自动控制原理3
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自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
自动控制原理课件3第三节典型环节的频率特性3
振荡环节的频率特性
K Kω n = 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G ( s ) = 2 2 T s + 2ζTs + 1 s + 2ζω n s + ω n 2
2
讨论 0 ≤ ζ ≤ 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
G ( jω ) = 1 (1 − T 2ω 2 ) + j 2ζωT
1
幅频特性为： 相频特性为：
1 2T 1 T
1 10T
1 5T
2 T
5 T
10 T
Sunday, April 15, 2012
4
微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) = s
G ( s ) = 1 + Ts G ( s ) = T 2 s 2 + 2ζTs + 1 频率特性分别为： G ( jω ) = jω
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12
二、开环系统的Bode图 系统的Bode图 系统的Bode
Sunday, April 15, 2012
13
最小相位系统和非最小相位系统
三、最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统和非最小相位系统 定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节 的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函 数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节 的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传 递函数。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小， 并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具 有内在的关系。 对最小相位系统：ω=0时ϕ (ω)=−90°×积分环节个数 ； ω=∞时ϕ (ω)=−90°×(n-m) 。 不满足上述条件一定不是最小相位系统。 满足上述条件却不一定是最小相位系统。 14
K Kω n = 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G ( s ) = 2 2 T s + 2ζTs + 1 s + 2ζω n s + ω n 2
2
讨论 0 ≤ ζ ≤ 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
G ( jω ) = 1 (1 − T 2ω 2 ) + j 2ζωT
1
幅频特性为： 相频特性为：
1 2T 1 T
1 10T
1 5T
2 T
5 T
10 T
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微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) = s
G ( s ) = 1 + Ts G ( s ) = T 2 s 2 + 2ζTs + 1 频率特性分别为： G ( jω ) = jω
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二、开环系统的Bode图 系统的Bode图 系统的Bode
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最小相位系统和非最小相位系统
三、最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统和非最小相位系统 定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节 的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函 数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节 的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传 递函数。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小， 并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具 有内在的关系。 对最小相位系统：ω=0时ϕ (ω)=−90°×积分环节个数 ； ω=∞时ϕ (ω)=−90°×(n-m) 。 不满足上述条件一定不是最小相位系统。 满足上述条件却不一定是最小相位系统。 14
