第六章力法
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第六章力法结构力学
（变形协调条件）。
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
X1 =><RB
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
l，EI
ql2/8
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
M1
l d = 11
4）刚架
5）组合结构
四.超静定结构的计算方法 1.力法----以多余约束力作为基本未知量。
2.位移法----以结点位移作为基本未知量. 3.混合法----以结点位移和多余约束力作为
基本未知量.
4.力矩分配法----近似计算方法. 5.矩阵位移法----结构矩阵分析法之一.
五、 超静定次数的确定
FNiFNp ds = EA
FNi FNpl EA
d ii =
M
2 i
ds
=
yc
EI
EI
刚架和梁 d ik =
M iM k ds = yc
EI
EI
D ip =
M iM p ds = yc
EI
EI
组合结构
dii =
FN2i ds EA
= X1=－Δ1P / δ11 3ql/8
ql2/8
=或 - E1I M 按 13 q= 2l 2M l： X 31 4l =M - 8P qEl 4I叠加M图↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3ql/8
d d 二、iqi= 力法↓M ↓E ↓↓的i↓2 ↓↓d ↓典I 型s 0 ,方i程k =M ↓↓E ↓i↓M ↓↓↓k ↓ d IB = 0 0 0 s,D iP =M δE i1M 1 Pd I = δ210 0 0 s
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
X1 =><RB
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
l，EI
ql2/8
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
M1
l d = 11
4）刚架
5）组合结构
四.超静定结构的计算方法 1.力法----以多余约束力作为基本未知量。
2.位移法----以结点位移作为基本未知量. 3.混合法----以结点位移和多余约束力作为
基本未知量.
4.力矩分配法----近似计算方法. 5.矩阵位移法----结构矩阵分析法之一.
五、 超静定次数的确定
FNiFNp ds = EA
FNi FNpl EA
d ii =
M
2 i
ds
=
yc
EI
EI
刚架和梁 d ik =
M iM k ds = yc
EI
EI
D ip =
M iM p ds = yc
EI
EI
组合结构
dii =
FN2i ds EA
= X1=－Δ1P / δ11 3ql/8
ql2/8
=或 - E1I M 按 13 q= 2l 2M l： X 31 4l =M - 8P qEl 4I叠加M图↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3ql/8
d d 二、iqi= 力法↓M ↓E ↓↓的i↓2 ↓↓d ↓典I 型s 0 ,方i程k =M ↓↓E ↓i↓M ↓↓↓k ↓ d IB = 0 0 0 s,D iP =M δE i1M 1 Pd I = δ210 0 0 s
第六章 力法
2 P 2
+P/2
P 3 0 +0.414P
N03=0.707×0.172P -0.707Ｐ =－0.586P
FN
+0.172P 1
4
对称 2
P
力 法
§6-6
对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作 量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型 方程。利用结构的对称性可使计算得到简化。简化的原则是使 尽可能多的副系数、自由项等于零。 对称结构：指结构的几何形状、约束、刚度关于结构本身对称轴 对称。 例如：
M 2图
将以上各系数代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得
a
C 3/88×Pa
a
B
P
Pa 2
MP图 P
A
13/88×Pa
15/88×Pa
M图
最后内力图的绘制用叠加法 解联立方程得 例如 MAC= a 4P + a( 3P ) 88 11
.
多余未知力求得后其余反力、内 力的计算便是静定问题。
Pa 2
A EI 原结构 L B
n=1
2 确定(选择)基本体系。 3 写出变形(位移)条件: (a)
根据叠加原理，式（a） 可写成
q
A
基本体系
↑X
B
1
↑
q
11
X1
(b)
1P
(b) 4 建立力法基本方程 将 ∆11=11x1 代入(b)得
(6-1) A EI
q
L
力 法
B
L
qL 2
qL 8
2
此方程便为一次超静定结 构的力法方程。 5 计算系数和常数项 = 1 L 2L EI 2 3
05结构力学第六章力法
2
n
.......... .......... .......... ......
n1
n2
.......... .
nn
系数行列式之值>0
主系数 ii 0
0
副系数
ij
0
0
5)最后内力 M M 1 X 1 M 2 X 2 ..... ..M .. n X .n .M .P .
