湖南四大名校内部资料答案-2019-2020-1师大附中高一上第一次月考
2019～2020学年度学年度湖南师范大学附属中学高一第1学期期中数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度湖南师范大学附属中学高一第一学期期中数学试题一、单选题1.已知集合{}*|21,A x x x N =-≤∈,则集合A 的真子集个数是( )A.3B.6C.7D.8【试题答案】C【试题解答】先确定集合A 中元素个数,进而可得出结果.因为{}{}{}**|21,3,1,2,3A x x x Nx x x N =-≤∈=≤∈=,共含有3个元素,因此其真子集个数为3217-=. 故选:C本题主要考查求集合真子集的个数,熟记求真子集个数的公式即可,属于基础题型. 2.如图所示,阴影部分表示的集合是( )A.B∩[∁U (A ∪C)]B.(A ∪B)∪(B ∪C)C.(A ∪C)∩(∁U B)D.[∁U (A∩C )]∪B【试题答案】A【试题解答】由韦恩图可以看出,阴影部分中的元素满足“不是A 的元素或C 的元素,且是B 的元素”,由韦恩图与集合之间的关系易得答案.由已知中阴影部分所表示的集合元素满足不是A 的元素或C 的元素,且是B 的元素 即不是A 并C 的元素,且是B 的元素,即是A 并C 的补集的元素,且是B 的元素, 故阴影部分所表示的集合是B∩[∁U (A ∪C)], 故选:A.本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,属于基础题.3.函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内,则实数a 的取值范围是( ) A.()1,3 B.()1,2C.()0,3D.()0,2【试题答案】C【试题解答】由题意得()()f 1f 20<,解不等式可得实数a 的取值范围.由条件可知()()()()f 1f 2?22a 41a 0=<－－－－,即a(a －3)<0, 解得0<a<3. 故选C.本题考查利函数零点存在性定理的应用,解题的关键是根据函数在给定的区间两端点处的函数值异号得到不等式,考查应用能力和计算能力,属于容易题. 4.函数1()ln(1)f x x =+( )A.[3,3]-B.(1,0)(0,3]-UC.[3,0)(0,3]-UD.(1,3]-【试题答案】B【试题解答】求函数y 的定义域,首先分母不等于0,再根据对数函数和根号有意义的条件进行求解.1()ln(1)f x x =++,要使函数有意义,x 应满足2101190x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩解得10x -<<或03x <≤,故函数的定义域为:(1,0)(0,3]-U , 故选:B.此题主要考查函数的定义域及其求法,注意二次根号有意义的条件及分母不能为0. 5.下列幂函数中,既是奇函数,又在区间(),0-∞上为减函数的是( ) A.12y x = B.13y x = C.23y x = D.13y x -=【试题答案】D【试题解答】根据奇函数的概念,以及幂函数的单调性,逐项判断,即可得出结果.A 选项,函数12y x =的定义域为()0,∞+,因此不是奇函数,排除A ；B 选项,函数13y x =的定义域为R ,且1133()-=-x x ,因此13y x =是奇函数；又103>,根据幂函数的单调性,所以函数13y x =在()0,∞+上单调递增,又其为奇函数,所以13y x =在(),0-∞上也单调递增；排除B ；C 选项,函数23y x =的定义域为R ,且2233()x x =-,所以函数23y x =是偶函数,排除C ； D 选项,函数13y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞,1133()---=-x x ,所以函数13y x -=是奇函数,又103-<,根据幂函数单调性,所以13y x -=在()0,∞+是减函数,根据奇函数的性质可得13y x -=在(),0-∞也是减函数；D 正确； 故选:D本题主要考查判断函数奇偶性与单调性,熟记函数奇偶性的概念,以及幂函数的单调性即可,属于常考题型.6.已知()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递减函数,则实数a 的取值范围是( )A.(),2-∞B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.()2,+∞D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【试题答案】B【试题解答】根据函数恒减,得到()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩,求解即可得出结果.因为()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递减函数,所以()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩,即2138a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩,所以138a ≤. 故选:B本题主要考查由分段函数的单调性求参数,解决此类问题的关键在于注意每一部分的单调性,以及结点位置的取值情况即可,属于常考题型.7.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【试题答案】B【试题解答】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数,舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q , 所以舍去C ；因此选B.:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置；②由函数的单调性,判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性,判断图象的对称性；④由函数的周期性,判断图象的循环往复.8.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则函数(1)f x +的反函数的图象可能是( )A. B. C.D.【试题答案】D【试题解答】试题分析:函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像恒过(0,1)点,函数(1)f x +的图像恒过(-1,1),则其反函数的图像恒过(1,-1)而选项A 恒过(0,0),选项B 恒过(2,0),选项C 恒过(1,0),故排除；所以正确选项为D1、函数图像的平移；2、反函数的性质.9.