自动控制原理 3
cos( d t p ) 0
d tan( d t p ) tan n
d t p n
n = 1时出现第一次峰值
tp d n 1 2
当 ξ 一定时，tp 与 ωn 成反比； 当ωn一定时，tp 随 ξ 增大而增大。
3. 最大超调量
3.4二阶系统的瞬态响应指标
xo(t)
Mp
1.0
%
0.5
0
td tr tp ts
t
一. 瞬态响应指标定义
上升时间tr：
对于欠阻尼系统，响应曲线从0到第一次达到稳态值所经 过时间。
对于过阻尼系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90% 所需时间。
延迟时间td：
响应曲线从0上升到稳态值50%所 需的时间。
n 1 1 s s n s n 2
xo (t ) 1 n te
nt
e
nt
(t 0)
1 e
临界阻尼二 阶系统单位 阶跃响应曲 线
nt
(1 nt )
xo(t) 1
0
t
临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非周期上 升过程。
xi (t ) 1(t )
1 X i (s) s
单位阶跃响应为
x0 (t ) 1 e
1 t T
(t 0)
一阶系统阶跃响应曲线的特点
1) 一阶惯性系统总是稳定，无振动。 2) 经过时间T，曲线上升到0.632的高度，反过来，用实验 的方法测出响应曲线达到0.632的时间，即是惯性环节的时 间常数。 3) 经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～98％，可 以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间(3～4)T 。
自动控制原理 第三章课后答案
3-1设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。
如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以10C/min 的速度线性变化。
求温度计的误差。
解：c(t)=c(∞)98%t=4T=1 min r(t)=10te(t)=r(t)-c(t)c(t)=10(t-T+e )-t/T =10(T-e )-t/T =10T =2.5T=0.253-2电路系统如图所示，其中F C k R k R μ5.2,200,20110=Ω=Ω=。
设系统初始状态为零，试求：系统的单位阶跃响应8)()(1=t u t u c c 以及时的1t 值；解:R 1Cs+1R 1/R 0G (s )= u c (t)=K(1–e t T -)KTs +1=T=R 1C=0.5 K=R 1/R 0=10=10(1–e -2t )8=10(1–e -2t)0.8=1–e-2te -2t =0.2 t=0.8g(t)=e -t/T T Kt 1=0.8=4u c (t)=K(t-T+T e -t/T )=4R(s)=1s 2R(s)=1R(s)=1s 3T 2=K(s s+1/T+T s 2-1s 3-T 2)=1.2Ts 1s 3K +1U c (s)= -0.5t+0.25-0.25e -2t )12t 2u c (t)=10(3-3已知单位反馈系统的开环传递函数为)5(4)(+=s s s G 试求该系统的单位阶跃响应。
解:C(s)=s 2+5s+4R(s)4s(s+1)(s+4)C(s)=4R(s)=s1s+41+1/3s =4/3s +1-c(t)=1+ 4e 13-4t -t 3-e3-4已知单位负反馈系统的开环传递函数为 )1(1)(+=s s s G 试求该系统的上升时间r t 。
、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。
1s(s+1)G(s)=t p =d ωπ 3.140.866= =3.63t s = ζ3ωn=6t s = ζ4ωn =8解:C(s)=s 2+s+1R(s)12= 1ωn 2ωn ζ=1ζ=0.5=1ωn =0.866d ω= ωn 2 ζ1-=60o -1ζ=tg β21-ζt r =d ωπβ-= 3.14-3.14/30.866=2.42σ%=100%e -ζζπ1-2=16%e -1.83-6已知系统的单位阶跃响应为t te et c 10602.12.01)(---+= ，试求：（1）系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然震荡频率n ω；解:s+60+C(s)=0.21s 1.2s +10-s(s+60)(s+10)=600=s 2+70s+600C(s)R(s)600R(s)=s 12=600ωn2ωn ζ=70ζ=1.43=24.5ωn3-7设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示，如果该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。
