解：设其中的一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为( 14 － x )cm．
根据题意，可列方程
1 x 14 x 24.
2
整理得 x2－14x＋48 = 0.
解得 根据勾股定理
x1=6, x2=8.
斜边 62 82 100 10.
答：每个支干长出9个小分支．
3. 参加一次足球联赛的每两队之间都要进行两场比 赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
解：设共有x个队参加比赛
根据题意，可列方程 整理得
x ( x － 1 ) = 90. x2－x －90 = 0.
解得
x1=10, x2=－9(不符合题意，舍去).
答：共有10个队参加比赛．
答：斜边的长为10 cm.
2.某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同 样树木的小分支,主干、支干和小分支的总数是91，每个支 干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支．
根据题意，可列方程 1 + x + x2 =91
整理得
x2 + x －90 = 0
解得
x1=9, x2= －10(不符合题意，舍去)
解方程 x2 －6x＋8=0 x2 +10x＋16=0
21.2.3 解一元二次方程 十字相乘法因式分解
例1 解方程 x2 －6x＋8=0 解：x2 －6x＋8=0
(x－2)(x－4)=0
x
－2
x
－4
－6xLeabharlann 例2 解方程 x2 +10x＋16=0 解： x2 +10x＋16=0
因式分解十字相乘法和分组分解法ppt课件
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1) = (x+3)(x-2)(x2+x-8)
（2007年株洲市） 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10
解：令x4+x2=m，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10
= m2-m-12+10 = m2-m-2 = (m-2)(m+1) = (x4+x2-2)(x4+x2+1) = (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1) = (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
新人教版 ·数学 ·八年级(上) 15.3因式分解
知识要 点
利用十字交叉线来分解系数，把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三 项式分解因式： q=ab，p=a+b
人教版初中八年级数学上册14.3.2因式分解的(十字相乘法)ppt课件
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x
–2y
5x
4y
4xy – 10xy = –6xy
∴5x2–6xy–8y2 =(x– 2y)(5x+4y)
简记口诀： 首尾分解，交叉 相乘，求和凑中。
十字相乘法3随堂练习：
1）2(x2+y2)+5xy
先讨论交流，后分解因式。
=x2+3x+2
(2) (x+2)(x-1) =X2+x-2
(3) (x-2)(x-1) =x2-3x+2
(4) (x+2)(x+3)
一般地,
=x2+5x+6
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq
= (x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2 =(x+1)(x+2)
x
-4
练习一：分解因式
-4x-2x=-6x
(1) x2-2x-15
=(x-5)(x+3)
(2) －y2 －4y＋12
= - (y+6)(y-2)
对于二次项系数为1的二次三项式分解的方法是 “拆常数项，凑一次项”
例2 分解因式 3x －10x2＋3
解：3x －210x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1)
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
因式分解(十字相乘)课件
探索因式分解在其他学科中的应用， 如物理、化学等。
感谢您的观看
THANKS
十字相乘法是一种用于因式分解的数学方法，通过将一个多项式分解为两个因式的 乘积，从而简化问题。
它基于二次多项式的根与系数之间的关系，通过构造一个交叉相乘的方程组来找到 因式。
这种方法在代数、方程求解和数学竞赛等领域有广泛应用。
十字相乘法的应用
01
02
03
04
解决一元二次方程
通过十字相乘法，可以将一元 二次方程转化为两个一次方程
通过实例分析和练习，掌握十 字相乘法的运用。
结合实际问题和数学模型，加 深对因式分解的理解和应用。
课程安排
介绍因式分解的概念和意义 。
讲解因式分解的基本方法和 步骤。
02
01
重点介绍十字相乘法的原理
和应用。
03
通过实例演示和练习，巩固 所学知识。
04
05
总结课程重点和难点，提出 学习建议。
02
因式分解的基本概念
因式分解的步骤
总结词
因式分解通常按照一定的步骤进行。
详细描述
因式分解通常按照以下步骤进行：首先观察多项式的各项，尝试将其转化为整式的积的形式；然后提取公因式； 最后利用公式法或分组法进行因式分解。在每一步中，都需要仔细分析多项式的各项，并灵活运用数学规则和技 巧。
03
十字相乘法
什么是十字相乘法
因式分解(十字相乘)ppt 课件
目录 CONTENT
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 十字相乘法 • 因式分解的实例解析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程目标
掌握因式分解的基本 原理和方法。
十字相乘法PPT课件
例3 分解因式 3x －10x＋3 2 x 解：3x －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 3x
2
2
－3
－1 －9x－x=－10x ＋3
例4 分解因式 5x －17x－12 解：5x －17x－12
2
5x
=(5x＋3)(x－4)
－4 x －20x＋3x=－17x
因式分解
2 (1)x +6x+8 2 (2)y +7y+12
(3)x2-5x+4
(4)x2+2x-8
(5)x2-2x-8
2 2 (7)a b -a
(6)y2-7y-18
＋
b-2
(8) 1、 7x －13x＋6
2
小结： 1.运用公式x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b) 必须同时具备的三个条件： (1)二次项系数式是1的二次三项式 (2)常数项是两个数之积 (3)一次项系数是常数项的两个因数之和 2.常数项因数分解的一般规律： (1) 常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
因式分解时常数项因数分解的一般规律： 1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
例2. 分解因式 (1)x2+x-2
分析：(1)二次项系数为1，常数项-2=(-1) ×2 =1× (-2),
(2)x2- =(x-1)(x+2)
2 x +
(a+b)x + a b型式子的因式分解
学习目标：
( a + b) x + a b =（x + a) ( x + b ) 2 2、运用公式会对x + (a+b)x + a b型的二次三项式进行因式 分解。
十字相乘法,非常非常好用ppt课件
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
4
注意：
当常数项是正数时，分解的 两个数必同号，即都为正或都为 负，交叉相乘之和得一次项系数。 当常数项是负数时，分解的两个 数必为异号，交叉相乘之和仍得 一次项系数。因此因式分解时， 不但要注意首尾分解，而且需十 分注意一次项的系数，才能保证 因式分解的正确性。
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
12
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因+3)(x+4)-3分解 因式
11
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
9
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
十字相乘ppt课件免费
中等难度实例解析
总结词
中等难度实例涉及稍微复杂的因式分 解和乘法运算。
详细描述
例如，将3x^3 - 9x^2 + 6x分解为(x - 2)(3x^2 - 3x + 2)，这个过程需要 更深入的理解因式分解的概念，并掌 握更复杂的乘法运算。
高难度实例解析
总结词
高难度实例涉及复杂的因式分解和乘法运算，需要较高的数学技巧。
教师可设计多样化的练习题目，让学生充分练习 和掌握十字相乘法的技巧，提高解题能力。
教师还应关注学生的反馈和表现，及时给予指导 和帮助，促进学生的学习进步。
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总结词
求解一元一次方程
详细描述
最后，我们将交叉相乘的结果相加或相减，得到一元一次方程的解。如果一元一次方程有两个解，则原多项式方 程也有两个解。
04 实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例主要涉及基本的因式分解和 乘法运算。
详细描述
例如，将2x^2 - 4x + 2分解为(2x 2)(x - 1)，这个过程需要理解因式分解 的概念，并掌握基本的乘法运算。
= b，则这两个数就是方程的两个根。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为两个一元一 次方程，从而求解出方程的根。
这种方法的关键在于找到合适的 m 和 n，使得它们满 足上述条件。
Hale Waihona Puke 原理的数学表达如果 ax^2 + bx + c = 0 是我们要解的 一元二次方程，那么我们可以通过以下 步骤找到它的根
对学生的建议
学生应熟练掌握十字相乘法的步骤和技巧，通过多练习来提高自己的解题能力。
在学习过程中，学生应积极思考和探索，尝试不同的方法和思路，以培养自己的数 学思维和创新能力。
十字相乘法数ppt课件
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11
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1
4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
