五年级奥数春季实验班第12讲 计算综合之不定方程
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
奥数讲义-不定方程-(4)
第四讲 不定方程不定方程是方程中较难的内容，因此也是考试的难点。
一、基础知识回顾不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们一般求解两类问题：一是，未知数的组合；二是，限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x二、典型例题A ）不定方程（组）求解例1 已知：25415x y z ++=，7314x y z ++=，求42x y z ++的值。
解：待定系数法。
9。
例2（同步，P94）（1997，重庆市）若4x 3y-6z=0,x+2y-7z=0,-求2222225x 2y z 2x 3y 10z +---的值。
例3（同步，P90）（全国通讯赛）已知：2221998(x y)1999(y z)2000(z x)01998(x y)1999(y z)2000(z x)1999-+-+-=⎧⎨-+-+-=⎩求z y -的值 注：方程组求值例4（同步，P103）（2000，全国联赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元，C 水果每千克10元。
某天该商店销售这三种水果搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，问C 水果的销售额为多少元？注：应用题；整体求值B ）设而不求例5 若求x+y+z 的值．分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比． 解 令则有x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+Z=0．说明本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数．易错题回顾：已知x y zy z x z x y==+++，则xy z+的值为________；1/2或-1例6.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有由上述四式可知比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．说明此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．例7.我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)=99×a-99×c=100×a-100×c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．因k是三位数，所以2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7．所以2≤10-a+c≤8．差对调后为k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)=1089．故所求为1089．说明本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．例8 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．解法1设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．解法2 设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x 千克中含铜n千克(m≠n)，则这两个合金含整理得 5x(n-m)=24(n-m)．因为m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．说明在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．C）整数解例9求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得：4341433343-+=-=-=yyyxyyx，则∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=32138235，，，，，取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0所以方程的整数解为⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-===1121yxyxyx，，评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。
小学生奥数不定方程知识点及练习题
【导语】⼀次不定⽅程（linearindeterminateequation）亦称线性不定⽅程，是⼀类重要的不定⽅程，指未知数多于⼀个的⼀次⽅程。
设a₁，a₂，……，a 是⾮零整数，b是整数，称关于未知数x₁，x₂，……，x （n≥2）的⽅程a₁x₁+a₂x₂+……+a x =b是n 元⼀次不定⽅程。
以下是®⽆忧考⽹整理的《⼩学⽣奥数不定⽅程知识点及练习题》相关资料，希望帮助到您。
1.⼩学⽣奥数不定⽅程知识点 ⼀次不定⽅程： 含有两个未知数的⼀个⽅程，叫做⼆元⼀次⽅程，由于它的解不，所以也叫做⼆元⼀次不定⽅程； 常规⽅法： 观察法、试验法、枚举法； 多元不定⽅程： 含有三个未知数的⽅程叫三元⼀次⽅程，它的解也不； 多元不定⽅程解法： 根据已知条件确定⼀个未知数的值，或者消去⼀个未知数，这样就把三元⼀次⽅程变成⼆元⼀次不定⽅程，按照⼆元⼀次不定⽅程解即可； 涉及知识点： 列⽅程、数的整除、⼤⼩⽐较； 解不定⽅程的步骤： 1、列⽅程 2、消元 3、写出表达式 4、确定范围 5、确定特征 6、确定答案 技巧总结： A、写出表达式的技巧：⽤特征不明显的未知数表⽰特征明显的未知数，同时考虑⽤范围⼩的未知数表⽰范围⼤的未知数。