自动控制原理第3章控制系统的稳定性及特性
lim c (t ) 0 lim c (t )
t
线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部， 或其特征根全部位于s平面的左半部。
C(s) 1 例. 试判断系统 3 的稳定性。 2 R(s) s 4s 5s 2 解 : s 3 4s 2 5s 2 0
C (s) G1 ( s )G2 ( s ) (s) R ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
R(s) E(s) Y(s) N(s) G1(s) X1(s) X (s) 2 G2(s) H(s) C(s)
2. 扰动作用下的闭环系统的传递函数
令R ( s ) 0 C (s) N (s)
R(s) E(s)
G2 ( s ) 1 G1 ( s ) 2 G ( s ) H ( s )
-
N(s) X1(s) X (s) G1(s) 2 G2(s) H(s)
C(s)
f (s)
Y(s)
定义：C(s)/N(s)为被控信号对于扰动信号的闭环 传函，记为 f ( S )。
E (s) R(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s) E (s) R(s) R(s) 1 G(s) G2 ( s ) H ( s ) N ( s ) 1 G1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s )
n
n -1
... a1s a 0 0
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；
（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的符号。
充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
劳斯阵列 s n a n a n -2 a n -4 a n -6 ...... n -1 s a n -1 a n -3 a n -5 a n -7 ...... n -2 s b1 b 2 b 3 ....... s n -3 c1 c 2 ...... ...... ...... a n1a n2 a n a n3 a n1a n4 a n a n5 b1 b2 a n1 a n1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1 b1a n3 a n1b2 b1a n5 a n1b3 c1 c2 b1 b1
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
系统的稳定性要求。
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
自动控制原理第3章
arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置：力学系统中，当系统外的作 D
用力为零时，位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置， B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置：若在外力作用下，系统偏离了平衡位置，但 当外力去掉后，系统仍能回到原来的平衡位置，则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置，而D点不是稳定的平衡位置。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应 只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
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s5 2s4 3s3 6s2 4s 8 0
辅助方程 2s4 6s2 8 0 的根为 s1,2 1, s3,4 2 j
原方程的根为
s1 2, s2,3 1, s4,5 2 j
劳斯判据的应用
判断系统的稳定性和根的大致分布 确定使系统稳定的参数取值范围
例1 系统如图所示，试确定参数范围
s ansn an1sn1 a1s a0 0
充要条件 劳斯表的首列非零且不变号
劳斯表 sn an an2 an4
sn1 an1 an3 an5 sn2 a2,1 a2,2 a2,3 sn3 a3,1 a3,2 a3,3
其中
s0 an,1
ai, j
1 ai1,1
ai2,1 ai1,1
存在共轭复根 存在符号相反的实根
要用全零行的上一行元素为系数组成辅助方程，对其求导，将所得方 程系数作为全零行的元素
例 s3 s2 16s 16 0
s3 1 16
s2 1
16 辅助方程 s 2 16
首列不变号，系统是临界稳定
稳定的系统：输出是有界的
si
，
为负实数
j
lim c (t) 有限值
t
si ， j是特征方程的根（或根的实部）
稳定性问题演变为研究特征方程根的分布
