《程伟巅峰数学》2016年度创新秒杀课程精华展示六十--秒杀由三视图求组合体体积
高考数学爆强秒杀公式与方法
高考数学爆强秒杀公式与方法实用标准高考数学爆强秒杀公式与方法一1.适用条件：直线过焦点，必有 ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A 为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x 为分离比，必须大于1.上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式；如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2.函数的周期性问题(记忆三个)：若 f(x)=-f(x+k)，则 T=2k；若 f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则 T=2k；若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则 T=6k。
注意点：a。
周期函数，周期必无限。
b。
周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c。
周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3.关于对称问题总结如下：若在 R 上满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为 x=(a+b)/2；函数 y=f(a+x) 与 y=f(b-x) 的图像关于 x=(b-a)/2 对称；若 f(a+x)+f(a-x)=2b，则 f(x) 图像关于 (a，b) 中心对称。
4.函数奇偶性：对于属于 R 上的奇函数有 f(0)=0；对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项；奇偶性作用不大，一般用于选择填空。
5.数列爆强定律：等差数列中：S奇=na中，例如 S13=13a7(13 和 7 为下角标)；等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n) 成等差；在等比数列中，上述 2 中各项在公比不为负一时成等比，在 q=-1 时未必成立。
6.等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n) 可以迅速求q。
7.数列的终极利器，特征根方程。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1 为下角标，n 为下角标)，a1 已知，那么特征根 x=q/(1-p)，则数列通项公式为 an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
11397-高考-数学笔记-正式课
y1+y2=2pk2+2m ������1 ������2 = ������2
X1+x2=-2pk Y1+Y2=2pm
y1+y2=2pk2-2m y1y2=m2
|AB|=2√������√1 + k 2 √pk 2 − 2m
抛物线的全方位秒杀 【典型例题 1】
第52 53 54讲
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =γ������������ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 已知 AB 在抛物线 C:x 2 = 4y上，点（0，4）满足������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1) 求证：������������ (2) 设抛物线 C 过 AB 两点的切线交于点 N 1. 求证点 N 在一条定直线上 2. 设 4≤ x ≪ 9 求直线 MN 在 X 轴上截距的取值范围
4 4 2 主视图
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程伟巅峰数学创新高考秒杀第一人
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2 1 1 1
. √3
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。 4 8 主视图 4 侧视图
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2
(2) 由(1)可得 |AB|= 1 K | x1 x2 | 故SAOB 1 |AB|h= 2 2|t| 1+2k2 ? t2 1 2k2
2 1 k2 1 2k2 t2 1 2k2
第50,51讲
抛物线的全部秒杀 开口向右： y 2 =2px Δ>0 Δ=p-2km>0 X1+x2= X1X2=
高考数学秒杀干货盘点
高考数学秒杀干货内容盘点高考数学秒杀干货内容盘点板块一：函数板块秒杀干货1：已知函数奇偶性求解参数的值【策略】带一对数值秒解，比如为偶函数，则(1)(1)f f −=即可；甚至如果为奇函数，且0x =可取，则(0)0f =，计算更快。
【例题】若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.【解析】(0)0f =，则2a =秒杀干货2：“奇函数+常数”模型 【策略】()()2f f −+=常数【例题】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f −的值为（ ） 3.A0.B1.−C2.−D【解析】()()()02f a f a f a −+=⇒−=1【例题】设，已知，求的值____________ 【解析】(7)(7)5(7)272f f f −+=⇒=:秒杀干货3：函数周期性结论()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=−+=+=−+=−+=−−+=−⎧−⎨+=−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧−⎨+=−−⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=−−⎧⎨⎩+=−⎧−⎨+=−−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数注：记住结论，可以大幅度提高我们解题速度和准度，不用现场推算。
四类立体几何题型-新高考数学大题秒杀技巧(解析版)
四类立体几何题型-高考数学大题秒杀技巧立体几何问题一般分为四类：类型1：线面平行问题类型2：线面垂直问题类型3：点面距离问题类型4：线面及面面夹角问题下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.技巧：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为n =x ,y ,z ．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量a =a 1,b 1,c 1 ，b =a 2,b 2,c 2 ．③根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组n ⋅a =0n ⋅b =0④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组n ⋅a =0n ⋅b =0有无数多个解，只需给x ,y ,z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃(求外用外减，求内用内减)向量a =x 1,y 1,z 1 ，b =x 2,y 2,z 2 是平面α内的两个不共线向量，则向量n =y 1z 2−y 2z 1,x 2z 1−x 1z 2,x 1y 2−x 2y 1 是平面α的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.类型1：线面平行问题方法一：中位线型：如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，点E 是PD 的中点.求证：PB ⎳平面AEC .分析：方法二：构造平行四边形如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE ⎳CF ，求证：AE ⎳平面DCF .分析：过点E作EG⎳AD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AE⎳DG即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行如图⑶，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD分析：：取OB中点E，连接ME,NE，只需证平面MEN∥平面OCD。
高考数学爆强秒杀公式及方法（精华）
高考数学爆强秒杀公式与方法一1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A 为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x 为别离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、假设f(x)=-f(x+k)，那么T=2k; 2、假设f(x)=m/(x+k)(m 不为0)，那么T=2k;3、假设f(x)=f(x+k)+f(x-k)，那么T=6k 。
注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin 派x 相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，假设在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、假设f(a+x)+f(a-x)=2b ，那么f(x)图像关于(a ，b)中心对称4，函数奇偶性1、对于属于R 上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空5，数列爆强定律：1，等差数列中：S 奇=na 中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.6，数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n 为下角标)，a1，那么特征根x=q/(1-p)，那么数列通项公式为an=(a1-x)p 2(n-1)+x ，这是一阶特征根方程的运用。
