1.2 集合之间的关系
1.2 集合之间的关系
1.2 集合之间的关系观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A B,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A⊆B,但存在x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A⊆B时,A B或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为∅,并规定:空集是任何集合的子集,即⊆∅A;空集是任何非空集合的真子集,即∅A(A≠∅).(9)类比子集.结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子①中A⊆B,但有一个元素4∈B,且4∉A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.【当堂训练】1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.3.已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.14.集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？5.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=_______.6.已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若N M,求实数a的取值范围.7.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:∅,{a},{a,b},{a,b,c}.(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？8.已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有……( )A.3个B.4个C.5个D.6个9.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )10.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.11.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是 ( )A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M12.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.13.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足Q P,求a所取的一切值.14.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使A P⊆B,求满足条件的集合P.15.设A={0,1},B={x|x⊆A},则A与B应具有何种关系？16.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.17.已知A ⊆B,且A ⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 共有多少个？【家庭作业】 一、选择题1，下列八个关系式①{0}=φ ②φ=0 ③φ {φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}⊇φ ⑥0∉φ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ}其中正确的个数 （ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、72、集合{1，2，3}的真子集共有 （ ）A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个3、设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042=-=∆ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为（ ）A 、RB 、φC 、{abx x 2-≠} D 、{a b 2-}4.下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为 {1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}；（4）集合{54<<x x }是有限集，正确的是 （ ）A 、只有（1）和（4）B 、只有（2）和（3）C 、只有（2）D 、以上语句都不对 5．下列四个命题： （１）空集没有了集；（２）空集是任何一个集合的真子集； （３）空集的元素个数为零；（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确的有 （Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个二、填空题6、在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为7、若方程8x 2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k 的取值范围是8、集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是 9、方程x 2-5x+6=0的解集可表示为方程组的解集可表示为⎩⎨⎧=-=+0231332y x y x10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之间的关系是__________.三、解答题11、已知方程x 2-(k 2-9)+k 2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k 的取值范围。
1.2集合间的基本关系
【说一说★本节新知】 一.子集的定义
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集 合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：
A B (或B A )
读作：“A含于B”(或“B包含A”)
【说一说★本节新知】
二、Venn图表示集合的包含关系
B={x| x是等腰三角形} ．
【说一说★本节新知】
三.集合相等
如果集合A是集合B的子集(即A B)，且集合B 是集合 A的子集(即B A),此时集合A与集合B中的 元素是一样的，我们称集合A与集合B相等.
记作：A B.
【想一想★得出新知】
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; ② A={-1,0,1}, B={-1,0,1,2} ③ A={a,c,d}, B={a,b,c,d}
在数学中，我们经常用平面上封闭的曲 线的内部表示集合，这种图称为Venn图.
A B
BA
【想一想★得出新知】
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,3,5,7,9}, B={9,7,5,3,1} ② A={a,b,c,d}, B={b,c,d,a}; ③ A={x | x是两边相等的三角形},
【听一听★更上一层】
例1.写出集合a, b的所有子集，并指出哪
些是它的真子集.
【听一听★更上一层】
变式 写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
【听一听★更上一层】
思考： 集合a1, a2 ,, an 有多少个
子集、 真子集、非空真子集?
解：含n个元素的集合的所有子集的个数是2n， 真子集的个数是2n-1， 非空真子集个数为2n-2.