函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()10f -=,若对于任意()12,,0x x ∈-∞,且12x x ≠时,都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立,则不等式()0f x <的解集为( )A.()(),11,-∞+∞UB.()()1,00,1-UC.()(),10,1-∞-⋃D.()()1,01,-⋃+∞【试题答案】C【试题解答】先令()()F x xf x =,根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数,结合函数奇偶性的定义,判断()F x 是偶函数；根据题意,再判断()F x 在(),0-∞上是单调递减,在()0,∞+上是单调递增,由()10f -=,得到()()110-==F F ；根据函数单调性,分类讨论,即可求出结果；令()()F x xf x =,因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x =--,则()()()()F x xf x xf x F x -=--==,所以()F x 是偶函数,因为任意()12,,0x x ∈-∞,且12x x ≠时,都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立,所以()F x 在(),0-∞上是单调递减,在()0,∞+上是单调递增, 又因为()10f -=,所以()()()1101F f F -=--==. 当1x <-时,()()10F x F >-=,因为0x <,∴()0f x <；因为当10x -<<时,()()10F x F <-=,因为0x <,所以()0f x >； 当01x <<时,()()10F x F <=,因为0x >,所以()0f x <； 当1x >时,()()10F x F >=,因为0x >,所以()0f x >. 所以不等式()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选:C本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数单调性与奇偶性的概念即可,属于常考题型.10.已知函数()11f x x =--,若关于x 的方程()()20f x af x +=有n 个不同的实根,则n 的值不可能为( ) A.3B.4C.5D.6【试题答案】A【试题解答】先作出函数()11f x x =--的图像,根据()()20fx af x +=得()0f x =或()f x a =-,原方程根的个数,转化为函数()f x 与x 轴以及直线y a =-交点个数；结合函数图像,即可得出结果.因为函数()2,22,1211,01,0x x x x f x x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=--=⎨≤<⎪⎪-<⎩, 作出()f x 的图像如下: 由()()20fx af x +=得:()0f x =或()f x a =-,所以方程()()20f x af x +=的解的个数,即为函数()f x 与x 轴以及直线y a =-交点个数,由图像可得:()f x 与x 轴有2个交点,①当0a -<,即0a >时,函数()f x 与直线y a =-无交点,故原方程共2个解； ②当0a -=,即0a =时,原方程可化为()0f x =,故原方程共2个解；③当01a <-<,即10a -<<时,函数()f x 与直线y a =-有4个交点,故原方程共6个解；④当1a -=,即1a =-时,函数()f x 与直线y a =-有3个交点,故原方程共5个解； ⑤当1a ->,即1a <-时,函数()f x 与直线y a =-有2个交点,故原方程共4个解； 综上,原方程解的个数可能为2,4,5,6. 故选A本题主要考查方程根的个数的判定,灵活运用转化与化归的思想,根据数形结合的方法即可求解,属于常考题型.11.已知定义域为D 的函数()f x ,若对任意x D ∈,存在正数M ,都有()f x M ≤成立,则称函数()f x 是定义域D 上的有界函数.已知下列几个函数:①()25243f x x x =-+；②()21f x x =-()34x f x x+=-；④()13xf x =-.其中有界函数的个数是( ) A.1B.2C.3D.4【试题答案】B【试题解答】根据函数的性质,分别求出函数值域,结合题中条件,逐项判断,即可得出结果.①()22552432(1)1==-+-+f x x x x ,因为22(1)11-+≥x , 所以()2552(1)1=≤-+f x x ,又()2502(1)1=>-+f x x , 所以()(]0,5∈f x ；因此()5f x ≤,满足题意；①正确；②()f x =所以()1=f x ,满足题意；②正确； ③()374711444++-===-+≠----x x f x x x x,即()()(),11,∈-∞-⋃+∞f x , 因此()1f x ≥,不满足题意；③错；④因为30x >,所以()131=-<xf x ,不满足题意,④错；故选:B本题主要考查函数的值域,熟记求函数值域的方法即可,属于常考题型.二、填空题12.化简2011log 5310.06428-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的结果为________. 【试题答案】272【试题解答】根据对数运算,以及指数幂运算法则,直接计算,即可得出结果.()2201131log 5log 103315270.06420.41211822⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+-+=++=+=⎪⎝⎭. 故答案为:272本题主要考查指数幂与对数的化简求值,熟记运算法则即可,属于基础题型. 13.已知函数()()120,1x x af x a a a ++-=>≠为偶函数,则a =________.【试题答案】12【试题解答】根据题意,先确定函数定义域,再由函数为偶函数,得()()22f f -=,求出12a =,代入原函数检验,即可得出结果.由题意,函数()()120,1x x af x aa a ++-=>≠的定义域为R ,因为函数()f x 为偶函数,所以()()22f f -=,即21222122-++--++-=a a a a , 即122322++=+-a a ,即1=-a a ,解得:12a =, 所以当12a =时,()1112++-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x f x ,定义域是R ；且()()11111122-++--++-⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x f x f x , 因此满足()f x 为偶函数；即12a =满足题意； 故答案为:12本题主要考查由函数奇偶性求参数,熟记函数奇偶性的概念即可,属于常考题型. 