高等数学 1-4无穷小与大 1-5极限性质
高等数学课件1-5无穷小与无穷大
.
三、证明函数
y
1 x
cos
1 x
在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 .
x 0 时 , 这个函数不是无穷大
$1-5无穷小与无穷大
19
练习题答案
一 、 1、 0； 3、 ； 二、0 x
10 1
4
2、 lim f ( x ) C ；
x x
4、 .
证 必要性 设
x x0
lim f ( x ) A , 则 lim [ f ( x ) A ] 0
x x
0
令 ( x ) f ( x ) A , 则有 lim ( x ) 0 ,且
x x0
f ( x ) A α ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
6
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数 u 在 U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则 M 0 , ( δ1 0 ), 使 得 当 0 x x 0 δ1时 恒有 u M .
又设 是当 x x 0 时的无穷小 ,
0 , 2 0 , 使得当 0 x x 0 2 时 恒有 M .
$1-5无穷小与无穷大 11
不是无穷大．
例 ( P 5 3 例 2 ） 证 明 lim
1 x1
x1
.
证
M 0 . 要使
1 x 1
M,
y 1 x 1
只要 x 1
1 M
,
取 1 M 时,
1
1 M
,
当0 x 1
就有 1 x 1
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
高等数学(上册)-电子教案 D1.4 无穷小与无穷大
§1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小
定义1.4.1 如果函数 则称函数 为 在
(或x ) 时的极限为零
(或x ) 时的无穷小 .
函数 函数 为
如:
时的无穷小; 时的无穷小;
为
注: (1)无穷小不同于很小的常数! (2)除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
, 函数
为
时的正无穷大;
函数 函数 注： 若
为 为
时的无穷大; 时的负无穷大;
, 则直线 x x 0 为曲线
的铅直渐近线 . 例1.4.2 设函数 讨论 ， 是否存在.
解： 所以 不存在.
三、无穷小与无穷大的关系
定理1.4.2 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷小 ; 为无穷大, 则 f ( x) 1 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) 为无穷大. (证明略)
定理 1.4.1 ( 无穷小与函数极限的关系 ) f ( x) A , 其中 为 x x0 lim f ( x) A x x
0
时的无穷小.
注：对自变量的其他变化过程有类似结论。
2x 1 1 lim lim 2 2 例如： x x x x
关于无穷小的几个性质
性质1.4.1 有限个无穷小的和还是无穷小 .
注：无限个无穷小的和仍是无穷小.
如
1 1 lim n n n
n
1 1 n
性质1.4.2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小. 性质1.4.3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.
arctan x . 例1.4.1 求极限 lim x x 1 π 解：因为 lim 0, arctan x , 根据性质1.4.3， x x 2
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.4-1.5 无穷小.
课时授课计划课次序号：一、课题：§1.4 无穷小与无穷大§1.5 极限运算法则二、课型：新授课三、目的要求：1.理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小、无穷大以及有界量之间的关系；2.掌握极限的运算法则.四、教学重点：无穷小和无穷大的概念，极限的运算法则.教学难点：极限运算法则的应用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–4 4（1）；习题1–5 1（1）（5）（7）（14），3（2）八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：复习1.两种变化趋势下函数极限的定义，左右极限（单侧极限）2.函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系.对于函数极限来说，有两种情形比较特殊：一种是极限为零，另一种是极限无穷不存在，我们分别称之为无穷小和无穷大.下面我们先介绍无穷小与无穷大，在此基础上，进一步介绍极限的运算法则.第四节无穷小与无穷大一、无穷小定义1 若limα（x）=0，则称α（x）为该极限过程中的一个无穷小．例1当x→2时，y=2x-4是无穷小，因为容易证明（2x-4）=0．当x→∞时，y=也是无穷小，因为=0．定理1(无穷小与函数极限的关系定理lim f（x）=A的充要条件是f（x）=A+(x，其中(x为该极限过程中的无穷小．证为方便起见，仅对x→x0的情形证明，其他极限过程可仿此进行．