基本不等式专题复习(优.选)
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
基本不等式培优专题
x y 1
3
13.已知正实数 x, y ,满足 1 2 1 ，则 xy 的最大值为__________, 3 2
(2x y) y (x 2y)x
2
补充：已知正实数 x, y ,则
6xy x2 9y2
2xy x2 y2
的最大值为__________,
3
三、换元法
14.已知实数 x y 0 ,满足 x y 1，则 1 1 的最小值为__________, 3 2 2
21.已知实数
x
0,
y
0
,满足
1 x
1 y
1，则
4x x 1
9y y 1
的最小值为__________,25
22.已知实数 x, y ，满足 4x 9y 1 ，则 2 x13y1 的取值范围为__________, (2, 13]
23.已知实数 x, y ，满足 4x 4y 2x1 2y1 ，则 S 2 x 2y 的取值范围为__________, (2, 4]
一、常规配凑发
1.已知 2a 4b 2(a, b R) ，则 a 2b 的最大值为__________,0
2.已知实数 x, y ,满足 x2 y2 1，则 x 2 y 2 的最大值为__________, 9
16
4
3. 已 知 不 等 式 (x my)( 1 1 ) 9 对 任 意 正 实 数 x, y 恒 成 立 ， 则 正 实 数 m 的 最 小 值 xy
______,4
4.已知实数 x, y ,满足 x 1 ，则
x y
x
1
1
y
的最小值为__________,1
5.已知实数 x 0, y 0 ,满足 2 3 xy ，则 xy 的最小值为__________, 2 6 xy
基本不等式的应用专题复习_
龙源期刊网
基本不等式的应用专题复习
作者：杨向文
来源：《高考进行时·高三数学》2013年第04期
运用基本不等式求最值或解决生活中实际问题，在近五年高考题中都有涉及，其中08、10、11年在填空题中单独出现，09、12年在解答题中进行应用。
解决此类问题的难点体现在构建基本不等式上，解题失误的原因往往是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（各项均为正）、“定”（积或和为定值）、“等”（等号能否取得的条件）。
一、考纲要求
基本不等式在江苏省自主命题考试中属于C级考点，考纲中要求学生能系统地掌握其知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。
与基本不等式相关的主要知识点有：
二、难点疑点
1. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正、二定、三相等”，若忽略了某个条件，就会出现错误。
2. 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤a2+b22；a+b2≥ab（a、b>0）逆用就是ab≤a+b22 （a、b>0）等。
还要注意“添项、拆项”技巧和公式等号成立的条件。
3. 基本不等式是几个正数的和与积转化的依据，不仅可以直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式的性质、函数的单调性，还可以解决其他形式的不等问题。
4. 利用基本不等式求解与其他知识的综合问题时，列出有关量的函数关系式或方程是用基本不等式求解或转化的关键。
三、例题精析
（作者：杨向文江苏教育学院附属高级中学）。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
高考一轮复习之基本不等式
高考一轮复习之基本不等式要点梳理1.基本不等式ab b a ≥+2（a>0,b>0）, 当且仅当a=b 时取等号.a 2+b 2≥ 2ab (a,b ∈R).2.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当_x=y_时，x+y有最 小 值是p 2.（简记：积定和最小）(2)如果和x+y 是定值p,那么当且仅当_x=y_时,xy 有最__大__值是42p .（简记：和定积最大） 题型一 利用基本不等式求最值【例1】求下列各题的最值.（1）x>0,求 x xx f 312)(+=的最小值； 21,2)2(-+>x x x 求时当的最小值； )38(,3803x x x -<<求时）当（的最大值；（4）已知a>0,b>0，,131=+ba 则a+2b 的最小值为212,2)5(2-+->x x x x 求的最小值；（6）x<3，求x x x f +-=34)( 的最大值；（7）x ∈R ，求y=4522++x x 的最小值.思想方法 感悟提高1.恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.2．使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.基本不等式 课时作业1.下列结论中不正确的是 （ ） A. 21,0≥+>a a a 时 B. 2≥+ba ab C.a 2+b 2≥2ab D. 2)(222b a b a +≥+ 2.在下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝3x ＋3－xC ．y ＝lg x ＋1lg x (0＜x ＜1)D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜π23.当x>1时，关于函数,11)(-+=x x x f 下列叙述正确 的是 （ ） A.函数f(x)有最小值2B.函数f(x)有最大值2C.函数f(x)有最小值3D.函数f(x)有最大值34.若0<x<1，则f(x)=x(4-3x)取得最大值时，x 的值为 （ ）A. 1/3B. 1/2C. 3/4D. 2/35.已知向量a=(x-1,1),b=),1,1(xx - 则|a+b|的最小值是 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D.26.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)7．(2008年江西五校联考)已知正整数a ，b 满足4a ＋b ＝30，使得1a ＋1b取最小值时，则实数对(a ，b )是( )A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2)8．若x ＋2y ＝1，则2x ＋4y 的最小值是________．9．(2008年启东中学测试)当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．设a ，b 为不相等的正数，那么式子ab 、a ＋b 2、 a 2＋b 22、2ab a ＋b中最小者与最大者分别是( ) A.2ab a ＋b 与a ＋b 2 B.2ab a ＋b与 a 2＋b 22 C.ab 与a ＋b 2D.ab 与 a 2＋b 2211．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(m，n>0)上，则1m＋1n的最小值为________．12．(2009年佛山一中月考)已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．13．(2010年聊城统测)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和，(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？。
