五年级奥数春季实验班第12讲 计算综合之不定方程
第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法
例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。
解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，
所以自然数解有3组，正整数解有1组。
例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8.
解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，
所以方程的解是
1
2 x
y
=
?
?
=
?
。
例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31.
解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7
所以方程的解是
7
2
x
y
=
?
?
=
?
或
2
5
x
y
=
?
?
=
?
。
例4．已知5x?14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。
解：方程5x?14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，
所以方程的解是
5
1
x
y
=
?
?
=
?
，
19
6
x
y
=
?
?
=
?
，……，
514
15
x k
y k
=+
?
?
=+
?
（k为自然数）。
所以x+y的最小值是6.
模块二、复杂不定方程的解法
例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。
解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，
所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，
即方程的解是
13
1
x
y
=
?
?
=
?
或
2
4
x
y
=
?
?
=
?
。所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。
例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100?x?y只鸡雏，
则5x+3y+100
3
x y
--
=100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，
方程的解为
4
18
x
y
=
?
?
=
?
，解得z=100?x?y=78，或
8
11
x
y
=
?
?
=
?
，z=81，或
12
4
x
y
=
?
?
=
?
，z=84.
例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）
解：由于4?3=1，3×3?4×2=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量；
如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，
从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。
1 2 3
456
789
10 11 12
13 14 15
……
其中第三列中都能被3整除的都可以称出来；
对第一列中4可以称出来，4往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；
对第二列中4的倍数8可以称出来，8往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；
所以不能称出的最大克重数是5克。
例8．现有一架天平和很多17克和19克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）
解：解方程17x ?19y =1，解得98x y =??=?，解方程19m ?17n =1，解得910m n =??=?
， 所以17×9?19×8=1， 19×16?17=287，
287+b =17×(9b ?1)+19×(16?8b )，(b ≥1)，
或287+b =17×18?19+(19×9b ?17×10b)=19×(9b ?1)+17×(18?10b )，
即大于287的整数都可以写成17与19的线性组合，
因此当b =0时，用这些砝码不能称出的最大克重是287克。
1、 2、 3、 4、……16、17
18、19、20、21、……33、34
35、36、37、38、……50、51
……
其中第17列中都能被若干个17克的砝码称出来；
对第2列中19可以称出来，19往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；
对第4列中38可以用2个19可以称出来，38往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；
……
由此可以看出，在前16列中，分别可以找到19、38、57、……、19×(17?1)克数，它们都可以称出来，它们往下排列的各数，也都可以称出来，于是无法称出的最大整数是19×(17?1)?17.
所以不能称出的最大克重数是19×(17?1)?17=19×17?19?17=287克。
一般情况：现有一架天平和很多m 克和n 克的砝码（m ，n 互质），用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）
答案：mn ?m ?n ；
设不能称出的最大克质量为M 克，即对于不定方程mx +ny =M 没有自然数解，
即求得的整数解为1x a y =??=-?，或11
x a n y m =-=-??=-?，所以a =n ?1，
