2.2平面向量的线性运算( 第一课时)
2.2 平面向量的线性运算
2.2 平面向量的线性运算2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．课堂训练 一．选择题1．下列命题正确的是（ ） Ａ．若∥a b ，则a 与b 同向Ｂ．若∥a b ，则a 与b 同向或反向 Ｃ．若a =0，则a 与0共线Ｄ．若a 不为0，则a 与0不共线且3AC CB =-，设2．如图1所示，向量 ，，OAOBOC 的终点A B C ，，在一条直线上，=OA p ，= OB q ，= OC r ，则以下等式中成立的是（ ）Ａ．1322r p q =-+Ｂ．2r p q =-+baCBAa b C C -=A -AB =BＣ．3122r p q =- Ｄ．2r q p =-+3．如图2所示，在菱形ABCD 中，120DAB ∠= ，则以下说法错误的是（ ） Ａ．与AB 相等的向量只有一个（不含AB本身） Ｂ．与AB 的模相等的向量只有4个（不含AB本身） Ｃ．BD 的长度恰为DAＤ．CB 与DA不共线4．将1[2(28)4(42)]12+--a b a b 化简成最简式为（ ） Ａ．2a b - Ｂ．b a - Ｃ．a b - Ｄ．2b a -5．已知G 是ABC △的重心，如图1所示，则GA GB GC +-=（ ） Ａ．0 Ｂ．4GEＣ．4GDＤ．4GF6．若9AB = ，6AC = ，则BC的取值范围为（ ）Ａ．[315]，Ｂ．[39]， Ｃ．(315)，Ｄ．[69]，二．填空题7．已知非零向量1e 和2e 不共线，欲使t 12+e e 和1+e t 2e 共线， 则实数t 的值为 ．8．平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点．设AB = a ，AD = b ，则=MN （用a ，b 表示）．9．已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==，a ，AC = c ，BC =b ，则a bc ++= ．10．已知OA = a ，OB = b ，若12OA = ，5OB =，且90AOB ∠= ，则-=a b ． 11．在菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，1AB = ，则BC DC +=．12．在静水中划船速度是10米／分钟，水流速度10米／分钟，如果船从岸边径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是 ．实际行进方向与水流方向的夹角为 ． 三．解答题13．两个非零向量12，e e 不共线．（1）若= AB 12e e +，BC = 1228e e +，CD =123()-e e ，求证：，，A B D 三点共线； （2）求实数k ，使k 12e e +与12+e k 2e 共线．14．一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ，然后又改变航向向东偏北60 航行了400海里到达C 岛，最后又改变航行，向西航行了200海里到达D 岛．（1）试作出向量AB BC CD，，；（2）求AD ．15．如图4，在ABC △中，在AC 上取点N ，使得13AN AC =，在AB 上取点M ，使得13AM AB =，在BN 的延长线上取点P ，使得12NP BN =，在CM 的延长线上取点Q ，使得12MQ CM =，用向量的方法证明P A Q ，，三点共线．16．一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行400 km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成．17．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，用向量a ，b 分别表示向量OC ，OD，DC ，BC ．18．飞机从甲地以北偏西15˚的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75˚的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？第19题．如图，13AM AB = ，13AN AC =．求证：13MN BC = ．同步提升一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等 D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c + - D .a b c-- 3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+= 4.+++等于( ) A . B . C .AC D .CA5.化简SP PS QP OP ++-的结果等于( )A 、B 、C 、D 、A AB OC = B AB ∥DEC AD BE =D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( )①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=- ④(a )a --= ⑤a (a )0+-=A .5B .4C .3D .28.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|,那么△ABC 一定是( ).A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a =,CA b =,则AB 等于( )A .a b +B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+ ,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线. ()1A λμ+= ()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=二.填空题(每题5分)11.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA = ______,MB = ______,MC = ______,MD =______.12.已知向量a 和b 不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______13.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB = ______.14.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC = 则四边形ABCD 的形状是______.三.解答题15.化简下列各式:(1)=++++______;(2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.（3）=-++-)()(______.16.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.(1)作出向量AB ,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DA17.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与、共线的向量; (2)与相等的向量.CDABNM18.在直角坐标系中,画出下列向量: (1)a 2= ,a的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y 轴正方向的夹角为 30;(2)a 4=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y 轴正方向的夹角为 120;(3)a=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.19.在ABC ∆所在平面上有一点P ,使得=++,试判断P 点的位置.20.如图所示,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 边中点,点N 在BD 上且BD BN 31=,求证:M 、N 、C 三点共线.2.2 平面向量的线性运算 课堂训练参考答案一．选择题 1~5 CADDD 6 A 二．填空题7．1± 8．1()2-a b 9．2 10．13 11．45三．解答题 第13题．（1）证明：=++= AD AB BC CD 1266+=e e 6AB， A B D ∴，，三点共线；（2）解： k 12+e e 与12e +k 2e 共线， ∴k 12+=e e λ（12e ＋k 2e ），(2)λ∴-k 1e ＋(1)k λ-2e =0，201k k k λλ-=⎧∴⇒=⎨-⎩，，第14题．解：（1）向量ABBC CD ，，如右图所示．（2）根据题意，易知AB 和CD 方向相反，故AB 与CD共线．又AB CD = ，∴在四边形ABCD 中，AB CD∥，四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴= ，400AD BC ∴==海里．第15题．证明：111()()222AP NP NA BN CN BN NC BC =-=-=+=，111()()222QA MA MQ BM CM BM MC BC =-=-=+= ，AP QA ∴= ，P A Q ∴，，三点共线．第16题．飞机飞行的路程是700 km ；两次位移的合成是向北偏西约53˚方向飞行500 km ．第17题．OC a =- ，OD b =- ，DC b a =- ，BC a b =--．第18题．丙地在甲地的北偏东45˚方向，距甲地1400km ．第19题．证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC = ，13AM AB = ，所以1133MN AC AB =- ()1133AC AB BC =-= ．同步提升参考答案 一.选择题(每题5分)1.C2. B3.C4.B5. B6.D7.C8.A9.B 10.D 二.填空题(每题5分)11.111(a b ),(a b ),(a b )222-+-+ ,1(b a )2-12.1 13.a b + ,a b- 14.等腰梯形三.解答题(每题10分)15.(1)0(2)AC （3）016.【解答】(1)如图,(2)∵-=,故四边形ABCD 为平行四边形, )m (15==DA BC17.【解答】与EF 共线的向量有AB 、; 与CO 共线的向量有CE ,CA ,OE ,OA ,; 与EA 相等的向量是18.【解答】19.【解答】 PA PB PC AB ++=()PA PA AB PC AB ∴+++=,故-=2A ∴、P 、C 三点共线,且P 是线段AC 的三分点中靠近A 的那一个20.【解答】提示:可以证明MC 3MN =CDABNM。
平面向量的线性运算(一)
课题：平面向量的线性运算（一）一、教学目标：（1）掌握向量加、减法的运算法则，并理解其几何意义；（2）会用平行四边形法则和三角形法则作两个向量的和向量、差向量，培养数形结合的能力；（3）通过将向量运算与实数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
二、教学重点、难点：（1）重点：向量加法的运算（三角形法则、平行四边形法则）、向量的减法运算及其几何意义。
（2）难点：对向量加法法则和减法的定义的理解，特别是向量减法的定义的理解。
三、教学方法：问题式教学、小组合作、自主探究． 四、教学过程： （一）课题引入以前由于大陆和台湾没有直航，因此从上海到台北乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移的结果是什么呢？（二）新知探究阅读教材第80页并思考力F 对橡皮条产生的效果与力F 1 和 F 2共同作用产生的效果相同吗？合力F 与F 1 ,F 2 有怎样的关系呢？改变力F 1 和 F 2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F 与F 1 ,F 2之间的关系吗？ 1. 向量的加法：【问题1】向量加法的运算法则：【问题2】三角形法则和平行四边形法则的几何意义:台北上海香港【问题3】用三角形法则和平行四边形法则作图求和向量时应注意什么？【问题4】类比实数的加法交换律和结合律，思考对于任意向量 a ，b 的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探究？【问题5】若a 与b共线，如何作出 + a b ？2. 向量的减法：【问题1】相反向量的定义：【问题2】向量减法的定义及运算法则：【问题3】 向量减法的几何意义：【问题4】若a 与b共线，如何作出 - a b ？【问题5】 ||a 、 ||b 、 +||a b 、 -||a b 之间有何联系？【问题6】向量减法的三角形法则与向量加法的三角形法则有何异同？（三）典型例题O Aaaab b b例1．已知向量、，求作向量+. ba解:1.三角形法则（首尾相接，首指向尾为和）如图，在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=。