设f(x=A，记(x=f(x-A，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（x）-A｜＜ε，即｜(x｜＜ε．由极限定义可知，(x=0，即(x是x→x0时的无穷小，且f（x）=A+(x．反过来，若当x→x0时，(ξ是无穷小，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜(ξ-0｜=｜(ξ｜＜ε，即｜f（ξ）-A｜＜ε，由极限定义可知，f（ξ）=A．二、无穷大在lim f（ξ）不存在的各种情形下，有一种较有规律，即当x→x0或x→∞时，｜f（ξ）｜无限增大的情形．例如，函数f（ξ）=，当x→1时，｜f（ξ）｜=无限增大，确切地说，M＞0（无论它多么大），总δ＞0，当x∈（1，δ）时，｜f（ξ）｜＞M，这就是我们要介绍的无穷大．定义2 若M＞0（无论它多么大），总δ＞0（或X＞0），当x∈（x0，δ）（或｜ξ｜＞X）时，｜f（ξ）｜＞M恒成立，则称f（ξ）当x→x0（或x→∞）时是一个无穷大．若用f（ξ）＞M代替上述定义中的｜f（ξ）｜＞M，则得到正无穷大的定义；若用f（ξ）＜-M代替｜f（ξ）｜＞M，则得到负无穷大的定义．某极限过程中的无穷大、正无穷大、负无穷大分别记作：．注（1）若,则称为曲线的垂直渐近线．（2）称一个函数为无穷大时,必须明确地指出自变量的变化趋势．对于一个函数,一般来说,自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同．例如函数y=,当x→时,它是一个无穷大,而当x→时,它则是一个无穷小．（3）由无穷大的定义可知,在某一极限过程中的无穷大必是无界变量,但其逆命题不成立．例如, 当n→∞时,(1+(-1nn是无界变量,但它不是无穷大．例2=+∞，=-∞，=-∞,=+∞, =-∞．三、无穷小与无穷大的关系定理2在某极限过程中，若f（ξ）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（ξ）为无穷小，且f（ξ）≠0，则为无穷大．证我们仅对x→x0的情形证明，其他情形仿此可证．设f（ξ）=∞，则ε＞0，令M=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＞M=，即＜ε，故为x→x0时的无穷小．反之，若f（ξ）=0，且f（ξ）≠0，则M＞0，令ε=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＜ε=，即＞M，故为x→x0时的无穷大．第五节极限运算法则一、无穷小运算法则定理1在某一极限过程中，如果(x，(x是无穷小，则(x± (x也是无穷小．证我们只证x→x0的情形，其他情形的证明类似．由于x→x0时，(x，(x均为无穷小，故ε＞0，δ1＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ1时，｜(x｜＜，（1）δ2＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ2时，｜(x｜＜，（2）取δ=min（δ1，δ2），则当0＜｜x-x0｜＜δ时，（1）、（2）两式同时成立，因此｜(x±(x｜≤｜(x｜+｜(x｜＜+=ε．由无穷小的定义可知，x→x0时，(x± (x为无穷小．推论在同一极限过程中的有限个无穷小的代数和仍为无穷小．定理2在某一极限过程中，若(x是无穷小，f（x）是有界变量，则(x f（x）仍是无穷小．证我们只证x→∞时的情形，其他情形证法类似．设f（x）为x→∞时的有界变量，则M＞0，当｜x｜＞X1＞0时，｜f（x）｜＜M，又因(x=0，则ε＞0，对来说，X2＞0，当｜x｜＞X2时，｜(x｜＜，取X=m ax{X1，X2}，则当｜x｜＞X时，有｜(x·f（x）｜=｜(x｜·｜f（x）｜＜·M =ε．这就证明了当x→∞时，(x f（x）是无穷小．例1求．解因为x∈（-∞，+∞），｜sin x｜≤1，且=0，故由定理2得sin x=0．推论在某一极限过程中，若C为常数，(x和(x是无穷小，则C(x，(x（x）均为无穷小．这是因为C和无穷小均为有界变量，由定理2即可得此推论．此推论可推广到有限个无穷小乘积的情形．定理3在某一极限过程中，如果(x是无穷小，f（x）以A为极限，且A≠0,则(x\f（x）仍为无穷小．证由定理2可知，我们只需证为该极限过程中的有界变量即可．我们仅对x→x0时进行证明，其他情形类似可证．因为f（x）=A，A≠0, 则对ε=，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，有｜｜f（x）｜-｜A｜｜≤｜f（x）-A｜＜，从而＜｜f（x）｜＜，故＜=M, 即为时的有界变量．利用无穷小的性质及无穷小与函数极限的关系，我们可得极限四则运算法则．二、极限的四则运算法则定理4若，则(1 ;(2 ;(3 l= (．证我们仅证（2），（3）．因为，所以f（x）=A +(x，g（x）=B +β(x，其中，于是f(x g(x=［A+］［B+β(x］=AB+Aβ(x+B+β(x．由定理1及其推论可得, , ．故由第四节定理1及本节定理1可知．同理，对于式（3），只需证-是无穷小即可，因为-=-=，由定理1及其推论可知．由刚获证的式（2）可知．所以，其中为无穷小．最后由第四节中的定理１便得lim==（B≠0）．推论1 若存在，C为常数，则．这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为．推论2 若存在，n∈N，则．例2 求．结论：多项式函数当极限为，而解===-2．