把x =n ?1，y =?1，代入得到M =m ×(n ?1)?n ，即方程mx +ny =mn ?m ?n 无自然数解。 研究不定方程mx +ny =mn ?m ?n 有无正整数解，0 1mn m n n n m m --=-- (1)n y m +，m ?1是整数，m ，n 互质， 所以为使x 为整数，只有1+y =m 、m 2、……，当1+y =m 时，x =n ?1?n =?1，不符合要求， 当1+y =m 2时，x =n ?n ?mn <0，……，所以该不定方程没有正整数解， 再研究不定方程mx+ny=mn?m?n+1的正整数解，有无m，n互质，存在大于1的p、q都小于m、n，使得pm?qn=1， 则mx+ny=mn?m?n+pm?qn，ny=mn?m?n+pm?qn?mx，y=m?1?q+ (1) m p x n -- ， 为使y为整数，则x+1?p=n，y=m?1?p+m，这样x、y都是正整数，符合条件。 因为4×13?3×17=1（克），13×17=221（克），所以用这些砝码，不能称出的最大整数克不超过221克；然后根据191+b=13×(4b?1)+17×(12?3b)，可得191+b（b≥1）都可以写成17和13的线性组合，因此当b=0时，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是：17×(12?0)?13=191（克），据此解答即可． 解答： 根据分析，不能称出的最大整数克重量是： 17×(12?0)?13=17×12?13=204-13=191（克） 答：用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是191克． 随堂测试 1．不定方程2x+3y=9有组正整数解。 解：方程2x+3y=9，两边取模2运算得y≡1(mod 2)，解得x=3， 所以方程的解是 3 1 x y = ? ? = ? 或 3 x y = ? ? = ? （舍去），所以原方程只有1组正整数解。 2．求不定方程的正整数解：30x+11y=350，x=，y=。 解：方程30x+11y=350，两边取11的模，8x≡9 (mod 11)，x=8，解得y=10， 所以方程的解是 8 10 x y = ? ? = ? 。 3．求不定方程的正整数解：19x+9y=100，x=，y=。 解：方程19x+9y=100，两边取模9运算，得x≡1，y=9， 所以方程的解是 1 9 x y = ? ? = ? 。 4．已知12x?13y=25，x、y都是正整数，则x+y的最小值是。 解：方程12x?13y=25，两边取模12的运算，得?y≡1，所以y=11，x=14， 所以方程的解为 14 11 x y = ? ? = ? 或 27 23 x y = ? ? = ? ……，所以x+y的最小值是25. 5．小丽计划用31元买2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支，那么她最多能买支。解：小丽可以买1支3元，1支4元的圆珠笔，剩余的24元都买2元一支的， 这样一共可以买14支圆珠笔。 6．有堆成一堆的100个小砝码，总重量为500克，已知只有1克、10克和50克三种砝码，在这堆砝码中，每一种砝码各有个、个、个。 解：设50克的砝码有x个，10克的砝码有y个，1克的砝码有100?x?y个。 则50x+10y+100?x?y=500，即49x+9y=400，取模9的运算，得4x≡4，解得x=1，y=39，z=60. 所以有1克砝码60个，10克砝码39个，50克砝码1个。 7．现有一架天平和很多个5克和8克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边） 解：5x?8y=1，解得x=5，y=3，所以5×5?3×8=1，8×4?5=27， 27+b=5×(5b?1)+8×(4?3b)，b>0，这说明对于任意的b>0，27+b一定可以写成5和8的线性组合。 8．现有一架天平和很多个6克和8克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边） 解：答案是无穷大的奇数克重； 第1讲观察物体 例1（如下图）让同学们观察它的形状，说一说从不同的角度看到的形状，并且画出从正面和上面看到的图形。 例2：积木是我们小时候的玩具，它有很多种形状，小正方体的积木可以堆成不同的立体图形。如果从正面看到的图形是这样的（如下图），用7个小正方体应该怎么摆？ 例3：老师在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块。从上面和正面看到的图形如下图。要摆出这样的图形，最多需要多少块正方体木块？最少需要多少块正方体木块？ 例4:把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成64个小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？ 大胆闯关第1题1. 观察下图，请画出从正面和上面看到的图形 大胆闯关第2题 2、有一些大小一样的小正方体。如果从正面看到的图形如图（1），从上面看到的图形如图（2）。要摆出这样的图形，最多需要多少块正方体木块？最少需要多少块正方体木块？ 大胆闯关3、用小正方体摆立体图形，如果从正面看到的图形如下图，你会怎样摆？如果用5个小正方体该怎样摆？ 大胆闯关4、把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个小正方体，在切成的小正方体中，一面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？ 补充题目1、下列图形都是由相同小正方形组成，( )不能折成正方体。 2、观察下图，如果将这个立体的表面涂上颜色（包括底面），则一面涂色的有（）个，两面涂色的有（）个，三面涂色的有（）个，四面涂色的有（）个，五面涂色的有（）个。 3、观察下图，请画出从正面看到的和从上面看到的图形。 4、有一些大小相同的正方体木块堆成一堆，从上面看是图（1），从前面看是图（2），从左面看到的是图（3），这堆木块共有多少块？ 第2讲因数和倍数 第一关：20分 例1：四位数6A2B能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？ 解析：能同时被2和5整除的数个位上必须是_____； 能被3整除，这个数____________________________。 第二关：30分 例2：一个两位数，它既是2的倍数，也是5的倍数，并且要最大。 （1）这个两位数是多少？ （2）这个两位数的因数有多少个？它的所有因数的和是多少？ 大胆闯关第1题在四位数5□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除又含有因数5？ 