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
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A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
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(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
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4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
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2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
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3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算教学案数学教学案
2.2 平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C 点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a．平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．(3)式子＝0正确吗？[课前反思](1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：．[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则．[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示， (平行四边形法则)，(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝a＋b.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．练一练1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．作＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．讲一讲2．化简下列各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB 的中点，化简下列三式：讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2 向量加法运算4．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝aA．2 5 B．45C．12 D．66．根据图示填空．解析：由三角形法则知7．已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝c ，＝b ，则|a ＋b ＋c |为________．解析：|a ＋b ＋c |＝＝＝2 2.答案：22 8．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算： 解：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以题组3 向量加法的应用 9．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析：如图所示，设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则||＝8 2 km ，∠BAC ＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB ，就是雨滴下落的实际速度． 在Rt △OAC 中，||＝4，||＝433，∴∠AOC ＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是833m/s ，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a ＝，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤解析：选C a ＝＝0，∴①③⑤是正确的．2．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，3．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则＝( )4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P P 在△ABC 的外部解析：选D ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外．答案：6．若P 为△ABC 的外心，且，则∠ACB ＝________． 解析：∵，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心，因此∠ACB ＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且||＝＝0，cos ∠DAB ＝12.求 又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠ DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．8．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt△ACD中，＝|v水|＝10 m/min，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．第2课时向量减法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b 吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．2．归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．(2)向量的减法①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则_＝a －b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[问题思考](1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．[课前反思](1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：．讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练一练1．化简下列各式：[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．[思考2] a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．讲一讲2．(1)四边形ABCD中，若( )A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[尝试解答] (1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．练一练2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如图所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.讲一讲3．如图，解答下列各题：利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．练一练—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．课下能力提升(十五)[学业水平达标练]题组1 向量的减法运算1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )A．①② B．①③C．①③④ D．②③题组2 向量减法及其几何意义4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )解析：选B 由减法法则知B正确．A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．题组3 利用已知向量表示未知向量8．如图，向量，则向量可以表示为( ) A．a＋b－c B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c解析：选C ＝b－a＋c.故选C.9．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝b－c.答案：b－c11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量[能力提升综合练]1．有下列不等式或等式：①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b ＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A．8 B．4 C．2 D．14．平面上有三点A，B，C，设若m，n 的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|＝2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i＝1，2，3，则b1－b2＋b3＝________．解析：将a i顺时针旋转30°后得a i′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵b i与a i′同向，且|b i|＝2|a i|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．证明如下：∵，∴，∴，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 87～P 90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a ，根据向量的加法，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你认为它们与a 有什么关系？提示：a ＋a ＋a ＝3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相同；(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相反．(2)λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向、长度之间有什么关系？ 