1PFPl3/2EI
X1=1 FPl
FP
X13FP/2()
MM 1X1M P
l M1
FPl
MP
3 2
FPl
M
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构静力分析通过转 化为静定结构获得了解决。
X1 3Fp/8()
MM 1X1M P
FP
EI
EI
l
5 8
F
pl
M
l
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
FP EI
EI
l
l
FP
解: 1 0
X1
11 X11P0
11l3/3EI
力法方程： 11 X11P?
11X11P
X1 2a EA
2. 组合结构
结构力学(龙驭球)第6章_力法
5
二、超静定次数
从几何构造看
超静定次数 = 多余约束的个数
从静力分析看
超静定次数 = 多余约束力的个数
= 未知力个数 – 平衡方程的个数
2次超静定
6
4次超静定
3次超静定
6次超静定
7
判断超静定次数时，应注意: （1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。 （2）撤去一铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。 （3）撤去一固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。 （4）在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束。 不要把原结构拆成一个几何可变体系。即不能去掉必要约束 要把全部多余约束都拆除
FN P 图（kN）
33
（4）解方程
X 1 12.1kN
（5）作FN图
FN FN1 X1 FNP
34
例6-4 求图示超静定组合结构的内力图。 AD杆：EI=1.40×104kN.m2； 解 （1）选取基本体系 EA=1.99×106kN； AC、CD杆：EA=2.56×105kN； BC杆：EA=2.02×105kN
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
19
力法的基本体系不是唯一的
√
√
×
!! 瞬变体系不能 作为力法的基本 体系
20
力法基本方程？
21
n 次超静定结构的力法典型方程：
11 X 1 12 X 2 21 X 1 22 X 2 n1 X 1 n 2 X 2
2
§6-1 超静定结构和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构与静定结构的区别：
几何特征: 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 静定结构是无多余约束的几何不变体系 静力特征: 仅由静力平衡条件无法全部求解超静定结构 的内力和反力 静定结构的内力和反力可以全部求解 超静定结构的内力计算—— 不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑 变形协调条件
二、超静定次数
从几何构造看
超静定次数 = 多余约束的个数
从静力分析看
超静定次数 = 多余约束力的个数
= 未知力个数 – 平衡方程的个数
2次超静定
6
4次超静定
3次超静定
6次超静定
7
判断超静定次数时，应注意: （1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。 （2）撤去一铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。 （3）撤去一固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。 （4）在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束。 不要把原结构拆成一个几何可变体系。即不能去掉必要约束 要把全部多余约束都拆除
FN P 图（kN）
33
（4）解方程
X 1 12.1kN
（5）作FN图
FN FN1 X1 FNP
34
例6-4 求图示超静定组合结构的内力图。 AD杆：EI=1.40×104kN.m2； 解 （1）选取基本体系 EA=1.99×106kN； AC、CD杆：EA=2.56×105kN； BC杆：EA=2.02×105kN
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
19
力法的基本体系不是唯一的
√
√
×
!! 瞬变体系不能 作为力法的基本 体系
20
力法基本方程？
21
n 次超静定结构的力法典型方程：
11 X 1 12 X 2 21 X 1 22 X 2 n1 X 1 n 2 X 2
2