B、消元技巧：消掉范围⼤的未知数。
2.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、已知△和☆表⽰两个⾃然数，并且△/5＋☆/11=37/55，△＋☆等于多少？ 2、已知1999×△＋4×□=9991，其中△，□是⾃然数，那么□等于多少？ 3、箱⼦⾥有乒乓球若⼲个，其中25%是⼀级品，五分之⼏是⼆级品，其余91个是三级品，箱⼦⾥有乒乓球多少个？ 4、某班同学分成若⼲⼩组去植树，若每组植树n棵，且n为质数，则剩下树苗20棵，若每组植树9棵，则还缺少2棵树苗，这个班的同学共分成⼏组？ 5、数学测试卷有20道题，做对⼀道得7分，做错⼀道扣4分，不答得0分，张红得100分，她有⼏道题没答？3.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、x是⾃然数，x÷810=0a25字母a表⽰⼀个数字，x是多少？ 2、某青年1997年的年龄等于出⽣年份各数字的和，那么，他的出⽣年份是多少？ 3、王⽼师家电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063，将三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529，王⽼师家电话号码是多少？ 4、如果在分数28/43的分⼦分母上加上⾃然数a、b所得结果是7/12，那么，a＋b的最⼩值等于多少？ 5、有三个分⼦相同的量减假分数，化成带分数后为a（2/3），b（5/6），c（7/8），已知a、b、c⼩于10，a是多少？4.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、在两位数中，能被其各位数字之和整除，⽽且除得的商恰好是4的数有多少个？ 3、甲级铅笔7分钱⼀⽀，⼄级铅笔3分钱⼀⽀．张明⽤5⾓钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少⽀？ 4、有纸币60张，其中1分、1⾓、1元和10元各有若⼲张．问这些纸币的总⾯值是否能够恰好是100元？ 5、将⼀根长为374厘⽶的合⾦铝管截成若⼲根36厘⽶和24厘⽶两种型号的短管，加⼯损耗忽略不计。
小学奥数五年级测试及答案(不定方程、方程法解行程问题)
第2题
第3题
第4题
第5题
试题答案
第1题：
正确答案:D
答案解析
第2题：
正确答案:D
答案解析
第3题：
正确答案:D
答案解析
第4题：
正确答案:B
答案解析
第5题：
正确答案:C
答案解析
1、不定方程
如果你的文档出现显示不全的问题，请调整页边距，或将图片缩小查看。
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
试题答案
第1题：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正确答案:C
答案解析
第2题：
正确答案:B
答案解析
第3题：
正确答案:D
答案解析
第4题：
正确答案:A
答案解析
第5题：
正确答案:D
答案解析
第6题：
正确答案:C
答案解析
2、方程法解行程问题
五年级数学 奥数精品讲义1-34讲
6.有一个数，减去3所的差的4倍，等于它的2倍加上36。这个数是多少？
7.体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。体育老师原来身边带了多少元？
81目录第一讲消去问题一第二讲消去问题二第三讲一般应用题第四讲盈亏问题一第五讲盈亏问题二第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试一第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题一第十二讲周期问题二第十三讲第十五讲数阵问题一第十六讲数阵问题二能力测试第十七讲平面图形的计算一第十八讲平面图形的计算二第十九讲列方程解应用题一第二十讲列方程解应用题二第二十一讲行程问题一第二十二讲行程问题二第二十三讲行程问题三第二十四讲行程问题四能力测试三第二十五讲平均数问题一第二十六讲平均数问题二第二十七讲长方体和体一第二十八讲长方体和体二第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数一第三十三讲分解质因数二第三十四讲牛顿问题能力测试四word81第一讲消去问题一在有些应用题里给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系要求出这些未知数的数量
能力测试 （二）
第十七讲平面图形的计算（一）
第十八讲平面图形的计算（二）
第十九讲列方程解应用题（一）
第二十讲列方程解应用题（二）
第二十一讲行程问题（一）
第二十二讲行程问题（二）
第二十三讲 行程问题（三）
第二十四讲行程问题（四）
能力测试（三）
小学奥数 认识方程精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版知识要点屋1．方程：含有未知数的等式叫方程。
比如：7x ＋5＝122．未知数：通常设x 为未知数。
3．方程的解：指使等式成立的未知数的值。
一般表示为“x ＝数字”。
【课前】 请判断下面算式是否为方程。
⑴5＋5x ＝10x⑵x ＋y ＝13⑶2x ＋50＝25×(2＋x )解下列方程⑴7x ＋6＝12x －4 ⑵12(x －2)＝5x ＋4【铺垫】(★★)请用相关字母填空：①三年级⑵班有学生46人，其中男生有x 人，那么班里女生有_______人。
②停车场里有三轮车和四轮车，轮子总共有120个，其中三轮车有x 辆，那么四轮车的车轮总数是_____个。
一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿。
如果笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿，请问鸡有___只，兔子有____只。