第三关：50分 五年级 一、解方程： 0.96χ－0.75χ＝0.42 1.5×4＋3.2χ＝14 3(8＋χ)÷2＝18 12－χ÷2＝8 12χ＝18×1.1＋9χ 1.8×1.5－0.5χ＝0.4χ 2、解方程： 3.2x-9=23 3(5x-4)=45 3x+24=5x-12 58-5x=43 x=2x+15 5(2x+3)=20 3(8+x)÷2=18 1.5x+2x=2.8 8.4－4(X－2)＝7.6＋2.4 5X－1.8＋1.2＝6.4 6.8＋1.2÷X＝10.8 X÷10＋2X÷10X＝0.06X＋3 二、根据题意，写出等量关系式，再列出方程 1. 两列火车同时从相距260千米的两地相向而行，甲车每小时行46千米，乙车每小时行58千米，几小时后两车还相距52千米？ 解：设 列方程： 2. 甲乙两个码头之间的路程是3200米，A、B两艘渡轮分别从这两个码头开出，相向而行。A渡轮先行了380米后，B渡轮再开出。A渡轮平均每分钟行了190米，B渡轮平均每分钟行了210米，B渡轮经过多少时间与A渡轮在途中相遇？ 解：设 列方程： 3. 小胖和小丁丁两家间的路程是2070米，两人同时从家里出发相向而行，途中小胖顺路去银行办了一点事耽误了10分钟，小丁丁15分钟后与小胖在途中相遇，已知小丁丁每分钟行68米，小胖平均每分钟行多少米？ 解：设 列方程： 4. 一条铁路全长288千米，两列火车同时从两地开出相向而行，途中一列火车停靠了约0.5小时，结果两列火车4.5小时后相遇，一列火车平均每小时行40千米，另一列火车平均每小时行多少千米？ 解：设 列方程： 三、列方程解应用题 1. 两列火车从相距400千米的两地相向而行，客车的速度是60千米/时，货车的速度是40千米/时，这两列火车经过几小时还相距100千米？ 倍数与因数(一) 【例1】(★★★) 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。 【例2】(★★) 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 【例3】(★★★) 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____。 【例4】(★★) 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____。 【例5】(★★★) 5. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个。 倍数与因数(二) 【例1】(★★★) 有一个五位数2□69□，它的千位和个位看不清楚了，小明知道这个数既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数。小朋友你知道这个数可能是多少吗？ 【例2】(★★) 回答下列问题： ⑴把16拆成两个质数的和共有多少种拆法？它们分别是什么？ ⑵两个质数的和是39，这两个数的差是多少？ ⑶三个质数的乘积是70，其中两个数的和正好等于第三个数，其中最大的那个数是多少？ 【例3】(★★★) 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成若干个质数，每个数字恰好使用一次，请问：最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法。 【例4】(★★) 一天，小明的房间里亮着灯，突然停电了，小明以为灯泡坏了，所以就拨了几下开关，他清楚的记得自己一共拨动了7下开关，那么当来电时，他房间的灯是亮的还是暗的？如果在关灯的状态下拨动100次开关，那么灯会亮着还是不亮？ 【例5】(★★★) 有一列数，它们是1、1、2、3、5、8、13、21 …，从第三个数起，往后每个数都是相邻的前两个数的和。有人说这个数列中的第105个数是奇数，你认为对吗？你能判断这个数列里的第1000个数是奇数还是偶数吗？请说明理由。 奥数班摸底测试卷 班级姓名. 一、简便计算下列各题：（1～10小题每小题5分，11～15小题每小题10分） 1. 2.5×1.25.×3.2 2.0.125×0.25×0.5×64 3. 320÷1.25÷8 4.2.4×7.6＋7.6×6.5＋7.6＋0.76 5. 3.74×5.8＋62.6×0.58 6. 2005×0.375－0.375×1949＋3.75×2.4 7.2016＋201.6＋20.16＋2.016 8. 22.8×98＋45.6 9.5.2×1111＋6666×0.8 10.999.9×0.28－0.6666×370 11.0.27÷0.25 12. 1.25×3.14＋125×0.0257＋1250×0.00229 13.18.3×0.25＋5.3÷0.4－3.13×2.5 14.3.6×31.4＋43.9×6.4(提示：43.9=31.4+12.5) 15.75×4.7＋15.9×25 二、附加题 1. 计算：20.05×39＋200.5×4.1＋40×10.025（提示：40×10025=2×20×10.025=20×20.05） 2.计算：1.1＋ 3.3＋5.5＋7.7＋9.9＋11.11＋13.13＋15.15＋17.17＋19.19 3.计算： (1＋0.12＋0.23)×(0.12＋0.23＋0.34)－(1＋0.12＋0.23＋0.34)×(0.12＋0.23) 3.计算：(2＋1.23＋2.34)×(1.23＋2.34＋3.45)－(1.23＋2.34)×(2＋1.23＋2.34＋3.45) （提示：令M=1.23＋2.34，N=1.23＋2.34＋3.45,将原式化简为M,N的表达式） 4.比较下面两个乘积A，B的大小 A=9.8732×7.2345 B=9.8733×7.2344 五年级学生怎样学好奥数 五年级学生怎样学好奥数 这里的数论和方程的方法是目前北京市考试的重要考点。学习新课时应该选择一本经典的教材，仁华课本非常不错，它是一套很完整、成熟的教材，也是目前选用最多的一本教材，几乎涵盖了全部 的五年级奥数重点，拿下仁华课本可以打下很好的基础。 2、多做专题的练习。 3、多做真题。 真题的练习包括历年的竞赛真题和考试真题。做真题可以使自己更好的了解近几年的考试方向和考试的重点，有助于在平时的学习 中找到突破口，集中力量学好考试中最常见的专题。 4、巩固基础知识。 由于还有半年就要转入的复习阶段，所以五年级之前的奥数基础内容一定要掌握好。之前的奥数内容以应用题、计算为主。对于基 本应用题建议利用方程的方法求解，可以达到事半功倍的效果。计 算问题需要对基本的简算方法了如指掌，因为这些方法也是以后分 数计算和综合混合运算的基础。 学习重点难点解析： 五年级属于小学高年级，孩子进入五年级以后，随着年龄的增长，孩子的计算能力，认知能力，逻辑分析能力都比以前有很大的提高，这个时期是奥数思维形成的关键时期，是学奥数的黄金时段，所以 是否把握住五年级这个黄金时段，关系到以后的成与败。