2024年中考考前押题密卷数学(全国卷)(全解全析)
2024年中考考前押题密卷（全国卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列各数中，相反数是它本身的数是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．11.C【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解析】相反数等于本身的数是0．故选：C ．【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．如图所示的几何体是由7个相同的小正方体组合成的，则这个几何体的左视图是（）A ．B ．C ．D ．2.D【分析】根据观察几何体，从左边看，底层有2个正方体，上层有一个正方体，即可得到答案．【解析】从左边看，底层有2个正方体，上层有一个正方体，∴几何体的左视图为：，故选：D ．【点睛】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会找几何体的三视图．3．据国家统计局预测，截止2024年底，我国GDP 将突破23万亿美元，23万亿用科学记数法表示为（）A ．132.310⨯B ．142.310⨯C ．140.2310⨯D ．122310⨯3.A【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【解析】23万亿23000000000000=元132.310=⨯元．故选：A ．4．下列运算中，正确的是（）A ．326326x x x ⋅=B ．4482x x x +=C ．633x x x ÷=D ．()32528x x =4.C【分析】分别利用单项式乘单项式、合并同类项、同底数幂的除法和积的乘方运算法则化简求出即可．【解析】A 、3x 3•2x 2=6x 5，故此选项错误；B 、x 4+x 4=2x 4，故此选项错误；C 、x 6÷x 3=x 3，故此选项正确；D 、（2x 2）3=8x 6，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式、合并同类项、同底数幂的除法和积的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为()1,2，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间5.B【分析】先根据勾股定理计算出OP 的长度，OP OA =可以知道A 点的横坐标，再利用估算无理数的方法得出答案．【解析】22125OP =+=，则A 点横坐标为5，459<<，即253<<，∴A 的横坐标介于2和3之间，故选B ．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小和勾股定理，正确估计5最接近的整数是解题的关键．6．某居民小区开展节约用电活动，对该小区30户家庭的节电量情况进行了统计，五月份与四月份相比，节电情况如下表：节电量（度）10203040户数215103则五月份这30户家庭节电量的众数与中位数分别为（）A ．20，20B ．20，25C ．30，25D ．40，206.A【分析】根据表格中的数据可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．【解析】由表格中的数据可得，五月份这30户家庭节电量的众数是：20，中位数是20，故选：A ．【点睛】本题考查众数、统计表、中位数，解题的关键是明确它们各自的含义，会找一组数据的众数和中位数．7．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，23BC =，将ABC 绕点C 逆时针旋转至A B C ''△，使得点A '恰好落在AB 上，A B ''与BC 交于点D ，则A CD '△的面积为（）A ．32B ．53C ．5D ．237.A【分析】由已知结合旋转的性质可知CA CA '=，60A CA B ''∠=∠=︒，可证得ACA ' 是等边三角形，可得2A C A B ''==，30A CB B '∠=∠=︒，进而可知A D BC '⊥，由等腰三角形的性质和含30度的直角三角形的性质可知112A D A C ''==，132CD BC ==，进而利用面积公式即可求解．【解析】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AC =，30B ∠=︒，∴9060A B ∠=︒-∠=︒，24AB AC ==，由旋转可知，CA CA '=，60A CA B ''∠=∠=︒，∴ACA ' 是等边三角形，∴2AA AC A C ''===，∴2A C A B ''==，∴30A CB B '∠=∠=︒，∵60CA B ∠=''︒，∴18090CDA A CD CA D '''∠=︒-∠-∠=︒，则A D BC '⊥，∴112A D A C ''==，132CD BC ==，∴131322A CD S '=⨯⨯=△．故选：A ．【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．8．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度．下面是小明距离学校的路程s 关于行驶时间t 的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8.D【分析】根据函数图象与因变量和自变量的关系判断选项即可．【解析】根据题意，小明距离学校的路程s 关于行驶时间t 的函数图象应该分为三段：第一段随着时间的增加，路程s 逐渐减小；第二段小明停下修车，路程s 随着时间的增加没有发生变化；第三段小明加速行驶，随着时间的增加，路程s 减小的更快，所以只有D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查函数的图象，熟练掌握函数的图象与因变量和自变量的变化关系是解答的关键．9．如图，AB 为O 的直径．弦CD AB ⊥于点E ，5OC cm =，8CD cm =，则BE 的值为（）A ．2cmB ．3cmC ．5cmD ．8cm9.A【分析】根据垂径定理得出4CE DE ==cm ，根据勾股定理得出222OC CE OE =+，代入求出答案即可．【解析】AB 是O 的直径，5OB OC ∴==（厘米），弦CD AB ⊥，4CE DE ∴==（厘米），在Rt OCE ∆中，5OC =（厘米），22543OE ∴=-=（厘米），532BE OB OE ∴=-=-=（厘米）．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．10．如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点．过点O 作OE OF ⊥，分别交AB ，BC 于点E ，F ．若3AE =，1CF =，则EF =（）A ．2B 10C ．4D ．2210.B【分析】本题考查正方形的性质，证明()ASA BOE COF ≌，得到1BE CF ==，继而得到3BF AE ==，最后在Rt BEF △中，利用勾股定理可得EF 的值．掌握正方形的性质及勾股定理是解题的关键．【解析】∵四边形ABCD 是正方形，3AE =，1CF =，∴AB BC =，OB OC =，90BOC ∠=︒，90ABC ∠=︒，45OBE OCF ∠=∠=︒，∵OE OF ⊥，∴90EOF BOC ∠=︒=∠，∴EOB FOC ∠=∠，在BOE △和COF 中，OBE OCF OB OCEOB FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BOE COF ≌，∴1BE CF ==，∴3BF BC CF AB BE AE =-=-==，在Rt BEF △中，3BF =，1BE =，∴22221310EF BE BF =+=+=．故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：236m m -=．11.()32m m -【分析】提取公因式3m 即可．【解析】()23632.m m m m -=-故答案为：()32m m -【点睛】本题考查的是利用提公因式分解因式，掌握“公因式的确定”是解本题的关键．12．有一个圆形飞镖盘，上面画有五个圆，半径由小到大依次为2cm 4cm 6cm 、、、8cm 10cm 、，如图所示，投中镖盘时，飞镖落在阴影部分的概率为．12.35/0.6【分析】本题考查了概率，掌握相关知识并熟练使用是解题的关键．根据概率的定义，分别求出阴影部分的面积和大圆的面积，它们的比值就是所求．【解析】∵()2224cm S ππ=⨯=小阴影，()()2226420cm S ππ=⨯-=中阴影，()()22210836cm S ππ=⨯-=大阴影，()2210100cm S ππ=⨯=大圆，∴飞镖落在阴影部分的概率4203631005ππππ++==．故答案为：35．13．如图，直线4y x =-+与双曲线=y x交于A B ，两点，若AOB △的面积为4，则k 的值为．13.3【分析】根据直线4y x =-+与双曲线=ky x关于直线=y x 对称，得出AOC BOD ≌，求得2AOC S = ，根据三角形面积求得点A 的坐标，代入一次函数求得纵坐标，即可求解．【解析】如图，设4y x =-+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，∵直线4y x =-+与双曲线=ky x关于直线=y x 对称，∴AOC BOD ≌，由4y x =-+，令=0x ，得=4y ，令=0y 得=4x ，∴(0,4),(4,0)C D ,∴14482COD S ∆=⨯⨯=，∵AOB △的面积是4，∴()18422AOC S =-= ，∴1422A x ⨯⨯=，解得1A x =，代入4y x =-+得，43y x =-+=，∴(1,3)A ，∴133k =⨯=，∴k 的值为3，故答案为：3．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数的对称性，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得A 的坐标是解题的关键．14．