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
初一数学 不等式专题复习
初一数学不等式专题复习一．选择题（共35小题）1．在下列数学表达式中，不等式的个数是（）①﹣3＜0；②a+b＜0；③x＝3；④x≠5；⑤x+2＞y+3．A．2个B．3个C．4个D．5个2．梁老师在黑板上写了下列式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2＞x+1．其中是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．下列是一元一次不等式的有（）x＞0，，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各式：①x2+2＞5；②a+b；③；④x﹣1；⑤x+2≤3．其中是一元一次不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣2＜b﹣2D．﹣a＜﹣b6．若实数x，y满足x＞y，则下列式子一定成立的是（）A．B．x﹣2＞y﹣3C．﹣2x＞﹣2y D．a2x＞a2y7．已知实数a，b，c满足a+2b＝3c，则下列结论不正确的是（）A．a﹣b＝3（c﹣b）B．C．若a＞b，则a＞c＞b D．若a＞c，则8．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2C．若a＞b，则﹣a＞﹣b D．若ac2＞bc2，则a＞b9．下列判断不正确的是（）A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若2a＞3a，则a＜0C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b10．已知关于x的不等式组的解集是x≥a，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≤﹣1D．a＜﹣111．若关于x的不等式的解集为x＞4，则m的取值范围是（）A．m＞4B．m＜4C．m≥4D．m≤412．不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＜C．a＜﹣D．a＞﹣13．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0B．a≤1C．a＞﹣1D．a＜﹣114．若一元一次不等式组的解集为x＜a﹣4，则a的取值范围是（）A．a＜﹣6B．a≤﹣6C．a＞﹣6D．a≥﹣615．已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（）A．1＜a＜2B．1＜a≤2C．1≤a≤2D．1≤a＜216．如果关于x的不等式2x﹣5≤2a+1只有4个正整数解，那么a的取值范围是（）A．1≤a≤2B．1＜a＜2C．1≤a＜2D．1＜a≤217．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（）A．2＜a＜3B．2≤a≤3C．2≤a＜3D．3≤a＜418．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（）A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤1219．关于x的不等式组的整数解有4个，那么a的取值范围是（）A．4＜a＜6B．4≤a＜6C．4＜a≤6D．2＜a≤420．六一儿童节即将到来，苏老师给同学们准备了甜甜的糖果．在给八（6）班的同学分糖果时，若每人分4块，则剩下9块糖果：若每人分6块，则最后一名同学有分到糖果但少于3块．设八（6）班有x名同学，则根据题意可列不等式组为（）A．B．C．D．21．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子：若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则可列不等式组为（）A．B．C．D．22．将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为x，则列式正确的是（）A．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8B．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8C．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8D．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜823．若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满．．．．，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为y人，宿舍间数为x间，下列选项正确的是（）A．B．C．D．24．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（）A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5C．D．25．已知关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则a+b为（）A．1B．2C．3D．﹣126．已知不等式组的解集是﹣1＜x＜0，则（a+b）2024的值为（）A．﹣1B．1C．0D．202427．已知不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则（a﹣b）2023的值为（）A．2023B．1C．﹣2023D．﹣128．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2023＜x﹣y＜2025，则整数k值为（）A．2022B．2023C．2024D．202529．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2022＜x﹣y＜2024，则整数k值为（）A．2022B．2023C．2024D．202530．若方程组的解满足1＜x+y＜2，则a的取值范围是（）A．0＜a＜5B．0＜a＜2C．5＜a＜10D．a＞031．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜0B．﹣4＜k＜0C．0＜k＜8D．k＞﹣432．若不等式组无解，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m≥2D．m＞2 33．若不等式组无解，求m的取值范围（）A．m＞1B．m≥1C．m＞2D．m≥2 34．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥4D．m＞4 35．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＜﹣1D．m≤﹣1二．填空题（共10小题）36．若关于x的不等式组有解，则a的取值范围为．37．已知关于x的不等式组有解，实数a的取值范围为．