14.设2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则用“<”连接a ,b ,c 为________.【试题答案】a c b >>【试题解答】先令()25x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,根据指数函数单调性,得到()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,推出c b >,再比较a ,c ,由20533122a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即可得出结果.令()25x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵2015<<,∴()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数, 又2355<,所以23552255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即c b >；又20533122a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以a c >,综上,可得a c b >>； 故答案为:a c b >>本题主要考查比较指数幂的大小,熟记指数函数单调性即可,属于常考题型.15.设a ,b ,c 为实数,()()()2f x x a x bx c =+++,()()()211g x ax cx bx =+++,记集合(){}|0,S x f x x R ==∈,(){}|0,T x g x x R ==∈,若S ,T 分别为集合S ,T 的元素个数,则下列结论可能成立的是________.①1S =,0T =；②1S =,1T =；③2S =,2T =；④2S =,3T =. 【试题答案】①②③【试题解答】①根据0T =,得到方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根,推出0a =,240b c -<或0a b c ===；再由此判断()0f x =根的个数,即可判断①；②取2040a b c ≠⎧⎨-<⎩,分别判断()0f x =,()0g x =根的个数,即可判断②；③取20040a cbc ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩分别判断()0f x =,()0g x =根的个数,即可判断③；④当3T =时,方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根,所以0a ≠,0c ≠,240b c ->,由此求()0f x =根的个数,即可判断④.①当0T =时,方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根,所以0a =,240b c -<或0a b c ===；当0a b c ===时,()3f x x =,由()0f x =得0x =,此时1S =；当0a =,240b c -<时,()()2=++f x x x bx c ,由()0f x =得0x =,此时1S =；故①成立； ②当2040a b c ≠⎧⎨-<⎩时,由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-,即1S =；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1x a=-；即1T =；存在②成立；③当20040a cbc ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩时,由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得 1x a =-或2=-x b；只需2b a ≠,即可满足2S =,2T =；故存在③成立；④当3T =时,方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根,所以0a ≠,0c ≠,240b c ->,设0x 为()0g x =的一个根,则00x ≠,且200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()03010g x x ==,故01x 为方程()0f x =的根.此时()0f x =有三个根,即3T =时,必有3S =,故不可能是2S =,3T =；④错；故答案为:①②③本题主要考查方程根的个数与集合的综合,会判断方程根的个数即可,属于常考题型.三、解答题16.下列命题中错误的个数为( ) ①()11221x f x =+-的图像关于()0,0对称； ②()31f x x x =++的图像关于()0,1对称； ③()211f x x =-的图像关于直线0x =对称. A.1B.2C.3D.0【试题答案】D【试题解答】根据函数奇偶性的定义,先判断()11221x f x =+-为奇函数,即可得出①正确；令3()=+g x x x ,先判断其为奇函数,再由()31()1=++=+f x x x g x ,即可得出②正确；根据偶函数的定义,直接判断()211f x x =-为偶函数,即可得出③正确；从而可确定结果.①因为()11221x f x =+-,由210x -≠得,定义域为()(),00,-∞⋃+∞, 所以()1112221212--=+=+--xx xf x , 因此()111212()1022121221-+-=+++=+=---x xx xx f x f x , 所以()()f x f x -=-；即函数()11221x f x =+-是奇函数,关于()0,0对称；①正确； ②令3()=+g x x x ,定义域为R ,又3()()-=--=-g x x x g x ,所以函数3()=+g x x x 是奇函数,关于()0,0对称,又()31()1=++=+f x x x g x ,所以其图像关于点()0,1对称；②正确；③因为()211f x x =-,由210x -≠得定义域为:()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞, 所以()()211-==-f x f x x ,因此函数()211f x x =-为偶函数,其图像关于直线0x =对称；③正确. 故选:D本题主要考查根据函数奇偶性判断函数的对称问题,熟记函数奇偶性的概念即可,属于常考题型.17.已知集合A x y ⎧⎫==⎨⎩,{}1|3x B y y -==. (Ⅰ)求A B I ；(Ⅱ)若{}|40M x mx =+<且()A B M ⊆I ,求实数m 的取值范围. 【试题答案】(Ⅰ)()1,A B =+∞I (Ⅱ)4m ≤-【试题解答】(Ⅰ)先化简集合A B 、,再求交集,即可得出结果；(Ⅱ)先由()A B M ⊆I ,得()1,+∞⊆M ,列出不等式求解,即可得出结果.