将一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，点B ，A 分别落在B '，A '位置上，FB '与AD 的交点为G ．若∠DGF =110°，则∠FEG 的度数为．14.55°/55度【分析】根据平行的性质可知∠DGF=∠GFB，再根据翻折的性质可知∠BFE=∠EFG，即可求解．【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴AD BC∥，∴∠GFB=∠DGF，∵∠DGF=110°，∴∠GFB=∠DGF=110°，∵根据翻折的性质有∠BFE=∠EFG，∴∠BFE=∠EFG=12∠GFB，∴∠FEG=1110552⨯=o o，故答案为：55°．【点睛】本题考查了平行的性质、矩形的性质以及翻折的性质，掌握平行的性质是解答本题的关键．15．如图，MN是半圆O的直径，K是MN延长线上一点，直线KP交半圆于点Q，P．若20K∠=︒，40PMQ∠=︒，则MQP∠=．15.35°【分析】连接PO、QO，根据圆周角定理，得∠POQ=2∠PMQ=80°，则∠OPQ=∠OQP=50°，则∠POM=70°，再根据圆周角定理即可求解．【解析】连接PO、QO．根据圆周角定理，得∠POQ=2∠PMQ=80°，又OP =OQ ，则∠OPQ =∠OQP =50°，则∠POM =∠K +∠OPK =70°，所以∠PQM =12∠POM =35°．故答案为：35°．【点睛】此题综合运用了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，难度适中．16．如图，ABC ∆的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin C =．16.31010【分析】连接AD ，利用勾股定理的逆定理先证明ACD ∆是直角三角形，从而可得90ADC ∠=︒，然后在Rt ACD ∆中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解析】如图：连接AD ，由题意得：2221750AC =+=，222125CD =+=，2226345AD =+=，∴222AD CD AC +=，∴ACD ∆是直角三角形，∴90ADC ∠=︒，在Rt ACD ∆中，35AD =，52AC =，∴35310sin 1052AD C AC ===，故答案为：31010．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：2023221(1)|13()231--+--．【解析】2023221(1)|13|()231--+-----=()131314-+--+-=131314-+----=7-【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．（5分）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？每克甲种食物每克乙种食物其中所含蛋白质0.5单位0.7单位其中所含铁质1单位0.4单位【解析】设甲、乙两种食物各需x 克、y 克，则0.50.7350.440x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2830x y =⎧⎨=⎩.答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28，30克．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．19．（6分）如图，AM BN ∥，AC 平分BAM ∠，交BN 于点C ，过点B 作BD AC ⊥，交AM 于点D ，垂足为O ，连接CD ，求证：四边形ABCD是菱形．【解析】证明：∵AC 平分BAM ∠，AM BN ∥，∴12∠=∠，23∠∠=．∴13∠=∠．∴BA BC =．又∵BD AC ⊥于点O ，∴OA OC =．在AOD △和COB △中，23OA OC AOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AOD COB ASA ≌．∴OD OB =．∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵BA BC =，∴平行四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．20．（6分）某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B 、E 两组发言的人数比为10:3，请结合图中相关数据回答下列问题：（1）A组有人，C组有人，E组有人，并补全直方图；（2）该年级共有学生600人，请估计全年级在这天发言次数不少于20的人数；（3）已知A组发言的学生中恰有一位女生，E组发言的学生中恰有两位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，求所抽的两位学生至多有一位男生的概率．【解析】试题分析：（1）根据B、E两组发言的人数比为10:3，即可求得B组发言人数的百分比，从而可以求得抽取的总人数，即可求得结果；（2）先求得发言次数不少于20的人数所占的百分比，再乘以600即可得到结果；（3）先列树状图表示出所有等可能的情况，再根据概率公式求解即可.（1）∵B、E两组发言的人数比为10:3，E组发言人数的百分比为6%∴B组发言人数的百分比为20%∴B组发言的人数=10÷20%=50人∴A组有50×4%=2人，C组有50×40%=20人，E组有50×6%=3人（2）由题意得（人）答：全年级在这天发言次数不少于20的人数为60人；（3）列树状图：共有6六种等可能情况，符合至多有一位男生的情况有4种因此P （至多有一位男生）4263==.21．（6分）电力公司在高山上建设如图1所示的输电铁塔，其示意图如图2所示，铁塔A 沿着坡面到山脚的距离200m AC =，铁塔B 沿着坡面到山脚的距离60m BD =，坡面AC 与山脚水平线CD 的夹角140ACD ∠=︒，坡面BD 与山脚水平线CD 的夹角120BDC ∠=︒．(1)求铁塔A 到山脚水平线CD 的距离；(2)若从铁塔A 看铁塔B 的俯角为10°，求铁塔A 与铁塔B 的距离AB 的长（结果精确到1m ）．（参考数据：sin 400.643︒≈，cos 400.766︒≈，tan 400.839︒≈，sin100.174︒≈，cos100.985︒≈，tan100.176︒≈，3 1.732≈）【解析】（1）解：如下图，过A 作AE CD ⊥交DC 延长线于E ，90AEC ∴∠=︒，140ACD ∠=︒，18014040ACE ∴∠=︒-︒=︒，200m AC =Q ．∴在Rt ACE 中，sin AE ACE AC∠=，sin 200sin 402000.643128.6m AE AC ACE ∴=⋅∠=︒≈⨯=．答：铁塔A 到山脚水平线CD 的距离约为128.6m ．（2）如上图，过B 作BF CD ⊥交CD 的延长线于F ，过A 作AH CD ∥交FB 的延长线于H ，则90AEC BFE H ∠=∠=∠=︒，∴四边形AEFH 为矩形，128.6m HF AE ∴==．120BDC ∠=︒ ，60BDF ∴∠=︒；60m BD = ，∴在Rt BDF △中，sin BF BDF BD∠=，3sin 60sin 606030330 1.73251.96m 2BF BD BDF ∴=⋅∠=⨯≈︒=⨯=⨯=，128.651.9676.64m BH HF BF ∴=-=-=．在Rt ABH △中，sin BH BAH AB ∠=，76.6476.64440m sin sin100.174BH BA AB H ∴==≈≈∠︒．答：铁塔A 到铁塔B 的距离AB 的长约为440m ．22．（7分）如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过点D 作DE ⊥MN 于点E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝4cm ，AE ＝3cm ，求⊙O 的半径．【解析】（1）证明：连接OD ，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD平分∠CAM，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴MN∥OD，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，43+＝5，∴AD＝22+＝22DE AE∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠AED，又∵∠2＝∠3，∴△ADC ∽△AED ，∴AC AD AD AE =，即553AC =，∴AC ＝253，∴OA ＝12AC ＝256，即⊙O 的半径为256cm ．【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．23．（8分）如图，已知抛物线22y ax bx =++()0a <与y 轴交于点C ，与x 轴交于()1,0A -，()2,0B 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是第二象限抛物线上的动点，DE x 轴，交直线BC 于点E ，点G 在x 轴上，点F 在坐标平面内，是否存在点D ，使以D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将()1,0A -，()2,0B 代入22y ax bx =++()0a <中，得204220a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的函数表达式为22y x x =-++．（2）由题意和22y x x =-++可得()0,2C ，()2,0B ，可设直线BC 的函数表达式为：2y kx =+，将()2,0B 代入得：220k +=，∴1k =-，∴直线BC 的函数表达式为2y x =-+.设()2,2D t t t -++（0t <），分两种情况：①当DE 为边时，如图1，四边形DEFG 是正方形（点G 、F 可互换位置）.