高等数值分析上机作业
数值分析大作业
数值分析上机作业（一）一、算法的设计方案1、幂法求解λ1、λ501幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量，即对于|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1，但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501，我们无法判断按模最大的特征值。
但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的，通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0，然后在对矩阵A做如下的平移：B=A-λ0I由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为：λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。
对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0，所以λ501=λ∗+λ0，比较λ0与λ501的大小，若λ0>λ501则λ1=λ501，λ501=λ0；若λ0<λ501，则令t=λ501，λ1=λ0，λ501=t。
求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下：任取非零向量u0∈R nηk−1=u T(k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1u k=Ay k−1βk=y Tk−1u k(k=1,2,3……)当|βk−βk−1||βk|≤ε=10−12时，迭终终止，并且令λ1=βk2、反幂法计算λs和λik由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值，可以应用反幂法直接求解出λs。
使用带偏移量的反幂法求解λik，其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ140(k=1,2,3…39)，构造矩阵C=A-μk I，矩阵C的特征值为λik−μk，对矩阵C使用反幂法求得按模最小特征值λ0，则有λik=1λ0+μk。
求解矩阵M按模最小特征值的具体算法如下：任取非零向量u 0∈R n ηk−1= u T (k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1 Au k =y k−1βk =y T k−1u k (k=1,2,3……)在反幂法中每一次迭代都要求解线性方程组Au k =y k−1，当K 足够大时，取λn =1βk 。
东南大学数值分析上机题答案
东南⼤学数值分析上机题答案数值分析上机题第⼀章17.（上机题）舍⼊误差与有效数设∑=-=Nj N j S 2211，其精确值为）111-23（21+-N N 。
（1）编制按从⼤到⼩的顺序1-1···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通⽤程序；（2）编制按从⼩到⼤的顺序121···1)1(111222-++--+-=N N S N ，计算NS 的通⽤程序；（3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时⽤单精度）；（4）通过本上机题，你明⽩了什么？解：程序：（1）从⼤到⼩的顺序计算1-1···1-311-21222N S N +++=：function sn1=fromlarge(n) %从⼤到⼩计算sn1format long ; sn1=single(0); for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1); end end（2）从⼩到⼤计算121···1)1(111222-++--+-=N N S N function sn2=fromsmall(n) %从⼩到⼤计算sn2format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1); end end（3）总的编程程序为： function p203()clear allformat long;n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn);sn1=fromlarge(n);fprintf('从⼤到⼩计算的值为%f\n',sn1);sn2=fromsmall(n);fprintf('从⼩到⼤计算的值为%f\n',sn2);function sn1=fromlarge(n) %从⼤到⼩计算sn1 format long;sn1=single(0);for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1);endendfunction sn2=fromsmall(n) %从⼩到⼤计算sn2 format long;sn2=single(0);for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1);endendend运⾏结果：从⽽可以得到N值真值顺序值有效位数2 100.740050 从⼤到⼩0.740049 5从⼩到⼤0.740050 64 100.749900 从⼤到⼩0.749852 3从⼩到⼤0.749900 66 100.749999 从⼤到⼩0.749852 3从⼩到⼤0.749999 6（4）感想：通过本上机题，我明⽩了，从⼩到⼤计算数值的精确位数⽐较⾼⽽且与真值较为接近，⽽从⼤到⼩计算数值的精确位数⽐较低。