判断稳定的基本方法
直接求根 劳斯判据 李亚普诺夫方法 相平面分析
劳斯判据
必要条件(特征根中无正根） 特征多项式系数全部同号且不为零
s3 1 1 s2 4 6 s1 2.5 s0 6
正根数目：两个
s3 4s2 s 6 s 1s 2s 3 0
例2 2s4 s3 3s2 5s 10 0
同号，无缺项，稳定？ 由劳斯判据判定：
s4 2 3 10 s3 1 5 0 s2 7 10 s1 6.43 s0 10
s z 1
得到新变量的特征方程，对新方程应用劳斯判据。
即将稳定的判断边界由0平移到 11 0
例 检验特征方程式 s3 8s2 10s 2 0 是否
有根在右半平面，并确定有几个根在 s 1 的
右边。
绝对稳定性
相对稳定性
s3 8s2 10s 2 0 令sz1 z3 5z 2 3z 1 0
系统不稳定，且有两个正根
特殊情况 1
某行第一列元素为零，其余项不为零或不全为零。
用无穷小正数 取代零，继续计算。
例
s5 s4 5s3 5s2 2s 1 0
s5 1
52
s4 1
51
s3 0
1
s
2
5 1
0
1
s1
5 1 2 5 1
0
s0 1
首列变号，系统不稳定
特殊情况 2
任意一行所有元素为零，说明有下列情况出现：
随频率变化的方法。
稳态和动态
系统输出：
ct ct t cs t
ct (t) 为瞬态响应，
lim
t
ct
(t
)
0
cs (t) 为稳态响应，
cs
(t
)
lim
t
c(t
)
2 稳定性
定义1：扰动消失后系统能回到原来的工作状态
ct
定义2：有界的输入产生有界的输出
ct M
产生稳定性问题的原因
s3 1 10
s2 8
2
s1 9.75
,
H
s
1
现要求系统闭环稳定，试确定参数范围，并 画出稳定区域
解：闭环系统的特征方程为：
2Ts 3 2 T s2 k 1s k 0
利用劳斯判据
劳斯表
参数稳定：
s3 s2 s1
2T 2T
2 T K 1 2TK
2T
K 1 K
2T 0
2 T 0
(2 T )(K 1) 2TK
2T
0
＋
1
－
s
k
s 1s 5
解： 闭环特征多项式为 s3 6s2 5s k
稳定的参数范围
利用劳斯判据：
s3 1
5
s2 6
k
s1 30 k 6
s0 k
30 k k 0
0
0 k 30
系统稳定的K值范围是：0<k<30
例2 已知开环传递函数为
G
s
H
s
s
K s 1 1 Ts 1
2s
0
T
K
1 2(K 1)
K 1
K 0
s0 K
参数稳定的区域图
K
参数稳定区域：0
T
K
1 2(K 1)
K 1
K T 2 T 2
1
2
T
相对稳定性
绝对稳定性：系统是否稳定
稳定、不稳定、临界稳定
相对稳定性：系统稳定的裕度
确定相对稳定性 对于任意给定的与纵轴平行的直 线，可以判断直线右侧极点数。令
闭环回路：小增益原理
运动方程：输出响应为指数函数
控制系统的响应与稳定性
系统的动态方程
d nc t
d n1c t
an dt n an1 dt n1
a1
dc t
dt
a0c
t
dmr t
d m1r t
bm dt m bm1 dt m
b1
dr t
dt
b0
r
t
输入为零的方程
d nc t
第三章 控制系统时域分析
引言 稳定性 劳斯判据 稳态误差和稳态误差系数 控制系统的动态响应指标 一阶系统的动态响应 二阶系统的动态响应
1 引言
三种特性分析： 稳定性 动态特性
两类研究方法
稳态特性
1. 时域方法：以时间t为函数变量，研究系统响应 随时间变化的方法。
2. 频域方法：以频率为函数变量，研究系统响应
d n1c t
an dt n an1 dt n1
a1
dc t
dt
a0c
t
0
特征方程（拉氏变换）
ansn an1sn1 a1s a0 0
输出函数
k
r
c t Ciesit e jt Aj cos jt Bj sin jt
i 1
j 1
其中 si 为实根， j j j 为复根
ai2, j1 ai1, j1
结论
劳斯表的行数为特征方程的阶次+1，最后两行 每行只有一个元素；
劳斯表首列元素不变号，系统是稳定的（反之 亦然）；
劳斯表首列无零元素，则首列元素符号变化的 次数，等于系统具有正根的数目；
例1 s3 4s2 s 6 0
由必要条件可判定系统不稳定。 由劳斯判据判定：系统不稳定
注意
在以上特殊情况下，劳斯表首列不变号，系统 是临界稳定。
劳斯表首列变号，系统不稳定。
辅助方程的根
例1 闭环特征方程为
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
辅助方程 s4 6s2 8 0 的根为 s1,2 2 j, s3,4 2 j
例2 已知闭环特征方程
辅助方程 2s4 6s2 8 0 的根为 s1,2 1, s3,4 2 j
原方程的根为
s1 2, s2,3 1, s4,5 2 j
劳斯判据的应用
判断系统的稳定性和根的大致分布 确定使系统稳定的参数取值范围
例1 系统如图所示，试确定参数范围
s ansn an1sn1 a1s a0 0
充要条件 劳斯表的首列非零且不变号
劳斯表 sn an an2 an4
sn1 an1 an3 an5 sn2 a2,1 a2,2 a2,3 sn3 a3,1 a3,2 a3,3