则22DG D t E t ==-++，故E 的纵坐标与D 的纵坐标相等为22t t -++，将22y t t =-++代入2y x =-+中，可得E 的横坐标为2t t -，则点E 的坐标为()22,2t t t t --++，2t t tDE =--∴DE EF =，即222t t t t t --=-++，解得2t =（0t <，要舍）或12t =-，∴点D 的坐标为15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当DE 为对角线时，如图2，连接FG ，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，DE HG ∥，DH FG ∥，易得2DE FG DH ==，则()2222224DE t t t t =-++=-++，则E 的纵坐标为2224t t t -+++，∴点E 的坐标为()22224,2t t t t t -+++-++．点E 在直线2y x =-+上，∴2222342t t t t -++=--+，解得23t =-或2（0t <，要舍），∴点D 的坐标为28,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上可得：存在点D ，使以D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是正方形，点D 的坐标为15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或28,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．24．（10分）如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AB BC ，上，且CE DF ⊥于点O ．(1)试猜想线段CE 与DF 的数量关系为______；(2)数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：①如图2，在正方形ABCD 中，若点E ，F ，G ，H 分别在边AB BC CD DA ，，，上，且EG FH ⊥于点O ，求证：EG FH =；②如图3，将①中的条件“在正方形ABCD 中”改为“在矩形ABCD 中，AB a =，2BC a =”，其他条件不变，试推理线段EG 与FH 的数量关系；③如图4，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，6AB BC CD ===，点M 为AB 的三等分点，连接CM ，过点D 作DN CM ⊥，垂足为点O ，直接写出线段DN 的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，90,B DCF BC CD ︒∴∠=∠==，90BCE DCE ∴∠+∠=︒，CE DF ⊥ ，90CPD ︒∴∠=，90CDF DCE ∴∠+∠=︒，BCE CDF ∴∠=∠，()CBE DCF ASA ∴ ≌，CE DF ∴=．（2）①证明：过点H 作HN BC ⊥交于N ，过点G 作GM BA ⊥交于M ，∵四边形ABCD 是正方形，BC CD∴= 四边形BCGM 为矩形，四边形CDHN 为矩形，MG BC ∴=,HN CD=∴MG HN =，∵HF EG ⊥，∴90MGE OPG NHF OPG ∠+∠=∠+∠=︒，∴MGE NHF ∠=∠，∴()HFN GEM ASA ≌，∴HF EG =；②解：2EG FH =；理由：过点H 作HQ BC ⊥交于Q ，过点G 作GP ⊥AB 交于P ，由①可得，QHF PGE ∠=∠，QHF PGE ∴V V ∽，HF HQ GE PG∴=，,2AB a BC a ==Q ，2,PG a HQ a ∴==，122HF a GE a ∴==，2EG FH ∴=；③解：如图3，过点D 作DS BC ⊥于S ，90DSN DSC B ∴∠=∠=∠=︒，60,6DCS CD ∠=︒=Q ，3sin 60332DS CD CD ∴=⋅︒==， 点M 是AB 的三等分点，6AB =，2BM ∴=或4BM =，6BC = ，22210CM BC BM ∴=+=或213，DN CM ⊥Q ，BM DS ∴∥，BMC DJM ∴∠=∠，90DJM NDS NDS DNS ∠+∠=∠+∠=︒Q ，DNS DJM ∴∠=∠，BMC DJM DNS ∴∠=∠=∠，∴BCM SDN ∽，CM BC DN SD ∴=，210633DN ∴=，或213633DN =，解得30DN 或39．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．。
函数秒杀专题讲义(学生版)
§ 1 一个特殊的函数性质秒杀知识点知识点1：初等函数1()1x f x x -=+的基本性质如下：（1）定义域()(),11,-∞--+∞；（2）值域()(),11,-∞--+∞；（3）图像关于()1,1--成中心对称，关于直线y x =成轴对称； （4）反函数为：()111x f x x --=+，即其反函数等于自身；（5）渐近线为：1x =-，1y =-（6）()f x 在(),1-∞-和()1,-+∞内单调递减； （7）()f x 的导数为：()()221f x x '=-+； （8）()f x 的图像如右图所示：知识点2：由()11x f x x -=+构成的复合函数常见的有；（1）11xx a y a -=+，此函数为奇函数()0,1a a >≠；（2）()1log 0,11a x y a a x -=>≠+，此函数为奇函数；特别地，1ln 1x y x -=+在定义域内为减函数．利用上述性质可以“秒杀”相关一类高考试题．秒杀思路分析此函数性质一是可以快速简化有关运算程序（如利用性质4）：即由11x y x -=+可快速得到11yx y-=+等；二是由此函数得到的相关复合函数的问题研究，可提供快速解决思路与途径．秒杀例题精析：【示例1】（2004年湖北卷）已知221111x x f x x --⎛⎫=⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．21x x + B ．221x x -+C ．221x x+D ．21x x -+ 【示例2】（2015年全国I 卷理1）设复数z 满足1i 1z z +=-，则z 等于（ ）A ．1BCD ．2【示例3】（2015年山东卷文8）若函数()212x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为（ ）A ．(),1∞--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,+∞【示例4】若1e 2331e 3x x+=-．求x ．方法对比【示例1】（2009年湖北卷理）设a 为非零实数，则函数11,1ax y x x ax a -⎛⎫=∈≠- ⎪+⎝⎭R 的反函数是（ ）A ．11,1ax y x x ax a -⎛⎫=∈≠- ⎪+⎝⎭RB ．11,1ax y x x ax a +⎛⎫=∈≠ ⎪-⎝⎭RC ．()()1,11x y x x a x +=∈≠-R D ．()()1,11x y x x a x -=∈≠+R 【示例2】设复数z 满足11z i z -=+，则1z +等于（ ）A ．0B ．1CD ．2【示例3】（2017年江苏卷5）若1tan 46απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 秒杀训练【试题1】令1()1x f x x +=-，当21x ≠时，()f x -等于（ ）A ．1()f x B ．()f x -C ．1()f x - D ．()f x --【试题2】已知tan 34θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求2sin 22cos θθ-的值．【试题3】求函数112x xy -+=的值域．【试题4】设函数()2121xx f x -=+，函数()1()g x f x -=．求35g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【试题5】设()1()lg 11x f x x x -=<+，则32313x x f x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭等于（ ）A ．2()f xB ．3()f xC ．1()2f xD ．1()3f x真题回放：【试题1】（2015年湖南卷理5）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数【试题2】（2014年吉林预赛）下列函数既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ）A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ．2()ln 2xf x x-=+D ．()2x x a a f x -+= 【试题3】（2016年湖北预赛）已知函数()f x 满足(1)=2f ，且1()(1)1()f x f x f x ++=-对定义域内任意的x 均成立，则(2016)=f ．【试题4】（2018年东北三校二模理7）函数1()e 1x x f x x -=++的部分图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【试题5】（2017年陕西预赛）设函数()23ax f x x =+，若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为．特殊函数的极限1．1lim 0x x→∞=2．201lim x x→=+∞．3．0sin lim 1x x x→=．4．1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭；()10lim 1e x x x →+=． 5．1a >，lim x x a →+∞=+∞；lim 0x x a →-∞=． 01a <<，lim 0x x a →+∞=；lim x x a →-∞=+∞．§2 奇函数与单调函数性质秒杀知识点知识点1：若()y f x =为奇函数，则()()0f x f x +-=．由奇函数定义可得．知识点2：若()f x 为单调奇函数，且满足()()120f x f x +=，则120x x +=． 由奇函数定义易证此性质．知识点3：若()f x 为连续单调函数，且()()12f x f x =，则12x x =．秒杀思路分析对于给出较复杂的函数求值问题可联想到所给函数可能与奇函数有关，可利用性质“秒杀”求解，或对于给出的条件可构造单调或奇函数，再利用性质速解．【示例1】（2013年辽宁卷）已知函数())ln 31f x x =+，则()1lg 2lg 2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【示例2】（第九届希望杯试题）设α，β依次是方程2log 3x x +=，2x x +=3的实数根，则αβ+= ．