数值分析上机作业
第一章第二题(1) 截断误差为104-时：k=1;n=0;m=0;x=0;e=1e-4;while k==1x1=x+(-1)^n/(2*n+1);if abs(x-x1)<ey=4*x1;m=n+1;break;endx=x1;k=1;n=n+1;endformat longy,my =3.141792613595791m =5001（2）截断误差为108-时：k=1;n=0;m=0;x=0;e=1e-8;while k==1x1=x+(-1)^n/(2*n+1);if abs(x-x1)<ey=4*x1;m=n+1;break;endx=x1;k=1;n=n+1;endformat longy,my =3.141592673590250m =50000001由以上计算可知，截断误差小于104-时，应取5001项求和，π=3.141792613595791；截断误差小于108-时，应取50000001项求和，π=3.141592673590250。
第二章第二题a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2];b=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0];v=220;r=27;d=[v/r 0 0 0 0 0 0 0];n=8;for i=2:na(i)=a(i)/b(i-1);b(i)=b(i)-c(n-1)*a(i);d(i)=d(i)-a(i)*d(i-1);end;d(n)=d(n)/b(n);for i=n-1:-1:1d(i)=(d(i)-c(i)*d(i+1));end;I=d'I =1.0e+002 *1.490717294184090.704617906351300.311568212434910.128623612390290.049496991380330.017168822994210.004772412363470.00047741598598第三章第一题(1)Jacobi迭代法：b=[12;-27;14;-17;12]x = [0;0;0;0;0;]k = 0;r = 1;e=0.000001A=[10,1,2,3,4;1,9,-1,2,-3;2,-1,7,3,-5;3,2,3,12,-1;4,-3,-5,-1,15;] D = diag(diag(A));B = inv(D)*(D-A);f = inv(D)*b;p = max(abs(eig(B)));if p >= 1'迭代法不收敛'returnendwhile r >ex0 = x;x = B*x0 + f;k = k + 1;r = norm (x-x0,inf);endxk计算结果：x =1.0000-2.00003.0000-2.00001.0000k =65(2) 高斯赛德尔迭代：A=[10,1,2,3,4;1,9,-1,2,-3;2,-1,7,3,-5;3,2,3,12,-1;4,-3,-5,-1,15;]x=[0;0;0;0;0];b=[12;-27;14;-17;12]c=0.000001L=-tril(A,-1)U=-triu(A,1)D=(diag(diag(A)))X=inv(D-L)*U*x+inv(D-L)*b;k=1;while norm(X-x,inf)>= cx=X;X=inv(D-L)*U*x+inv(D-L)*b;k=k+1;endXk计算结果：X =1.0000-2.00003.0000-2.00001.0000k =37(3) SOR：A=[10,1,2,3,4;1,9,-1,2,-3;2,-1,7,3,-5;3,2,3,12,-1;4,-3,-5,-1,15] x=[0;0;0;0;0];b=[12;-27;14;-17;12]e=0.000001w=1.44;L=-tril(A,-1)U=-triu(A,1)D=(diag(diag(A)))X=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U)*x+w*inv(D-w*L)*bn=1;while norm(X-x,inf)>=ex=X;X=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U)*x+w*inv(D-w*L)*b;n=n+1;endXn计算结果：X =1.0000-2.00003.0000-2.00001.0000n =22由以上可知，共轭梯度法收敛速度明显快于Jacobi法和G-S法。
东南大学出版社第二版《数值分析》上机作业答案(前三章)
for (i=k+1;i<N;i++) // { lik=a[i][k]/a[k][k]; //实施消去过程，得到上三角系数增广矩阵 for (j=k;j<M;j++) // { a[i][j]=a[i][j]‐lik*a[k][j]; // } } } cout<<"经列主元高斯消去法得到的数组为:"<<endl; // for (b=0;b<N;b++) // { cout<<endl; //输出经过列主元消去法处理过的系数增广矩阵 for (c=0;c<M;c++) { cout<<setw(7)<<a[b][c]; // } } cout<<endl; double x[N]; // double s; int f,g; x[N‐1]=a[N‐1][M‐1]/a[N‐1][N‐1]; // for (f=N‐2;f>=0;f‐‐) // { s=0; for (g=f+1;g<N;g++) //由上三角形的系数增广矩阵求出方程组的解 { s=s+a[f][g]*x[g]; // } x[f]=(a[f][N]‐s)/a[f][f]; // } cout<<"方程组的解为:"<<endl; for (b=0;b<N;b++) //输出方程组的解 {