提示：当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反，且λa 的长度是a 长度的|λ|倍．(3)若a ＝λb ，则a 与b 共线吗？提示：共线．2．归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反Ｗ. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0．(2)向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．[问题思考](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．[课前反思](1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：．[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简下列各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[尝试解答] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j . 讲一讲2.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若，试用e 1，e 2表示[尝试解答] ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴MN 綊12BD . 用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如图所示，四边形OADB 是以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示 [思考1] 如何证明向量a 与b 共线？名师指津：要证向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．[思考2] 如何证明A ，B ，C 三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3．(1)已知e 1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N 三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．题组2 用已知向量表示未知向量A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p＝－12p ＋32q .4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且则t 的值为( )A.13B.23C.12D.535．如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则＝________．(用a ，b 表示)＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a ) 6．如图所示，已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L，且＝e 1，＝e 2，试用e 1，e 2表示⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2， 解得x ＝23(2e 2－e 1)，即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1， 同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)， 即＝－43e 1＋23e 2.题组3 共线向量定理的应用7．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2； ④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．8．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：选A＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2，所以A ，B ，D 三点共线．9．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．解析：由题设知k 22＝1－52k 3， 所以3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 答案：－2或1310．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，＝a ，＝b .(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[能力提升综合练]2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：选A 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；λa －μb ＝0，λa ＝μb ，故②可以；x ＝y ＝0，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析：选B 如图，在△ABC 中，以BM ，CM 为邻边作平行四边形MBDC ，依据平行四边形法则可得两向量有公共点M ，则A ，M ，D 三点共线，设BC ∩MD ＝E ，结合MD 是平行四边形MBDC 的对角线可知，AE 是△ABC 的中线，同理可证BM ，CM 也在△ABC 的中线上，即M 是△ABC 的重心．以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ，依据向量加法的平行四边形法则可得4．如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．③④到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，故选A. 答案：236．已知两个不共线向量e 1，e 2，且＝e 1＋λe 2，＝3e 1＋4e 2，＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．又＝e 1＋λe 2，且A ，B ，D 三点共线，所以存在实数μ，即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2)，又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，则λ＝－35. 答案：－357．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设＝a ，＝b ，试用a ，b 分别表示解：∵ABCD 是平行四边形，BF ＝MC ＝14BC ， ∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC . ∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH . ∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形．8．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点， (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。
教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。
3. 运用线性运算解决平面向量的问题。
教学难点：1. 点乘的概念和应用。
2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。
2. 学生准备：纸笔、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。
2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。
二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。
2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。
四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。
2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。
五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。
2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。
六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。
2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。
教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。
(完整版)平面向量的线性运算
ABabbaa a O =−→−OBA B O B a abb=−→−OB a +b ABAa +b向量的线性运算（一）1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a →--→--OB =→--OA +→--AB a +b2.向量的加法法则（1）共线向量的加法：同向向量反向向量（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：→--AB −→−+BC=→--AC ．平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→−AC 叫做a与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→−AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律：a +b =b +a（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→−CD c 则(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．例题：例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水aaab bba +ba +b ABC ABCD三角形法则平行四边形法则的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。
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当向量a、不共线时有 | a b || a | | b | b
综合以上探究我们可得结论：
a
| a b || a | | b |
高一、一科数学专用课件
2013-5-30
引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向 伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同 方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
2013-5-30 高一、一科数学专用课件 答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
向量的减法运算及其几何意义
回顾： （1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数
思考（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？ 如设
：
a 的相反数记作 a 。
x, y R , x y x ( y)
a
A A
ab
ab ba
2013-5-30
a
b
高一、一科数学专用课件
(a b) c a (b c).