【示例3】已知实数a ，b 分别满足32351a a a -+=，32355b b b -+=．则a b +的值 ．方法对比【例1】（2013重庆卷文9）已知函数()()3sin 4,f x ax b x a b =++∈R ．()()2lg log 105f =．则()()lg lg 2f 等于（ ）A ．5-B ．1-C ．3D ．4【例2】（2012年课标全国卷文16）设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．【例3】（2017中国数学奥林匹克希望联盟夏令营（三））已知函数()23log cos 2x f x x x -=+π-．若()10f α=，()10f β=-，则αβ+= ．秒杀训练【试题1】已知()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()lg5a f =，1lg 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=【试题2】若函数()420182cos 20181x xf x x x ⨯+=++在[]1,1x ∈-内的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ． 【试题3】已知实数a ，b 分别满足323510a a a -+-=，3220b b +-=，则a b +的值为 ． 【试题4】340x +=．【试题5】已知实数x ，y 滿足()55340x y x x y ++++=，求()cos 4x y +的值 ． 【试题6】若1x 满足225x x +=．2x 满足()222log 15x x +-=，则 12x x +等于（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4真题回放【试题1】（2015年辽宁预赛）若实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010b b +=，则()lg a b += ．【试题2】（2007年复旦大学自主招生）已知()sin 4f x a x =+（a ，b 为实数），且()()3lg log 105f =，则()()lg lg3f 等于（ ）A ．5-B ．3-C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值【试题3】（第八届陈省身杯奥林匹克浙江复赛）已知函数()2017tan f x a x =(2017ln 20bx c x +++（其中a ，b ，c 为实数）．若()()5ln log 2117f =．则()()21ln log 5f = ． 【试题4】（2016年黑龙江预赛）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．()()3661201311a a -+-=，()()3200820081201311a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A ．20132013S =，20186a a <B ．20132013S =，20086a a >C ．20132013S =-，20186a a ≤D ．20132013S =-，20086a a ≥【试题5】（2015年四川预赛）设sin cos 10x x x +-= ，2cos 240y y -+π+=．则()sin 2x y -的值为 ．【试题6】（2018年浙江竞赛）已知a 为正实数，且()111x f x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为 ．§ 3 双曲函数及其反函数秒杀知识点知识点1：（双曲函数定义及相关公式）（1）定义：e e sh 2x xx --=（双曲正弦函数）：e +e ch 2x x x -=（双曲余弦函数）； e e th e +e x x x x x ---=（双曲正切函数）： e +e cth e ex xx x x --=-（双曲余切函数）．（2）公式：①平方差关系：22ch sh 1x x -=； ②商的关系：sh th ch x x x =③倒数关系：th cth 1x x ⋅= ④倍角关系：sh22sh ch x x x =⋅; ⑤和差关系：sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=±⑥导数公式：sh'ch x x =，ch =sh x x '【证明】只证明①，其余请同学们自行推导．2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e 2e e 241444x x x x--+++-=-==，故22ch sh 1x x -=．知识点2：（双曲函数图像与性质）定义域()(),00,-∞+∞值域()(),11,-∞-+∞知识点3：（双曲函数反函数）（1）双曲正弦反函数)()arsh lnx x x=∈R；（2）双曲余弦反函数)[)()arch ln1,x x x=+∈+∞；（3）双曲正切反函数()()11arth ln1,121xx xx+=∈--；（4）双曲余切反函数()()()11arcth ln,11,21xx xx-=∈-∞-+∞+．【证明】∵e e2y yx--=，∴2e ey yx-=-①．2224e e2y yx-=+-，即e ey y-=+②由①②得22e yx+=，∴)lny x=．同理可证其他三式．知识点4：（类双曲函数）为研究方便，把()(0,1)x xf x a a a a-=->≠，()(0,1)x xg x a a a a-=+>≠叫做类双曲函数．（1）()x xf x a a-=-为奇函数，1a>时为增函数，01a<<时为减函数．（2）()x xg x a a-=+为偶函数．（3）x xx xa aya a---=+或x xx xa aya a--+=-均为奇函数．（4）11xxaya-=+或11xxaya+=-均为奇函数．秒杀思路分析对于客观性试题（选择题或填空题）涉及双曲函数或类双曲函数，只要利用相关性质即可“秒杀”．【示例1】函数(lny x=的反函数是（）．A ．e e 2x x y -+=B ．e e 2x x y -+=-C ．e e 2x x y --=D ．e e 2x x y --=- 【示例2】 （2017年北京卷理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）． A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【示例3】（2017年第二次全国大联考新课标卷Ⅲ)若函数()3e 2e 1x x t t f x x --=+-是奇函数，则常数t 等于 ． 方法对比【例1】（2015年课标全国卷理13)若函数()(ln f x x x =+为偶函数，则a = ．【例2】（2017年课标全国Ⅲ卷理11文12)已知函数()()2112e e x x f x x x a --+=-++为偶函数，则a = ． 【例3】（2007年全国卷Ⅱ)设函数()e e x x f x -=-． （1）求证()f x 的导数()2f x '．（2）若对所有0x 都有()f x ax ，求a 的取值范围．秒杀训练【试题1】函数()412xxf x +=的图像（ ）． A ．关于原点对称 B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴称D ．关于y 轴对称【试题2】函数e e 2x x y --=的反函数（ ）． A ．是奇函数，它在[)0,+∞递减 B ．是偶函数，它在[)0,+∞递减C ．是奇函数，它在[)0,+∞递增D ．是偶函数，它在[)0,+∞递增【试题3】设函数()()()e e x x f x x a x -=+∈R 是偶函数，则实数a 的值为 ． 【试题4】下列函数为奇函数的是（ ）．A ．22x x y -=-B ．3sin y x x =C ．2cos 1y x =+D ．22x y x =+【试题5】已知函数())2e 1ln 2e 1xx f x x +=-+，则()()20182018f f +-等于（ ）．A ．0B ．2C ．2-D ．3-【试题6】函数e e e e x x x xy --+=-的图像大致为（如图所示）（ ）．A ．B ．C ．D ．真题回放【试题1】（2017年江苏卷11)已知函数()312e e x x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2120f a f a -+，则实数a 的取值范围是 ．【试题2】（2014年课标全国卷改编）已知函数()e e 2x x f x x -=--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >，()0g x >时，求b 的最大值．【试题3】（2014年吉林预赛）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）．A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ．()2ln 2x f x x-=+D ．()()12x x f x a a -=+【试题4】（2016年黑龙江预赛）已知函数()()()4log 41x f x kx k =++∈R 为偶函数． （1）求k 的值：（2）若方程()()()4log 41x f x kx k =++∈R 有解，求实数m 的取值范围．§4 由,e ,ln xx x 构成的函数性质秒杀知识点定义域为(,0)(0,)-∞+∞[)(,0)e,-∞∞+．e y ．10ey -<．y．定义域为()()+．0,11,∞值域为()[)e,-∞+,0∞y时，0y，时，e秒杀思路分析由,e ,ln x x x 构成的六类函数及其变形是高考中出现频率最高的函数，如果所给函数可转化为这六类函数，可利用函数性质来判断结论并分析解题思路．如果是客观题即可“秒杀”．【示例1】（2014年新课标全国卷Ⅰ理21）设函数()1ln e e x x xx b f x a -=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()e 12y x =-+． （1）求,a b ；（2）求证：()1f x >．【示例2】（2016年四川卷文21）设函数2()ln f x ax a x =--，1e ()e x g x x =-．