五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版
五年级奥数计算综合整数裂项与分数裂和A级学生版
考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一知识结构一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法 是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差 与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N°N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加 正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同 时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
QOo JL JLS 整数裂项与分数裂和 :口 （1） a + b a b 11 -- = --- 1 -- = —I- a x b a x b a x b b a （2） a 2 + b 2 a 2 b 2 a b --- = ---- 1 - = + --a xb a x b a x b b a重难点（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用（2）分子隐蔽的裂和型运算。
【例1】计算：1x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + 4 义6 + L + 99 x101【巩固】计算：3x5 + 5x7 + 7x9+L + 97x99 + 99x101【例2】计算10 x16x 22 +16x 22x 28 + L + 70 x 76x 82 + 76 x 82x 88MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.学生版Page 2 of 8【巩固】3x3x3 + 4x4x4+L + 79x79x79【例4】计算：1x1x1 + 2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3 + L + 99 x 99x 99 +100x100x 100(1 + 2 )+(1 + 2 + 3)+(1 + 2 + 3 + 4 )+L +(1 + 2 + 3+L【例5】1 ++100)【巩固】3 + (3 + 6)+(3 + 6 + 9)+L +(3 + 6+L + 300)MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.学生版Page 3 of 8分数裂和5+6 6+7 7+8 8+9 9+10_ + 一 +5x6 6x7 7x8 8x9 9x10【巩固】计算: 【例6】填空: 9 20 15 561- 5 7 —+ — 6 12 9 11 -- + ---- - 20 30 13 15 17 19. +-- — --- + ..... 42 56 72 903- 21 - 4 + 1 - O 1 【例7】1 2 3 7 9 11 17 25—+ — + — + — + — + --- + — + 3 5 7 12 20 28 30 42(35 49 63 77 91 105 1 —+ —+ ― I 6 12 20 30 42 56 )12 + 22 22 + 32 182 + 192 192 + 202+ + .. + + 1X 2 2 X 3 18 X 19 19 x 20 【例8】计算: 1 3 2 5 7 9 10 11 + - + - + - + - + — + — + — 3 4 5 7 8 20 21 24 19 + 一 35 【巩固】 【例9】 1 1 1 1 1 20 —+ - + — + — + — + — + 2 3 30 31 41 51 10-- + 26 ----- + 120 38 27 ----- 1 ---- 123 124 【巩固】 【例10】1、 1 x 4 + 4 x 7 + 7 x 10+L + 49 x 52= 12 12 + 22 12 + 22 + 32 【巩固】13 — 17万+ 13 + 23 + 12 + 22 + 32 + 42 ----------- + _ 1 2 + 22 +_ + 26213 + 23 +... + 263 2、 计算: 5 7 911 13 15 -+ + 十 一 6 12 20 30 42 56 17 19 H -- 72 903、 1 1 7 9 8 17 5 一+ 一 + 一 + 一 + 一 + 一 + 一 4 5 12 20 15 30 1232 -1)家庭作业1、1x 1 + 2 x 2 + 3 x 3+L + 50 x 502、 2 x 4 x 6 + 4 x 6 x 8 + L + 96 x 98 x 1004、 12 + 22 22 + 32 T 20042 + 20052 20052 + 20062 ------- + --------+ L + ---------------- + ---------------- 1x 2 2x 3 2004 x 2005 2005 x 20065、1 2 3 8 94、(1-3x (2-3)x (3 — /X L x (8 — -)x (9 —m) 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 T 1 + 2 + 3+L + 50 ---- x -------- x ------------- x L x -------------------- 22 +3 2 + 3 +4 2 + 3+L + 503、 1 2 3 7 9 11 21 31 - + - + — + ― + — + 一 + 一+一3 5 7 12 20 28 40 56 教学反馈 5、。
五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 通项归纳一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h ⎛⎫=- ⎪ 知识结构考试要求裂项()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222hhn n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
五年级下册数学扩展专题练习-计算综合.公式应用（B级）.学生版-全国通用（无答案）
（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算；灵活运用平方和、立方和公式进行计算；（2） 了解等比数列；了解等比数列；（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。
灵活运用等比数列求和公式进行计算。
【基本概念】等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。
q≠0)。
注：q =1时，an 为常数列。
【常用公式】1、 2222(1)(21)1236n n n n ´+´+++++=； 2、()2223333(1)1231234n n n n ´+++++=++++=； 3、 ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=； 4、 等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q --=++×××+=-()1ñq ；（2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1áq 。
5、 平方差公式：()()22ab a b a b -=+-； 6、 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+； 用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平考试要求 知识结构公式应用方，2倍乘积在中央”．（1） 平方和、立方和公式的灵活运用；平方和、立方和公式的灵活运用；（2） 等比数列公式的灵活运用。
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版
分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题．在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关．一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列．依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同．假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列．分列的根本问题是盘算分列的总个数．从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做．依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成：步调：从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成．暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数．这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列．式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,个中．在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算．三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等．这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题．一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合．从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关．假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合．从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数．记作．一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步：第一步：从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步：将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法．依据乘法道理,得到．是以,组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质：()这个公式的直不雅意义是：暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法．暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法．显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法．例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即．划定,．五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求：①所要分化的物体一般是雷同的：②所要分化的物体必须全体分完：③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失．在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法．六、应用插板法一般有如下三种类型：⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个．这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为．⑵小我分个器械,请求每小我至少有个．这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数量为．⑶小我分个器械,许可有人没有分到．这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为．例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法？假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法？【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法？【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻．请问共有若干种不合的分列办法？【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法？若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法？【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法？假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法？【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动．全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成．请问：假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序？【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法？【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法？【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目．求：⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序？⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序？【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种？【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法？【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法？【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法．【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着．请问一共有若干种不合的放法？【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法？【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种？【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法？【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种？【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种？【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干？【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个？【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个？【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位？教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种？【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法？【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个？家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法？【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排拍照,请问：（1）假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法？（2）假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法？【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个．【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字：。
小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学五年级数学思维专题训练—裂项(含答案解析)
时求出n=2009
参考答案
1.