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1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
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10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
(1一) 、计算：
(2) (xa)(xb)x2(ab)xab
(3)
(4)
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1
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
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2
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
因式分解的正确性。
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5
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
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1
一、计算：
(1) (x 5)(x 9) x2 14x 45
(2) (x 12)(x 5) x2 7x 60 (3) (x 23)(x 6) x2 29x 138
(4) (x 4)(x 18) x2 14x 72
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
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5
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法二：
2x2-2x-12 = （x+2）(2x-6)
x
2 = 2（x+2)(x-3)
2x
-6
x×（-6）+2x×2=-2x
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6
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
例1、（2）
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8
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18
( 3 ) 6x2 - 3x – 18 ( 4 ) 8x2- 14xy + 6y2
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9
观察：p与a、b符号关系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式 分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之 间的符号关系
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符 号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大 的因数符号）与p符号相同
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2
(2x+3)(x+4) = 2x2+11x+12
2x
3
1x
4
2x×4+1x×3=11x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
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3
(2x+3)(x- 4) = 2x2-5x+12
2x
3
1x
-4
2x×（-4）+1x×3=-5x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
12x2 29x 15
3x
5
4x
3
(9x) (20x) 29x
所以： 原式 (3x 5)(4x 3)
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7
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
11
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8
( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2 ( 4 ) 4x2- 18x + 18 ( 5 ) 4（a+b）2 + 4(a+b) - 15
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12
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
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13
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小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
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10
1、十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
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4
十字相乘法（竖分常数交叉 验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法一：
2x2-2x-12 = （x-3）(2x+4)
x
-3 = 2 (x-3) （x+2)
2x
4
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
1
一、计算：
(1) (x 5)(x 9) x2 14x 45
(2) (x 12)(x 5) x2 7x 60 (3) (x 23)(x 6) x2 29x 138
(4) (x 4)(x 18) x2 14x 72
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
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5
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法二：
2x2-2x-12 = （x+2）(2x-6)
x
2 = 2（x+2)(x-3)
2x
-6
x×（-6）+2x×2=-2x
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(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
例1、（2）
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将下列各式用十字相乘法进行因式分解
（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18
( 3 ) 6x2 - 3x – 18 ( 4 ) 8x2- 14xy + 6y2
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9
观察：p与a、b符号关系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式 分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之 间的符号关系
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符 号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大 的因数符号）与p符号相同
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2
(2x+3)(x+4) = 2x2+11x+12
2x
3
1x
4
2x×4+1x×3=11x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
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3
(2x+3)(x- 4) = 2x2-5x+12
2x
3
1x
-4
2x×（-4）+1x×3=-5x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
12x2 29x 15
3x
5
4x
3
(9x) (20x) 29x
所以： 原式 (3x 5)(4x 3)
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十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
11
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8
( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2 ( 4 ) 4x2- 18x + 18 ( 5 ) 4（a+b）2 + 4(a+b) - 15
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试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
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小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
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1、十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
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4
十字相乘法（竖分常数交叉 验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法一：
2x2-2x-12 = （x-3）(2x+4)
x
-3 = 2 (x-3) （x+2)
2x
4
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式