38．若不等式组有解，则m的取值范围是．39．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．40．已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是．41．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为．42．若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是．43．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．44．已知不等式组的解集是2＜x＜3，则ab的值是．45．已知关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则m的值为．三．解答题（共14小题）46．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）用m的式子分别表示出x、y；（2）求m的取值范围；（3）化简：|m﹣3|﹣|m+2|．47．已知关于x，y的方程组的解为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a+4|﹣|4a﹣5|．48．已知方程组的解x为非正数，y为负数．（1）求a的取值范围；（2）化简：|a﹣6|+|a+3|．49．已知方程组的解满足x≤0，y＞0，（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣4|+|3﹣m|．50．已知，关于x，y的方程组的解满足x＞y＞0．（1）求a的取值范围；（2）化简|a﹣3|﹣|2﹣a|．51．已知关于x、y的方程组．（1）若此方程组的解满足﹣1＜x+y≤3，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若关于m的不等式2am﹣m＞2a﹣1的解集为m＜1，求满足条件的a的整数值．52．已知关于x，y的方程组．（1）若该方程组的解满足x﹣y＝2024，求m的值；（2）若该方程组的解满足x，y均为正数，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1，求m的整数值．53．若关于x，y的二元一次方程组．（1）若﹣2＜x+y≤1，求a的取值范围；（2）若x，y满足方程x﹣y＝﹣4，求a的值．54．若关于x，y的二元一次方程组．（1）若﹣2≤x+y≤1，求a的取值范围；（2）若x，y满足方程x+y＝4，求a的值．55．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．（1）求书籍和实验器材各有多少套？（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．56．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？57．为提升学校学生书画素养水平，城关区某中学举行了学生书画大赛，校活动办准备购买甲、乙两种文具，奖励在大赛活动中表现优秀的学生．已知购买4个甲种文具、1个乙种文具共需花费65元；购买2个甲种文具、3个乙种文具共需花费45元．（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若该校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具a个，求有多少种购买方案？58．阅读材料，解决问题．解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2．所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2．（1）直接写出不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是；（2）求不等式的解集．。
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基本不等式专题复习
[基础知识]
1.(1)若R a ∈,则2
a 0，
a 222
b a + 2)2
(b a +
(3)222c b a ++ ac bc ab ++ (4)若a>b>0,m>0则a b m
a m
b ++
(5)若a,b 同号且a>b 则a 1 b
1
(6)R b a ∈,,则22b a + ab 2 变形
2．均值不等式:
两个正数的均值不等式：
ab b
a ≥+2
变形 ，
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由
（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值
（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,2
2
S xy 积有最大值（）
运用最值定理求最值的三要素：一 ，二 ，三 。
4．)0(>+=a x
a
x y 的草图：
[典型例析]
例1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .
变式 （1）已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值 .
（2）已知lg lg 1x y +=，则52
x y
+的最小值是 .
例2
（1）已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值.
（2）求函数1
4
2
2++=x x y 的最小值
（3）求22
2
42
y x x =--+的最大值.
（4） 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22
x y x y
+-的最小值是 .
（5）已知0＜x ＜3
1
，求函数y=x(1-3x)的最大值
（6）求函数y=1
3
3224+++x x x 的最小值.
例3若0,0x y >>1x y +=,则41
x y
+的最小值为 ．
变式 （1）已知x 、y 为正实数，且12
1+=x y
，求x+y 的最小值。
（2）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11
m n +的最小值为 ．
（3）已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,
y
b
x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值.
例4 （1）已知A(0,9) B(0,16)是y 轴正半轴上的两点，C(x,0)是x 轴上任意一点，求当点C 在何位置时，ACB ∠最大？
(2)已知下列四个结论
①当2lg 1lg ,10≥+≠>x
x x x 时且
；②02x >≥当时；
③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当x
x x 1
,20-≤<时无最大值,则其中正确的个数为
(3)已知不等式1()()9a
x y x y
++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为
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