(Ⅰ)由A x y ⎧⎫==⎨⎩,{}1|3x B y y -==, 得()1,A =+∞,()0,B =+∞, 所以()1,A B =+∞I ；(Ⅱ)由()A B M ⊆I ,得()1,+∞⊆M ,所以041m m<⎧⎪⎨-≤⎪⎩,解得4m ≤-.本题主要考查求集合的交集,以及由集合的包含关系求参数,熟记交集的概念,以及集合的包含关系即可,属于常考题型.18.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()2f x x =.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,求实数a 的取值范围.【试题答案】(Ⅰ)()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩(Ⅱ))+∞ 【试题解答】(Ⅰ)先由函数奇偶性得()00f =；再设0x <,则0x ->,根据已知函数解析式,结合奇函数的性质,即可求出结果； (Ⅱ)先由题意,将不等式化为())f x a f +≥,再由函数单调性,得到x a +≥,推出)1a x ≥,求出)max1⎡⎤⎣⎦x ,即可得出结果.(Ⅰ)由题意知,()00f =.设0x <,则0x ->,故()()22f x x x -=-=, 又因为()f x 是奇函数,故()()2f x f x x =--=-,所以()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩. (Ⅱ)由)222x =,不等式()()2f x a f x +≥,等价于())f x a f+≥,因为()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,所以其在R 上是增函数,∴x a +≥,即)1a x ≥,∵[],2x a a ∈+,∴当2x a =+时,)())max121x a ⎡⎤=+⎣⎦,得a ≥故实数a的取值范围是)+∞.本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式,由不等式恒成立求参数范围,熟记函数奇偶性与单调性的概念即可,属于常考题型. 19.设()121log 1axf x x -=-为奇函数,a 为常数. (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)证明:确定()f x 在区间()1,+∞内的单调性；(Ⅲ)设[]3,4A =,()1|2xB x f x m ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,且A B ⊆,求实数m 的取值范围.【试题答案】(Ⅰ)1a =-(Ⅱ)证明见解析 (Ⅲ)9,8⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【试题解答】(Ⅰ)根据函数为奇函数,得到112211log log 11+-=----ax axx x ,推出()()()()1111ax ax x x +-=-+-,从而可求出结果；(Ⅱ)先由(Ⅰ)得()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭(1x >或1x <-),记()211u x x =+-,定义法证明()u x 在()1,+∞上的单调性,再由复合函数单调性的判定方法,即可证明结论成立；(Ⅲ)先设()1211log 12xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,根据(Ⅱ)的结果,以及指数函数单调性,判定()g x 在[]3,4上为增函数.再由题意,得到()g x m >对[]3,4x ∈恒成立,只需()min m g x <,即可得出结果.(Ⅰ)∵()121log 1axf x x -=-为奇函数,所以()()f x f x -=-, ∴111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----.∴1111ax x x ax+-=---,即()()()()1111ax ax x x +-=-+-恒成立, ∴1a =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭(1x >或1x <-). 记()211u x x =+-, 任取121x x <<,则()()()()()211212122221111--=-=----x x u x u x x x x x , 因为121x x <<,所以110x ->,210x ->,210x x ->, 因此()()()()()2112122011--=>--x x u x u x x x ,即()()12u x u x >,所以()u x 在()1,+∞上为减函数, 又函数12log y x =是减函数,∴()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数. (Ⅲ)设()1211log 12xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.由于()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数且12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数, 所以()g x 在[]3,4上为增函数.∵A B ⊆,[]3,4A =,所以()g x m >对[]3,4x ∈恒成立, ∴()()min 938m g x g <==-. 故m 的取值范围是9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.本题主要考查由函数奇偶性求参数,根据单调性的定义判断复合函数单调性,由集合的包含关系求参数,熟记奇偶性与单调性的概念,以及集合间的基本关系即可,属于常考题型. 20.设二次函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件:①当x ∈R 时,()f x 的最小值为0,且图像关于直线1x =-对称；②当()0,5x ∈时,()211x f x x ≤≤-+恒成立.(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)若()f x 在区间[]1,m m -上恒有()214x f x -≤,求实数m 的取值范围. 