方程不等式小结测设
方程和不等式知识点总结
方程和不等式知识点总结方程和不等式是数学中非常重要的概念，涉及到很多实际问题和计算方法。
方程和不等式的研究，使我们能够解决各种各样的数学问题，并应用到生活和工作中。
首先，我们来了解方程的概念。
方程是一个等式，它包括一个或多个未知数和常数。
方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。
方程可以分为一元方程和多元方程。
一元方程只包含一个未知数，例如2x + 3 = 7，解这个方程就是找到使得等式成立的x的值。
多元方程包含多个未知数，例如2x + 3y = 7，解这个方程就是找到一组使得等式成立的x和y的值。
解方程的方法有很多，常用的方法包括代入法、消元法、配方法等等。
方程的解集可以是实数集、整数集、有理数集或者无理数集，具体取决于方程的题目和要求。
除了方程，不等式也是数学中常见的概念。
不等式是一个包含不等号的数学式子，它表示两个数之间的大小关系。
例如x > 3表示x大于3，x < 5表示x小于5。
不等式也可以是一元的或多元的。
解不等式的方法和解方程类似，需要找到满足不等式条件的变量的取值范围。
不等式的解集通常可以表示为一个数轴上的区间，例如x > 3表示x的取值范围为大于3的所有实数。
常用的解不等式的方法有图像法、代数法、试值法等。
方程和不等式在数学中的应用非常广泛。
在代数中，方程和不等式是建立和解决各种数学模型的基础。
在几何中，方程和不等式可以用来描述图形的性质和关系。
在物理中，方程和不等式可以用来描述物体的运动和变化规律。
在经济学中，方程和不等式可以用来描述供求关系和经济模型。
在工程中，方程和不等式可以用来描述电路的电流和电压关系。
方程和不等式的应用无处不在，深刻影响了我们的生活和工作。
总而言之，方程和不等式是数学中重要的概念，对于数学的学习和实际应用都非常重要。
方程和不等式的解法和应用方法多种多样，掌握这些方法可以帮助我们解决各种数学问题和实际应用问题。
在学习方程和不等式的过程中，需要不断积累实践经验和灵活运用各种解法。
初中数学方程与不等式知识点总结
初中数学方程与不等式知识点总结方程和不等式是初中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下这部分的知识点。
一、方程（一）一元一次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。
一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（＄a ＼neq 0$，＄a$，＄b$为常数）。
2、解法：（1）移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
（2）合并同类项：将同类项进行合并，化简方程。
（3）系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
例如：解方程$3x ＋ 5 ＝ 14$移项得：＄3x ＝ 14 5$合并同类项得：＄3x ＝ 9$系数化为 1 得：＄x ＝ 3$（二）二元一次方程组1、定义：由两个含有两个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
2、解法：（1）代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。
例如：解方程组$＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y ＝ 1\end{cases}＄由第一个方程得：＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得：＄5 y y ＝ 1$＄5 2y ＝ 1$＄－2y ＝－4$＄y ＝ 2$将$y ＝ 2$代入$x ＝ 5 y$得：＄x ＝ 3$所以方程组的解为$＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 2\end{cases}＄（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。
不等式-总结-(老师版).doc
不等式-总结-(老师版)【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将lgx+lgy转化成lgxy考虑．解析∵x0，y0，3x+4y=12，∴≤，∴lgx+lgy=lgxy≤lg3．由解得∴当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3．2yx23题型题型3.灵活运用基本不等式求取值范围灵活运用基本不等式求取值范围例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______．优化系列（代数卷）编写：江小谦【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．解法一由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2，ab则ab=a+b+3≥2+3，ab即≥≥≥3，∴ab≥9．解法二a、b为正数，∴ab=a+b+3≥0，333ab两边立方得a3b3≥34aba2b2≥34，∵ab0，∴ab≥9．解法三原条件式变为ab-3=a+b，①∵a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴a2b2-6ab+9≥4ab，即a2b2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab3，∴ab≥9．解法四把a、b∈R+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab≥0，即(ab)2-10ab+9≥0，∴(ab-9)(ab-1)≥0，∵ab-1=a+b+固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为()Cx.当年产量不足80千件时万元);当年产量不小于80千件时万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解题思路】凑出基本不等式的形式.