解下列方程⑴20－4x ＝6x ＋10⑵72－6x ＝84－7x⑶168－6x ＝4(30－x ) ⑷56－2(24－x )＝3x认识方程(★★★) (★★★) (★★★) (★★)小明的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。
请问：5角硬币有____枚。
张老师给幼儿园两个班的孩子分水果。
大班每人分得2个苹果和5个桔子，小班每人分得2个苹果和3个桔子，张老师一共分出了80个苹果和158个桔子。
请问：小班有____个孩子。
【超常大挑战】三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。
第三堆糖果有____颗。
【知识大总结】认识方程1．方程：含有未知数的等式叫方程。
2．方程的解：x ＝数字3．三步法解方程：①有括号先去括号；②移项要变号；③合并同类项。
4．列方程解应用题设，列，解，答 (验算）【今日讲题】例2，例3，例4【讲题心得】_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个 方程。
当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种 情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。
特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。
小学生奥数内容分级
4.自然数列趣题
4.找几何图形的规律
4.行程问题
4.带余数的除法
4.长方形和正方形
5.区分图形
5.找规律
5.找简单数列的规律
5.几何中的计数问题
5.奇数与偶数及奇偶性
5.立体图形的计算
6.立体平面展开
6.填图与拆数
6.填算式
6.图形的剪拼
6.被30以下质数整除的数
6.旋转体的计算
7.做立体模型
10.乘法原理
10.列方程式解应用题
10.列方程式解应用题
11.发现图形的变化规律办
11.机制与顿悟
11.七座桥问题
11.加法原理
11.加单的抽屉原理
11.关于取整计算
12.1+2速算与巧算
12.一笔画问题
12.最短路线问题
12.排列组合
12.面积计算
12.最短路线问题
13.数数与计数
13.七座桥问题
16.年龄问题
16.三角形的等积变形
16.数学游戏
16.整数的分拆
17.不与于排序
17.逆序推理法
17.鸡兔同笼问题
17.简单的统筹规划问题
17.逻辑推理
17.图论中的匹配逻辑推理
18.奇与偶
18.画图显示法
18.盈亏问题
18.容斥原理
18.从算术到代数
19.是与非
19.灯亮代换法
19.巧求周长
19.简单的统筹规划
7.考虑所有可能的情况
7.数字谜
7.格点与面积
7.行程问题
7.应用同余解题
8.图形的整体部分
8.仔细审题
8.巧填算符
8.填横式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。
解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，所以自然数解有3组，正整数解有1组。
例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8.解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，所以方程的解是12 xy=⎧⎨=⎩。
例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31.解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7所以方程的解是72xy=⎧⎨=⎩或25xy=⎧⎨=⎩。
例4．已知5x−14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。
解：方程5x−14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，所以方程的解是51xy=⎧⎨=⎩，196xy=⎧⎨=⎩，……，51415x ky k=+⎧⎨=+⎩（k为自然数）。
所以x+y的最小值是6.模块二、复杂不定方程的解法例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。
解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，即方程的解是131xy=⎧⎨=⎩或24xy=⎧⎨=⎩。
所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。
例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。
解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100−x−y只鸡雏，则5x+3y+1003x y--=100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，方程的解为418xy=⎧⎨=⎩，解得z=100−x−y=78，或811xy=⎧⎨=⎩，z=81，或124xy=⎧⎨=⎩，z=84.例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）解：由于4−3=1，3×3−4×2=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量；如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。
1 2 345678910 11 1213 14 15……其中第三列中都能被3整除的都可以称出来；对第一列中4可以称出来，4往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；对第二列中4的倍数8可以称出来，8往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；所以不能称出的最大克重数是5克。