那么在整 个五年级阶段都有哪些重点知识呢？为了孩子更好的把握五年级的 学习重点，下面就介绍一下五年级的关键知识点。 1.进入数学宝库的分析方法——递推方法。 1条直线最多有0个交点0 2条直线最多有1个交点1 3条直线最多有3个交点1+2=3 4条直线最多有6个交点1+2+3=6 5条直线最多有10个交点1+2+3+4=10 6条直线最多有15个交点1+2+3+4+5=15 …… 所以2008条直线有1+2+3+4+5＋…+2007=2015028个交点。 那么聪明的你，你能算出2008条直线最多可以把圆分成几部分么？ 2.变化无穷、形迹不定的行程问题。 提到行程问题，同学们可能就感到头疼，的确不错，因为行程问题中各个物体的速度、时间、路程都在变化，而且各个物体都是在 运动中，位置是随着时间在变化，所以分析起来就很麻烦，为了更 好的解决这个问题，我们把行程问题进行了细分：基本行程（单个 物体）、平均速度、相遇、追及、流水行船、火车过桥、火车错车、钟表问题、环形线路上行程。只要我们掌握这些每个小类型中的.诀窍，形成一种分析思路，复杂的行程问题无非是这些类型的变形而已，解决起来就容易多了。 3.抽象而又杂乱的数论问题。 数论是从五年级的核心知识，无论是在哪本教材里，都用了很多的章节来讲解数论，要想解决复杂的数论问题，我们首先得掌握数 论的基本知识：数的奇偶性、约数（现在叫因数）、倍数、公约数 及最大公约数、公倍数及最小公倍数、质数、合数、分解质因数、 整除、余数及同余等。这些基本知识点里又有些非常有代表性的例题，只要能掌握好这些知识点，然后做一定量的数论综合习题，碰 到难的数论问题我们就容易解决了。 第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法 例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。 解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2， 所以自然数解有3组，正整数解有1组。 例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8. 解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1， 所以方程的解是 1 2 x y = ? ? = ? 。 例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31. 解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7 所以方程的解是 7 2 x y = ? ? = ? 或 2 5 x y = ? ? = ? 。 例4．已知5x?14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。 解：方程5x?14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5， 所以方程的解是 5 1 x y = ? ? = ? ， 19 6 x y = ? ? = ? ，……， 514 15 x k y k =+ ? ? =+ ? （k为自然数）。 所以x+y的最小值是6. 模块二、复杂不定方程的解法 例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。 解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔， 所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4， 即方程的解是 13 1 x y = ? ? = ? 或 2 4 x y = ? ? = ? 。所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。 例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100?x?y只鸡雏， 则5x+3y+100 3 x y -- =100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25， 方程的解为 4 18 x y = ? ? = ? ，解得z=100?x?y=78，或 8 11 x y = ? ? = ? ，z=81，或 12 4 x y = ? ? = ? ，z=84. 例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边） 解：由于4?3=1，3×3?4×2=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量； 如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量， 从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。 1 2 3 456 789 10 11 12 13 14 15 …… 25－5x ＝15 79y ＋y ＝80 42x ＋28x ＝140 80＋5x ＝100 7x －8＝6 5x ＋35＝100 53x －90＝16 2x ＋9x ＝132 18y －8＝100 6x －45＝9x －81 3x －1＝8 5x ＋35x ＝100 7x ＋5、3＝7、4 30÷x ＋25＝85 1、4×8－2x ＝6 7(x －2) ＝2x ＋3 18×(x －2) ＝270 12x ＝300－4x 5 3 x ＋2、4x ＝6 3、5:x ＝5、4:2 6×3－1、8x ＝7、2 1、8x －x ＝ 2、4 x 10＝8 .05.2 17－5x ＝2、4＋5 1 3 4x ＝5 2.1 x － 41x ＝8 3 x － 41＝8 3 12、6× 65 －2x ＝8 53×21－x ＝5 1 3 2 x ＋50%＝42 4x －13＝31 4、5＋8x ＝2 127 2x ＋4、3×3＝2 114 x ×(1－ 83)＝3 21 1、6:x ＝ 52:10 3 3x －16×3＝102 4x ＋7、1＝12、5 0、3x －2＝9、1 131－x ＝89、2 3 1 :0、25＝80%:x 43－21x ＝5 1 43x －21x ＝5 1 (900－x):(700－x)＝3:2 x: 4 3 =12、3 43:5 3 =x:12 x － 72x ＝4 3 70%x ＋ 5 1 x ＝3、6 25%＋10x ＝ 5 3 5x － 