其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）讨论()f x 的单调性； （2）求证：当1x >时，()0g x >；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间()1,+∞内恒成立．方法对比【例1】（2016年黑龙江预赛）设函数()3()e 33e (2)x x f x x x a x x =-+---．若不等式()0f x 有解，则实数a 的最小值为（ ）A ．21e-B ．22e-C ．212e +D ．1e 1-()0f x 得33a x x -+3()33(2)e x h x x x x x =-+--13e x x --+13)ex +．()13302e x x x ++>-，11e a -，故(33axx -，则max ()h x 33x -+，则，0"(1)ϕ>．11ea -．故选【例2】（2014年湖南卷文9）若1201x x <<<，则（ ） A ．2121l e e n ln x x x x ->- B ．2121l e e n ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <()()()101e 1u u x u -=<<=-．【例3】（2016年甘肃预赛）已知函数n (l )f x x x =﹒（1）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；（2）设()()()g x f x kx k =-∈R ，若函数()g x 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内存在两个零点，求k 的取值范围．这是直接考查这类函数问题，通过ln y x =的图像与性质可求解．421e 2e k <，故∴当421e 2e k <时，函数秒杀训练【试题1】函数()22ln 2f x x x x =+-零点的个数为_________． 【试题2】设函数()e x f x x =，则（ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【试题3】已知函数()e x f x x -=，求函数()f x 的单调区间与极值．【试题4】求证当()1,x ∈+∞时，l 11n x x x -<<．【试题5】设函数()ln f x x x =-，()ln g x x x =，求证()()f x g x >．【试题6】若函数()()21eax x f x a =-∈R 在区间()0,16内有两个零点，求实数a 的取值范围．真题回放【试题1】（2018年全国Ⅱ卷理21）已知函数()2e x f x ax =-． （1）若1a =，求证：当0x 时，()1f x ； （2）若()f x 在()0,+∞上只有一个零点，求a ．【试题2】（2018年全国Ⅰ卷文21）已知函数()e ln 1x f x a x =--． （1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）求证：当1e a 时，()0f x ．【试题3】（2015年陕西卷文15）函数e x y x =在其极值点处的切线方程为______． 【试题4】（2018年东北三校二模理12）已知当()1,x ∈+∞时关于x 的方程1ln (2)x k kx x+-=-有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,7【试题5】（2014年天津卷理20）已知函数()()e ,x f x x a a x =-∈∈R R ，若函数()f x 有两个零点12x x ,，且12x x <．（1）求a 的取值范围； （2）求证：21x x 随着a 的减小而增大．（节选）【试题6】（2014年山东卷理20）设函数2ln e 2()xf x x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数，e 是自然对数的底数）． （1）当0k 时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．【试题7】（2015年陕西预赛）已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a =-+-∈R ． （1）若对任意()0,x ∈+∞，恒有不等式()()12f xg x ，求a 的取值范围；（2）求证对任意()0,x ∈+∞，有e l 12e n x xx >-．§5 三次函数图像与性质秒杀知识点①1．三次函数一般式：()()320f a d x x bx cx a =+++≠． 导函数为()232ax bx c f x =++'． 判别式()2241243b ac b ac ∆=-=-．（注意：用∆判定时一般可简记为23b ac ∆=-）2．对称性与对称中心．（1）三次函数图像是中心对称图形． （2）对称中心,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）对称中心求法：令()0f x ''=，即得．（4）若三次函数的对称中心为(),m n ．其解析式可设为()()()3f x x m x m αβ=⋅-+⋅-n +（其中0a ≠）． 3．三次函数极值点，对称中心和导函数的对称轴之间关系． 下面以0a >为例列表归纳．4．切割线性质．如图所示，设P 是()f x 上任意一点（非对称中心），过P 点作函数()f x 图像的一条割线AB 与一条切线PT （P 点不为切点），A ，B ，T 均在()f x 的图像上，则T 点的横坐标平分A ，B 点的横坐标．推论1：设P 是()f x 上任意一点（非对称中心），如图所示，过点P 作函数()f x 的图像的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，P ，则M 点的横坐标平分P ，N 的横坐标．推论2：设()f x 的极大值为M ，方程()f x M =的两根为1x ，()212x x x <，则区间[]12,x x 被3b a -和极小值点三等分，如图所示，类似地，对极小值m 也有此结论． 5．切线条数．一般地，如图所示，过三次函数()f x 图像的对称中心作切线l ，则坐标平面被切线l 和函数()f x 的图像分割为四个区域，有以下结论：（1）过区域Ⅰ，Ⅲ内的点作()y f x =图像的切线，有且仅有3条．（2）过区域Ⅱ，Ⅳ内的点以及对称中心作()y f x =图像的切线，有且仅有1条．（3）过切线l 或函数()f x 图像（除去对称中心）上的点作()y f x =的切线，有且仅有2条．秒杀思路分析对于客观性试题可依据性质及图像快速“秒杀”．对于解答题可依据性质快速寻求解题思路、方法并求得结论．如果能熟练掌握上述性质内容，就全部掌握了有关三次函数的相关试题的背景及解题要求，以达到“秒杀”的实效．【示例1】（2013年新课标全国10）已知函数32y x bx cx d =+++，下列结论中错误的是（ ） A ．0x ∃∈R ，使()00f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞内单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=【示例2】（2017年浙江卷7）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．BC ．D【示例3】（2004年重庆卷理20）设函数()()()1f x x x x a =--，1a >． （1）求导数()f x '，并求证()f x 有两个不同极值点1x ，2x ；（2）对于（1）中的极值点1x ，2x ，若不等式()()120f x f x +≤成立，求a 的取值范围．方法对比【例1】（2014年北京卷文20）已知函数()323x x f x =-． （1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在三条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点()1,2A -，()2,10B ，()0,2C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论．）【例2】（2015年安徽卷文10）函数()32ax bx cx d f x =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <【例3】已知()33f x x x =-，过点()()1,2A m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()2,3-C ．()1,2-D ．()3,2--秒杀训练【试题1】函数()3221x x x f x =+++图像的对称中心的坐标是 ．【试题2】设直线l 与曲线31y x x =++有三个不同的交点A ，B ，C 且AB BC ==l 的方程为 ．【试题3】设a b <，函数()()2y x a x b =--的图像可能是（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【试题4】已知函数()3213x f x ax b x =++，且()10f '-=．（1）试用含a 的代数式表示b ； （2）求()f x 的单调区间；（3）令1a =-，设函数()f x 在1x ，()212x x x <处取得极值，记点()()11,M x f x ，()()22,N x f x ，求证线段MN 与曲线()f x 存在异于M ，N 的公共点．【试题5】已知函数()31f x x ax =--，若()f x 在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．真题回放【试题1】（2018年全国Ⅰ卷理5）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【试题2】（2016年浙江卷文12）设函数()3231f x x x =++，已知0a ≠，且 ()()f x f a -()()2x b x a =--，R x ∈，则实数a = ，b = ．【试题3】（2017年天津卷文19）设a ，R b ∈，1a ≤，已知函数()3263f x x x a =--()4a x b -+，()()e x g x f x =．（1）求()f x 的单调区间．（2）已知函数()y g x =和e x y =的图像在公共点()00,x y 处有相同的切线． ①求证()f x 在0x x =处的导数等于0．