§6-1 超静定结构和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构与静定结构的区别：
几何特征: 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 静定结构是无多余约束的几何不变体系 静力特征: 仅由静力平衡条件无法全部求解超静定结构 的内力和反力 静定结构的内力和反力可以全部求解 超静定结构的内力计算—— 不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑 变形协调条件
力法 PPT课件
F
6、叠加法内力并作内力图
M M 1 X1 M F FQ F Q1 X 1 FQ F
X 1 =1
M1
Fl 2
FN F N1 X1 FN F
11 16 F
MF
3 l 16 Fl M Fl 4
FQ 5 16 F
M AB FNAB A FQ AB
F B X1
作FQ、 FN图
杆端弯矩 作M图 M AB M 1AB X1 M FAB 5 Fl 3 Fl Fl （上拉） 16 2 16 M BA M 1BA X1 M FBA 0
3次超静定
6次超静定
4次超静定
15次超静定
10次超静定
7次超静定
§6-2 力法基本原理 一、力法基本思路 根据已掌握的静定结构的内力和位移计算知识，将静定结构转 化为静定结构来求解，先求出多余未知力。 二、力法基本原理
F A EI C l B
F
F
A
C
B X1
A
B X1
静定结构
原超定结构
基本体系（基本结构）
基本体系 （基本结构）
F
变形协调条件 X1
1 11 1F 0
11：X1引起X1方向的位移 1F：F引起X1方向的位移 11：X1 =1引起X1方向的位移
X 1 =1
M1
Fl 2
MF
l
3、典型方程
基本未知量
11 X1 1F 0
X1
1F
11＝11 X1
自由项
（4）超静定拱； （5）超静定组合结构等。
三、超静定次数 超静定次数＝多余约束的个数 超静定次数确定方法：解除约束法 解除超静定结构中的多余约束，使之成为静定结构。解除约束 的个数即为超静定的次数 截断一根连杆＝解除1个约束；（支座连杆） 解除一个单铰＝解除2个约束；（固定铰支座） 截断一受弯杆＝解除3个约束；（刚结点、固定端） 单刚变为单铰＝解除1个约束。
6、叠加法内力并作内力图
M M 1 X1 M F FQ F Q1 X 1 FQ F
X 1 =1
M1
Fl 2
FN F N1 X1 FN F
11 16 F
MF
3 l 16 Fl M Fl 4
FQ 5 16 F
M AB FNAB A FQ AB
F B X1
作FQ、 FN图
杆端弯矩 作M图 M AB M 1AB X1 M FAB 5 Fl 3 Fl Fl （上拉） 16 2 16 M BA M 1BA X1 M FBA 0
3次超静定
6次超静定
4次超静定
15次超静定
10次超静定
7次超静定
§6-2 力法基本原理 一、力法基本思路 根据已掌握的静定结构的内力和位移计算知识，将静定结构转 化为静定结构来求解，先求出多余未知力。 二、力法基本原理
F A EI C l B
F
F
A
C
B X1
A
B X1
静定结构
原超定结构
基本体系（基本结构）
基本体系 （基本结构）
F
变形协调条件 X1
1 11 1F 0
11：X1引起X1方向的位移 1F：F引起X1方向的位移 11：X1 =1引起X1方向的位移
X 1 =1
M1
Fl 2
MF
l
3、典型方程
基本未知量
11 X1 1F 0
X1
1F
11＝11 X1
自由项
（4）超静定拱； （5）超静定组合结构等。
三、超静定次数 超静定次数＝多余约束的个数 超静定次数确定方法：解除约束法 解除超静定结构中的多余约束，使之成为静定结构。解除约束 的个数即为超静定的次数 截断一根连杆＝解除1个约束；（支座连杆） 解除一个单铰＝解除2个约束；（固定铰支座） 截断一受弯杆＝解除3个约束；（刚结点、固定端） 单刚变为单铰＝解除1个约束。
【毕业论文】力法的基本原理
1第六章力法2一. 力法的基本未知量和基本体系力法计算的基本思路：把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题，即利用已经熟悉的静定结构的计算方法来达到计算超静定结构的目的。
6-1 力法的基本原理3力法思路基本结构待解的未知问题qEI EIqEIX 1基本体系基本未知量01=Δ基本方程41111=+=P ΔΔΔ11111X Δδ=01111=+⋅P ΔX δ力法方程力法方程P 1Δ其中δ11和Δ1P可图乘法获得；由此确定约束力X 1，通过叠加求内力；超静定问题变成静定问题。
q1X Δ11=X 11δqEIqEIX 11=Δ5)力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。
