3三次样条插值

a 1x3 b 1x2 cx 1 x3 3x2 3x 1
比较1,x,x2,x3的系数，可得
a 1 1 a 2 , b 1 3 b 2 , c 3。
2）由连续性，应有
ax3 bx2 cx 1 x3 x2
令
可知
q j (x) p j (x) p j1(x) Pm
q(ji) (xj )

p(i) j 1
xj

p(i) j
xj
0,
i 0, 1, , m 1
即，xj是q(x)的 m重零点，从而有
qj (x) cj (x xj )m
进一步可得，
光滑因子
p j (x) p j1(x) q j (x)
j 1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x

a)
m

(x a)m, x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x

a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
类的分段m次多项式。
Cm-1(-∞,+∞)表示(-∞,+∞)上m-1次连续可微函数的集合。
(
x

a)
m
m次截断多项式
a
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
[xn,+∞)上，s(x)是一个次数不超过m的实系数代数多项式； （2）s(x)在对区间(-∞，+∞)上具有直至m-1阶的连续导数，
则称y=s(x)为对应于分割Δ 的m次样条函数，x1,x2,…,xn 称为 样条节点，以x1, x2,…, xn为节点的m次样条函数的全体记为：
Sm(x1, x2, …, xn)
局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值 信息。
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x1 x2 xn ,
若分段函数s(x)满足条件：
（1）在每个区间(-∞，x1]，[xj, xj+1]，(j=1,2,…,n-1)和

pn (x), xn x
p j (x) Pm ( j 0,1,..., n)
即有
p0 (x) p1(x) p j1(x) p j (x)
pn (x) x
x1
x2

xj

xn
由m次样条函数的定义，可知
p(i) j 1
(
x
j
)

p
(i) j
(
x
j
),
j 1, 2, , n i 0,1, , m 1
第5章 插值与逼近
5.3 三次样条插值
多项式Lagrange插值: 整体性强, 光滑性好 (无穷阶连续), 但不一定收敛;
分段Lagrange多项式插值: 局部性好, 光滑性差 (C0连续), 收敛性保证;
分段 Hermite多项式插值: 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 但需要导数值
信息; 样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。

x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3 x2
0 x 1
S(x) ax3 bx2 cx 1 1 x 2
是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a= ,b= ,c= 。
解：1）由 ax3 bx2 cx 1 x3 x2 x 13 , 即
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S(x) 28 25x 9x2 x3 3 x 1
26 19x 3x2 x3 1 x 0
26 19x 3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．

(x 3)3,

2(x 1)3,
m=1时，样条函数是分段线性函数；
m=2时，是1阶连续可微的分段二次多项式；
显然, m次样条函数比一般的m次分段插值多项式的光滑性好。
问题: 如何判断一个分段的多项式函数是样条函数?
设
p0 (x), x x1
s(x)
p1(x),பைடு நூலகம்x1 x x2

p j (x), x j x x j1
n
s(x) pm (x) c j (x x j )m , x (4-31) j 1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
和n个实数c1,c2,…,cn，使得
结论
n
s(x) pm (x) c j (x x j )m , x j 1
Sm (x1,
x2 ,...,
xn )

span
1,
x, ,
xm,(x

x1)m , (x

x2
)
m
,,
(
x

xn )m
m次样条空间的维数：dim Sm (x1, x2,..., xn ) m n 1

j 1, 2, , n
对于满足上述性质的如下形式的分段m次多项式s(x)，
p0 (x), x x1
p1(x), x1 x x2
s(x)

p j (x), x j x x j1

pn (x), xn x
s(x)是m次样条的充要条件应为
p0 (x) a0 a1x am xm ,
即，
x 1
x 1
a b c 1 13 12 2 a b c 3
由一阶导数连续性，应有
ax3 bx2 cx 1 x3 x2
即，
x 1
x 1
3ax2 2bx c 3x2 2x
p1(x) p0 (x) c1(x x1)m ,
p j (x) Pm ( j 0,1,..., n)
p2 (x) p1(x) c2 (x x2 )m p0 (x) c1(x x1)m c2 (x x2 )m ,



n
pn (x) pn1(x) cn (x xn )m p0 (x) c j (x x j )m