②若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围．导数“秒杀”试题一例【试题】（2008年浙江卷）若cos 2sin αα+=tan α等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-§ 6 洛必达法则及其应用秒杀知识点：知识点1：00型不定式极限定理若函数()f x ，()g x 满足： （1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）在点0x 的某空心邻域()0x ︒内两者都可导，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞），则00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='．知识点2：∞∞型不定式极限定理若函数()f x ，()g x 满足： （1）00lim ()lim ()x x x x f x g x →+→+==∞；（2）在0x 的某右邻域()+0x ︒内两者都可导，且()0g x '≠． （3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）．则00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x →+→+'=='． [注]证明过程可参见华东师大编《数学分析》上册（高等教育出版社）秒杀思路分析对于较复杂的不等式（含参数）问题，如果参数可分离，可转化为求函数极值问题．求 极值可尝试应用洛必达法则（即验证定理条件）．如果极限值存在，一般可以使用洛必达法 则达到速解的目标．下面举例说明应用洛必达法则解题的思路与步骤．【示例1】（2010年课标全国卷文21）设函数()2()e 1x f x x ax =--． （1）若12a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．【示例2】（2017年全国卷Ⅱ理21（1））已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥，求a 的值．方法对比【例1】（2017年全国卷Ⅱ文21）设函数()()21e x f x x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围．【例2】（2016年全国卷Ⅱ文20）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--． （1）当4a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围．秒杀训练【试题1】求下列函数的极限．（1）0e 1lim sin xx x →-﹔（2）0lim x +→；（3）ln lim x x x →+∞；（4）(ln limln x x x→+∞+；（5）111lim 1ln x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭；（6）011lim e 1r x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭．【试题2】已知函数2()ln 1f x x x x =-+．当1x ≥时，关于x 的不等式2()(1)f x t x ≥-恒成立．求实数t 的取值范围．【试题3】若不等式3sin x x ax >-对于0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．真题回放【试题1】（2017年清华大学领导计划试题）已知2()e e x x f x ax =+-对任意实数0x ≥时，均有()2f x ≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．(],3-∞D ．(),3-∞【试题2】（2015年吉林预赛)已知对任意的1x ≥，均有1ln 10x a x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【试题3】（2017年全国卷Ⅲ理21）已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值．【试题4】（2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题18）已知方程()11ln 1k x x-=+在区间()0,1内有实根，确定常数k 的取值范围．经典不等式的加强不等式系列经典不等式：ln e (0)x x x x <<>．1．1ln 1e x x x -+≤≤（1x =时同时取等号）； 2．1ln(1)e x x x -+≤≤（等号不同时成立）； 3．ln 1e 1x x x +≤≤-（等号不同时成立）； 4．ln(1)e 1x x x +≤≤-（0x =时同时取等号）； 5．1ln 1x x x x -≤≤-（1x =时同时取等号）；6．ln(1)1x x x x ≤+≤+（0x =时同时取等号）．函数极值判定第二定理（二阶导数应用）定理：设f 在0x 的某邻域()0,x δ一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠．（1）若()00f x ''<，则f 在0x 取得极大值； （2）若()00f x ''>，则f 在0x 取得极小值．函数极值判定第三定理（高阶导数应用）定理：设f 在0x 的某邻域内存在有(1)n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()()00(1,2,,1)k f x k n ==-，()()00n f x ≠，则：（1）当n 为偶数时，f 在0x 处取得极值，且当()()00n f x <取得极大值，()()00n f x >时取极小值． （2）当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值． 例如3()f x x =．2()30f x x '==，∴00x =．又()60f x x ''==，∴00x =． ()60f x '''=>．∵3n =为奇数，∴()f x 在0x =处不取极值．§ 7 对数平均及其妙用秒杀知识点：知识点1：（平均数和对数平均）设a ，b 是两个不相等的正数，则称2a b +211a b +为调和平均数；把ln ln a b a b--称为对数平均数． 知识点2：（对数平均不等式）设a ，b +∈R ，且a b ≠ln ln 2a b a b a b -+<-．①【证明】不妨设0a b >>且a tb =，则1t >．于是①式变为()()112ln t b t bt+->>，即112ln t t t +->()21ln 1t t t ->>+． 当1t >时，要证()21ln 1t t t ->+，只需证()21ln 01t t t -->+．即4ln 201t t +->+．令()4ln 21g t t t =+-+，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++． ∴()g t 在()1,+∞内递增．又()10g =，∴()()10g t g >=．即4ln 201t t +->+．当1t >时，要证ln t <，设k =1k >时()12ln 0h k k k k=-+<．()()()22212110,k h k h k k k k -'=--=<∴在()1,+∞内递减．又()10h =，∴()()10h k h <=，即①式成立．知识点3:（平均数不等式）②若0b a >>，则有211ln ln 2a b a b a b a b a b-+<<<<<-+．秒杀思路分析对于试题中含有ln x 或e x 的函数()f x ，证明有关两个变量的关系式求某个参数的取值范围问题往往可联想到对数不等式，有时在复杂问题的导数正负判定中妙用对数不等式放缩也可大大简化证明过程． 特别对于证明不等式问题，只要化归成均值不等式链即可证明． 下面通过几例给出解题思路与步骤．【示例1】（2016年全国卷文21）设函数()ln 1f x x x =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）求证当()1,x ∈+∞时，11ln x x x-<<；（3）设1c >，求证当()0,1x ∈时，()11x c x c +->．【示例2】设0a b <<，求证不等式222ln ln a b a a b b a-<<+-．【示例3】（2011年辽宁卷理21改编）若函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-的图像与..轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ．求证：()00f x '<．方法对比【例1】（2020年天津卷理21）已知函数()()e x f x x x -=∈R ． （1）求()f x 单调区间和极值．（2）已知函数()y g x =的图像与函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，求证当1x >时，()()f x g x >； （3）证如果12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：122x x +>．【例2】（2016年课标全国Ⅰ卷理21）已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-有两个零点． （1）求a 的取值范围．（2）设1x ，2x 是的两个零点，求证：122x x +<．这事典型的双零点问题，是较难的试题，特别是含参数问题，常规方法就是分类讨论零点存在情况． 下面只给出（2）的对比情况．秒杀训练【试题1】已知函数()()1ln f x m x m x =--∈R ，若函数恰有两个零点1x ，()212x x x <，求证：122x x +>．【试题2】已知()1ln 12m f x x x =+-的两个零点为1x ，()212x x x <．（1）求m 的取值范围． （2）求证12112e x x +>．题3】已知函数()()e x f x ax a a =-+∈R 的图像与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，求证124x x +>，1212x x x x +>．【试题4】已知函数()ln a f x x ax x =-+．