《分解因式-十字相乘法》ppt课件
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因式分解(十字相乘法)ppt课件
因式分解--方法三
十字相乘法
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项：组成多项式中的单项式叫多项式的项 6、多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
x2(ab) xab (x+a)(x+b)
例:1把x2 5x6分解因式;
解:原式= (x+2)(x+3)
x
2
x
3
2x+3x=5x
(1).因式分解拆两边;
(2).交叉相乘验中间;
3x +2x=5x
(3).竖着分解横着写;
.
(x+2)和(x+3)
x2 2x15分解因;式
解 :原 x 2 式 2 x 3 x 2 3
x2(23)x6
x25x6
(3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
反过来: x2(ab)xab(x+a)(x+b)
也就说 是,对于二次三 x2 项 px式 q,如果常q 能分为 解分解为两 数a个 ,b的 因 积,并且 abp时, (a与b和是一次项的系数)就可以用上面的 解公 因.式 式
3. 若 多 项项 M 分解的因式是 (x - 2)(x - 3), 则 M 是 ( C)
A. x 2 5x 6;
十字相乘法
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项：组成多项式中的单项式叫多项式的项 6、多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
x2(ab) xab (x+a)(x+b)
例:1把x2 5x6分解因式;
解:原式= (x+2)(x+3)
x
2
x
3
2x+3x=5x
(1).因式分解拆两边;
(2).交叉相乘验中间;
3x +2x=5x
(3).竖着分解横着写;
.
(x+2)和(x+3)
x2 2x15分解因;式
解 :原 x 2 式 2 x 3 x 2 3
x2(23)x6
x25x6
(3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
反过来: x2(ab)xab(x+a)(x+b)
也就说 是,对于二次三 x2 项 px式 q,如果常q 能分为 解分解为两 数a个 ,b的 因 积,并且 abp时, (a与b和是一次项的系数)就可以用上面的 解公 因.式 式
3. 若 多 项项 M 分解的因式是 (x - 2)(x - 3), 则 M 是 ( C)
A. x 2 5x 6;
十字相乘法分解因式ppt课件
(2)(x+y+12)(x+y-4)
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48； 14
十字相乘法分解因式（2）
本节课解决两个问题： 第一：对形如ax2+bx+c (a≠0)的二次三项式 进行因式分解；
第二：对形如ax2+bxy+cy2 (a≠0)的二次三项式 进行因式分解；
15
(a1x+c1) (a2x+c2) =ax2+bx+c (a≠0)
1
一、计算：
(1) (x 5)(x 9) x2 14x 45
(2) (x 12)(x 5) x2 7x 60 (3) (x 23)(x 6) x2 29x 138
(4) (x 4)(x 18) x2 14x 72
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
2
下列各式是因式分解吗？
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
3
x2 px q x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
20
练习：将下列各式分解因式
1、 7x 2－13x＋6 答案(7x-6)(x-1) 2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2) 3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y) 4、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
十字相乘法分解因式_教学课件
1.一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm,面积是24 cm2, 求斜边的长.
解：设其中的一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为( 14 － x )cm．
根据题意，可列方程
1 x 14 x 24.
2
整理得 x2－14x＋48 = 0.
解得 根据勾股定理
x1=6, x2=8.
斜边 62 82 100 10.
答：每个支干长出9个小分支．
3. 参加一次足球联赛的每两队之间都要进行两场比 赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
解：设共有x个队参加比赛
根据题意，可列方程 整理得
x ( x － 1 ) = 90. x2－x －90 = 0.
解得
x1=10, x2=－9(不符合题意，舍去).
答：共有10个队参加比赛．
答：斜边的长为10 cm.
