上海四校自招-数学复旦附中卷_含答案

a2 b2 (ab)2
(ab)2
(7)2
49
49
4. 【注】原题应为 p 是奇质数 (2x p)(2 y p) p2
则 2x p 1， 2y p p2
∴ x p 1 ， y p2 p
2
2
5. 显然 x 0
两边平方得 x2 x 1 1 1 2 (x 1)(1 1)
xx
xx
两边同乘 x ，得 x3 x2 x 2 2 (x2 1)(x 1)
因此，经过 70s 时，甲乙位于同一条边
7. 设点 P 速度为 6 ， Q 的速度为 3 ， R 的速度为 2 ，边长 AB 6
则 SAPR
3 AP·AR 4
3 6t (6 2t) 4
SBPQ
3 BP·BQ 4
3 3t (6 6t) 4
SCQR
3 CQ·CR 4
3 2t (6 3t) 4
【高中知识点】解析几何——圆的方程、两根差公式、分离变量、均值不等式
9. 【注】原题应为“有且仅有一个实数根”，这样表达的更准确一些 原方程
2x 3
ax
(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)
2x 3 ax
x 1
x
2
4x2 12x 9 ax
x
3 2
x 2
a
4x
9 x
12
坐标；
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1
(3) 设点 P 是 x 轴上的任意一点，分别连结 AC 、 BC 。比较 PA PB 与 AC BC 的大小关系，说明理 由。
【试卷总结与分析】
1. 高中知识点分析
涉及到的重要高中知识点几乎很少，但有些考察的并不浅，如第 9, 10, 11 题 并不是简单的通过初中知识就能解决的，需要较好的掌握才足以解决问题（如参变分离思想，对勾函 数的图像，均值不等式等） 因此，建议考生对于高中的这些特有的思想和知识，又与初中知识相关的，加强补习与训练，才能在 考试中占据优势
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3. 初中知识点分析
根据上面的分析，仅仅考到初中知识点的题目，可能只有第 8 题了（当然，本卷题目并不完整，可能 其余题目也有所涉及，笔者只就现在了解的题目以分析） 而且，这个题目的解决，也是一个以“找规律”为主要思想的问题，并无明显针对性，建议考生无需 花精力在本部分准备，全部精力最好放在第二部分——初高衔接知识点
MA
(xA
b )2 2a
c2
b2
4ac 4a2
c2
MA MC ，得 b2 b2 4ac c2
4a2
4a2
得 ac 1
在 ADB 中， DA DB ， ADB 150 ，则
AB
a
，
yD
4a
AB (4 2 3)( yD ) ，解得 28 16 3
即 b2 4ac 4 3
得 b2 32 16 3
因此 b (2 6 2 2)
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2
因此， f (x) ax2 bx 1 ，且 a 0 a
则 f (x) a x 1 b 2 (2 6 2 2) 2 6 2 2 2
x
ax
因此，最小值为 2 6 2 2 2
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2
这也足以说明，复旦附中选拔考生的主旨——不要代数功底不好的学生，否则，你根本不可能跟上高 中数学课堂的脚步！ 若考生的代数功底较差，建议尽快花大力气加强代数训练，提高代数能力，否则几乎不可能在考试中 脱颖而出
3. 初中知识点分析
根据上面的分析，仅仅考到初中知识点的题目，可能只有第 8 题了（当然，本卷题目并不完整，可能 其余题目也有所涉及，笔者只就现在了解的题目以分析） 而且，这个题目的解决，也是一个以“找规律”为主要思想的问题，并无明显针对性，建议考生无需 花精力在本部分准备，全部精力最好放在第二部分——初高衔接知识点
⑵ y 1 (x 1)(x 4) ，故 B(0, 2) , C(1,0) , D(4,0) 2
⑶作点 B 关于 x 轴的对称点 E(0, 2)
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3
则 kAE
14
(2) 8
2
,
kCE
0 (2) 1
2
∴ A, E,C 三点共线
又 PA PB PA PE
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四校自招-数学·复附卷
1. 2x 6 y 1 (x 4) y2 (x z)2 2
x 4 , 则 2x 6 2 ∴ x 4， y 1 0， x z 故 x z 4 ， y 1 x y z 1
2. n 1001 1 998 ,
BC AC EC AC AE
PA PE AE ∴ PA PB BC AC
【试卷总结与分析】
1. 高中知识点分析