（1）若01a <<，求证202a f ⎛⎫>⎪⎝⎭； （2）当()f x 有三个零点时，求a 的取值范围．真题回放【试题1】（2018年全国Ⅰ卷理21）已知函数()1ln f x x a x x =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点，1x ，2x ；求证()()12122f x f x a x x -<--．【试题2】（2013年全国大纲卷理22）设函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥，()0f x ≤，求的最小值； （2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，求证：21ln 24n n a a n-+>．【试题3】（2014年陕西卷理科）设函数()()ln 1f x x =+，()()()0g x xf x x '=≥，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）()()1g x g x =，()()()1n n g x g g x +=，n ∈N ，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n +∈N ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．§8 函数图像的渐近线及其应用秒杀知识点①②知识点1：（渐近线的定义与类型）1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线．2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α⎛⎫= ⎪⎝⎭和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角．知识点2：（渐近线的求法）设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离()()cos PN PM f x kx b α==-+．① 根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有()()lim 0x f x kx b →+∞-+=⎡⎤⎣⎦，②或()lim x f x kx b →+∞-⎡⎤⎦=⎣，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x→+∞→+∞⎛⎫-=-=⋅=⎪⎝⎭． 得()limx f x k x→+∞=．④于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题．若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞=或()lim x f x b →-∞=，反之，则y b =是曲线()y f x =的水平渐近线．若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0lim x x f x →=∞或()0lim x x f x +→=∞，()0lim x x f x -→=∞，反之，则说明0x x =是曲线()y f x =的垂直渐近线．知识点3：（正确认识渐近线——关于渐近线的几点注记）第一，并不是所有无限伸展或远离原点的曲线都有渐近线，如2y x =，sin y x =等都没有渐近线． 第二，在定义“无限地远离原点”中的原点，也未必是原点，可以是任意一个给定的点，两者是等价的，只不过原点比较有名且明确而已．如1x =是()211y x =-的垂直渐近线，“无限地远离原点”和无限地远离点()1,0，甚至点(),a b 没有本质区别．第三，定义中，当曲线上的动点无限地远离原点时，只需要以某种方式远离即可，不需要以任意方式都远离．如0y =是2x y =的水平渐近线，动点P 无限地远离原点，即这只是当x →-∞时，2x y =无限接近于x 轴，而当x →+∞时，2x y =无限远离x 轴．第四，若曲线存在渐近线，则当x 充分大（或充分小），或无限趋于0x （0x x =是其垂直渐近线）时，曲线基本就像相应渐近线那样近似于-条直线，如，双曲线存在渐近线，而抛物线则没有，从渐近线的角度很容易明白两者的区别．第五，曲线与其渐近线是可以相交的，甚至曲线在“渐近”的过程中与其渐近线可无限次地穿过来穿过去． 高中教材唯一一次挑明渐近线身份是学习双曲线时，给出指示性定义后教材补充一句“也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交”．因此可能会给学生造成一般的渐近线都不能与曲线相交的错误认识．如sin x y x =，因为sin lim 0x x x →∞=，所以0y =是该偶函数的水平渐近经一，但sin x y x =在区间()0,+∞内有无数个零点，如图所示．第六，曲线与其渐近线可以是相切的，而且可以有无数个切点．如sin 1x y x +=，因为sin 1lim 0x x x →∞+=，0sin 1lim x x x→+=∞，所以0y =，0x =分别是该函数的水平渐近线和垂直渐近线．但该函数与其水平渐近线0y =有无数个切点3π2π,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k +∈N ，如图所示．第七，根据以上讨论知，曲线并不都是一直“单调”接近渐近线的．知识点4：（求渐近线举例）【示例】求曲线()3223x f x x x =+-的渐近线．秒杀思路分析一般用渐近线分析函数性质，常见的有()b f x ax x =+和()()f x yg x =（其中()f x ，()g x 都是关于x 的非零多项式）两种类型．（1）关于型如()b f x ax x =+的分析：当0a =，0b ≠时，()b f x x=为反比例函数；当0a ≠，0b =时，()f x ax =为正比例函数（一次函数）； 当0ab ≠时，0lim x b ax x →⎛⎫+=∞ ⎪⎝⎭，则0x =是其一条垂直渐近线． 又lim x b ax x a x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，lim 0x b ax ax x →∞⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则y ax =是其一条斜渐近线，即()b f x ax x =+的图像是夹在两条渐近线0x =和y ax =之间的双曲线，具体情况如下图所示．（2）对于有理分式函数()()f x yg x =的渐近线有如下一般结论：第一，若0x 是方程()0g x =的实数解，且()00f x ≠，则有理分式函数图像存在垂直渐近线0x x =； 第二，若多项式()f x 和()g x 的次数相等，且它们的最高次项系数分别为a ，b ，则该函数图像存在水平渐近线a y b=；第三，若多项式()f x 的次数小于()g x 的次数，则0y =为该函数图像的水平渐近线；第四，若多项式()f x 的次数比()g x 的次数大1，则该函数图像存在斜渐近线，可用公式④和③求解． 【示例】讨论下列三个函数图像的渐近线．（1）()2221x x f x x x +=-+； （2）()2 21x g x x x =+-； （3）()3221x x h x x x +=+-．方法对比【例1】（2015年安徽卷理9）函数()()2ax b f x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【例2】（2002年全国卷）函数111y x =--的图像是（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2004年湖北卷文）已知52x ≥，则()24524x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1秒杀训练【试题1】曲线()1ln 1e x y x =++渐近线的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【试题2】已知函数()321x y x =-，求函数图像的渐近线．【试题3】如图所示的是一个函数的图像，在下面的四个函数中，其图像是所给图像的是（ ）A ．ln y x x =+B ．ln y x x =-C ．ln y x x =-+D ．ln y x x =--真题回放【试题1】（2017年全国卷Ⅲ文7）函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【试题2】（2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{}1D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x =②()102x f x -=+，()23x g x x-=；③()21x f x x +=，()ln 1ln x x g x x +=； ④()221x f x x =+，()()21e x g x x -=--．其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④。
高中数学长方体秒杀三视图
秒杀思路分析
A．18+B．54+C．90D．81
A．B．C．D．2
A．B．C．D．2
A．6B．9
C．3D．
3
A．8B．6C．4D．
8
A．3
2
B．
9
2
C．1D．3
秒杀思路分析
三视图问题一般有两类，一类是单一几何体，另一类是组合体.一般在解题时需把“三视图”还原成几何体，这样才能方便计算与求解.
【示例1】（2016年全国丙卷文10）网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．18+B．54+C．90D．81
A．B．C．D．2
A
．B
．C
．D ．2
A．6B．9
2C．3D．3
2
解：可把三棱锥A BCD
-放置在长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可得其左视图为DEF
△，其
面积为233
2
⨯=.
【试题4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是_________.
A ．8
B ．6
C ．4
D ．8
3
解：几何体如图，为一斜三棱柱，底面积S =，两底面距离(高）
h =，则4V ==，故选C .
A ．3
2B ．9
2C ．1 D ．3
解：如图，几何体为四棱锥P ABCD -.1122332V x +=⨯⨯⨯=，解得3x =，故选D .。