1
当 n=10000 时，s3=0.7499 Press any key to continue （分析 S1 的 6 位数字中，有效位数为 4 位； S2 的所有数字都是有效数字。 ） 当 n=1000000 时，s1=‐14.2546 当 n=1000000 时，s2=‐14.2551 当 n=1000000 时，s3=0.749999 Press any key to continue （分析： S1 的 6 位数字中，没有有效数字； S2 的 6 位数字中，没有有效数字。 ） 由运行结果可知，当精度比较低时，按从大数开始累加到小数的计算结果的精度低于按从小数 累加到大数的计算结果的精度。 至于当 n=1000000 时，S1 和 S2 得出了负数结果，可能是由于循环次数过多，导致数据溢出， 从而得出错误结果。 习题 2 20．程序如下： //给定误差限为：0.5e‐6 //经过试算得当 delta 最大取道 0.7745966 时，迭代得到的根都收敛于 0 #include <iostream.h> #include <math.h> void main () { double x,u; int count=0; u=10.0; cout<<"请输入 x 的初值"<<endl; cin>>x; for (count=0;abs(u)>5;count++) { x=x‐(x*x*x‐3*x)/(3*(x*x‐1)); u=10000000*x; if(count>5000) { cout<<"迭代结果不收敛于 0！"<<endl; break; } } cout<<"x="<<x<<endl<<endl;
贾忠孝高等数值分析第一次上机作业
【运行结果】 当 m=300 时，下图表示实验结果，其中 k 为停机循环次数
当 m=995 时，停机循环次果表明当 m 越小时，收敛速度越快，在有限精度下，停机循环次数越小。这 与 Lanczos 方法最多 m 步找到准确解这一结论相吻合。
4. 取初始近似解为零向量, 右端项 b 仅由 A 的 m 个不同个特征向量的线性组 合表示时, Lanczos 方法的收敛性如何? 数值计算中方法的收敛性和m 的大小关 系如何? 【程序】 clc clear clf n=1000; rs=10^(-10); %停机准则 m=10; disp('Lanczos 算法') %定义对称正定阵与 b
1 1000, 2 59.8858, 999 10.0961, 1000 0.01,
经过 k=100，基本收敛达到精度要求。
【结论】 后者的收敛速度要大于前者。说明当 A 的最大特征值远大于第二个最大特征 值, 最小特征值远小于第二个最小特征值时，收敛速度只与 2. 对于同样的例子, 比较 CG 和 Lanczos 的计算结果. 【程序】
高等数值分析实验作业一
机械系 光辉 2014310205
1. 构造例子说明 CG 的数值性态 . 当步数 = 阶数时 CG 的解如何 ? 当 A 的最 大特征值远大于第二个最大特征值, 最小特征值远小于第二个最小特征值时 方 法的收敛性如何? 问题 1 【程序】 clc clear n=1000; %定义对称正定阵与 b lans=sort(rand(n,1),'descend'); D=diag(lans); Q=orth(rand(1000,1000)); A=Q*D*Q'; b=rand(n,1); %初始情况 x0=eye(n,1); r0=b-A*x0; p(:,1)=r0; %执行第一步 af(1)=dot(r0,r0)/dot(p(:,1),A*p(:,1)); x(:,1)=x0+af(1)*p(:,1); r(:,1)=b-A*x(:,1); bat(2)=dot(r(:,1),r(:,1))/dot(r0,r0); p(:,2)=r(:,1)+bat(2)*p(:,1); %执行 k 步 K=n; for k=2:1:K k af(k)=dot(r(:,k-1),r(:,k-1))/dot(A*p(:,k),p(:,k)); x(:,k)=x(:,k-1)+af(k)*p(:,k); r(:,k)=b-A*x(:,k);
数值分析上机作业(二)
数值分析上机作业（二）曲线逼近一、题目要求设()ln ,[1,3]f x x x x =∈，试求出权函数()1x ρ=的最佳平方逼近二次多项式。
另外请用Chebyshev 截断级数的办法和插值余项极小化方法分别给出近似最佳一致逼近二次多项式。
并画出所有曲线图。
二、方案设计2.1勒让德最佳平方逼近二次多项式2.1.1生成勒让德多项式序列此处利用递推公式12()(21)()(1)()n n n np x n xp x n p x −−=−−−12()1,()p x p x x==递推得到(),1,2,,1n p x n n =⋅⋅⋅+。
此段程序存储为legendre_poly.m 。