解析:(1)当时当时,1000010000()0.0510005114502501该乡从甲企业获得利润3上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的32.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算底该乡能否达到小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型[解析]（Ⅰ）若以为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为)1(,)32(7（）上交利润最少，利润为960万元.由为第9年,该年可从两个企业获得利润889)32(7底可以达到小康水平.优化系列（代数卷）编写：江小谦训练篇训练篇 1.满足线性约束条件的目标函数的最大值是[答]（C）（A）1.（B）.（C）2.（D）3.32解析：当直线过点B(1,1)时，z 最大值为、若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A）（B）（C）1（D）解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题3、不等式＞的解集为【答案】C（A）＜或＞（B）＜，或＜＜（C）＜＜，或＞（D）＜＜，或＜＜【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C4、若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（A）1(B)2(C)3(D)4 【【解析解析】C】C：本题考查了线性规划的知识。
数学解方程与不等式的方法总结
数学解方程与不等式的方法总结数学是一门既有趣又充满挑战的学科，其中解方程和不等式是数学学习的重要内容。
通过解方程和不等式，我们可以找到问题的解答，并且在数学建模和实际应用中起到重要的作用。
本文将总结数学解方程和不等式的方法，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、一元一次方程的解法在解一元一次方程时，我们可以通过移项和化简的方式将方程转化为基本形式：ax + b = 0。
然后，根据方程的系数a和b的值的不同情况，采用以下几种解法：1. 直接求解：当系数a为非零实数时，方程的解即为x = -b/a。
2. 分类讨论：当系数a为0时，方程变为bx + c = 0，此时根据常数b和c的值的不同进行分类讨论，并求解方程。
3. 变量迁移法：当方程出现分式、开方等复杂形式时，我们可以通过变量的迁移，将方程化简为一元一次方程，从而求解。
二、一元二次方程的解法一元二次方程解法相对复杂一些，可以通过以下几种方法求解：1. 因式分解法：当方程可以因式分解时，我们可以通过对方程进行因式分解，找到方程的根。
2. 公式法：一元二次方程有求根公式，即x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)。
通过代入系数a、b、c的值，计算根的近似值。
3. 完全平方法：当方程能够表示为完全平方时，我们可以通过完全平方公式进行求解。
4. 图像法：借助二次函数的图像，我们可以通过观察方程和函数图像的交点来求解方程。
三、不等式的解法不等式是比较两个数大小关系的数学表达式。
对于不等式的解法，有以下几种方法：1. 图像法：将不等式表示为函数图像，通过观察图像的区域来得到解的范围。
2. 分类讨论法：将不等式中的变量与常数进行分类讨论，根据不同情况确定解的范围。
3. 同向消元法：对不等式两边同时加上或减去相同的数，保持不等式的方向不变，从而逐步消去变量。
4. 化简法：对不等式进行化简，将不等式转化为一般形式，并通过变量的取值范围判断解的范围。
不等式解法的精辟总结
不等式解法一、一元二次不等式解法1、 ax 2+bx+c>0 (或ax 2+bx+c<0) (a>0) 形式解题步骤：① 转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0，并求此方程的解；② 根据方程ax 2+bx+c=0解的情况，结合f(x)= ax 2+bx+c 的图像写出解集；③ x 2+bx+c>0 (a<0) 的情况首先转化为-ax 2-bx-c<0，再利用上表进行解答。
2、 经典练习1) x 2-4x-21≤0 2) 3x 2+x-14>0 3) -5x 2+3x+14>04) 06222>-+x x 5) 033442<-+-x x 6) 12x 2-8x-15≤0二、高次不等式1、高中阶段只解决比较简单的高次不等式，举例如下：例题1 x 3-6x 2+11x-6>0解： ① 试根，令x 3-6x 2+11x-6=0，将1带入成立，则此三次式可分解出因式（x-1）② 多项式除法将x 3-6x 2+11x-6分解为（x-1）（x 2-5x+6），再将x 2-5x+6分解为 （x-2）(x-3)， 最终分解为：（x-1）（x-2）(x-3)=0，③④ 写出解集，x 3-6x 2+11x-6>0的解集为：{x ∣1< x<2或x>3}.(注：写成集合) 方法归纳如下：① 试根，一般取[-3,3]之间的整数② 用多项式除法分解因式将其分解为（x-a ）（x-b ）(x-c)……=0的形式③ 用数轴标根法，在数轴上依次标出所有根④ 写出解集，> 0取x 轴上方部分，< 0取x 轴下方部分2、经典练习：1) x 3-3x 2+2x ≤0 2) x 3-x 2-x+1>0 (二重根情况的处理)。
方程与不等式的解法例题和知识点总结
方程与不等式的解法例题和知识点总结在数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解方程与不等式的解法，并对相关知识点进行总结。
一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的目的就是找出未知数的值，使得等式成立。
1、一元一次方程形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元一次方程。