2.某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同 样树木的小分支,主干、支干和小分支的总数是91，每个支 干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支．
根据题意，可列方程 1 + x + x2 =91
整理得
x2 + x －90 = 0
解得
x1=9, x2= －10(不符合题意，舍去)
解方程 x2 －6x＋8=0 x2 +10x＋16=0
21.2.3 解一元二次方程 十字相乘法因式分解
例1 解方程 x2 －6x＋8=0 解：x2 －6x＋8=0
(x－2)(x－4)=0
x
－2
x
－4
－6xLeabharlann 例2 解方程 x2 +10x＋16=0 解： x2 +10x＋16=0
人教版八年级上册数学因式分解十字相乘法优质PPT
-2)]( x + 1 )
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公式推导
归纳总结
x2 + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab
= x(x + a) + b(x + a) = (x + a) (x + b) ∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b)
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
因式分解时常数项因数分解的一般规律：
1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
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例2. 人教版八年级上册数学因式分解十字相乘法优质PPT
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练习：在 横线上 填 、符号
__ x2 4x 3 =（x + 3）（x _+_ 1）
- x2 2x 3 =（x __ 3）（x _+_ 1）
- - y2 9y 20 =（y__ 4）（y __ 5）
运用公式必须同时具备的三个条件：
(1)二次项系数式是1的二次三项式
(2)常数项是两个数之积
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
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十字相乘法分解因式课件
x6x4
D x22x24
试将 x26x16分解因式 x26x16
x26x16
x8x2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
六、独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12
y2 3y 18 y2 17 y 30
a213 a42
1、含有x的二次三项式，其中x2系数 是1，常数项为12，并能分解因式， 这样的多项式共有几个？
4）（t + 14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数 符号）与p符号相同
五、选择题：
以下多项式中分解因式为 x6x4 的多项式是（ c ）
A x2 2x24
C x2 2x24
B x2 2x24
151十字相乘法十字相乘法借助十字交叉线分解因式的方法借助十字交叉线分解因式的方法用十字相乘法十字相乘法把形如把形如xx二次三项式分解因式二次三项式分解因式33xx22pxqpxqxaxb其中其中qqppaabb之间的符号之间的符号关系关系时qq分解的因数分解的因数aab同号同号且且aabb符号符号与与pp符号相同符号相同当当q0时qq分解的因数分解的因数aab其中绝对值较大的因数符号其中绝对值较大的因数符号与与pp符号相同符号相同本节总结
若一次项的系数为整数， 则有6个；否则有无数个！！
2、分解因式
(1).x2+(a-1)x-a；
(1)(x+a)(x-1)
(2)(x+y+12)(x+y-4)
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
D x22x24
试将 x26x16分解因式 x26x16
x26x16
x8x2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
六、独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12
y2 3y 18 y2 17 y 30
a213 a42
1、含有x的二次三项式，其中x2系数 是1，常数项为12，并能分解因式， 这样的多项式共有几个？
4）（t + 14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数 符号）与p符号相同
五、选择题：
以下多项式中分解因式为 x6x4 的多项式是（ c ）
A x2 2x24
C x2 2x24
B x2 2x24
151十字相乘法十字相乘法借助十字交叉线分解因式的方法借助十字交叉线分解因式的方法用十字相乘法十字相乘法把形如把形如xx二次三项式分解因式二次三项式分解因式33xx22pxqpxqxaxb其中其中qqppaabb之间的符号之间的符号关系关系时qq分解的因数分解的因数aab同号同号且且aabb符号符号与与pp符号相同符号相同当当q0时qq分解的因数分解的因数aab其中绝对值较大的因数符号其中绝对值较大的因数符号与与pp符号相同符号相同本节总结
若一次项的系数为整数， 则有6个；否则有无数个！！
2、分解因式
(1).x2+(a-1)x-a；
(1)(x+a)(x-1)
(2)(x+y+12)(x+y-4)
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
《因式分解之十字相乘法》PPT课件
因式分解之
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
两个一次二项式 整式乘法 一个二次
相乘的积
三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次
两个一次二项式相
三项式 因式分解
乘的积
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
pq
q ab, p a b
如果二次三项式
x2+px+q中的常数项系 数q能分解成两个因数a、 b的积，而且一次项系 数p又恰好是a+b，那 么x2+px+q就可以进行 如上的因式分解。
16