【试题答案】(Ⅰ)()()2114f x x =+(Ⅱ)33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【试题解答】(Ⅰ)先在②中令1x =,得到()11f =,根据题意,设二次函数为()()()210f x a x a =+>,由()11f =,求出14a =,即可得出结果； (Ⅱ)先由(Ⅰ)得到()211424-=+x f x x ,由()214x f x -≤解得5322x -≤≤,再由题意,得到[]531,,22⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m ,进而可求出结果.(Ⅰ)在②中令1x =,有()111f ≤≤,故()11f =.当x ∈R 时,()f x 的最小值为0且二次函数关于直线1x =-对称, 故设此二次函数为()()()210f x a x a =+>.∵()11f =,∴14a =. ∴()()2114f x x =+. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得:()()222111144424x x f x x x -=+-=+,因此,由()214x f x -≤即11124x +≤,得5322x -≤≤； ∵()f x 在区间[]1,m m -上恒有()214x f x -≤, 所以只需[]531,,22⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m ,∴51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得3322m -≤≤,∴实数m 的取值范围为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.本题主要考查求二次函数的解析式,以及由不等式恒成立求参数,熟记二次函数的性质,绝对值不等式的解法,以及集合的包含关系即可,属于常考题型.21.对于在区间[],p q 上有意义的两个函数()f x 和()g x ,如果对于任意的[],x p q ∈,都有()()1f x g x -≤,则称()f x 与()g x 在区间[],p q 上是“接近”的两个函数,否则称它们在[],p q 上是“非接近”的两个函数.现有两个函数()()log 3a f x x a =-,()1log ag x x a=-(0a >,且1a ≠),给定一个区间[]2,3a a ++.(Ⅰ)若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++都有意义,求实数a 的取值范围； (Ⅱ)讨论()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是否是“接近”的两个函数. 【试题答案】(Ⅰ)01a <<.(Ⅱ)见解析【试题解答】(Ⅰ)先由题意,求使()f x 与()g x 有意义的x 的范围；根据()f x 与()g x 在[]2,3a a ++上有意义,得到23a a +>,从而可求出结果；(Ⅱ)先由题意,得到()()()()log 3a f x g x x a x a -=--⎡⎤⎣⎦,令()()1f x g x -≤, 得到()()1log 31a x a x a -≤--≤⎡⎤⎣⎦,根据(Ⅰ)中范围,得到[]2,3a a ++在直线2x a =的右侧,设()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦,判断其在[]2,3a a ++上为减函数,求出最大值与最小值,列出不等式求解,即可得出结果.(Ⅰ)要使()f x 与()g x 有意义,则有3010x a x a->⎧⎪⎨>⎪-⎩,又0a >且1a ≠,所以3x a >；要使()f x 与()g x 在[]2,3a a ++上有意义,则3x a >对[]2,3x a a ∈++恒成立, 所以23a a +>,又因为0a >,故01a <<；(Ⅱ)由题意,()()()()log 3a f x g x x a x a -=--⎡⎤⎣⎦, 令()()1f x g x -≤,得()()1log 31a x a x a -≤--≤⎡⎤⎣⎦.(*)因为01a <<,所以[]2,3a a ++在直线2x a =的右侧. 设()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦,则()()()log 3a h x x a x a =--⎡⎤⎣⎦在[]2,3a a ++上为减函数.所以()()()min 3log 96a h x h a a =+=-,()()()max 2log 44a h x h a a =+=-.于是()()log 441log 96101a a a a a ⎧-≤⎪-≥-⎨⎪<<⎩,∴9012a <≤.所以当a ⎛∈ ⎝⎦时,()f x 与()g x 是接近的；当957,1a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时是非接近的.本题主要考查由函数有意义求参数的范围,以及由绝对值不等式恒成立求参数范围,熟记具体函数定义域的求法,绝对值不等式的解法,会根据函数单调性求函数值域即可,属于常考题型.22.如图,某油田计划在铁路线CD 一侧建造两家炼油厂A 、B ,同时在铁路线上建一个车站Q ,用来运送成品油.先从车站出发铺设一段垂直于铁道方向的公共输油管线QP ,再从P 分叉,分别向两个炼油厂铺设管线PA 、PB .图中各小写字母表示的距离(单位:千米)分别为5a =,8b =,15l =.设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元,公共输油管线长为k km ,总的输油管道长度为s km .(Ⅰ)若0k =,请确定车站Q 的位置,使得总的输油管道长度为s 最小,此时输油管线铺设费用是多少？(Ⅱ)请问从降低输油管线铺设费用的角度出发,是否需要铺设公用管线.如果需要请给出能够降低费用管线铺设方案(精度为0.1千米). (参考数据22251319.85+=22251219.21+=22251118.60+=,22251018.03+=2225917.49+=2225817.00+=2225716.55+=,2225616.16+=2225515.81+=2225415.52+=2225315.30+=.)【试题答案】(Ⅰ) 5.77=CQ km ,输油管线铺设费用为142.92万元(Ⅱ)需要, 见详解. 【试题解答】(Ⅰ)当0k =时,Q 在CD 上,作A 关于CD 的对称点A ',连A B ',则它与CD 交于点Q ,连QA 、QB ,根据图形可得,此时输油管道的总长度为()22'==++s A B l a b =+CQ al a b推出=+a CQ l a b ,代入数据,即可得出结果； (Ⅱ)设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km .在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ,作A 关于EF 的对称点'A ,连'A B ,则它与EF 交于点P ,这点是分叉点.由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为()()22l a k b k +-+-⎡⎤⎣⎦,这是在确定k 的前提下最短的.