215×3＝7 5 3x ÷ 4 1 ＝12 2×(x －2、6) ＝8 3475－1999 248＋198 2843－598 724－298 五年级解简易方程专题练习 （1）3.4x－9.8＝1.4x＋9 （2）2x＋1＝25－8x （3）5（x＋2）＝2（2x＋7）（4）6（2x－7）＝5（x＋7）（5）5（3x－1.4）＝2（6x－0.5）（6）6－0.6（x－0.6）＝0.6 （7）（3x＋2）÷4＝2x－7 （8）（4x＋14）÷（x＋2）＝5 （9）2x－ x＋0.4 （10）x＋2 2x－1 0.5 0.3 3 4 （11）8:12＝x：45 五年级解简易方程答案 （1）3.4x－9.8＝1.4x＋9 （2）2x＋1＝25－8x 解：2x＝18.8 解：10x＝24 x＝18.8÷2 x＝24÷10 x＝9.4 x＝2.4 （3）5（x＋2）＝2（2x＋7）（4）6（2x－7）＝5（x＋7）解：5x＋10＝4x＋14 解：12x－42＝5x＋35 x＝4 7x＝77 x＝11 （5）5（3x－1.4）＝2（6x－0.5）（6）6－0.6（x－0.6）＝0.6 解：15x－7＝12x－1 解：6－0.6x＋0.36＝0.6 3x＝6 5.76＝0.6x x＝2 x＝9.6 （7）（3x＋2）÷4＝2x－7 （8）（4x＋14）÷（x＋2）＝5 解：3x＋2＝（2x－7）×4 解：4x＋14＝5×（x＋2）3x＝8x－28 4x＋14＝5x＋10 30＝5x x＝4 x＝6 （9）2x－ x＋ 0.4 （10）x＋2 2x－1 0.5 0.3 3 4 解：（2－0.3）×0.3＝0.5×（x＋0.4）解：3（2x－1）＝4（x＋2） 0.6x－0.09＝0.5x＋0.2 6x－3＝4x＋8 0.1x＝0.29 2x＝11 x＝2.9 x＝5.5 （11）8:12＝x：45 解： 12x＝8×45 12x＝360 x＝30 整数裂项与分数裂和 考试要求 （1）能熟练运算常规裂和型题目； （2）复杂整数裂项运算； （3）分子隐蔽的裂和型运算。 知识结构 一、复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法 是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差 与因数个数加 1 的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。 N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 二、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） a bab1 1（2） a 2b2 a 2b2a b a b a b a b b a a b a b a b b a 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同 时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 重难点 （1）复整数裂的特点及灵活运用 （2）分子蔽的裂和型运算。 例题精讲 一、整数裂 【例 1】算：1 3 2 4 3 5 4 6 L 99 101 【巩固】算： 3 5 5 7 7 9 L 97 99 99 101 【例 2】算1016 22 16 22 28 L 70 76 82 76 8288 倍数问题（一） 典型例题1 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？ 模拟练习 1、两根一样长的绳子，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少？ 2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍，原来两筐水果一共有多少个？ 3、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？ 典型例题2 甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍，甲组原来有图书多少本？ 模拟练习 1、甲库的存粮是乙库的4倍，如果从乙库取出6吨放入甲库，则甲库的粮食正好是乙库的6倍。原来两库各有多少吨粮食？ 2、一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？ 3、小明原来的画片是小红的3倍，后来两人各买了5张，小明的画片就是小红的2倍。两人原来各有多少张画片？ 倍数问题（二） 典型例题1 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。如果每组领3个梨和4个苹果，梨正好分完，苹果还剩16个。两种水果原来各有多少个？模拟练习 1、同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是橘子的3倍。如果每位老人拿2个橘子和4个苹果，那么，橘子正好分完，苹果还多14个。同学们把苹果分给了几位老人？ 2、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙两粮库原来各有粮食多少吨？ 典型例题2 某车间有两个小组，A组的人数比B组人数的2倍多2人。如果从B组中抽10人去A组，则A组人数是B组的4倍。原来两组各有多少人？ 五年级数学计算题练习-每日一练 脱式计算；能简算的要简算. 0.175÷0.25×4 0.175÷0.25÷0.4 200÷［（172－72）÷25］ 630×［840÷（240－212）］800÷25 2000÷125 25×63×4 9000÷125 列竖式计算：21÷24＝7.2÷0.18＝ 列竖式计算（得数保留两位小数）. 780÷60 961÷19 381÷54 135×45 54×312 47×210 4600×15 322÷40 246÷30 923÷80 1月13日（30分钟） 脱式计算；能简算的要简算. 99×11 794－198 68×25 428×(3080－1980)－742 6756－193－207 72×125 97×360＋3×360 124×25－25×24 先估算；再计算. 628÷60 407÷40520÷70 784÷49 966÷23 923÷88 205÷21 65÷320 459÷682 294÷29 先估一估商是几位数；再计算. 333÷37 372÷45 328÷42 395÷56 765÷57（）位（）位（）位（）位（）位 应用题： 1、一只驼鸟每小时跑54.3千米；一辆卡车每小时行45.7千米.