人教版数学高二-人教A版选修4-5阶段质量检测(二) B卷
阶段质量检测（二）B 卷
（时间90分钟，满分120分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( )
A ．正向、逆向均可进行正确的推理
B ．只能进行逆向推理
C ．只能进行正向推理
D ．有时能正向推理，有时能逆向推理
解析：选B 在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需能进行逆向推理即可．
2．使不等式3＋8>1＋a 成立的正整数a 的最大值为( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
解析：选C 用分析法可证a ＝12时不等式成立，a ＝13时不等式不成立．
3．(四川高考)若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有( )
A.a d >b c
B.a d
C.a c >b d
D.a c
解析：选B ∵c ＜d ＜0，∴1d ＜1c ＜0，∴－1d ＞－1c ＞0，而a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，
∴a d ＜b c ，故选B.
4．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为 ( )
A ．a ，b ，c 都是奇数
B ．a ，b ，c 都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．
5．设m >n ，n ∈N *，a ＝(lg x )m ＋(lg x )
－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－
n ，x ＞1，则a 与b 的大小关系为 ( )
A ．a ≥b
B ．a ≤b
C ．与x 值有关，大小不定
D ．以上都不正确
解析：选A 要比较a 与b 的大小，通常采用比较法，根据a 与b 均为对数表达式，只有作差，a 与b 两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a 与b 的大小．
a －
b ＝lg m x ＋lg －m x －lg n x －lg －
n x ＝(lg m x －lg n x )－(1lg n x －1lg m x
) ＝(lg m x －lg n
x )－lg m x －lg n x lg m x lg n x ＝(lg m x －lg n x )(1－
1lg m x lg n x ) ＝(lg m x －lg n x )(1－1
lg m ＋n x )．
∵x ＞1，∴lg x ＞0.
当0＜lg x ＜1时，a >b ；当lg x ＝1时，a ＝b ；
当lg x >1时，a >b .∴应选A.
6．已知a 、b 、c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( )
A ．S ≥2P
B ．P
C ．S >P
D ．P ≤S ＜2P
解析：选D ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，
∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P .
又三角形中|a －b |＜c ，∴a 2＋b 2－2ab ＜c 2，
同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2，
∴a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )，即S <2P .
7．已知a ＞0，b ＞0，m ＝
a b ＋b a ，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( )
A ．m ≥n >p
B ．m >n ≥p
C ．n >m >p
D ．n ≥m >p 解析：选A 由已知，知m ＝a b ＋b a ，n ＝a ＋b ，得a ＝b ＞0时m ＝n ，可否定B 、C.比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92
，n ＝2＋1＝3，∴m ＞n ，可排除D.
8．设a ＝????3525，b ＝????2535，c ＝????2525
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＞c ＞b
B ．a ＞b ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
解析：选A 构造指数函数y ＝(25
)x (x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝(25)x (x ∈R)与y ＝(35)x (x ∈R)之间有如下结论：当x ＞0时，有(35)x ＞(25)x ，故(35)25＞(25)25，所以a ＞c ，故a ＞c ＞b .
9．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋且S ＝
a a ＋
b ＋
c ＋b b ＋c ＋
d ＋c c ＋d ＋a ＋d a ＋b ＋d ，则下列判断中正确的是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
.以上四个不等式相加，得1
|sin α＋cos α|，Q ＝12
sin 2α，则它们之间的大小关系为( )
A ．M >N >P >Q
B ．M >P >N >Q
C ．M >P >Q >N
D ．N >P >Q >M 解析：选D ∵α∈?
???π，5π4，∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|＜|cos α|，
∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12
(|sin α|＋|cos α|) >12
(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M . P ＝12
(|sin α|＋|cos α|) <12
(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N .∴N >P >M . 对于Q ＝12sin 2α＝sin αcos α＜|sin α|＋|cos α|2
＝P . 而Q ＝sin αcos α>sin 2α＝|sin α|＝M ，
∴N >P >Q >M .
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)
11．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应该满足的条件是________． 解析：由a 知a ≥0，由b 知b ≥0，而a a ＋b b ≠a b ＋b a ，知b ≠a .此时a a ＋b b
－(a b ＋b a )＝(a －b )2(a ＋b )>0，不等式成立．
答案：a ≥0，b ≥0，a ≠b
12．设0 ??b －m a －m ，f ? ?? ??a ＋n b ＋n 的大小顺序依次是_______________________________________________． 解析：∵a b ，根据函数的单调性， 知f ????a b >f ? ????a ＋n b ＋n >f ????b a >f ? ?? ??b －m a －m . 答案：f ????a b >f ? ????a ＋n b ＋n >f ????b a >f ? ?? ??b －m a －m 13．设α，β为锐角，且M ＝sin(α＋β)，N ＝sin α＋sin β，则M ，N 的大小关系是________． 解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 答案：M 14．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________． 解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”． 答案：直径的数目至少为n ＋1条 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab ·(a 2＋b 2)． 证明：由a ，b 是非负实数，作差得 a 3＋ b 3－ab (a 2＋b 2) ＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]． 当a ≥b 时，a ≥ b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0； 当a 0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 16．(本小题满分12分)求证：2(a 2＋1)32＋1a 2＋1 ≥3. 证明：2(a 2＋1)32＋1a 2＋1 ＝2a 2＋1＋1a 2＋1 ＝a 2＋1＋ a 2＋1＋1a 2＋1 ≥33(a 2＋1)2·1a 2＋1 ＝3. 17．(本小题满分12分)设a ，b ，c ，d 均为正数，求证： a 2＋b 2＋ c 2＋ d 2≥ (a ＋c )2＋(b ＋d )2. 证明：欲证 a 2＋b 2＋ c 2＋d 2≥ (a ＋c )2＋(b ＋d )2， 只需证( a 2＋ b 2＋ c 2＋ d 2)2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2， 即 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥ac ＋bd ， 就是证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，就是证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd . 也就是证(bc －ad )2≥0. 此式显然成立，故所证不等式成立． 18．(本小题满分14分)设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0,0＜a <1，求证：log a (a x ＋a y )＜log a 2＋18 . 证明：∵a x ＞0，a y ＞0， ∴a x ＋a y ≥2a x ＋y ＝2ax －x 2. ∵x －x 2＝x (1－x )≤???? ??x ＋(1－x )22＝14， 又0 ∴ax －x 2≥a 14 . 当x ＝12时等号成立，但当x ＝12 时，a x ≠a －x 2. ∴a x ＋a y ＞2a 18 . 又0＜a ＜1， ∴log a (a x ＋a y )＜log a 2a 18＝log a 2＋18 .