以C 为原点,铁路线为x 轴建立直角坐标系.得到()()()222225132=++-+-=++-⎡⎤⎣⎦s k l a k b k k k ,分别取不同的k 值,计算s ,比较大小,进而可确定大致区间,从而可确定结果.(Ⅰ)当0k =时,Q 在CD 上,作A 关于CD 的对称点A ',连A B ',则它与CD 交于点Q ,连QA 、QB , 由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为()22'=+==++s QA QB A B l a b ,这是最短的,此时=+CQ al a b,所以=+a CQ l a b . 将数据代入,得22251319.85s km =+=,57515 5.771313=⨯==CQ km , 输油管线铺设费用是7.27.219.85142.92s =⨯=万元.(Ⅱ)设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km .在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ,作A 关于EF 的对称点'A ,连'A B , 则它与EF 交于点P ,这点是分叉点.()()22l a k b k +-+-⎡⎤⎣⎦这是在确定k 的前提下最短的.以C 为原点,铁路线为x 轴建立直角坐标系.则可以得到,在这种情况下最短的管道铺设的总长度应为()()22s k l a k b k =++-+-⎡⎤⎣⎦.三条管道交叉点的坐标为(),P x k ,()()a kx l a k b k -=-+-.0k =相当于不铺设公用管道的情形.将数据代入上式有()2225132s k k =++-,515132kx k-=⨯-.对于不同的k ,分别计算管道的铺设长度得k0 1 1.5 2 2.5 3 4 5 s19.85 19.60 19.53 19.49 19.50 19.55 19.81 20.30 x5.775.455.255.004.694.293.000.00由数据可知,最短铺设长度值在()19.53,19.50内,这个区间长度小于0.1千米的精度,于是,不妨取2k =,此时铺设管道的总长度为19.49,铺设费用为19.497.2140.328⨯=万元,比较不铺设公用管道所花的费用19.857.2142.92⨯=万元要节省2.592万元.这时三条管道交叉点位于()5,2处.本题主要考查函数模型的综合应用,以及直线的应用,根据对称的方法求动点到两定点的距离的和即可,属于常考题型.。
湖南师大附中2020-2021-1高一上学期第一次月考数学试卷答案
湖南师大附中2020-2021学年度高一第一学期第一次大练习数学答案一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案D B D A C B B B二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.题号9101112答案BCD BCD AD CD三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.{1，3，5}14.31415.}3202{，，-16.{m |-4<m <-2}四.解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为集合{}103|<≤=x x A ，{|29}B x x =<<．所以(){|2R B x x = ð或9}x ，{2|)(≤=∴x x A B R C 或}3≥x ，（2）因为A C ⊆，当集合C 为空集时，由于1a a +>恒成立，故不成立；当集合C 不为空集时，⎩⎨⎧<+≥1013a a ，解得：93<≤a ，故实数a 的取值构成的集合是：{}93|<≤a a ．18.解：（1）当0=a 时，2+-=x y 只有一个零点，符合题意；当0≠a 时，()08122=-+=a a ∆，解得21=a .故当函数有且只有一个零点时，0=a 或21=a .（2）当0a =时，不等式化为20x -+<，解得2x >；当0a ≠，△0=时，解得12a =，不等式化为(1)(2)0ax x --<．当12a =时，不等式化为2(2)0x -<，解得x ∈∅；当102a <<时，不等式化为1()(2)0x x a --<，解得12x a <<；当12a >时，不等式化为1(2)0x x a --<，解得12x a<<；当0a <时，不等式化为1()(2)0x x a -->，解得2x >或1x a<．综上所述，当0a =时，不等式的解集为{|2}x x >；当12a =时，不等式的解集为∅；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a <<；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a<<；当0a <时，不等式的解集为{|2x x >或1}x a<.19.证明：（1）222a b ab + ，222b c bc + ，222c a ca + ，三式相加可得222a b c ab bc ca ++++ ，2222()222()2()a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ∴++=++++++++++ 3()9ab bc ca =++=，又a ，b ，c 均为正整数，3a b c ∴++ 成立．（2）3=++ab b a ，ab b a 2≥+，ab ab 23+≥∴，即()0322≤-+ab ab ，解得：1≤ab ..1≤∴ab 即ab 的最大值为1.20.解：（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x < ()*N ∈x ．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310(500x a x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310()10(1000)(10.2%)500x a x x x --+ 所以223110002500500x ax x x x -+-- ，所以221000500x ax x ++ ，即210001500x a x++ 恒成立，因为210004500x x += ，当且仅当21000500x x =，即500x =时等号成立．所以5a ，又0a >，所以05a < ，即a 的取值范围为(0，5]．21.解：（1）由题意得当1-=x 时，b a y -=；当1=x 时，b a y +=，设()()b a b a n b a m 24-=-++，则有⎩⎨⎧-=-=+24n m n m ，解得⎩⎨⎧==31n m ，所以()()b a b a b a -++=-324.42≤+≤b a ,21≤-≤b a 10245≤-≤∴b a .