例：解方程 3x ＋ 5 ＝ 14解：首先，将常数项移到等号右边：3x ＝ 14 5，即 3x ＝ 9然后，将系数化为 1：x ＝ 9 ÷ 3，解得 x ＝ 3知识点总结：解一元一次方程的一般步骤为：去分母（若有）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
2、二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
例：解方程组x ＋ y ＝ 5 ①2x y ＝ 1 ②解：①＋②得：3x ＝ 6，解得 x ＝ 2将 x ＝ 2 代入①得：2 ＋ y ＝ 5，解得 y ＝ 3所以方程组的解为 x ＝ 2，y ＝ 3知识点总结：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。
3、一元二次方程形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元二次方程。
例：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0解：因式分解得：（x 1)（x 3) ＝ 0所以 x 1 ＝ 0 或 x 3 ＝ 0解得 x₁＝ 1，x₂＝ 3知识点总结：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
求根公式为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。
二、不等式的解法不等式是用不等号表示两个数或表达式之间关系的式子。
1、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。
例：解不等式 2x 1 ＜ 5解：移项得：2x ＜ 5 ＋ 1，即 2x ＜ 6系数化为 1 得：x ＜ 3知识点总结：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
初三数学学习方法：不等式小结名师指点
初三数学学习方法：不等式小结名师指点
初三数学学习方法：不等式小结
1、不等式与方程的概念和性质，解不等式与解方程的方法既有许多相同之处，但又有根本区别.例如，含有未知数的等式叫方程，而含有未知数的不等式仍然叫不等式。
又例如，在解方程的过程中，如遇方程两边同乘以(或除以)一个不为零的实数时，不必考虑这个数的符号.但是在解不等式时，如遇这种情况，就必须考虑这个数的符号(若这个数为正，不等号的方向不变，若这个数为负，不等号的方向要改变).此外，方程的解一般是一个或几个确定的数位，而不等式的解集是一个确定的数值范围。
2、不等式的签本性质与不等式的同解性质是有区别的(当然，同解性质的原始依据笼不等式的三个基本性质)一般说来，不等式的。
初中数学方程与不等式知识点总结
初中数学方程与不等式知识点总结方程与不等式是初中数学中重要的内容，是学习数学的基础知识之一。
本文将总结方程与不等式的基本概念、解题方法和常见应用，以帮助初中生更好地掌握这些知识点。
一、方程的基本概念与解法1. 方程的定义：方程是由等号连接的两个代数式构成的等式。
方程中未知量的值称为方程的解。
2. 一元一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数且a ≠ 0。
一元一次方程只有一个未知数。
3. 解一元一次方程的步骤：a) 将方程化简为形式ax = b；b) 通过等式两边的运算，将未知数的系数系数化为1；c) 通过等式两边的运算，求出未知数的值。
4. 一元二次方程：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数且a ≠ 0。
一元二次方程有一个未知数的平方项。
5. 解一元二次方程的步骤：a) 通过因式分解、配方法或求根公式将方程简化为形式(x - p)(x - q) = 0；b) 令(x - p)(x - q) = 0，解得x = p或x = q；c) 通过解方程求得的解，验证原方程的等式是否成立。
二、不等式的基本概念与解法1. 不等式的定义：不等号连接的两个代数式构成的式子。
不等式的解是使不等式成立的值或数值范围。
2. 一元一次不等式：形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b是已知数且a ≠ 0。
3. 解一元一次不等式的步骤：a) 将不等式化简为形式ax > b或ax < b；b) 通过对不等式两边的运算，得到未知数的范围。
4. 一元二次不等式：形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知数且a ≠ 0。
5. 解一元二次不等式的步骤：a) 通过因式分解、配方法或求根公式将不等式简化为形式(ax - p)(ax - q) > 0或(ax - p)(ax - q) < 0；b) 列出不等式(ax - p)(ax - q) > 0或(ax - p)(ax - q) < 0的解集；c) 通过解不等式求得的解集，验证原不等式是否成立。
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二元一次方程组及不等式检测题
（总分120分 时间90分钟）
姓名______________ 得分________
一、选择题（每小题2分，共28分）
1、下列方程：（1）95=-yz x ；（2）876=+
y
x ；（3）)1(4)12(3-=+x y 其中属于二元一次方程的是（ ）
A ．（1）（2）
B ．（2）（3）
C ．（1）（3）
D （1）．
2、给出下列方程组（1）⎩⎨⎧+==-7523z y x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0412113y x y x （3）⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-53312x y y x 其中属于二元一次方程组的是（ ）
A ．（2）（3）
B ．（1）（3）
C ．（1）（2）
D ．（2）
3、不等式组1020
x x +≥⎧⎨-<⎩的整数解是（ ）
A ．-1
B ．-1，1，2
C ．-1，0，1
D ．0，1，2
4、能使方程53-=-y x 成立的一组数值是（ ）
A ．⎩⎨⎧=-=81y x