【答案】
【分析】 原式 =
=
=
2.
【答案】
【分析】 原式 = 2008+2009+2010+2011+2012+
= 2010
=
3.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）原式=
（2）方法一：原式
方法二：分母上都是连续等差数列求和
原式
4.
5.
6.
7.(1)
(2)
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）原式=
（2）方法一：原式
方法二：分母上都是连续等差数列求和
原式
8.
【答案】3072
【分析】
原式
9.
【答案】
【分析】原式
10.
【答案】
【分析】原式
11.已知 ，
试求出 的值。
【答案】2010
【分析】
原式
12.如下图所示，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为 ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边 数记为 ，……依次类推，由正 边形“扩展”而来的多边形的边数记为 ，当 时， 的 值是多少？
小学五年级数学思维专题训练—裂项
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. ( 1)
(2)
8.
9.
10.
11.已知 ，
试求出 的值。
12.如下图所示 ，第（ 1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为 ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边 数记为 ，……依次类推，由 正 边形“扩展”而来的多边形的边数记为 ，当 时， 的值是 多少？
小学五年级逻辑思维学习—裂项综合
小学五年级逻辑思维学习—裂项综合知识定位本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
知识梳理一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） 11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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（1） 能熟练运算常规裂和型题目；
（2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 通项归纳
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、
对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a b
⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有
1111()a b b a a b
=-⨯- 考试要求i
知识结构
裂项
2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：
1111
[]()(2)2()()(2)
n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++
1111
[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
3、 对于分子不是1的情况我们有：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11
)(
()11h h n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
()()()()()
211
22k n n k n k n n k n k n k =-+++++
()()()()()()()()
311
23223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++
()()
()()()11
222h
h n n k n k k
n n k n k n k ⎡⎤=
-⎢⎥+++++⎣⎦
()()()(
)()()()()11
233223h h
n n k n k n k k
n n k n k n k n k n k ⎡⎤=
-⎢⎥++++++++⎣⎦
()()()
2
21111212122121n n n n n ⎛⎫
=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
三、复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算
式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N 。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
四、“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2）
2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用 （2） 分子隐蔽的裂和型运算。
（3） 通项归纳及其
一、用裂项法求
1
()(2)
n n k n k ++型分数求和
例题精讲
重难点
【例 1】 11
1
123234
789
++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【巩固】1111
(12323434599100101)
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 2】 计算：
111
1
135357579
200120032005
+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：11
1
123234
9899100
++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
二、用裂项法求2()(2)k
n n k n k ++型分数求和
分析：2()(2)k
n n k n k ++（n,k 均为自然数）
211
()(2)()()(2)
k n n k n k n n k n k n k =-
+++++
【例 3】 4444
(135357)
939597959799++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】444
(135357939597)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
三、用裂项法求1
()(2)(3)
n n k n k n k +++型分数求和
分析：1
()(2)(3)
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
1111
()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例 4】 计算： 111
......1234234517181920+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】11111
123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
四、用裂项法求3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++型分数求和
分析：
3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
311
()(2)(3)()(2)()(2)(3)
k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例 5】 计算：
333
(1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】333
(1234234521222324)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
五、复杂裂项
【例 6】 111
1112123
12100
+++
+
+++++
+
【巩固】23
10
1112(12)(123)
(1239)(12310)
---
-
⨯++⨯+++++
+⨯+++
+（）
【例 7】 222222111111
31517191111131
+++++=------ .
【巩固】计算：2222
22
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-
⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
⨯-=
【例 8】 计算：2222222222315171
1993119951315171
1993119951
++++++++
++=----- ．
【巩固】计算：222222
22
2222
13243598100213141
991
+++++++
+=---- ．
【例 9】 计算：
222222
22
357
1512233478++++
⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：22221235013355799101
++++=⨯⨯⨯⨯ ．
【例 10】 23501(12)(12)(123)(12349)(12350)+++⨯++⨯++++++⨯++++
【巩固】
2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++
1、 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
2、 22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯
3、 100
211321121111++++++++++
课堂检测
4、 999897112323434599100101
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
5、 333 (1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1、 计算：57191232348910
+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．
家庭作业
2、 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）
3、 计算：
3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
4、 计算：
1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
5、 计算：11111
2232342345234200+++++++++++++++
学生对本次课的评价
○特别满意 ○满意 ○一般
家长意见及建议
家长签字：
教学反馈。