)将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基本结构。
)根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。
在变形条件成立条件下，基本体系的内力和位移与原结构相同。
1111=+⋅P ΔX δ6基本结构X 1例：基本体系PV ΔB 1==原结构已知的X 1方向的位移原结构70V ΔB 1==基本结构在X 1和外荷载P 分别作用下的变形：X 111ΔPP1Δ原结构已知的X 1方向的位移基本结构在X 1方向的位移1P 11Δ+Δ1P 11Δ+Δ0=11111X Δδ=11=X 11δ01111=Δ+P X δ力法基本方程的物理意义：基本结构在X 1和外荷载P 共同作用下，在B 点的竖向位移之和＝原结构已知的在B 点的竖向位移（等于零）。
8一个超静定结构可选的力法基本结构往往不只一种。
X 1表示原结构支座B 截面的弯矩。
基本体系二基本体系二选取：原结构PPX 1基本结构Δ1=原结构在B 点左右两截面的相对转角等于零9基本结构:PX 11PΔ11ΔB11111X δ=Δ0ΔX δ=+1P 111基本体系在X 1 和外荷载P 共同作用下，在B 点左右两截面的相对转角之和＝原结构已知的在B 点左右两截面的相对转角（等于零）1P11Δ+Δ0=10（1）（2）（1）基本结构的图和图好绘。
结构力学——力法
X1 = 9ql / 20, X 2 = 3ql / 40
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
结构力学第六章力法
弯矩图可按悬臂梁画出
M X1 M 1 M P
§6-4 力法计算超静定桁架和组合结构
一 超静定桁架
F Ni l ii EA F N i F N jl ij EA F N i FN P l iP EA
2
桁架各杆只产生轴力,系数
典型方程: 11 X 1 1P 0
9 17 FP , X 2 FP 80 40
叠加原理求弯矩： M X 1 M 1 X 2 M 2 M P
3FPL/40 3FPL/40
FP 9FP/80
23FP/40 FNDC
FQDC 3FPL/80 FQBD
FQCD FNDA
FQBD=-9FP/80
FNBD=-23FP/40
FQDC=3FP/40+FP/2=23FP/40
2 P 3P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 33 3 32 2
11 X 1 1P 0 X 2 X 3 0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0 例: FP FP/2 FP/2 FP/2
1）一般任意荷载作用下
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X 0 33 3 3P 32 2
M FN
超静定结构的内力分布与梁式杆和二力杆的相对刚度有关。 链杆EA大，M图接近与连续梁，链杆EA小，M图接近与简支梁。 例: 中间支杆的刚度系数为k,求结点B的竖向位移？EI=C
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=
(b)
11 x1 + 1P
0
(c)
力法基本方程，是基本结构上多余力处 沿多余力方向的位移与原结构一致的条 件。即位移条件。
力法的基本原理
q 1 l 原结构 基本结构 x1 1P x1 q q 1X
位移条件： 1P+ 11=0 因为
11= 11X1
11
x1=1
所以 11X1 +1P =0
3)将系数和自由项代入力法方程，并化简：
1 1 F X1 X 2 P 0 3 2 4 1 7 53FP X1 X
17 X2 FP 40
4)计算杆端弯矩，并作弯矩图
M AB F L 3F L 9 17 FP L FP L P P 80 40 2 80
例3
使用力法计算图(a)所示超静定梁，并作 弯矩图。
B A L
(a)
解：
1)判定梁的超静定次数，并确定相应的力 法基本体系。见图(b)。
x1 A x2 B
(b)基本体系
2)写力法方程。
11 X1 12 X 2 1 p 0
21 X1 22 X 2 2 p 0
A
1 x=1
B
12 21
1 1 1 L ( 1 L 1) EI 2 3 6 EI
A
1 x=1 B
1P 2 P
1 2 qL2 1 qL3 ( L 1) EI 3 8 2 24EI
A
B
(4)
将所得系数和自由项代入力法方程(a)， 并求解多余力。
11 12 1P 1 21 22 2 P 2
(a)
引入位移影响系数,并代入位移条件， 式(a)写成：
11 X1 12 X 2 1 p 0
21 X1 22 X 2 2 p 0
(b)
式(b)是两次超静定结构在荷载作 用下的力法方程。
22
1 1 2 1 7 L3 L L L L L L 2EI 2 3 EI 6EI