涉及到的重要高中知识点几乎很少，但有些考察的并不浅，如第 9, 10, 11 题 并不是简单的通过初中知识就能解决的，需要较好的掌握才足以解决问题（如参变分离思想，对勾函 数的图像，均值不等式等） 因此，建议考生对于高中的这些特有的思想和知识，又与初中知识相关的，加强补习与训练，才能在 考试中占据优势
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30s 时，乙到 A 点，甲跑 210m，在 CD 边 40s 时，乙到 B 点，甲跑 280m，在 CD 边 50s 时，乙到 C 点，甲跑 350m，在 AD 边 60s 时，乙到 D 点，甲跑 420m，在 AB 边 70s 时，乙到 A 点，甲跑 490m，在 AB 边
四校自招-数学·复附卷
一、填空题
1. 实数 x, y, z 满足 | 2x 6 | | y 1| x 4 y2 x2 z2 2 2xz ，则 x y z __________。
2. 若 1001 的分子、分母同时加上正整数 n 时，该分数称为整数。这样的正整数 n 共有_______个。 3
8. 二次函数 f x 的图像开口向上，与 x 轴交于 A, B 两点，与 y 轴交于点 C, 以 D 为顶点，若三角形 ABC
的外接圆与 y 轴相切，且 DAC 150 ，则 x 0 时， f x 的最小值是________。
|x|
二、解答题
9. 已知 a 是正常数，且关于 x 的方程 1 1
即 x3 x2 x 2 (x2 1)(x 1) 2 0
x3 x2 x 1 2 x3 x2 x 1 1 0 即 ( x3 x2 x 1 1)2 0 ∴ x3 x2 x 0 解得 x 5 1
2
6. 10s 时，乙到 C 点，甲跑 70m，在 AB 边 20s 时，乙到 D 点，甲跑 140m，在 BC 边
x
3 2
x 2
当 x 2 时， 4x 9 12 1
x
2
∴要使上述方程有且仅有一个实根，则 a 0 且 a 1 2
【高中知识点】等价转化思想，参变分离思想，分类讨论思想，对勾函数的图像与性质
10.
⑴设 y a(x 5)2 9 ，将 (8,14) 代入，得 a 1
28
2
∴ y 1 x2 5 x 2 22
6. 如图，正方形 ABCD 的边长为100 米，甲、乙两个动点分别从 A 点和 B 点同时出发按逆时针方向移 动。甲的速度是 7 米/秒，乙的速度是10 米/秒。经过_________秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的 同一条边上。
7. 已知 ABC 是等边三角形，动点 P,Q, R 分别同时从顶点 A, B,C 出发，沿 AB, BC,CA 按逆时针方向以 各自的速度匀速移动，且 P,Q, R 经过 ABC 的一边所用时间分别为1 秒， 2 秒， 3 秒。从运动开始起， 在1 秒内，经过_________秒 PQR 的面积取到最小值。
∴ S APR SBPQ SCQR
3 (66t 36t2 ) 4
当上式取最大值时， SPQR 面积最小
当因此当
t
11 12
时，
S PQR
面积最小
【高中知识点】解三角形——三角形的面积
8. 【注】原题角度大小的条件应为 ADB 150
圆心坐标为 M ( b , c) ，则 MC b
2a
2a
n3
n3
998 2 499 , n 3 4 , 故 n 3 499 或 998 ，共 2 个
【高中知识衔接】线性分式表达式——分离变量
3. a2 3a 7 0 , b2 3b 7 0 则 a b 3 , ab 7
b a a3 b3 (a b)3 3(a b)ab (3)3 3(3)(7) 27 63 90
2. 初高衔接知识点分析
高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5% 想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以
①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）
②解方程 ③二次函数的图像与性质
为主 在本试卷中，这一点几乎被体现的淋漓尽致，因为几何题几乎没有，全是代数 因此，本试卷的核心思想就是——让代数功底好的学生体现最大的优势 而且，所有初高衔接知识点的题目，反复涉及到了上面的三条基本功 第 1 题（配方） 第 2 题（分式的化简计算） 第 3 题（分式的化简计算、因式分解、二次方程根与系数的关系） 第 4 题（因式分解解不定方程） 第 5 题（根式、分式的化简计算，配方，换元法解方程） 第 7 题（二次函数求最值） 第 8 题（根式、分式的换件计算，二次方程根与系数的关系） 第 9 题（分式的化简，解分式方程，函数图象） 第 10 题（二次函数图象性质） 这当中的有些问题并不简单，需要足够强的代数功底才能解决！ 这也足以说明，复旦附中选拔考生的主旨——不要代数功底不好的学生，否则，你根本不可能跟上高 中数学课堂的脚步！ 若考生的代数功底较差，建议尽快花大力气加强代数训练，提高代数能力，否则几乎不可能在考试中 脱颖而出