其中
s0 an,1
ai, j
1 ai1,1
ai2,1 ai1,1
存在共轭复根 存在符号相反的实根
要用全零行的上一行元素为系数组成辅助方程，对其求导，将所得方 程系数作为全零行的元素
例 s3 s2 16s 16 0
s3 1 16
s2 1
16 辅助方程 s 2 16
首列不变号，系统是临界稳定
稳定的系统：输出是有界的
si
，
为负实数
j
lim c (t) 有限值
t
si ， j是特征方程的根（或根的实部）
稳定性问题演变为研究特征方程根的分布
判断稳定的基本方法
直接求根 劳斯判据 李亚普诺夫方法 相平面分析
劳斯判据
必要条件(特征根中无正根） 特征多项式系数全部同号且不为零
s3 1 1 s2 4 6 s1 2.5 s0 6
正根数目：两个
s3 4s2 s 6 s 1s 2s 3 0
例2 2s4 s3 3s2 5s 10 0
同号，无缺项，稳定？ 由劳斯判据判定：
s4 2 3 10 s3 1 5 0 s2 7 10 s1 6.43 s0 10
s z 1
得到新变量的特征方程，对新方程应用劳斯判据。
即将稳定的判断边界由0平移到 11 0
例 检验特征方程式 s3 8s2 10s 2 0 是否
有根在右半平面，并确定有几个根在 s 1 的
右边。
绝对稳定性
相对稳定性
s3 8s2 10s 2 0 令sz1 z3 5z 2 3z 1 0
系统不稳定，且有两个正根
特殊情况 1
某行第一列元素为零，其余项不为零或不全为零。
用无穷小正数 取代零，继续计算。
例
s5 s4 5s3 5s2 2s 1 0
s5 1
52
s4 1
51
s3 0
1
s
2
5 1
0
1
s1
5 1 2 5 1
0
s0 1
首列变号，系统不稳定
特殊情况 2
任意一行所有元素为零，说明有下列情况出现：
随频率变化的方法。
稳态和动态
系统输出：
ct ct t cs t
ct (t) 为瞬态响应，
lim
t
ct
(t
)
0
cs (t) 为稳态响应，
cs
(t
)
lim
t
c(t
)
2 稳定性
定义1：扰动消失后系统能回到原来的工作状态
ct
定义2：有界的输入产生有界的输出
ct M
产生稳定性问题的原因
s3 1 10
s2 8
2
s1 9.75
,
H
s
1
现要求系统闭环稳定，试确定参数范围，并 画出稳定区域
解：闭环系统的特征方程为：
2Ts 3 2 T s2 k 1s k 0
利用劳斯判据
劳斯表
参数稳定：
s3 s2 s1
2T 2T
2 T K 1 2TK
2T
K 1 K
2T 0
2 T 0
(2 T )(K 1) 2TK
2T
0
＋
1
－
s
k
s 1s 5
解： 闭环特征多项式为 s3 6s2 5s k
稳定的参数范围
利用劳斯判据：
s3 1
5
s2 6
k
s1 30 k 6
s0 k
30 k k 0
0
0 k 30
系统稳定的K值范围是：0<k<30
例2 已知开环传递函数为
G
s
H
s
s
K s 1 1 Ts 1
2s
0
T
K
1 2(K 1)
K 1
K 0
s0 K
参数稳定的区域图
K
参数稳定区域：0
T
K
1 2(K 1)
K 1
K T 2 T 2
1
2
T
相对稳定性
绝对稳定性：系统是否稳定
稳定、不稳定、临界稳定
相对稳定性：系统稳定的裕度
确定相对稳定性 对于任意给定的与纵轴平行的直 线，可以判断直线右侧极点数。令
闭环回路：小增益原理
运动方程：输出响应为指数函数
控制系统的响应与稳定性
系统的动态方程
d nc t
d n1c t
an dt n an1 dt n1
a1
dc t
dt
a0c
t
dmr t
d m1r t
bm dt m bm1 dt m
b1
dr t
dt
b0
r
t
输入为零的方程
d nc t
第三章 控制系统时域分析
引言 稳定性 劳斯判据 稳态误差和稳态误差系数 控制系统的动态响应指标 一阶系统的动态响应 二阶系统的动态响应
1 引言
三种特性分析： 稳定性 动态特性
两类研究方法
稳态特性
1. 时域方法：以时间t为函数变量，研究系统响应 随时间变化的方法。
2. 频域方法：以频率为函数变量，研究系统响应
d n1c t
an dt n an1 dt n1
a1
dc t
dt
a0c
t
0
特征方程（拉氏变换）
ansn an1sn1 a1s a0 0
输出函数
k
r
c t Ciesit e jt Aj cos jt Bj sin jt
i 1
j 1
其中 si 为实根， j j j 为复根
ai2, j1 ai1, j1
结论
劳斯表的行数为特征方程的阶次+1，最后两行 每行只有一个元素；
劳斯表首列元素不变号，系统是稳定的（反之 亦然）；
劳斯表首列无零元素，则首列元素符号变化的 次数，等于系统具有正根的数目；
例1 s3 4s2 s 6 0
由必要条件可判定系统不稳定。 由劳斯判据判定：系统不稳定
注意
在以上特殊情况下，劳斯表首列不变号，系统 是临界稳定。
劳斯表首列变号，系统不稳定。
辅助方程的根
例1 闭环特征方程为
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
辅助方程 s4 6s2 8 0 的根为 s1,2 2 j, s3,4 2 j
例2 已知闭环特征方程