B
C x1=1 B
L
L
C x 2=1
B
C
A
L
A
A
(b1)
12 21
(b2)
1P
(b3)
FP L3 1 FP L L L EI 2 2 4EI
n次超静定结构的力法方程 ——力法典型方程
由两次超静定结构的力法方程推广，得：
11 X 1 12 X 2 1i X i 1n xn 1P 0 21 X 1 22 X 2 2i X i 2n xn 2 P 0
(a)
3)求力法方程中的系数和自由项。
（1） 作基本结构分别在各多余力及荷载作用 下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。
1 x=1
A
B
(c)
1 x=1 B
A
(d)
A B
(e)
11 X1 12 X 2 1 p 0
(2)
图乘求系数和自由项。
21
X1 22 X 2 2 p 0
2、 多次超静定结构的力法方程
B
A
(a)
取原结构的力法基本体系如图(b)
x2 A B x1
(b)
1 0
2 0
x1 方向的位移条件
x2 方向的位移条件
分别考虑基本结构在各个多余力、 荷载单独作用下的位移情况，见图 (c)、(d)、(e)所示。
A
B x2
(c)
A
B
(d)
x1
A
B
(e) 将各因素单独作用基本结构的位移 叠加，得：
L L qL3 X1 X2 0 3EI 6 EI 24EI L L qL3 X1 X2 0 6 EI 3EI 24EI
简化为：
1 qL2 X1 X 2 0 2 8 1 qL2 X1 X 2 0 2 8
(b)
解方程，得：
qL X1 12
2
qL2 X2 12
1 L L3 L L EI 2 2EI
2P
53FP L3 1 FP L 1 1 FP L L 2L 1 L L L 2 2 2 3 3 2 96EI EI 2 2EI
x2
x2
x1
x2
x3
(b1)
(b2)
练习
（图1）
（图2）
§6-2
力法的基本概念
基本未知量
基本思路
基本体系 基本方程
力法的解题步骤
1、基本思路
q
A
B
A
多一个未 知支反力 X1q
B
x1
1）力法的基本未知量
力法的基本未知量是超静定结构多余 约束中的多余力
2）力法的基本体系
q
A B A
q
B
x 1
(a)原结构 图6-5
（1） 切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相 当于去掉一个约束；
（2）切开一个单铰或去掉一个固定铰 支座，相当于去掉两个约束；
（3）切断一根连续杆或去掉一个固定
支座，相当于去掉三个约束；
（4） 将固定端换成固定铰支座或在一根 连续杆上加一个单铰，相当于去掉 三个约束。
用拆除约束法判定结构的超静定次数， 应注意：
第二部分 超静定结构
第6章
• • • • • • •
力法
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数 §6-2 力法的基本概念 §6-3 超静定刚架和排架 §6-4 超静定桁架和组合结构 §6-5 对称结构的计算 §6-6 两铰拱 §6-8支座移动和温度改变时的计算
§6-1
超静定结构的组成 和超静定次数
M M1 X1 M P
M图
绘出弯矩图， 如图所示。
1i 2i ii ni
ij
1n 2n in nn
X1 X 2 X i + X n
1 P 2P iP = nP
超静定结构的类型 （1）超静定梁 （2）超静定刚架 （3）超静定桁架 （4）超静定拱 （5）超静定组合结构
超静定次数的确定
拆除约束法。即逐一拆除结构的约束，直到 其成为静定结构（力法基本结构），则拆除 的约束就是多余约束，其数量就是力法的基 本未知量数。 拆除约束法常要用到约束的个数，现归纳如 下：
（1） 结构上的多余约束一定要拆干净， 即最后应是一个无多余约束的几何 不变体系； （2） 要避免将必要约束拆掉，即最后不应 是几何可变体系或几何瞬变体系。
例6-1 试确定图(a)、(b)所示结构的超静定 次数。 x
2
x1
x2
x1 x3
x3 x2 x1
x3
(a)
(a1)
(a2)
x2
(b)
x1
x1
2 2
M BA M 1BA x1 M 2 BA x2 M PBA
M BA qL qL 0 x1 1 0 12 12
2 2
（下侧受拉）
说明：
(1)超静定结构的内力只与杆件刚度EI的 相对值有关，而与其绝对值无关。 (2)作最后弯矩图的叠加公式：
(3)力法解题一般步骤：（针对梁和刚架， 并仅在荷载作用下）
• 超静定结构的组成
• 超静定次数
超静定结构的组成
静定结构:结构的反力和各截 面的内力都可以用静力平衡 条件唯一确定。 超静定结构:结构的反力和各 截面的内力不能完全由静力 平衡条件加以确定。 从几何组成分析中可知：静定结构和超静定结构 都是几何不变体体系，而静定结构没有多余的约 束，超静定结构存在多余约束.