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
两个一次二项式 整式乘法 一个二次
相乘的积
三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次
两个一次二项式相
三项式 因式分解
乘的积
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
pq
q ab, p a b
如果二次三项式
x2+px+q中的常数项系 数q能分解成两个因数a、 b的积，而且一次项系 数p又恰好是a+b，那 么x2+px+q就可以进行 如上的因式分解。
16
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
人教版八年级数学上册《因式分解之十字相乘法》课件
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
例1．利用十字相乘法分解因式 （1）x2+6x+5；（2）x2－2x－8；（3）－x2－7x+18．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
因式分解之十字相乘法
课标引路
学习目标
知识梳理
1．十字相乘法的概念：
利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法， 即对二次三项式x2+bx+c若存在p+q=b，p•q=c，则有： x2+bx+c =(x+p)(x+q) 2．十字相乘法的解题技巧与注意事项：
例1．利用十字相乘法分解因式 （1）x2+6x+5；（2）x2－2x－8；（3）－x2－7x+18．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
因式分解之十字相乘法
课标引路
学习目标
知识梳理
1．十字相乘法的概念：
利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法， 即对二次三项式x2+bx+c若存在p+q=b，p•q=c，则有： x2+bx+c =(x+p)(x+q) 2．十字相乘法的解题技巧与注意事项：
12.2因式分解的方法(第4课时 十字相乘法)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
解法：
am＋an＋bm＋bn
＝(am＋an)＋(bm＋bn)
＝a(m＋n)＋b(m＋n)
＝(m＋n)(a＋b)．
观察上述因式分解的过程，解答下列问题：
(1)分解因式：mb－2mc＋b2－2bc；
解：原式＝(mb－2mc)＋(b2－2bc)
＝m(b－2c)＋b(b－2c)
＝(b－2c)(m＋b)；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－4bc＋4ac－ab＝0，判
−2
4 2 − 11 − 12.
1
1
−2
6
4 2 − 11 + 12
= + 1 − 12 .
1
1
1
−12
新知探究
如何将 2 + 7 + 12 2 因式分解？
类比二次三项式 2 + 7 + 12的因式分解，同样考虑十字相乘法.
将 2 + 7�� + 12 2 看作关于的二次三项式，它的二次项系数是1，
.
一次项的系数
课本例题
例7
1 2 + 7 + 12;
解 1 2 + 7 + 12
= +3 +4 .
2 2 − 8 + 12;
1
1
3
4
3 2 + 4 − 12；
3 2 + 4 − 12
= −2 +6 .
2 2 − 8 + 12
= −6 −2 .
1
1
−6
如果关于x的二次三项式 2 + + 的常数项q能分解成两个因
数与的积，且一次项系数p又恰好等于a + b,那么 2 + + 就可
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（1）x2－6x＋8
（3）x2－4x－12
（2）x2 + 6x－7
;
10
练习： （1）x2+7x+10
(3) y2-7y+12
(2) x2-2x-8 (4) x2+7x-18
（5）(a+b)2 -4(a+b)+3
;
11
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
一个十字叉帮助我们分解因式，这种方
法叫做十字相乘法。
;
6
例1 分解因式 x2－6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=(x－2)(x－4) x
－4
－4x－2x=－6x
;
7
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例2：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
3 x2 + 11 x + 10
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
;
1
52
3
25
25 + 165==117 15
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2
(9) 2x2-7x+3
(6)x4+13x2+36
;
20
一、 若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次 因式乘积，则符合条件的整数m个数是多少？
二、⑴ x2+5x+6； ⑵x2-5x+6；
(3) x2+5x-6； (4)x2-5x-6
“拆两头，凑中间”
十字相乘法 公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
;
18
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)X2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12
(4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12
;
19
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18
顺口溜：
x7x 6x
;
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
8
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
;
9
例1 分解因式
(5) (x－y)2 ＋(x－y) －6
;
21
1、什么样的式子叫做完全平方式？
形如 a2+2ab+b2 或 a2－2ab+b2
2、完全平方式有什么特点？
1. 有三项 2.首平方，末平方，首末两倍中间放.