例3求，其中m，n∈N．解由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”．===．例4求．解此极限仍属于“”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”．====．例5求．解分子分母均为无穷大，这种情形称为“”型．对于它，我们也不能直接运用极限运算法则，通常应设法将其变形．==．结论当，例6求解====1例7求解====．例8设f(x=问b取何值时，存在．解由于==2，==b，由第三节定理１可知，要存在，必须=，因此b=2．三、复合函数极限运算法则定理5设函数由复合而成，如果，且在x0的一个去心邻域内，，又=A，则=A．该定理可运用函数极限的定义直接推出，故略去证明．例9求解因为=0，=1，故=1．例10 求．解因为=0，=0，故=0．课堂总结1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则．在计算极限时，应注意法则成立的条件，不要错误地运用以上法则．。
高数大一求极限知识点总结
高数大一求极限知识点总结高等数学中的极限是一个重要且基础的概念，它在微积分和数学分析等学科中起到了至关重要的作用。
大一学习高数过程中，掌握极限的相关知识点对于进一步深入学习数学和应用数学是至关重要的。
本文将对大一高数中的极限知识点进行总结，以帮助同学们回顾复习和加深理解。
1. 极限的定义极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数值或数列的趋势。
对于函数而言，当自变量逐渐接近某个特定值时，函数值是否逐渐趋于确定的有限值或无穷大，这个确定的值就是该函数的极限。
2. 极限的性质- 唯一性：如果一个函数存在极限，那么极限是唯一的。
- 有界性：如果一个函数在某个点附近存在极限，那么该函数在该点附近有界。
- 保号性：如果一个函数在某个点附近极限存在，且极限大于（或小于）0，那么在该点附近函数的值也大于（或小于）0。
3. 极限的四则运算在计算函数的极限时，可以利用四则运算的法则来简化问题。
以下是常见的四则运算法则：- 两个函数相加（减）的极限等于两个函数的极限的和（差）。
- 一个函数与一个常数相乘的极限等于函数的极限乘以常数。
- 两个函数相乘的极限等于两个函数的极限的乘积。
- 一个函数除以另一个函数的极限等于函数的极限除以另一个函数的极限。
4. 极限存在的充分条件为了判断一个函数在某点是否存在极限，可以利用以下常见的充分条件：- 函数在该点附近有定义。
- 左极限和右极限存在且相等。
- 函数在该点附近有界。
- 函数在该点附近单调。
- 函数在该点附近保号。
5. 常见的极限计算方法- 代入法：直接将自变量代入函数中，求函数值来确定极限。
- 消去法：通过分子有理化、分母有理化等方法，将复杂的表达式转化为简单的形式，进而计算极限。
- 夹逼定理：当存在两个函数，它们在某点附近夹住待求函数，并且这两个函数的极限相等，那么待求函数的极限也等于这个共同的极限。
6. 无穷小量与无穷大量- 无穷小量：当自变量趋于某一特定值时，函数的极限趋近于0，这个极限称为无穷小量。
大学高数第一节 无穷小
数列中的每个数称为数列的一项, 数列中的每个数称为数列的一项
x n 称为数列的通项 或一般项 数列简记为 { xn }. 称为数列的通项 或一般项), 通项(或一般项
例如, 例如 数列 1 1 1 1, , , L , , L; 2 3 n
1 简记为 n
简记为 {2n }
1 简记为 n 2
x1
x2 x4
xn
x
x1 , x2 ,L , xn ,L
3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程： 数列的变化过程包含两个相关的无限过程：
n的主动变化: 即n 从1开始， 的主动变化: 开始， 的主动变化 开始 不断增大 每次加 ). 不断增大( 每次加1
何为无限增大？ 何为无限增大？
一定可以大于每个固定的正数. 一定可以大于每个固定的正数 称为n 趋于无穷大， 称为 趋于无穷大， 记为 n → ∞ .
2. 当 x → x 0 时 , f ( x ) 为无穷小与 f ( x ) 在 x 0 点
是否有定义无关. 是否有定义无关
− + x → x0 , x → x0 或 x → x0 时, ( x − x0 ) 都是无穷小 当 都是无穷小.
类似于定理1.1和定理 类似于定理 和定理1.2, 有 定理1.3 (无穷小比较定理 无穷小比较定理3) 定理 无穷小比较定理
定义1.2 ( x →+∞(−∞或∞) 时函数无穷小 时函数无穷小) 定义 有定义, 设 f ( x )在 (c ,+∞ ) 有定义 c 为常数 . 如果对于任意给定的正数 ε , 总存在正数 X, 当 x > X 时, 有
f (x) < ε
则称当 x → +∞ 时，f ( x ) 为无穷小. 则称当 为无穷小 记为 lim f ( x ) = 0, 或 f ( x ) → 0 ( x → +∞ ).
高等数学1-4-无穷小与无穷大
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0
高等数学无穷小与无穷大
高等数学无穷小与无穷大
高等数学里无穷小和无穷大是比较常见的概念，它们之间有很多相似之处，但也有不少差异。
无穷小是指一个数字按任意一种规律得到无穷多个数字中最小的一个数字，它既大于0，又接近0，但它不可能等于0.例如，求sin(x) = 0时，
解析解为x = 0,+π,+2π,…，这些解中最小非零解是x=π，它就是无穷小.