(b)基本体系
3）力法的基本方程
q
A B
A
q
B x 1
(a)原结构
(b)基本体系
该条件可表示为：
1 0
(a)
利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、 多余力单独作用的两种情况，分别分析后在 叠加。分解后，见图(c)、(d)所示
q
B A
A
B
(c)
x1
(d)
11 与 1P 叠加 得： 11 + 1P = 1 0 即： 11+ 1P = 0 使 11 = 11 x1 式(b)改写成：
qL2 8
A B
(e)
4）力法基本未知量的确定
确定力法基本未知量，即要求确定多余 力的数量，同时也要求确定相应的基本 体系。
一个超静定结构的多余约束数是一定的， 但是基本体系却不是唯一的，如下图。
A B
A C
B x 1
C
x 2
(a)原结构
2 2 x xx 1 A B
(b)基本结构1
C
(c)基本结构2
1`
确定结构的力法基本未知量，并绘出 相应的力法基本体系；
2` 3` 4` 5`
作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷 载作用下的弯矩图； 求力法方程中的系数和自由项；
将系数和自由项代入力法方程，求解多 余未知力； 叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构 的弯矩图； 由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图 作结构的轴力图；
（右侧受拉）
M BC M BA
FP L 3FP L 17 FP L （左、上侧受拉） 40 2 40
B
C
A
(d)M图
2、超静定排架
例2 用力法计算，并作出图示结构 的M图。EI=常数。
(b)
11 x1 + 1P
0
(c)
力法基本方程，是基本结构上多余力处 沿多余力方向的位移与原结构一致的条 件。即位移条件。
力法的基本原理
q 1 l 原结构 基本结构 x1 1P x1 q q 1X
位移条件： 1P+ 11=0 因为
11= 11X1
11
x1=1
所以 11X1 +1P =0
3)将系数和自由项代入力法方程，并化简：
1 1 F X1 X 2 P 0 3 2 4 1 7 53FP X1 X
17 X2 FP 40
4)计算杆端弯矩，并作弯矩图
M AB F L 3F L 9 17 FP L FP L P P 80 40 2 80
例3
使用力法计算图(a)所示超静定梁，并作 弯矩图。
B A L
(a)
解：
1)判定梁的超静定次数，并确定相应的力 法基本体系。见图(b)。
x1 A x2 B
(b)基本体系
2)写力法方程。
11 X1 12 X 2 1 p 0
21 X1 22 X 2 2 p 0
A
1 x=1
B
12 21
1 1 1 L ( 1 L 1) EI 2 3 6 EI
A
1 x=1 B
1P 2 P
1 2 qL2 1 qL3 ( L 1) EI 3 8 2 24EI
A
B
(4)
将所得系数和自由项代入力法方程(a)， 并求解多余力。
11 12 1P 1 21 22 2 P 2
(a)
引入位移影响系数,并代入位移条件， 式(a)写成：
11 X1 12 X 2 1 p 0
21 X1 22 X 2 2 p 0
(b)
式(b)是两次超静定结构在荷载作 用下的力法方程。
22
1 1 2 1 7 L3 L L L L L L 2EI 2 3 EI 6EI
B
C x1=1 B
L
L
C x 2=1
B
C
A
L
A
A
(b1)
12 21
(b2)
1P
(b3)
FP L3 1 FP L L L EI 2 2 4EI
n次超静定结构的力法方程 ——力法典型方程
由两次超静定结构的力法方程推广，得：
11 X 1 12 X 2 1i X i 1n xn 1P 0 21 X 1 22 X 2 2i X i 2n xn 2 P 0
(a)
3)求力法方程中的系数和自由项。
（1） 作基本结构分别在各多余力及荷载作用 下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。
1 x=1
A
B
(c)
1 x=1 B
A
(d)
A B
(e)
11 X1 12 X 2 1 p 0
(2)
图乘求系数和自由项。
21
X1 22 X 2 2 p 0
2、 多次超静定结构的力法方程
B
A
(a)
取原结构的力法基本体系如图(b)
x2 A B x1
(b)
1 0
2 0
x1 方向的位移条件
x2 方向的位移条件
分别考虑基本结构在各个多余力、 荷载单独作用下的位移情况，见图 (c)、(d)、(e)所示。
A
B x2
(c)
A
B
(d)
x1
A
B
(e) 将各因素单独作用基本结构的位移 叠加，得：
L L qL3 X1 X2 0 3EI 6 EI 24EI L L qL3 X1 X2 0 6 EI 3EI 24EI
简化为：
1 qL2 X1 X 2 0 2 8 1 qL2 X1 X 2 0 2 8
(b)
解方程，得：