a2 ± 2 . a . b + b2 =（ a ± b)²
首2 2首; 尾 尾2 (首 1 尾)2
导入新课
3.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
;
14
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
4 +3=7
4.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1. 提公因式法 最基本的方法，务必首先观察是否有公因式
2. 公式法
利用“平方差公式”因式分解
a2-b2= (a+b)(a-b)
利用“完全平方公式”因式分解
a2+2;ab+b2= (a+b)2
2
;
3
1、口答计算结果
(1).(x+3)(x+4) (3). (x-3)(x+4)
x 8x 2
归纳：当二次项系数为 -1 时 ，
先提出负号,再因式分解 。
;
12
例2：把下列二次三项式分解因式：
（1） 6x2+7x+2
（2） 5x2–6xy–8y2
;
13
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
;
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
16
练习 (1) 3x2-10x+3
(2) 5x2-17x-12
;
17
十字相乘分解因式的一般步骤:
（1）把二次项系数和常数项分别分解因数 （2）尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得
的数的和作为一次项系数 （3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果。 （4）检验。
(2).(x+3)(x-4) (4). (x-3)(x-4)
;
4
整式乘法
(x+p)(x+q)= x2+(p+q)x+pq
反过来 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解
;
5
ห้องสมุดไป่ตู้
即：x 2＋(p＋q)x＋ab=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用
（3）x2－4x－12
（2）x2 + 6x－7
;
10
练习： （1）x2+7x+10
(3) y2-7y+12
(2) x2-2x-8 (4) x2+7x-18
（5）(a+b)2 -4(a+b)+3
;
11
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
一个十字叉帮助我们分解因式，这种方
法叫做十字相乘法。
;
6
例1 分解因式 x2－6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=(x－2)(x－4) x
－4
－4x－2x=－6x
;
7
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例2：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
3 x2 + 11 x + 10
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
;
1
52
3
25
25 + 165==117 15
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
（7）（a+b）2-4(a+b)+3 （8） x4-3x3 -28x2
(9) 2x2-7x+3
(6)x4+13x2+36
;
20
一、 若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次 因式乘积，则符合条件的整数m个数是多少？
二、⑴ x2+5x+6； ⑵x2-5x+6；
(3) x2+5x-6； (4)x2-5x-6
“拆两头，凑中间”
十字相乘法 公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
;
18
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)X2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12
(4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12
;
19
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18
顺口溜：
x7x 6x
;
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
8
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
;
9
例1 分解因式
(5) (x－y)2 ＋(x－y) －6
;
21
1、什么样的式子叫做完全平方式？
形如 a2+2ab+b2 或 a2－2ab+b2
2、完全平方式有什么特点？
1. 有三项 2.首平方，末平方，首末两倍中间放.
a2 ± 2 . a . b + b2 =（ a ± b)²
首2 2首; 尾 尾2 (首 1 尾)2
导入新课
3.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
;
14
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
4 +3=7
4.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1. 提公因式法 最基本的方法，务必首先观察是否有公因式
2. 公式法
利用“平方差公式”因式分解
a2-b2= (a+b)(a-b)
利用“完全平方公式”因式分解
a2+2;ab+b2= (a+b)2
2
;
3
1、口答计算结果
(1).(x+3)(x+4) (3). (x-3)(x+4)
x 8x 2
归纳：当二次项系数为 -1 时 ，
先提出负号,再因式分解 。
;
12
例2：把下列二次三项式分解因式：
（1） 6x2+7x+2
（2） 5x2–6xy–8y2
;
13
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
;
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
16
练习 (1) 3x2-10x+3
(2) 5x2-17x-12
;
17
十字相乘分解因式的一般步骤:
（1）把二次项系数和常数项分别分解因数 （2）尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得
的数的和作为一次项系数 （3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果。 （4）检验。
(2).(x+3)(x-4) (4). (x-3)(x-4)
;
4
整式乘法
(x+p)(x+q)= x2+(p+q)x+pq
反过来 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解
;
5
ห้องสมุดไป่ตู้
即：x 2＋(p＋q)x＋ab=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用