鸵鸟的速度比卡车快多少千米? 2、锦华水泥厂原计划全年生产水泥13.58万吨；结果上半年生产7.96万吨；下半年比上半年多生产0.04万吨；全年超过计划多少万吨? 3、有两个粮食仓库；第一个仓库里有粮食57.5吨；第二个仓库里有50吨；后来从第一个仓库里运走粮食9.9吨；这时第一个仓库的粮食比第二个仓库少多少吨? 小学五年级奥数经典试题 一小数的巧算（B） 年级班姓名得分 一、真空题 1. 计算 4.75-9.64+8.25-1.36=_____. 2. 计算 3.17-2.74+ 4.7+ 5.29-0.26+ 6.3=_____. 3. 计算 (5.25+0.125+5.75)?8=_____. 4. 计算 34.5?8.23-34.5+2.77?34.5=_____. 5. 计算 6.25?0.16+264?0.0625+5.2?6.25+0.625?20=_____. 6. 计算 0.035?935+0.035+3?0.035+0.07?61?0.5=_____. 7. 计算 19.98?37-199.8?1.9+1998?0.82=_____. 8. 计算 13.5?9.9+6.5?10.1=_____. 9. 计算 0.125?0.25?0.5?64=_____. 10. 计算 11.8?43-860?0.09=_____. 二、解答题 11．计算 32.14+64.28?0.5378?0.25+0.5378?64.28?0.75-8?64.28?0.125?0.5378. 12. 计算 0.888?125?73+999?3. 13. 计算 1998+199.8+19.98+1.998. 14. 下面有两个小数: a=0.00...0125 b=0.00 (08) 1996个0 2000个0 试求a+b, a-b, a?b, a÷b. ———————————————答案—————————————————————— 1. 2 原式=（4.75+8.25）-(9.64+1.36) =13-11 =2 2. 17 原式=(3.71+5.29)+(4.7+6.3)-(2.74+0.26) =9+11-3 =17 - 1 - 第1讲 数 阵 一、精讲精练 【例题1】 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 练习1： 1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。 【例题2】 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。 练习2： 1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。 【例题3】 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。 练习3： 1.将1——6六个数分别填入下图的圆圈内，使每边上的三个数的和相等。 - 2 - 2.将1——9九个数分别填入下图圆圈内，使每边上四个数的和都是17。 3.将1——8八个数分别填入下图的圆圈内，使每条安上三个数的和相等。 【例题4】 将1——7分别填入下图的7个圆圈内，使每条线段上三个数的和相等。 练习4： 1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。 2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。 3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。 【例题5】 如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？ 练习5： 1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。 2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？ 3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。 （1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。 （4） 通项归纳 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- 考试要求i 知识结构 裂项 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()() 221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 二、裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 三、复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算 五年级奥数春季班第10讲比例法解行程 第十讲比例法解行程 模块一、比例的简单运用 例1．A、B两地相距300千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。 （1）甲车的速度是30千米/时，乙车的速度是20千米/时，相遇时距A地千米； （2）甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地千米； （3）甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是20千米/时，各自走完全程，两车行驶的时间之比是； （4）如果两地距离未知，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是30千米/时，相遇时，甲车走了全程的，各自走完全程，两车行驶的时间之比是。 解：（1）V甲 : V乙=30 : 20=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300×3 32 + =180（千米）； （2）V甲 : V乙=60 : 40=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300×3 32 + =180（千米）； （3）V甲 : V乙=40 : 20=2 : 1，所以t甲 : t乙=1 : 2， （4）V甲 : V乙=50 : 30=5 : 3，所以S甲 : S乙=5 : 3，t甲 : t乙=3 : 5， 相遇时，甲走了全程的 55 = 538 + ，各自走完全程，两车行驶的时间之比是3 : 5. 