而无穷大则是指一个数字按任意一种规律得到无穷多个数字中最大的一
个数字，它既大于0，又接近无穷大，但它的大小无限。
例如，求e的x次
幂的极限为无穷大，这就是无穷大的一个例子.
两个概念最大的不同在于，无穷小是一个有限的概念，它可以在常数范
围内确定出来；而无穷大则是无限的，没有可以用来定义它的有限常量.
总的来说，无穷小和无穷大是高等数学关键概念，它们的理解对于数学
学习很重要，也给解决诸多数学难题提供了很大帮助。
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( f ( x) M ) ,
( lim f ( x) )
例1 . 证明
证: 令 得
1 , 当 M 0 ,取 M
所以
说明: 若 为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 .
时,有
水平渐近线
铅直渐近线
注意：
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
( C 为常数 ) ( m 为正整数 )
定理4 若lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x), 则 A B . ( P46 定理 5 ) 注: 前面讨论的一切问题均可推广到数列的情况!
例2. 求 解: 因为
x = 3 时分母为 0 ! 分子不为零
( B 0)
证: (2) 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
(其中 , 为无穷小) f ( x) g ( x) ( A ) ( B ) AB A B
f ( x) A , g ( x) B
由无穷小与无穷大的关系得,
例3.
( x 3)( x 1) x 1 lim lim x 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3
x = 3 时分母为 0 ! 分子也为零
例4 . 求
1 (分子、分母同除以x2) 解: lim 2 x x 5 x 4 这叫做分离无穷小.
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系
3. 无穷小与无穷大的关系
作业习题1-4 7 ;
第一章
§1.5 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
一、 无穷小运算法则
m
m 1
为非负常数 )
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )
Pn ( x) Pn ( x0 ) . Qm ( x0 ) 0, lim x x0 Q ( x ) Qm ( x0 ) m Pn ( x) . Qm ( x0 ) 0, Pn ( x0 ) 0, lim x x0 Q ( x ) m
Qm ( x0 ) 0, Pn ( x0 ) 0,
目前可通过因式分解的方法处理,以后有更好的方法.
三、 复合函数的极限运算法则
定理5. 设
则有
证: (略) 说明: (1)此法则相当于求极限的换元法. (2)若定理中 lim ( x) ,
x x0
则类似可得
x x0
lim f [ ( x) ] lim f (u ) A
u
例6. 求
x3 解: 令 u 2 x 9
已知
lim u 1
x 3
6
∴ 原式 =
6 . 6
1 6
内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x x0 时, 用代入法
第一章
§1.4
无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小
定义1 . 若
(或x )
时 , 函数
则称函数
为
(或x )
例如 :
时的无穷小 .
(若xn→0,则称xn为无穷小量.)
函数 函数
当
时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当 时为无穷小.
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
因A B 为无穷小， 所以 f ( x) g ( x) AB.
（其它证明略）
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减及乘积 的情形 .
推论 1 . lim[ C f ( x)] C lim f ( x)
m m 推论 2 . lim[ f ( x)] [lim f ( x)]
lim
x
1
1 x2 5 x
4 x2
=0.
所 以 一般地
∞.
例5 . 求
解:
时, 分母
分子分母同除以 x 2 , 则
分子
同除以最高次 称“ 抓大头”
原式 lim
4 31 9 x 5 21 x
x
1 x2 1 x2
一般有如下结果：
a0 x a1 x am lim x b x n b x n 1 b 0 !
+∞
但是是无界函数。
例2. 证明函数 证法一： 用无界函数定义证（略）。
无界.
证法二： 取
所以函数无界.
1 1 类似可以证明函数 f ( x) sin 在(0,1]上无界. x x
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若
若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x)
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .
sin x y x
下列解法是错误的
二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
对自变量的其它变化过程类似可证 .
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 ① 则称函数
( x X ) 的 x , 总有
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f ( x) )
x
若在定义中将 ①式改为
则记作
x x0 ( x )
定理1. 两个无穷小的和还是无穷小 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 1 1 ln 2 1 例如，lim n n 1 n2 nn (为什么?到§5.2便知)
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
( 分母不为 0 )
2) x x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
(2) 复合函数极限求法
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂
设中间变量
作业习题1-5
1(5),(7),(9)，(12),（14） 2(1),(3) 3
x x0
lim f ( x) A
f ( x) A ,
其中 为 x x0 时的无穷小量 . 证:
x x0
lim f ( x) A
x x0
lim[ f ( x) A] 0
记 f ( x) A,
则 f ( x) A ,
其中 为 x x0 时的无穷小量 .