1.2 集合间的基本关系(基础知识+基本题型)(含解析)
1.2 集合间的基本关系（基础知识+基本题型） 知识点一 子集1.子集定义 一般地，对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆(或B A ⊇),读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”) 图示或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆;(2)对于集合A ,B ,C ,若A B ⊆,且B C ⊆,则A C ⊆.2.V enn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线.提示：(1)注意符号“∈”与“⊆”的区别. “⊆”只用于集合与集合之间，如{0}N ⊆,而不能写成0N ⊆；“∈”只能用于元素与元素之间，如0N ∈,而不能写成{0}N ∈.(2)“A 是B 的子集”：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意x A ∈能推出x B ∈.(3)当A 不是B 的子集时，我们记作“A B ”(或“B A ”)，读作“A 不含于B ”(或“B 不包含A ”),此时A 中至少存在一个元素不是B 中的元素，用图形语言表示如图1.1-2所示.例如，集合{,,}A a b c =不是集合{,,,,}B b c d e f =的子集，因为集合A 中的元素a 不是集合B 中的元素.知识点二 集合相等如果集合A 是集合B 的子集()A B ⊆,且集合B 是集合A 的子集()B A ⊆,此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.拓展：(1)若A B ⊆,且B A ⊆,则A B =;反之，若A B =,则A B ⊆,且B A ⊆，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A B =,只需要证A B ⊆与B A ⊆均成立即可.(2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关.(3) 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断.()A B B A A A AB B B 1.12-图知识点三 真子集定义 如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈,且x A ∈/,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )图示结论(1)若A B ⊆,且A B ≠,则AB ; (2)若AB ,且BC ,则A C . 提示(1)在证明AB ，时，应先证明A B ⊆，再证明B 中至少存在一个元素a ，使得a A ∉即可. (2) A B 对任意x A ∈都有x B ∈，但存在0x B ∈，且0x A ∉.(3)注意符号“⊆”与“”的区别. A B ⊆⇒A B =或A B ，例如，若集合{}1,2A =，{}1,2,3B =,则A 是B 的子集，也是真子集，用A B ⊆与A B 均可，但用AB 更准确. 知识点四 空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念。
1.2-集合间的基本关系
B={xIx2-2ax+b=0},若B A且B≠Φ,
求a,b的值。
反馈练 习 用最恰当的符号连接下列集合：
N___Z N___Q R___Z R___Q
0___ ___0 ___
例: 判断正误
1.空集没有子集 × 2.空集是任何一个集合的真子集 × 3.任一集合必有两个或两个以上的子集 ×
（3）A={n n为12的正约数}与B={1，3，2，4，6，12}
（4） A m m 2k 1, k Z
B n n 4k 1, k Z
真子集的定义
对于两个集合A、B，
若集合 A B ，
并且B中至少有一个元素不属于A， 那么称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B
2 A x x a2 2 a1 ,a R ，B y y b2 2b ,b R
2、课本P10练习1.2第一题
再观察下列两个集合，你发现什么？
③ A={x∣x是两条边相等的三角形} B={x∣x是等腰三角形}
④ A={2，4，6} B={6，4，2}
2.集合间的相等关系
如果集合A是集合B的子集，且 集合B是集合A的子集，此时集合A 与集合B中的元素是一样的，因此两 集合相等。
（或B真包含A）
规定：空集是任何非空集合的真子集。
(1)写出集合 a的所有子集和真子集。 (2)写出集合 a,b的所有子集和真子集。
(3)写出集合 a,b,c 的所有子集和真子集。
(4) 根据（1）（2）（3）你能猜想出 什么规律？
一般地，若集合A中有n个元素，则集合A
2 2 有 n个子集，2n-1个非空子集， n-1个
在平面上封闭曲线的内部代表集 合，这种图称为Venn图。
1.2 集合之间的关系
1.子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或（B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”.我们规定，空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集.2.相等的集合对于两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，那么叫做集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”.因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等.3.真子集对于两个集合A、B，如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”.4.子集的个数5.韦恩图（文氏图）【例题】判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）A⊆A；（2）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；（3）∅⊆A；（4）A⫋B，B⫋C，则A⫋C.【例题】在下面写法中，错误写法的个数是（）①{0}∈{0,1}；②∅⫋{0}；③{0,-1,1}={1,-1,0};④0∈∅；⑤{（0,0）}={0}.A.2B.3C.4D.5【判别】a与{a}，{0}与∅之间有何区别？【例题】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0}的子集个数为 . 【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，求集合B.【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x∈A}，求集合B.【例题】已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B⫋A，试求a的值.【例题】已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足A⫋C⫋B的集合的个数是（）A.1B.2C.3D.4【例题】已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}.（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A⫋B，求a的范围.。
§1.2 集合间的基本关系
反思感悟
判断集合间关系的常用方法
二 真子集
问题2 观察问题1中的几个例子，类比实数a<b与a≤b的关系，一个非空 集合的子集有好多个，你能对它们进行分类吗？ 提示 观察(1)可知，4∈B但4∉A，集合A中的元素个数比集合B中的元素 个数少.观察(3)可知，集合E与集合F相等，集合E中的元素个数与集合F 中的元素个数相等. 综上可得，对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多 比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集. 问题3 集合A＝{x∈R|x2－x＋1＝0}中有多少个元素？ 提示 集合A中没有元素.
(P8例2) 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；
因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.
(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}； 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以 集合A是集合B的子集.且有A=B
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，
{a，b，c}
8
{b，c}，{a，b，c}
∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，
{a，b，c，
c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，
d}
16
{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，
(3)E＝{x|x是有两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}. 提示 集合E包含于集合F，集合F也包含于集合E.