例2．（1）甲、乙两人的速度比是4 : 5，两人同时出发，行走的时间比为3 : 7，则甲、乙走的路程比为； （2）甲、乙两人要走的路程比为3 : 2，甲、乙的速度比是4 : 3，则甲、乙的时间比是；（3）甲、乙两人的路程比为7 : 8，两人用的时间比为6 : 5，甲的速度为70千米/时，则乙的速度为。 解：（1）已知V甲 : V乙=4 : 5，t甲 : t乙=3 : 7， 所以S甲 : S乙=12 : 35； （2）S甲 : S乙=3 : 2，V甲 : V乙=4 : 3， 所以t甲 : t乙=32 : 43 =9 : 8； （3）S甲 : S乙=7 : 8，t甲 : t乙=6 : 5， 所以V甲 : V乙=78 : 65 =35 : 48；于是70 : V乙=35 : 48，V乙=96千米/小时。 模块二、行程的正比例模型 行程的正比例模型是指时间一定，路程和速度成正比。 在没有发生变速的情况下，路程比等于速度比。 如果两人同时从同地出发，速度比为 1 : n，则路程比也为1 : n， 相遇时，两人各自走了 2 1 S n+ ， 2 1 nS n+ 。 例3．甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲骑车的速度是15米/秒，乙步行的速度是5米/秒，如果甲到达B地后立即返回，请问两人在相遇。 解：设A、B两地的距离为S，V甲 : V乙=15 : 5=3 : 1， 小学五年级数学上册计算题专项训练 1月16日（20分钟） 脱式计算，能简算的要简算。 0.175÷0.25×4 0.175÷0.25÷0.4 200÷［（172－72）÷25］ 630×［840÷（240－212）］800÷25 2000÷125 25×63×4 9000÷125 列竖式计算：21÷24＝7.2÷0.18＝ 列竖式计算（得数保留两位小数）。 780÷60 961÷19 381÷54 135×45 54×312 47×210 4600×15 322÷40 246÷30 923÷80 1月17日（30分钟） 脱式计算，能简算的要简算。 99×11 794－198 68×25 428×(3080－1980)－742 6756－193－207 72×125 97×360＋3×360 124×25－25×24 先估算，再计算。 628÷60 407÷40 520÷70 784÷49 966÷23 923÷88 205÷21 65÷320 459÷682 294÷29 先估一估商是几位数，再计算。 333÷37 372÷45 328÷42 395÷56 765÷57（）位（）位（）位（）位（）位 应用题：1、一只驼鸟每小时跑54.3千米，一辆卡车每小时行45.7千米.鸵鸟的速度比卡车快多少千米? 2、锦华水泥厂原计划全年生产水泥13.58万吨，结果上半年生产7.96万吨，下半年比上半年多生产0.04万吨，全年超过计划多少万吨? 3、有两个粮食仓库，第一个仓库里有粮食57.5吨，第二个仓库里有50吨，后来从第一个仓库里运走粮食9.9吨，这时第一个仓库的粮食比第二个仓库少多少吨? 1月18日（20分钟） 脱式计算，能简算的要简算。 38×25×4 42×125×8 （20+2）×25 8×（125+5）25×（100+4） 列竖式计算（得数保留两位小数）。 210÷1.4 8.56÷0.4 2.688÷0.56 10÷0.004 2.7÷7.5 25.6÷0.032 420÷40 800÷40 94÷27 列竖式计算（打★的要验算）。 414÷78 510÷82 859÷62 639÷57 ★2080÷68 . 25－5x ＝15 79y ＋y ＝80 42x ＋28x ＝140 80＋5x ＝100 7x －8＝6 5x ＋35＝100 53x －90＝16 2x ＋9x ＝132 18y －8＝100 6x －45＝9x －81 3x －1＝8 5x ＋35x ＝100 7x ＋5.3＝7.4 30÷x ＋25＝85 1.4×8－2x ＝6 7(x －2) ＝2x ＋3 18×(x －2) ＝270 12x ＝300－4x 5 3 x ＋2.4x ＝6 3.5：x ＝5.4：2 6×3－1.8x ＝7.2 1.8x －x ＝ 2.4 x 10＝8 .05.2 17－5x ＝2.4＋5 1 3 4x ＝5 2.1 x － 41x ＝8 3 x － 41＝8 3 . 12.6× 65 －2x ＝8 53×21－x ＝5 1 3 2 x ＋50%＝42 4x －13＝31 4.5＋8x ＝2 127 2x ＋4.3×3＝2 114 x ×(1－ 83)＝3 21 1.6：x ＝ 52：10 3 3x －16×3＝102 4x ＋7.1＝12.5 0.3x －2＝9.1 131－x ＝89.2 3 1 ：0.25＝80%：x 43－21x ＝5 1 43x －21x ＝5 1 (900－x)：(700－x)＝3：2 x ： 4 3 =12.3 43：5 3 =x ：12 x － 72x ＝4 3 70%x ＋ 5 1 x ＝3.6 25%＋10x ＝ 5 3 5x － 215×3＝7 5 3x ÷ 4 1 ＝12 2×(x －2.6) ＝8 小学奥数经典教材 来源：鼎杰教育 1. 《仁华学校奥林匹克数学课本》(俗称“课本”，一共六册，从一年级到六年级) 这套书写的非常详细，把小学奥数基本内容都涵盖了，而且内容不太复杂，非常适合让孩子自学！。如果孩子不太自觉，那可以报一个班儿，让老师来教，监督孩子扎实地掌握里面的内容。里头每一讲都既有例题又有练习，而且练习不光有答案，还有解答。大家可以学完例题，然后做练习。注意，练习一定要做，而且要一道不落！因为光看是绝对学不会数学的！三年级孩子比较适合从这套书入手开始奥数的学习。 需要注意的是这套书一二年级两本书编排的相对差一些，比如二年级很多计算学校课堂还没有学，但是题目中却经常出现（这对孩子理解会造成非常大的障碍）；二年级仁华课本中经常有枚举类问题（比如整数拆分问题等等），这类问题逻辑严谨性很高，对二年级学生来讲比较难，但是课本中很前面就出现了。所以我们建议如果低年级学生学习该课本时，应该在相应章节讲之前补充适当的基础知识，一些较难的章节应适当放在后面学习。 另外，这套书成书较早，很多内容相对简单。作为基础教材，必须有一个超前使用的意识。比如三年级的孩子，不要仅仅局限于学习三年级的课本，很多四年级课本的知识也可以给孩子学，比如整数的简便运算，四年级课本里就有，但三年级的孩子完全可以学。