qL X1 12
2
qL2 X2 12
1 L L3 L L EI 2 2EI
2P
53FP L3 1 FP L 1 1 FP L L 2L 1 L L L 2 2 2 3 3 2 96EI EI 2 2EI
x2
x2
x1
x2
x3
(b1)
(b2)
练习
（图1）
（图2）
§6-2
力法的基本概念
基本未知量
基本思路
基本体系 基本方程
力法的解题步骤
1、基本思路
q
A
B
A
多一个未 知支反力 X1q
B
x1
1）力法的基本未知量
力法的基本未知量是超静定结构多余 约束中的多余力
2）力法的基本体系
q
A B A
q
B
x 1
(a)原结构 图6-5
（1） 切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相 当于去掉一个约束；
（2）切开一个单铰或去掉一个固定铰 支座，相当于去掉两个约束；
（3）切断一根连续杆或去掉一个固定
支座，相当于去掉三个约束；
（4） 将固定端换成固定铰支座或在一根 连续杆上加一个单铰，相当于去掉 三个约束。
用拆除约束法判定结构的超静定次数， 应注意：
第二部分 超静定结构
第6章
• • • • • • •
力法
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数 §6-2 力法的基本概念 §6-3 超静定刚架和排架 §6-4 超静定桁架和组合结构 §6-5 对称结构的计算 §6-6 两铰拱 §6-8支座移动和温度改变时的计算
§6-1
超静定结构的组成 和超静定次数
M M1 X1 M P
M图
绘出弯矩图， 如图所示。
1i 2i ii ni
ij
1n 2n in nn
X1 X 2 X i + X n
1 P 2P iP = nP
超静定结构的类型 （1）超静定梁 （2）超静定刚架 （3）超静定桁架 （4）超静定拱 （5）超静定组合结构
超静定次数的确定
拆除约束法。即逐一拆除结构的约束，直到 其成为静定结构（力法基本结构），则拆除 的约束就是多余约束，其数量就是力法的基 本未知量数。 拆除约束法常要用到约束的个数，现归纳如 下：
（1） 结构上的多余约束一定要拆干净， 即最后应是一个无多余约束的几何 不变体系； （2） 要避免将必要约束拆掉，即最后不应 是几何可变体系或几何瞬变体系。
例6-1 试确定图(a)、(b)所示结构的超静定 次数。 x
2
x1
x2
x1 x3
x3 x2 x1
x3
(a)
(a1)
(a2)
x2
(b)
x1
x1
2 2
M BA M 1BA x1 M 2 BA x2 M PBA
M BA qL qL 0 x1 1 0 12 12
2 2
（下侧受拉）
说明：
(1)超静定结构的内力只与杆件刚度EI的 相对值有关，而与其绝对值无关。 (2)作最后弯矩图的叠加公式：
(3)力法解题一般步骤：（针对梁和刚架， 并仅在荷载作用下）
• 超静定结构的组成
• 超静定次数
超静定结构的组成
静定结构:结构的反力和各截 面的内力都可以用静力平衡 条件唯一确定。 超静定结构:结构的反力和各 截面的内力不能完全由静力 平衡条件加以确定。 从几何组成分析中可知：静定结构和超静定结构 都是几何不变体体系，而静定结构没有多余的约 束，超静定结构存在多余约束.
(b)基本体系
3）力法的基本方程
q
A B
A
q
B x 1
(a)原结构
(b)基本体系
该条件可表示为：
1 0
(a)
利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、 多余力单独作用的两种情况，分别分析后在 叠加。分解后，见图(c)、(d)所示
q
B A
A
B
(c)
x1
(d)
11 与 1P 叠加 得： 11 + 1P = 1 0 即： 11+ 1P = 0 使 11 = 11 x1 式(b)改写成：
qL2 8
A B
(e)
4）力法基本未知量的确定
确定力法基本未知量，即要求确定多余 力的数量，同时也要求确定相应的基本 体系。
一个超静定结构的多余约束数是一定的， 但是基本体系却不是唯一的，如下图。
A B
A C
B x 1
C
x 2
(a)原结构
2 2 x xx 1 A B
(b)基本结构1
C
(c)基本结构2
1`
确定结构的力法基本未知量，并绘出 相应的力法基本体系；
2` 3` 4` 5`
作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷 载作用下的弯矩图； 求力法方程中的系数和自由项；
将系数和自由项代入力法方程，求解多 余未知力； 叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构 的弯矩图； 由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图 作结构的轴力图；
（右侧受拉）
M BC M BA
FP L 3FP L 17 FP L （左、上侧受拉） 40 2 40
B
C
A
(d)M图
2、超静定排架
例2 用力法计算，并作出图示结构 的M图。EI=常数。