例8．现有一架天平和很多17克和19克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）解：解方程17x −19y =1，解得98x y =⎧⎨=⎩，解方程19m −17n =1，解得910m n =⎧⎨=⎩， 所以17×9−19×8=1， 19×16−17=287，287+b =17×(9b −1)+19×(16−8b )，(b ≥1)，或287+b =17×18−19+(19×9b −17×10b)=19×(9b −1)+17×(18−10b )，即大于287的整数都可以写成17与19的线性组合，因此当b =0时，用这些砝码不能称出的最大克重是287克。
1、 2、 3、 4、……16、1718、19、20、21、……33、3435、36、37、38、……50、51……其中第17列中都能被若干个17克的砝码称出来；对第2列中19可以称出来，19往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；对第4列中38可以用2个19可以称出来，38往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；……由此可以看出，在前16列中，分别可以找到19、38、57、……、19×(17−1)克数，它们都可以称出来，它们往下排列的各数，也都可以称出来，于是无法称出的最大整数是19×(17−1)−17.所以不能称出的最大克重数是19×(17−1)−17=19×17−19−17=287克。
一般情况：现有一架天平和很多m 克和n 克的砝码（m ，n 互质），用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）答案：mn −m −n ；设不能称出的最大克质量为M 克，即对于不定方程mx +ny =M 没有自然数解，即求得的整数解为1x a y =⎧⎨=-⎩，或11x a n y m =-=-⎧⎨=-⎩，所以a =n −1，把x =n −1，y =−1，代入得到M =m ×(n −1)−n ，即方程mx +ny =mn −m −n 无自然数解。
研究不定方程mx +ny =mn −m −n 有无正整数解，0<x <1mn m n n n m m --=--<n −1， 又mx =mn −m −n −ny ，所以x =n −1−(1)n y m+，m −1是整数，m ，n 互质， 所以为使x 为整数，只有1+y =m 、m 2、……，当1+y =m 时，x =n −1−n =−1，不符合要求，当1+y =m 2时，x =n −n −mn <0，……，所以该不定方程没有正整数解，再研究不定方程mx+ny=mn−m−n+1的正整数解，有无m，n互质，存在大于1的p、q都小于m、n，使得pm−qn=1，则mx+ny=mn−m−n+pm−qn，ny=mn−m−n+pm−qn−mx，y=m−1−q+(1)m p xn--，为使y为整数，则x+1−p=n，y=m−1−p+m，这样x、y都是正整数，符合条件。
因为4×13−3×17=1（克），13×17=221（克），所以用这些砝码，不能称出的最大整数克不超过221克；然后根据191+b=13×(4b−1)+17×(12−3b)，可得191+b（b≥1）都可以写成17和13的线性组合，因此当b=0时，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是：17×(12−0)−13=191（克），据此解答即可．解答：根据分析，不能称出的最大整数克重量是：17×(12−0)−13=17×12−13=204-13=191（克）答：用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是191克．随堂测试1．不定方程2x+3y=9有组正整数解。
解：方程2x+3y=9，两边取模2运算得y≡1(mod 2)，解得x=3，所以方程的解是31xy=⎧⎨=⎩或3xy=⎧⎨=⎩（舍去），所以原方程只有1组正整数解。
2．求不定方程的正整数解：30x+11y=350，x=，y=。
解：方程30x+11y=350，两边取11的模，8x≡9 (mod 11)，x=8，解得y=10，所以方程的解是810 xy=⎧⎨=⎩。
3．求不定方程的正整数解：19x+9y=100，x=，y=。
解：方程19x+9y=100，两边取模9运算，得x≡1，y=9，所以方程的解是19 xy=⎧⎨=⎩。
4．已知12x−13y=25，x、y都是正整数，则x+y的最小值是。
解：方程12x−13y=25，两边取模12的运算，得−y≡1，所以y=11，x=14，所以方程的解为1411xy=⎧⎨=⎩或2723xy=⎧⎨=⎩……，所以x+y的最小值是25.5．小丽计划用31元买2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支，那么她最多能买支。
解：小丽可以买1支3元，1支4元的圆珠笔，剩余的24元都买2元一支的，这样一共可以买14支圆珠笔。
6．有堆成一堆的100个小砝码，总重量为500克，已知只有1克、10克和50克三种砝码，在这堆砝码中，每一种砝码各有个、个、个。
解：设50克的砝码有x个，10克的砝码有y个，1克的砝码有100−x−y个。
则50x+10y+100−x−y=500，即49x+9y=400，取模9的运算，得4x≡4，解得x=1，y=39，z=60.所以有1克砝码60个，10克砝码39个，50克砝码1个。
7．现有一架天平和很多个5克和8克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）解：5x−8y=1，解得x=5，y=3，所以5×5−3×8=1，8×4−5=27，27+b=5×(5b−1)+8×(4−3b)，b>0，这说明对于任意的b>0，27+b一定可以写成5和8的线性组合。
8．现有一架天平和很多个6克和8克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
（砝码只能放在天平的一边）解：答案是无穷大的奇数克重；。