即4a -2b 所有取值构成的集合为{}10245|24≤-≤-b a b a .（2）当12-==b a ，时，x x y -=22.即8222--≥-m mx x x 在21>x 时恒成立，即()082122≥+++-m x m x 在21>x 时恒成立.令()()82122+++-=m x m x x f ，故该二次函数开口向上，对称轴为直线421m x +=.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+02121421f m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+042121421m f m ，解得29≤m .故m 的取值范围为⎭⎫⎩⎨⎧≤29|m m .22.解：（1）根据题意，由{1A =-，1}，则{2A +=-，0，2}，{0A -=，2}；（2）由于集合1{A x =，2x ，3x ，4}x ，1234x x x x <<<，且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即{0A -=，21x x -，31x x -，41}x x -，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；（3）设1{A a =，2a ，}k a ⋯满足题意，其中12k a a a <<⋯<，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋯<+<+<+<⋯<+<，||21A k +∴- ，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋯<-，||A k -∴ ，A A +-=∅ ，由容斥原理||||||31A A A A k +-+-=+- ，A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，||21k A A a +-∴+ ，31214041(*)k k a k N ∴-+∈ ，1347k ∴ ，实际上当{674A =，675，676，⋯，2020}时满足题意，证明如下：设{A m =，1m +，2m +，⋯，2020}，m N ∈，则{2A m +=，21m +，22m +，⋯，4040}，{0A -=，1，2，⋯，2020}m -，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{674A =，675，676，⋯，2020}时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347．。
2020届湖南师大附中高三第1次月考试卷-文科数学答案
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2019-2020-1师大附中高一上学期第一次月考物理试卷答案
C.t1 时刻，甲的速度等于乙的速度，故 C 错误 D. 0 t1 时间内，甲乙同时出发并且乙的速度一直大于甲的速度，即乙在前甲在后，此题选 D
2
三、计算题（本大共 4 小题，共 34 分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写 出最后答案的不能得分，有数值计算的题、答案中必须明确写出数值和单位）
15.（9 分）一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的 v t 图象如图所示。求： （1）摩托车在 0-20s 这段时间的加速度大小 a ；
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2019-2020-1 湖南师大附中高一上学期第一次月考
物理试卷
参考答案
第Ⅰ卷 选择题（共 48 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分.每小题中有四个选项正确，1-8 小题只有一个选 项正确，9-12 小题有多个选项正确，全部选对得 4 分，选对但不全对得 2 分，有选错或不答的得 0 分）
【解析】
（1）打点的时间间隔是 0.02s，B、C 间有 5 个间隔，共0.1s。BC 段的平均速度需要用 BC 的长度除以对应的 时间。
（2）略
5 教育是良心事业， 教育是千秋伟业， 我们用心办教育。
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（3）AC
段的平均速度作为 B
点的瞬时速度， vB
6.52cm 12.12cm 0.2s
从图中分别读出 A、B 对应的位置，作差即为位移大小 46cm，除以 AB 段的时间 0.8s，即为 AB 段的平 均速度 0.58m/s；
2019年秋季湖南师大附中高一第1次月考试卷-数学答案
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湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
16．已知函数
f
x
2, x m
x
2
4
x
2,
x
，若方程
m
f
x
x有
3
个不等实根，则实数
m
的取值范围是
____________．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知集合 A
x 5x 3 4x
，集合 B
x
x2 m
值域也是a,b ，则称函数 F x 是区间 D 上的“优函数”，区间a,b 称为 F x 的“等域区间”．
（1）已知函数 f x 3 x 2 是区间0, 上的“优函数”，求 f x 的“等域区间”；
（2）是否存在实数 k，使函数 g x x2 k 是区间 , 0 上的“优函数”？若存在，求 k 的取值范围；
当 x 0 时， f (x) x(2 x) x(x 2) ，由图知， f (x) 单调递减，选 A．
4
7．C 【解析】法一：因为 f ( 2) 2, f (2) 2 ，则 f [ f ( 2)] 2 ，所以 a 2 ，选 C．
法二：令 f f (a) t ，则 f (t) 2 ．因为当 t 0 时， f (t) t2 0 ，所以 t2 t 2(t 0) ，
m 1 2m 1, 若 B ，则 m 1 2, 解得 2 m 3 ，所以 m 的取值范围是 (, 3]，选 A．
2m 1 5,
9．B 【解析】因为函数 y 1 的定义域是 (, a) (a, ) ，且在区间 (a, ) 上是减函数，则 xa
a 0 ，且 (1, ) (a, ) ，所以 0 a 1，选 B．
2019湖南师大附中高三1次月考文数试题及答案
在1)*+ 中%角 )#*#+ 所对的边分别为&#'#/%已知&/'(槡5/!5&$"! !!"当 5(,时%若*('%求526!))+"的值) !#"当 5(#时%若/(#%求1)*+ 面积最大值!