一般到了五年级，在接触了分数的四则运算之后，学习六年级课本里的绝大多数内容是没有问题的了，所以五年级的孩子就应该当六年级的孩子来看待了。不过话说回来，超前学是一方面，无论如何学踏实是一定要有的，绝对不能盲目追求速度，学得囫囵吞枣。 2. 《仁华学校数学思维训练导引》（俗称“导引”，一共两册，三、四年级一册，五、六年级一册） 这套书是其实就是习题集，而且是难题集。里面的大多数题目都有一定难度，有的甚至是IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的题目。而且，里面的内容并不是完全按题目难度来编排的，而是根据所需要的数学知识。这会导致一个比较麻烦的问题，那就是：一道题目所需要的数学知识可能很简单，也许只需要三年级孩子都会的整数四则运算，但题目的思考难度却远远不是一个三年级的孩子所能承受的。所以，这套丛书的三、四年级分册一定要慎用。尤其是低年级的孩子，比如三年级，如果一上来就学思维导引，大多数孩子都会感到“很”吃力，而且由于题目难度太大，学得半懂不懂，往往收效甚微。有些思维导引里三年级的题目，到了五年级之后才能给孩子们讲懂，甚至不少孩子到了六年级了还未必完全搞懂。 另外，这本书是习题集，没有例题，可以拿来当课下练习使用。但这是一本难题集，里面的大多数题目都是难题，所以拿它来作为课下训练，孩子本身必须有扎实的基本功，否则光啃难题，学习效率太低，往往效果不大。 这本书中对每道题目都作了难度分级，凡是三星或三星以上的题目都属于较为难的题目。都需要动动脑子才能想出来。至于五星难度的题目，基本上没几个孩子能真正做出来，至于能搞懂的也没几个，所以不必盲目追求做出五星题来。把四星或四星以下的题目完全搞懂就不错了。 3. 《奥林匹克训练题库》（俗称题库作者：刘京友出版社：北京师范大学出版社） 《刘京友题库》因其作者为刘京友而得名，其实，书的正名应该为《奥林匹克训练题库》。这是一本融合了许多竞赛试题的习题集。 适用对象：有一定奥数基础的孩子。 本书优势：《刘京友题库》中的题目被许多重点中学考试选拔中选用，使用过本书的孩子在重点中学的考试中都感到比较轻松，占了很大优势。 本书特点：题型比较好，融会了大量杯赛真题；题量大，统计共有二千多道题目；本书中的习 1 / 2 五年级奥数解方程练习题姓名 一、解方程 5X－12×3=2 X+ 12 24÷X =3 7X + 2X = 36×2 5 X－3×5＝10 6 X－2X－8 =8 X×( 3+ 6)=18 8 X =6×12 36 －8 X = 4 X 2×(X－6)= 8 二、根据下面的条件，说一说数量之间的相等关系。 1.杨树和杉树一共360棵。 2.白兔比灰兔少28只。 3.甲车比乙车多行45千米。 4.买轿车比面包车多付8万元。 三、在括号里填上含有字母的式子。 （1）小兰家养了x只公鸡，养的母鸡只数是公鸡的4倍。母鸡有（）只。 （2）一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典（）元，3本故事书和2本字典一共是（）元。 （3）果园里有苹果树x棵，梨树的棵数比苹果树的5倍多12棵，梨树有（）棵。（4）学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表示（），20x + x表示（）。 四、用方程解应用题 1、王老师在商店买了12枝钢笔，付出100元，找回22元。每枝钢笔多少元？ 2、体育室有羽毛球86个，比毽子个数的4倍少14个。毽子有多少个？ 3、水果店要运进水果2820千克，已经运进24筐，每筐重42.5千克，其余每筐重60千克。还要运进几筐？ 4、粮店里原有2650千克面粉，卖出100袋后，还剩150千克。每袋面粉重多少千克？ 例1：玲玲今年9岁，父亲39岁，再过多少年，父亲的年龄正好是玲玲的2倍？ ①王明今年8岁，妈妈今年32岁，多少年前妈妈的年龄是王明的7倍？ ②甲仓的货物是乙的4倍，甲仓运出180件，乙仓运出30件后，剩下两仓的货物相等，甲 五年级上册小数乘除法计算题（一） 一、竖式计算 5.6×2.9 3.77×1.80.02×96 5.22×0.3 9.99×0.02 4.67×0.95×2.44 1.666× 6.1 9.432×0.002 5.6×6.5 4.88×2.9 5.61×4.3 8.9×2.4 5.5×559.77×0.02 1.384×5.1 8.78×83 2.6×610.059×0.2 4.268×1.7 57×5.79.46×2.851 7.8×6.4 1.5×4.9 2.5×0.88 5.555×5.2 2.22× 3.337.658×8 二、商是循环小数的横式答案用简写方法记录，除不尽保留2位 85.44÷1642.84÷7101.7÷967.5÷15 230.4÷621.24÷360.736÷2343.5÷12 35.21÷739.6÷24 6.21÷0.03210÷1.4 51.3÷0.2791.2÷3.80.756÷0.180.66÷0.3 11.97÷1.569.6÷2.938.4÷0.815÷0.0 三、商是循环小数的横式答案用简写方法记录，除不尽保留2位小数） 8.2÷0.120.8÷0.976.4÷5.4 4.7÷3 1.25÷1.232÷4214.36÷ 2.78.33÷6.2 1.7÷0.03 2.41÷0.70.396÷1.2 0.756÷0.36 15.6×130.18×15 0.025×14 3.06×36 0.04×0.12 3.84×2.6 5.76×3 7.15×22 90.75÷3.3 3.68×0.2516.9÷0.13 1.55÷3.9 四、商是循环小数的横式答案用简写方法记录，除不尽保留2位） 3.7×0.01613.76×0.8 5.2×0.6 8.4×1.3 6.4×0.5 4.48×0.4 5.25×535.4×4.2五年级春季奥数教学内容
奥数五年级解方程练习题知识讲解
五年级下册课本配套奥数教材
五年级简便计算奥数题
五年级学生怎样学好奥数
五年级奥数春季实验班第12讲 计算综合之不定方程
小学五年级数学计算题大全
五年级奥数解方程资料带答案
(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版.docx
五年级下册奥数培训教材
五年级数学计算题练习-每日一练
(精选版)小学数学五年级奥数题：小数的巧算(有答案)
五年级奥数教材
五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版
五年级奥数春季班第10讲 比例法解行程资料讲解
五年级数学计算题练习-每日一练
小学五年级数学计算题大全
小学奥数经典教材
(完整版)五年级奥数解方程练习题
小学五年级数学上册计算大全