2.1.2求特定函数的勒让德多项式勒让德多项式逼近可以表述为0011()()()()n n P x c P x c P x c P x =++⋅⋅⋅+其中系数,0,1,,i c i n =⋅⋅⋅可以通过下式求得11((),())21()()((),())2i i i i i f x P x i c f x P x dx P x P x −+==∫这里需要注意的是，勒让德多项式均定义在(1,1)−上。
当给定函数区间为任意区间(,)a b 时，需要进行区间变换，令(2)()x a b t b a −−=−则(1,1)t ∈−。
由于给定函数区间不为(1,1)−，这里需要进行区间变换。
利用(2)/()t x a b b a =−−−，代入所得的勒让德多项式序列中，对其进行变换。
这样在积分时，即可在区间(,)a b 上进行。
此段程序存储为legendre.m 。
2.1.3给定函数2.1.4主程序将此段程序保存为main.m 。
运行主程序，可以得到勒让德多项式，并在区间(,)a b 上作图。
2.1.5实验数据及结果运行主程序，可得到勒让德多项式为同时可以得到逼近图像图像中散点为原函数对应的数据点。
2.2切比雪夫多项式逼近2.2.1给定函数2.2.2求出切比雪夫多项式序列这里利用递推关系12()2()()n n n T x xT x T x −−=−12()1,()T x T x x==递推得到(),1,2,,1n T x n n =⋅⋅⋅+。
高等数值分析上机作业
画图分析
4
第 10 章 常微分方程的初边值问题解法
上机作业 2：
1. 分别用 Euler 方法（h=0.025）、改进的 Euler 方法（h=0.05）、经
典的 R-K 方法（h=0.1），求初值问题的数值计算 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5
处解的近似值。
y y x2 1 y(0) 0.5
主程序： >> fun=inline('y-x.^2+1'); >> [x,y]=Euler1(fun,0.5,0.1)
运行结果：
x=
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
y=
0.5000 0.6540 0.8200 0.9970 1.1841
用经典的R-K方法（）求解一阶微分方程组的初值问题，并分别画出
3
h=0.01;x=-1:h:1; B(1,1)=quad('asin(x)./(sqrt(1-x.^2))',-1,1); B(2,1)=quad('asin(x).*x./sqrt(1-x.^2)',-1,1); B(3,1)=quad('asin(x).*(2*x.^2-1)./(sqrt(1-x.^2))',-1,1); B(4,1)=quad('asin(x).*(4*x.^3-3*x)./(sqrt(1-x.^2))',-1,1); B A=diag([pi,pi/2,pi/2,pi/2]); c=inv(A)*B y=asin(x); plot(x,y,'r') hold on z=0.9204*x+0.4296*x.^3; plot(x,z,'k') hold on s=1.2733*x+0.1415*(4*x.^3-3*x); plot(x,s,'c') legend('y=arcsin(x)','y=0.9204x+0.4296x^3','s=1.2733x+0.141 5(4x^3-3*)') 最后可以得到切比雪夫拟合多项式为 y 1.2733x 0.1415(4x3 3x) ，
北理工数值分析大作业
数值分析上机作业第 1 章1.1计算积分，n=9。
（要求计算结果具有6位有效数字）程序：n=1:19;I=zeros(1,19);I(19)=1/2*((exp(-1)/20)+(1/20));I(18)=1/2*((exp(-1)/19)+(1/19));for i=2:10I(19-i)=1/(20-i)*(1-I(20-i));endformat longdisp(I(1:19))结果截图及分析：在MATLAB中运行以上代码，得到结果如下图所示：当计算到数列的第10项时，所得的结果即为n=9时的准确积分值。
取6位有效数字可得.1.2分别将区间[-10.10]分为100,200,400等份，利用mesh或surf命令画出二元函数z=的三维图形。
程序：>> x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.1')>> x = -10:0.2:10;y = -10:0.2:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长 0.2')>>x = -10:0.05:10;y = -10:0.05:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.05')结果截图及分析：由图可知，步长越小时，绘得的图形越精确。
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运行结果：
2
拟合多项式为 y 0.9204x 0.4296x3 （2）用切比雪夫多项式拟合 arcsin x 程序如下；A 是正规方程的系数矩 阵，可以直接由公式得到,设拟合多项式为
y c0 c1x c2 (2x2 1) c3(4x3 3x)
下面将拟合曲线画出 x=-1:0.01:1; y=asin(x); plot(x,y,'r') hold on z=0.9204*x+0.4296*x.^3; plot(x,z,'g') hold on legend('y=arcsin(x)','y=0.9204x+0.4296x^3') B=zeros(4,1);
each
i
0,1,..., N
1.