知识梳理
1.2集合之间的关系
典型例题
例1：用适当的符号（，， ， 或=）填空.
（1）{, , , }
{ ， }；
（2） { }；
（3）N
Z；
（4）0 ；
（5）{1} =
{x | x-1=0}；
（6）{x|-2<x<3}
{ x|x≥-3 }；
典型例题
例2：写出集合 = {, , }的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
（2）该集合的所有真子集个数是 ．
问题：如果一个集合中有 n 个元素,那么它的所有非空子集个数有多少？
它的非空真子集又有多少个？
结论2：如果一个集合中有 n 个元素;
（1）该集合的所有非空子集个数是 − ;
（2）该集合的所有非空真子集个数是 ．
集合M={0,1,3}中,子集个数是 8
{, , }; {, , };
{, , , }
∅, {}
∅; {}; {}; {, }
∅
∅；{}; {};
子集个数
真子集个数
2
=21
1 =21-1
4
=22
3 =22-1
8Байду номын сангаас
=23
7 =23-1
16 =24
15 =24-1
结论1：如果一个集合中有 n 个元素;
（1）该集合的所有子集个数是 ;
练习：判断集合是否为集合的真子集,若是打√， 若不是打×.
（1） = {, , }, = {, , , , , }
(
√
)
（2） = {, , }, = {, , , }
(
×
)
（3） = ∅, = {}.
1.1.2 集合间的基本关系
16
…
…
…
n个元素
2n
返回
思维训练：集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},将 集合A的子集中的所有元素相加所得的和是 多少？
试一试
2.已知A {x | 2 x 5},B {x | a 1 x 2a 1}, B A,求实数a的取值范围.
例3 设A={x,x2,xy}, B={1,x,y},且 A=B，求实数x,y的值．
数学语言表示形式： 若对任意x∊A，有x ∊B，则 A⊆B。
若A不是B的子集，则记作：A⊈B（或B ⊉A） 例：A={2，4}，B={3，5，7} ； 则A⊈B。
A⊆B的图形语言
A B
用平面上封闭 的曲线的内部 表示集合这图
叫轴直观表示:
如：{x| x>3}表示为
做一做
例4：已知A{x|x=8m+14n，m，n ∈Z} ， B ={x|x=2k，k ∈Z}。
（1）数2和集合A的关系如何？ （2）集合A与集合B的关系如何
课堂小结:
• 今天你学到了什么知识？ • 你能用自己的话说说吗？
A⊊B， B⊊C ⇒ A⊊C。
• 例1、 判 断 下 列 关 系 式 ： ① {0}； ② {0}； ③ {0}； ④0 {0}； ⑤{a} {a, b}； ⑥ {}； ⑦ {}； ⑧ {}； ⑨{a} { x | x {a, b}},⑩{（0，0）}={0}
其 中 正 确 的 是③⑥⑦⑨ 。
02345
x
集合相等
• 用子集概念描述：如果集合A 是集合B的子集（ A⊆B） 且集合B也是集合A的子集（ B⊆A）就说A与B相等， 记A=B。即 A⊆B， B⊆A⇔A=B。
类似于a≥b，b≥a则a=b
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【课题】1.2 集合之间的关系
【教学目标】
知识目标：
掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等）的概念，会判断集合之间的关系.
能力目标：
（1）通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力；
（2）通过集合的关系的图形分析，培养学生的观察能力.
情感目标：
（1）经历利用集合语言描述集合与集合间的关系的过程，养成规范意识，发展严谨的作风；
（2）经历利用图形研究集合间关系的过程，体验“数形结合”的探究方法.
【教学重点】
集合与集合间的关系及其相关符号表示．
【教学难点】
真子集的概念．
【教学设计】
（1）从复习上节课的学习内容入手，通过实际问题导入知识；
（2）通过实际问题引导学生认识真子集，突破难点；
（3）通过简单的实例，认识集合的相等关系；
（4）为学生们提供观察和操作的机会，加深对知识的理解与掌握．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
是用来表示集合与集合之间关系的符号；
”是用来表示元素与集合之间关系的符号．首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．
的子集，并且集合
．
空集是任何非空集合的真子集．
对于集合A、B、C，如果A
=9}={3，-3}
x x==x x= |2}
；⑸a{0}∅；
2}2
{|x x。