B ．⎩⎨⎧==81y x
C ．⎩⎨⎧-==81y x
D ．⎩⎨⎧-=-=8
1y x 5、把不等式组2010x x -≥⎧⎨+<⎩
的解在数轴上表示出来，正确的是（ ）
6、下列不等式总成立的是（ ）
A ．4a>2a
B ．a 2>0
C ．a 2>a
D ．-12
a 2≤0 7、方程组⎩⎨⎧-=-=+1
345y x y x 的解是（ ）
A ．⎩⎨⎧==23y x
B ．⎩⎨⎧==14y x
C ．⎩⎨⎧==41y x
D ．⎩
⎨⎧==32y x 8、已知25.0z y x
b a b a -+-与1233
2-a x z y 是同类项，则建立关于b a ,的二元一次方程组正确的是（ ）
A ．⎩⎨⎧=-=+23b a b a
B ．⎩⎨⎧=-=+213a b a
C ．⎩⎨⎧=-=-212a b a
D ．⎩⎨⎧=--=+3
1b a a b a 9、关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨
-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，
则k 的值是（ ）
A 、34k =-
B 、34k =
C 、43k =
D 、43
k =- 10、若0)2(32=++-y x ，则2)(y x +的值是（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．7
11、已知方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax ，的解为⎩
⎨⎧==12y x ，则b a 32-的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．－6 D ．－4
12、小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，设1元的贺卡为x 张，2元的贺卡为y 张，那么x 与y 所适合的方程组是（ ）
A ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+10218y x y x
B ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+10
28102y x y x C ．⎩⎨⎧=+=+8210y x y x D ．⎩⎨⎧=+=+1028y x y x 13、已知A ∠，B ∠互余，A ∠比B ∠大300，设A ∠，B ∠的度数分别为x 和y ，下列方程组符合题意的是（ ）
A ．⎩⎨⎧-==+30180y x y x
B ．⎩
⎨⎧+==+30180y x y x C ．⎩⎨⎧+==+3090y x y x D ．⎩⎨⎧-==+3090y x y x 14、已知方程组214211mx y n x x ny m y +==⎧⎧⎨
⎨-=-=-⎩⎩的解是，那么，m ，n 的值是（ ） A ．1233...1121m m m m B C D n n n n ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎩⎩
二、填空题（每小题2分，共26分）
1、在方程235=+y x 中，用含有x 的代数式表示y =_______________，用含有y 的代数式表示x =___________
2、若方程1132123=+--b a y x 是二元一次方程，则________________,==b a .
3、若a>b ，则ac 2_______bc 2．
4、若⎩⎨⎧=-=1
1y x 是方程02195=-+k y x 的解，则k =___________ 5、若a<b ，那么-2a+9_____-2b+9（填“>”“<”或“＝”）．
6、若方程组的解为⎩⎨⎧==2
4y x ，则写出这个方程组为______________
7、在等式b kx y +=中，当2=x 时，1=y ；当1=x 时，1-=y 则_______,==b k
8、如图所示，数轴上所表示的不等式组的解集分别是：
（1）_________ (2)__________ (3)___________ (4)___________
9、当k________时，关于x 的方程2x-3=3k 的解为正数.
10、若关于x ，y 的方程ax －3y ＝2有一个解就是⎩
⎨⎧=+=+021y x y x 的解，则a 的值是 。
11、一个长方形的周长为40 cm ，长比宽多5cm ，设长为x cm ，宽为y cm ，可列二元一次方程组：____________
12、一个长方形的一边为x 米，另一边为50米，如果它的周长不小于280米，那么x 应满足的不等式为 。
13、某单位购买甲乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，且购买乙种水的桶数是甲种水桶数的75%，设购买甲种水x 桶，购买乙种水y 桶，则所列方程组是_______________
三、解答题（共66分）
1、解二元一次方程组(16分、每题4分)
（1）⎩⎨
⎧=+-=722y x x y （2）⎩⎨⎧=+=-3
1b a b a
（3）⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+1
22123y x y x
2、解下列不等式和不等式组，并把结果表示到数轴上（16分、每题4分）
（1） )21(3)35(2x x x --≤+ （2）.
04
15212<---x x
（3）⎪⎩
⎪⎨⎧-≥-+<+51221)1(345x x x x （4）.⎩⎨⎧-<-<-2235x x
3、已知x ，y 满足方程组⎩⎨
⎧-=+=+1
353y x y x ，求代数式y x -的值（8分）
4、已知方程组⎩
⎨⎧=+-=+2212y x m y x 的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围（8分）
5、某单位举行茶话会，如果每桌12人，还有一桌空着；如果每桌10人，则还差两个桌子，问共有多少人，准备了多少桌子？（9分）
6、某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，，问中、小型汽车各有多少辆？（9分）。