程序代码：
建立M文件 function [x,y]=Euler1(fun,y0,h) x=0.1:h:0.5; y(1)=y0; for n=1:4
k1=feval(fun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1;
6
k2=feval(fun,x(n+1),y(n+1)); y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2; end x=x'; y=y'; 主程序 >> fun=inline('y-x.^2+1'); >> [x,y]=Euler1(fun,0.5,0.1)
2 S ( x)
2 S ( x)
a
f x 在子集 a,b中的最佳平方逼近函数。
取 j x x j , j 0,1,, n, 就有 span1, x, x2,, xn。对于任意的 Sx ，
n
有 Sx aj x j ， Sx为次数 n 的多项式。 j0
令 f (x) 在 span{1, x, x2, x3} 中的最佳平方逼近函数为
y(1)=0.5;
for j=1:3
k1=h*feval(f,x(j),y(j));
k2=h*feval(f,x(j)+h/2,y(j)+k1/2);
k3=h*feval(f,x(j)+h/2,y(j)+k2/2);
10
k4=h*feval(f,x(j)+h,y(j)+k3); y(j+1)=y(j)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end F=zeros(1,4); F=feval(f,x(1:4),y(1:4)); for k=4:n p=y(k)+(h/24)*(F*[-9 37 -59 55]'); x(k+1)=x(1)+h*k; F=[F(2) F(3) F(4) feval(f,x(k+1),p)]; y(k+1)=y(k)+(h/24)*(F*[1 -5 19 9]'); F(4)=feval(f,x(k+1),y(k+1)); end A=[x' y']; 运行结果： 0.100000000000000 0.657414375000000 0.200000000000000 0.829298275997396 0.300000000000000 1.015070058432605 0.400000000000000 1.214086961083903 0.500000000000000 1.425638497556907
-a(2)*x(2)+x(1)*x(3)+a(6)*x(4)*x(4); -a(3)*x(3)+x(1)*x(2)+a(4)*x(4); a(5)*x(1)]; %% 调用 RK 方法解方程组 y0 = [1 ,-2, 1, -1];%初值 [~,y]= myrk4(@xtfc,0,0.01,15000,y0); %% 作相平面图 subplot(1,2,1) plot(y(:,1),y(:,3),'b'); xlabel('x'); ylabel('z'); subplot(1,2,2) plot(y(:,2),y(:,3),'r') xlabel('y'); ylabel('z');
x-z,y-z 的平面相图。
8
•
x a1x yz
•
y
a2
y
xz
a0 w2
•
z
a3z xy
•
w a5x
a4w
a
a0
,
a1,
a2 ,
a3 ,
a4 ,
Байду номын сангаас
a5 ,
a6 =5,
14,
7,
3,
1,
150
x0 , y0, z0, w0 1, 2, 1, 1
简单原理：
ym1
ym
h 6
第 8 章 函数逼近与曲线拟合
上机作业 1：
最佳平方逼近
8-11.设 f x arcsin x, x 1,1，
（1） 在 span1, x, x2, x3中求 f x 的最佳平方逼近多项式；
（2） 在 spanT0 (x),T1(x),T2 (x),T3(x)中求 f x 的最佳平方逼近多项
画图分析
4
第 10 章 常微分方程的初边值问题解法
上机作业 2：
1. 分别用 Euler 方法（h=0.025）、改进的 Euler 方法（h=0.05）、经
典的 R-K 方法（h=0.1），求初值问题的数值计算 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5
处解的近似值。
y y x2 1 y(0) 0.5
主程序： >> fun=inline('y-x.^2+1'); >> [x,y]=Euler1(fun,0.5,0.1)
运行结果：
x=
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
y=
0.5000 0.6540 0.8200 0.9970 1.1841
用经典的R-K方法（）求解一阶微分方程组的初值问题，并分别画出
运行结果
x=
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 y= 0.5000 0.6490 0.8099 0.9819 1.1641
（2）改进欧拉法：
简单原理：
wi
1
wi
h[f 2
w0 (ti , wi ) f (ti1, wi
hf
, (ti , wi ))]
for
（1）欧拉法：
简单原理：
wi1
w0
,
wi hf (ti , wi )
for
each
i
0,1,..., N
1.
程序代码：
建立M文件：
5
function [x,y]=Euler(fun,y0,h) x=0.1:h:0.5; y(1)=y0; for n=1:4
y(n+1)=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n)) end x=x'; y=y'; 主程序：>> fun=inline('y-x.^2+1'); >> [x,y]=Euler(fun,0.5,0.1)
高等数值分析上机作业
目录
上机作业 1........................................1 上机作业 2........................................5 上机作业 3........................................10 上机作业 4........................................13 上机作业 5........................................16 上机作业 6........................................19 上机作业 7........................................20 上机作业 8........................................29
S * ( x)
a* 0
a* 1
x
a* x2 2
a* x3 3
通过求解法方程
(0 ,0 )
(1,0 )
(2 (3
,0 ,0
) )
(0 ,1) (1 ,1 ) (2 ,1) (3 ,1 )
(0 ,2 ) (1,2 ) (2 ,2 ) (3,2 )
(0,3) a0 ( f ,0 )
(1 (2 (3
9
上机作业 3：
1. 用 4 阶 Adams 预测-校正法初值问题的数值解。
y y x2 1 y(0) 0.5
简单原理：
y(0) n1
yn
h 24
(55
y(k 1) n1
yn
h (9 24
f
(
fn xn1,
59 fn1 37 fn2
y(k) n1
)
19
fn
5
9 f n 1
fn3 f
式。
解：（1） 基于幂函数的最佳平方逼近
简单原理：
对于 f (x)C[a,b]及一个线性无关函数组的集合
span0 (x),1(x),,n (x) C[a,b], 若存在 S , 使得
f (x) S(x) 2 min