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？
a
a
b
b
A （1） B
（2） C
ab
C
A ab
B
若a， b方向相同，则 | a b || a | | b | 若a， b方向相反，则 | a b || a | | b（或 | b | | a | ） |
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设
AB b, AC a AE a b) a b ( 又 b BC a 所以 BC a b
B
b
规定： a a 0 a 0
高一、一科数学专用课件
2013-5-30
当向量 a、不共线时，和向量的长度 | a b | 与向量 b a、的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？ b
ab
b
三角形的两边之和大于第三边
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
a
A
起 点 相 同
文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行 四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O， OB 作 OA a ， b ，
以 OA、OB为邻边作 OACB a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
b
A
a
ab
C O
b
平行四边形法则
B
尝试练习二：
法则作出 a b
①
(3)已知向量 、 ，用向量加法的三角形法则和平行四边形 a b
F1 M 图1 M E O
2013-5-30
C EO F2 F 图2
F1 F F2
F=F1+F2
高一、一科数学专用课件
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
a
A
起 点 相 同
以同一点O为起点的两个已知向量 a、 为邻边作 OACB, b 则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a b, 即 a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
高一、一科数学专用课件
练习.判断下列命题是否正确：
（1）共线向量都相等
（2）单位向量都相等 （3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行 （5）长度相等的向量叫做相等向量. （6）方向相反的向量就是相反向量 （7）若两向量相等，则起点和终点都相同
(8)若 a b , 则a b或a b
2013-5-30
高一、一科数学专用课件
a b
a A b
a b
D
C E
不借助向量的加法法则你能直接作出
a b 吗？
2013-5-30
高一、一科数学专用课件
一般地
a
b
B
b
O
a
a b
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量 注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。 （1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？ 练习：
2013-5-30 高一、一科数学专用课件
引入1：
上海
台北
香港
O OA+AB=OB
B
A
向量加法的三角形法则：
a
b
C
ab
A
b
首 尾 相 接
B 已知非零向量 a 、 , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, b 则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC
a b
d
c
a
b
c
O
C
作法：
在平面内任取一点O， 作 OA a, OB b, OC c, OD d ,
则
BA a b
DC c d
起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。 注意：
②
b
a
b
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R ，
有
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？ D 请画图进行探索。
B
a b b a, (a b) c a (b c).
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab b
b
D
C
A
a
B
a与b互相垂直
2013-5-30
高一、一科数学专用课件
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
2013-5-30 高一、一科数学专用课件
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
解： 在Rt ABC中，AB | 2,| BC | 2 3 (2) | 2 2 AC | | AB | | BC | |
22 (2 3) 2 4
D
C
2 3 tan CAB 3 2
A
B
CAB 60 .
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b
b
a
A
a
O
b
B
ab
三角形法则
思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形
如何定义向量的减法运算呢？
2013-5-30
高一、一科数学专用课件
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反 的向量叫做 a 的相反向量。 记作： a
规定： （1）
二、向量的减法： a b a (b)
D
（1）如图所示， 表示船速， 表示水速， AD AB 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示
2013-5-30
解：
A
B
船实际航行的速度. 高一、一科数学专用课件
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
变式一 本例中，当 满足什么条件时， a, b 互相垂直？ a b a 与 b a b 变式二 本例中，当 a满足什么条件时， ,b
a b a b ?
AC a b DB a b
平面向量的线性运算
第一课时
2013-5-30
高一、一科数学专用课件
知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.