文科数学试题!附中版"!第!, 页!共"页"
果为
*+!;!#&
-+!;#&
0+!;,!#&
1+!;,4&
!!!设等差数列,&0-的前0 项和为10%已知!&")!",/#$!"!&")!"(!%
!&#$!!)!",/#$!"!&#$!!)!"()!%则下列结论正确的是
*+1#$!"(#$!"%&#$!!,&"
-+1#$!"(#$!"%&#$!!&&"
!&!在平面直角坐标系#3.中%以点 )!!%$"为圆心且与直线 5#).)#5) !($!5/"相切的所有圆中%半径最大的圆的标准方程为!!!!!
!'!在平面几何里%已知直角11)* 的两边1)%1* 互相垂直%且1)(&%1*('则)* 边上的高6( &' )拓展到空间%如图%三棱锥1))*+ 的 槡&#/'# 三条侧棱1*#1*#1+ 两两相互垂直%且1)(&% 1*('%1+(/%则点1 到面)*+ 的距离62(!!!!!
湖南四大名校内部资料试卷-2019-2020-湖南师大附中高二上第一次月考
湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学期第一次阶段性检测数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动.若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( )A.110B.3353C.35353D.33502.对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； ②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13； ③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典型概率问题. 其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.33.写出命题:p “0x ∃∈R ，使得00sin cos 3x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是( )A.p ⌝是“x ∀∈R ，sin cos 3x x +≠”且为真B.p ⌝是“0x ∃∈R ，使得00sin cos 3x x +≠”且为真C.p ⌝是“x ∀∈R ，sin cos 3x x +=”且为假D.p ⌝是“0x ∃∉R ，使得00sin cos 3x x +≠”且为假4.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A.12.5，12.5B.13.5，13C.13，12.55.已知下表所示数据的回归直线方程为$5y x a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A.18B.20C.21D.226.设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则146S S -=( )A.102SB.144C.288D.()1145a a +7.“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A.“7m =”B.“79m <<”C.“59m <<”D.“59m <<且7m ≠”8.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F =“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件)：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+.其中正确的关系式的个数是( )A.3B.4C.5D.69.已知圆()221:116F x y ++=，定点()21,0F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程是( )A.22134x y +=B.221169x y += C.22143x y +=D.22143x y -= 10.已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点(不是顶点)，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则MO =( )A.随P 点变化而变化B.2C.4D.511.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =u u u u r u u u r ，且120F P F P ⋅=u u u r u u u u r，则椭圆C 的离心率为( )A.53B.73C.55D.7512.已知椭圆22221x y a b+=过定点()1,1，则22222b a b +的最大值是( )A.516B.12C.916D.34二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为__________.14.设,a b ∈R ，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)15.设函数()23f x x x a =-+，已知(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解，则实数a 的取值范围是__________.16.设数列{}n a 满足11a =，2180a =，()21nn n a a n n +=++-，则：(1)1352019a a a a ++++=L __________. (2)数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为__________. 三、解答题(本大题共70分) 17.(本小题满分10分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3sin sin 2a C c A ⋅=⋅.(1)求角A 的大小； (2)若7a =，23b =，求ABC ∆的面积.“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h )分成六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；(Ⅱ)若从车速在[)60,70内的车辆中任意抽取2辆，求车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率.19.(本小题满分12分)设双曲线22:13y x Γ-=，正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ≥，*n ∈N，都有()1n n x -是Γ上的点.(1)求数列{}n x 的通项公式；(2)记12231111n n n S x x x x x x +=++++++L ，是否存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由.某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：(1)根据1至5月份的数据，先求出y 关于x 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据.若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所求得的回归直线方程是否理想？(2)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(1)中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润=销售收入-成本).参考数据：51392i ii x y==∑，5211502.5i x ==∑.参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线$$y bxa =+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑$，$ay bx =-$.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>经过点()0,1，且离心率为2.(1)设过点11,36P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；(2)过右焦点F 的直线l (与x 轴不重合)与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,Q m ，求实数m 的取值范围.22.(本小题满分12分) 已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0a >. (1)若命题：“[]01,4x ∃∈，()01f x >”是真命题，求a 的取值范围； (2)若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求()()12f x f x +的最小值；(3)若1,12t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.。